【文档说明】吉林省长春市实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题 【精准解析】.doc，共(18)页，784.000 KB，由小赞的店铺上传

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期中数学试卷一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z满足()33izi+=−，则(z=)A.13B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】先由复数的四则运

算求出z，再由复数模的运算即可求出结果.【详解】因为()33izi+=−，所以()333334iziiii−=−=−−−=−−，所以()()22435z=−+−=.故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模的运算，熟记公式

即可求解，属于基础题型.2.设集合,,,,Aabcde=，BA，已知aB，且B中含有3个元素，则集合B有（）A.26A个B.24CC.33AD.35C【答案】B【解析】【分析】B中其他两个元素是

从,,,bcde中选取的．由此可得．【详解】由题意∵aB，且B中只有3个元素，BA，∴集合B的个数是24C．故选：B.【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集的概念是解题关键．3.甲、乙两歼击机的飞

行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为()A.0.9B.0.2C.0.7D.0.5【答案】D【解析】【分析】根据题意结合互斥事件的概率公式、对立事件的概率公式进行求解即可【详解】设事件A、B分别表示

甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为：()()()()()()()()[1()][1()](),PABABPABPABPAPBPAPBPAPBPAPB+=+=+=−+−代入求值得：()0.4(10.5)(10.4

)0.50.5PABAB+=−+−=.故选D．【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的概率公式，考查了数学阅读理解能力，属于基础题.4.已知随机变量X服从二项分布()XB，:，则(2)PX==（）A.80243B.13243C.4243D

.316【答案】A【解析】【分析】由二项分布的公式即可求得2X=时概率值.【详解】由二项分布公式：()24261280233243PXC===.故选A.【点睛】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.5.将甲、乙、丙

等六位同学排成一排,且甲、乙在丙的两侧,则不同的排法种数共有()A.480种B.360种C.120种D.240种【答案】D【解析】【分析】先对六位同学全排列，再利用甲、乙在丙的两侧有两种情况，分为甲、丙、乙和乙、丙、甲，列式子即可．【详解】先将

甲、乙、丙等六位同学排成一排，有66A种，甲、乙在丙的两侧，分为甲、丙、乙和乙、丙、甲，则不同的排列方法有66332240AA=种．【点睛】倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行全排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数．6.设随

机变量x服从正态分布N（2，9），若(1)(21)PxmPxm−=+，则m=A.23B.43C.53D.2【答案】B【解析】(1)(21)PxmPxm−=+由正态分布性质可得1214223mmm−++==7.若随机变量ξ的分布列：ξ124P0.40.30.3那么E(5ξ+

4)等于（）A.15B.11C.2.2D.2.3【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出Eξ=2.2，再由E(5ξ+4)=5E(ξ)+4，能求出结果.【详解】由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，∴E(5ξ+4)=5E(

ξ)+4=5×2.2+4=15.故选：A.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题.8.学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学

至少有一人参加,则不同的选派方法共有A.540种B.240种C.180种D.150种【答案】D【解析】分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解．详解：由题意不同方法数有1223335425331502!CCCCAA+=．故选D．点睛：本题

考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为22422!CC，不是2242CC，否则就出错．9.已知在二项式32nxx−的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展

开式中，有理项的项数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由二项式系数最大项确定16n=，然后利用二项式展开式的通项公式即可求得有理项.【详解】二项式32nxx−的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，16n=则()()32516361161622rrrrrrrT

CxCxx−−+=−=−，当3256rZ−时，1rT+为有理项，016r且rZ，4,10,16r=符合要求，所以有理项有3项，分别为5，11，17项.故选：C【点睛】本题考查了二项式系数和二项式展开式，属于中档题.10.在一次独立性检验中得到如下列

联表：A1A2总计B12008001000B2180a180＋a总计380800＋a1180＋a若这两个分类变量A和B没有关系，则a的可能值是()A.200B.720C.100D.180【答案】B【解析】【分析】令2k的观测值为零，

解方程即得解.【详解】当a＝720时，k＝＝0，易知此时两个分类变量没有关系．故答案为B【点睛】（1）本题主要考查2×2列联表，意在考查学生对知识的掌握水平和分析推理能力．（2）如果随机变量2k的观测值

为零，则证明两个分类变量没有关系.如果|ad-bc|=0,则证明两个分类变量没有关系.11.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B､C､D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6

､8､9中选择，其他号码只想在1､3､6､9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A.180种B.360种C.720种D.960种【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析牌照的第一个号码､第二个号码以及最后三个号码的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法，第二个号码只能从字母B､C､D中选择，有3种选法，剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，则共有5×3×64=960种，故选：

D.【点睛】本题考查排列､组合的应用，需要注意汽车牌照号码中数字可以重复，故最后三位号码有4×4×4种选法，而不是A43种，属于基础题.12.某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲､乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得﹣30分；选乙

题答对得10分，答错得﹣10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）A.24B.36C.40D.44【答案】D【解析】【分析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：①两人得30分，余下两人得﹣30分，②一人得30分，余下三人得﹣10分

，③一人得﹣30分，余下三人得10分，④一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，⑤两人得10分，余下两人得﹣10分，根据分类计数原理得到结果.【详解】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：（1）两人得30分，余下两人得﹣30分，有C42=6种情况；（2）一人得30分，余

下三人得﹣10分，有4种情况；（3）一人得﹣30分，余下三人得10分，有4种情况；(4)一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，有A43=24种情况；(5)两人得10分，余下两人得﹣10分，有C42=6种情况.根据分类计数原理得到共有6

+4+4+24+6=44种情况.故选：D.【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中，要注意各种情况间的关系，避免重复､遗漏，属于基础题.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.计算：()27345123

