【文档说明】吉林省长春市实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文科）试卷 【精准解析】.doc，共(18)页，1.397 MB，由小赞的店铺上传

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数学（文）试卷一、选择题（本题共12小题，每题5分，总计60分，把答案填涂在答题卡指定位置处）1.设集合()2log10Mxx=−，集合2Nxx=−，则MN=（）A.22xx−B.2xx−C

.2xxD.12xx【答案】B【解析】【分析】求解出集合M，根据并集的定义求得结果.【详解】()2log1001112Mxxxxxx=−=−=2MNxx=−本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的并集运

算，属于基础题.2.设1i2i1iz−=++，则||z=A.0B.12C.1D.2【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.详解：()()()()1i1i1i2i2i1

i1i1iz−−−=+=++−+i2ii=−+=，则1z=，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化

转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.设xR，则“|1|1x−”是“220xx−−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【

答案】A【解析】1111102xxx−−−，22012xxx−−−，故为充分不必要条件.4.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a，2a，3a，，50a为茎叶图

中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A.38m=，12n=B.26m=，12n=C.12m=，12n=D.24m=，10n=【答案】B【解析】【详解】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，

成绩不小于60且小于80的有26个，故26m=，12n=．考点：程序框图、茎叶图．5.用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（）A.a，b都不能被5整除B.a，b都能被5整除C.a，b中有一个不能被5整D.a，b中有一个能

被5整除【答案】A【解析】试题分析：从反证法的要求来看,须将结论a，b中至少有一个能被5整除全部否定,所以应选A．考点：反证法及命题的否定．6.下列说法正确的是()A.“f(0)0=”是“函数f（x）是奇函数”

的充要条件B.若p：0xR，20010xx−−，则p￢：xR，210xx−−C.“若6=，则1sin2=”的否命题是“若6，则1sin2”D.若pq为假命题，则p，q均为假命

题【答案】C【解析】【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．【详解】对于A，f（0）＝0时，函数f（x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；函数f（x）是奇函数时，f（0）不一定等于零，如f（x）1x=，x≠0；是即不充分也不

必要条件，A错误；对于B，命题p：0xR，20010xx−−则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；对于C，若α6=，则sinα12=的否命题是“若α6，则sinα12”，∴Ｃ正确．对于D，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴Ｄ错误；故选C．【点睛】

本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．7.在复平面内，复数zabi=+(),aRbR对应向量OZ（O为坐标原点），设OZr=，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则()

cossinzri=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cossinzri=+，()2222cossinzri=+,则()()12121212cossinzzrri=+++

，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:()()cossincossinnnrirnin+=+,则51322i+=（）A.1322i−B.1322i−−C.1322i+D.1322i−+【答案】A【解析】【分析】先将复数132

2zi=+化为cossin33zi=+的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可．【详解】由题意得复数1322zi=+可化为cossin33zi=+，所以55135513cossincossin22333322iiii+=+

=+=−．故选A．【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．8.若42log(34)logabab+=，则+ab的最小值

是（）．A.623+B.723+C.643+D.743+【答案】D【解析】【分析】先由对数的换底公式可得()42log34log34abab+=+,则34abab+=，整理可得341ba+=，再利用均值不等式求解(

)34abba++即可.【详解】由题,()42log34log34abab+=+，所以34abab+=,即34abab+=，所以341ba+=，因为340ab+，0ab，所以0a,0b，所以()3434437212743ababbaba++=++++

=+，当且仅当34abba=时等号成立，所以+ab的最小值为743+.故选：D【点睛】本题考查利用均值定理求最值,考查对数的运算,考查运算能力.9.若函数20.5()log(25)fxxaxa=++在区间(),2−−上单调递增，则实数a的取值范围为（）A.(,2−B.(

4,2−C.4,2−D.()4,2−【答案】C【解析】【分析】可看出该函数是由225txaxa=++和0.5logyt=复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a的不等式组，解出a的取值范围即可.【详解】设()yfx=,令22

5txaxa=++,则0.5logyt=单调递减,()fx在(),2−−上单调递增,225txaxa=++在(),2−−上单调递减,24450aaa−−−+,解得:42a−.故选:C.【点睛】本题主要考查

了复合函数的单调性的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.10.天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、

亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始

，即“丙子”依此类推已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（）A.己丑年B.己酉年C.壬巳年D.辛未年【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，判断得出天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，结合19

49年为“己丑”年，根据周期性得到结果.【详解】根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80108=，则2029年的天干为己，80

1268=，即余数为8，则2029年的地支为酉，所以2029年为己酉年，故选：B.【点睛】该题考查的是有关周期性以及归纳推理的问题，在解题的过程中，正确找出规律是解题的关键，属于简单题目.11.若函数224,1()42,1xaxfxxaxax+=−+在R上单调递增，则实数a的

取值范围是（）.A.(1,4]B.[3,4]C.(1,3]D.[4,)+【答案】B【解析】【分析】分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可．【详解】因为函数224,1()42,1xaxfxx

axax+=−+在R上单调递增，所以1a；对称轴21244aax−=−=，即4a；临界点处2442aaa+−+，即0a或3a；综上所述：34a故选B【点睛】此题考查分段函数单调性问题，每段各自单调和临界点处左右单调是解题的关键点，属于较易题目．

12.已知定义在R上的偶函数()fx在)0,+上单调递减，若不等式(ln1)(ln1)2(1)faxxfaxxf−+++−−对任意1,3x恒成立，则a的取值范围（）A.2,eB.1,ee

C.1,e+D.12ln3,3e+【答案】D【解析】【分析】利用偶函数的性质可得：()fx在)0,+上递减，在(,0)−上递增，即可将不等式化为：1ln11axx−−−对1,3x

恒成立，即可转化为：maxlnxax且minln2xax+对[1,3]x同时恒成立，利用导数求得：maxln1xxe=，minln22ln33xx++=，问题得解【详

解】由于定义在R上的偶函数()fx在)0,+上递减，则()fx在(,0)−上递增，又ln1(ln1)axxaxx−−=−−++，则(ln1)(ln1)2(1)faxxfaxxf−+++−−可化为：2(ln1)2(1)faxxf−−，即(ln1)(1)faxxf−−对1,

3x恒成立，则1ln11axx−−−，所以：lnxax且ln2xax+对[1,3]x同时恒成立.maxlnxax且minln2xax+对[1,3]x同时恒成立设ln()xgxx=，21ln()xgxx−=，则()gx在[1,e)上递增，在(,

3]e上递减，max1()()gxgee==.设ln2()xhxx+=，1,3x，21ln()0xhxx−−=，()hx在[1,3]上递减，min2ln3()(3)3hxh+==.综上得：a的取值范围是12ln3[,]3e+.故选：D【点睛】本题考查函

数的奇偶性性质和利用函数的单调性解决不等式问题，考查了分析能力、转化能力及计算能力，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.二、填空题（本题共4小题，每题5分，总计20分，把答案写在答题卡指定位置处）13.已

知a为实数，若复数()()12aii+−为纯虚数，则a=_______【答案】2−【解析】【分析】先通过乘法运算进行化简，再利用复数的概念求解.【详解】已知a为实数，因为()()()12212aiiaai+−

=++−又因为()()12aii+−为纯虚数，所以20120aa+=−，解得2a=−故答案为：-2【点睛】本题主要考查复数的概念和运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.若对任意的xR，不等式122

1xxa−−+−恒成立，则实数a的取值范围为________.【答案】()12−−+，，【解析】【分析】利用绝对值三角不等式求得12xx−−+的最大值为3，解不等式213a−，即可得结果【详解】()()12123y

xxxx=−−+−−+=，要使1221xxa−−+−恒成立，则213a−，213a−或213a−−，即2a或1a−，实数a的取值范围是()12−−+，，.故答案为()12−−+，，.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用以及不等式恒成立问题，属于

难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx即可)或()afx恒成立（()minafx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③讨论最值()min0fx或()max0fx恒成立.15.已知函数21(),()()2x

fxxmgx=+=，若“对任意11,3x−，存在20,2x，使12()()fxgx≥”是真命题，则实数m的取值范围是__________.【答案】1,4+【解析】【分析】由题可知只要求出()fx的最小值

大于或等于()gx的最小值即可，从而可求出m的取值范围.【详解】解：因为“对任意11,3x−，存在20,2x，使12()()fxgx≥”是真命题，所以只需minmin()()fxgx，因为函数2()fxxm=

+在1,0−上单调递减，在0,3上单调递增，所以min()(0)fxfm==，因为函数1()()2xgx=在0,2上单调递减，所以min1()(2)4gxg==所以14m，故答案为：1,4+

【点睛】此题考查函数最值的应用，二次函数与指数函数的值域的求解，根据条件转化为求函数的最值问题是解决此题的关键，属于中档题.16.过椭圆C：2cos3sinxy==（为参数）的右焦点F作直线l：交C于M，N两点，MFm=，NFn=，则11mn+的值为_____

_.【答案】43【解析】【分析】椭圆2cos:(3sinxCy==为参数）的普通方程为22143xy+=，利用特殊位置进行求解即可．【详解】椭圆2cos:(3sinxCy==为参数）的普通方程为22143xy+=，当直线l的斜率不存在时，直线:

1lx=，代入22143xy+=，可得32y=32mn==，1143mn+=．故答案为：43【点睛】本题考查椭圆参数方程与普通方程互化，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用特殊化进行求解，可简化解题过程．三、解答题（本题共6小

题，总计80分，把答案写在答题卡指定位置处）17.（1）已知a，0b，求证：3322ababab++.（2）已知,,abc为正数，且1abc++=，求证13abbcca++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用

作差法证明即可得证;（2）由a，b，c为正数，且1abc++=，将1abc++=两边平方,然后结合222abab+，222bcbc+，222acac+，然后左右相加求解即可.【详解】证明：（1）()()332222()()abababaabbba

+−+=−+−()222()()()abababab=−−=−+0a，0b，0ab+，2()0ab−，2()()0abab−+，则有3322ababba++（2）已知a，b，c为正数，且1abc

++=，则2222()2221abcabcabbcac++=+++++=.由222abab+，222bcbc+，222acac+，左右相加得：222abcabbcca++++，故3()1abbcca++，故13abbcac++.

【点睛】本题考查了利用作差法证明不等式，重点考查了重要不等式，属基础题.18.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos2sinxy==（为参数），将曲线C按伸缩变换公式12xxyy==，变换得到曲线E（1）求E的普通方程；（2）直线l过点()0,2

M−，倾斜角为4，若直线l与曲线E交于,AB两点，N为AB的中点，求OMN的面积.【答案】（1）2214xy+=（2）85【解析】【分析】（1）由伸缩变换公式得到变换后的参数方程，消去参数即可得到所求普通方程；（2）写出直线l的参数方程，代入椭圆方程，利用直线

参数方程中参数的几何意义可知122ttMN+=，利用韦达定理得到MN，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）将曲线C按照伸缩变换公式变换可得：2cossinxy==（为参数），2214xy+=，E的普通

方程为：2214xy+=.（2）（2）直线l过()0,2M−，倾斜角为4，则其参数方程为：22222xtyt==−+（t为参数），代入2214xy+=得：25162240tt−+=，则12,tt为,AB对应的参数，N对应的参数为122tt+，12

8225ttMN+==，118228sin2242525OMNSMNOM===△.【点睛】本题考查参数方程化普通方程、曲线的伸缩变换和直线参数方程中参数几何意义的应用等知识；关键是能够熟练应用直线参数方程，根据参数

几何意义，结合韦达定理求得长度.19.（1）解不等式239xx−++；（2）若1a，1b，求证：1abab++.【答案】（1）5xx−或4x；（2）见解析.【解析】【分析】（1）按照3x−、32x−、2x分类讨论，分别解不等式即可得解；（2）两边同时平方后作差可得()(

)22221110ababab+−+=−−，即可得证.【详解】（1）当3x−时，原不等式可转化为239xx−−−解得5x−；当32x−时，原不等式可转化为239xx−++，不等式不成立；当2x

时，原不等式可转化为239xx−++，解得4x；所以原不等式的解集为5xx−或4x；（2）证明：由题意()()2222111ababab+−+=−−，因为1a，1b，所以210a−，210

b−，所以()()22110ab−−，所以2210abab+−+即221abab++，所以1abab++.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非

负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为1cos1sinxy=+=+(为参数)，过原点O且倾斜角为的直线l交M于A、B两点．(1)求l和M的极坐标方程；(2)当04，时，求OAOB+的取值范围．【答案】（1）()R=，22(cossin)10

−++=（2）(2,22【解析】【分析】（1）结合cos,sinxy==消去参数，得到极坐标方程，即可．（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到()122cossin+=+，用表示OAOB+，结合三角函数的性质，计算范围，即可．【

详解】（Ⅰ）由题意可得，直线1l的极坐标方程为()R=.曲线M的普通方程为()()22111xy−+−=，因为cosx=，siny=，222xy+=，所以极坐标方程为()22cossin10−++=.（Ⅱ）设()1,A，()2,B

，且1，2均为正数，将=代入22cos2sin10−−+=，得()22cossin10−++=，当0,4时，228sin404=+−，所以()122cos

sin+=+，根据极坐标的几何意义，OA，OB分别是点A，B的极径.从而：122OAOB+=+=()cossin22sin4+=+.当0,4时，,442+，故OAOB+的取值范围是(2,22.【点睛】本道题考查了极坐标方程

的转化以及极坐标方程的性质，难度较大．21.已知曲线221:149xyC+=，直线l：2,22,xtyt=+=−（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，PA的最大值与最

小值．【答案】（I）2cos,{3sin,xy==260xy+−=；（II）最大值为2255，最小值为255.【解析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设cos,sin22xy==，得椭圆的参数方程为2cos,{3sin,xy==，消去参数t

即得直线的普通方程为260xy+−=；（II）关键是处理好PA与角30的关系．过点P作与l垂直的直线，垂足为H，则在PHA中，12PHdPA==，故将PA的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点(2cosP，3sin)到定直线260xy+−=的最大值与最小值问题处理．试题解析：

（I）曲线C的参数方程为2cos,{3sin,xy==（为参数）．直线l的普通方程为260xy+−=．（II）曲线C上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为54cos3sin65d

=+−．则0255sin()6sin305dPA==+−．其中为锐角，且4tan3=．当sin()1+=−时，PA取到最大值，最大值为2255．当sin()1+=时，PA取到最小值，最小值为255．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、

解直角三角形．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为cos1sinxtyt==+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22123sin=+（1）求曲线C的直角坐标方程：（2）设曲线C与直线l交于点,AB两点，求AB的取

值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）46,233【解析】【分析】（1）把极坐标方程的3化为223sin3cos+，再利用cos,sinxy==可求曲线C的直角坐标方程.（2）设,AB对应的参数分别为12,tt，将直线的参数方程代入椭圆方程后可得()222

3cos4sin8sin80tt++−=，则12,tt是该方程的两个根，而12ABtt=−，利用韦达定理可得2246sin13sinAB++=，换元后可求其取值范围.【详解】解：（1）由22123sin=+，可得()223sin12

+=，223412xy+=即曲线C的直角坐标方程为：22143xy+=.（2）将直线l的参数方程cos1sinxtyt==+，代入22143xy+=，可得：()2223cos4sin8sin80tt++−=，()22264sin323cos4sin0ααα=+

+.设,AB对应的参数分别为12,tt，则122212228sin3cos4sin83cos4sintttt−+=+−=+，21222228sin32||3cos4sin3cos4sinABtt=−=+++2222

22462sincos46sin13cos4sin3sin++==++，令21sin,[1,2]ss+=，则2146||4646,23223sABsss==++，当2s=时，AB取最大值23；当1

s=时，AB取最小值463.【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cossinxy==，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tanxyyx=+=．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cossinxxtyyt=

+=+（其中t为参数），注意t表示直线上的点(),Pxy到()00,Pxy的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．