4iiiii+−−++−+−=____________.【答案】16i【解析】由题意可得：()()()2734512342751334253137416.iiiiiiiiii+−−++−+−=+−++−=−+++−=14.编

号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为__________．（用数字作答）【答案】20【解析】【分析】根据题意，首先

从5个号码中，选出两个号码，使其编号与座位号一致，由组合数公式可得情况数目，再分析其余的三个座位与人的编号不同的情况数目，易得第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有2种结果；由分步计数原理相乘得到结果．【详解】解：由题意知本题是一

个排列、组合及简单计数问题，恰有两个人的编号与座位号一致，则首先从5个号码中，选出两个号码，有C52＝10种结果，其余的三个座位与人的编号不同，则第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有2种结果，根据分步计数原理得到共有10×2＝20种结

果，故答案为20【点睛】本题考查组合公式以及分步计数原理的运用，易错点为当两个相同的号码确定以后，其余的三个号码不同的排法共有2种结果．15.设a为非零常数，已知(x21x+)6axx−的展开式中各项系数和为2，则展开式中常数项等于_____.【答案】240【解析】【分析

】根据(x21x+)6axx−的展开式中各项系数和为2，令x=1得a=2，再利用展开式的通项公式，求出展开式中常数项.【详解】∵(x21x+)6axx−的展开式中各项系数和为2，∴令x

=1得()6212a−=，a=2或a=0(舍).又6axx−的通项()6216(2)0126rrrrTCxr−+=−=，，，，，6﹣2r为偶数，故6﹣2r=﹣2即r=4.∴2612()xx

xx+−的展开式的常数项为446(2)240C−=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查求展开式的各项系数和的常用方法是赋值法.16.①回归分析中，相关指数2R的值越大，说明残差平方和越大；②对于相关系数r，r越接近

1，相关程度越大，r越接近0，相关程度越小；③有一组样本数据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy得到的回归直线方程为ˆybxa=+，那么直线ˆybxa=+必经过点(),xy；④2K是用来判

断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合；以上几种说法正确的序号是__________．【答案】②③④.【解析】分析：根据回归直线方程与独立性检验的实际意义作出判断.详解：在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，①错误；在回归

分析中，相关指数的绝对值越接近于1，相关程度就越大，②正确回归直线ˆybxa=+必经过样本中心点(),xy，③正确；2K是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合，④正确．故答案为：②③④．点睛：本题考查线性回归方程的意义和独立性检验的应用

，本题解题的关键是正确理解线性回归方程与独立性检验的意义，属于基础题．三､解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程为212{22xtyt=−+=（t为参数

），曲线C的极坐标方程是2sin1sin=−，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M−，直线l与曲线C交于A、B两点．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）求线段MA、MB长度之积MAMB的值．【答案】（Ⅰ）2cos()14+=−，2yx=（Ⅱ

）2【解析】试题分析：（Ⅰ）先消参数，将直线l的参数方程化为普通方程：1xy−=−，再根据cos,sinxy==将直线l的方程化为极坐标方程：cossin1−=−，即2cos()14+=−；利用

cos,sinxy==将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程：2222222sinsin1sin1sinxyyyxy==+−==−−（Ⅱ）利用直线参数方程几何意义求线段MA、MB长度之积MAMB的值：将212{22xtyt=−+=

代入2yx=得23220tt−+=，122MAMBtt==．试题解析：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为2cos()14+=−，曲线C的普通方程为2yx=；（Ⅱ）将212{22xtyt=−+=代入2yx=得23220tt−+=，122MAMBtt==．考点：

直线参数方程几何意义18.一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)24568每小时

生产有缺点的零件数y(件)3040605070（1）画散点图；（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值：2551380

,145iiiiixyx==)【答案】（1）散点图见解析.（2）6.517.5yx=+.（3）机器的运转速度应控制11转/秒内.【解析】【分析】（1）根据表格数据，可得散点图；（2）先求出横标和纵标的平均数，代入求系数b的公式，利用最

小二乘法得到系数，再根据公式求出a的值，写出线性回归方程，得到结果.（3）允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，即线性回归方程的预报值不大于89，写出不等式，解关于x的一次不等式，得到要求的机器允许的转数.【详解】（1）散点图如图；（

2）2555501380145iiiiixyxyx====，，，，∴138055506.517.5145555baybx−===−=−，，∴回归直线方程为：6.517.5yx=+；（3）由y≤89得6.5

x+17.5≤89，解得x≤11，∴机器的运转速度应控制11转/秒内.【点睛】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目，属于基础题.19.某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天､

第二天分别生产了1件､2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.（1）求两天全部通过检查的概率；（2）若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天，2天分别奖300元､90

0元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？【答案】（1）15.（2）260(元)【解析】【分析】（1）由题意分别可得第一､二天通过检查的概率，由独立事件的概率公式可得；（2）记所得奖金为ξ元，则ξ的取值为﹣300，300，900，分别求其概

率可得数学期望.【详解】（1）随意抽取4件产品进行检查是随机事件，而第一天有9件正品，第二天有8件正品，第一天通过检查的概率为49141035CPC==.第二天通过检查的概率为48241013CPC==.因为第一天､第二天检查是否通过是相互独立的，所以两天全部通过检查的概率为312311

535PPP===.（2）记所得奖金为ξ元，则ξ的取值为﹣300，300，900，由题意可得()2243005315P=−==；()()32128311300900533515535PP==+====；.故48130030090026015

155E=−++=(元).【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的求解，涉及相互独立事件的概率公式，属中档题.20.曲线1C的参数方程为cos,sinxy==(为参数)，将曲线1C上所有点的横坐标伸长为原来

的2倍,纵坐标伸长为原来的3倍,得到曲线2C.以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线():cos2sin6l−=.(1)求曲线2C和直线l的普通方程.(2)P为曲线2C上任意一点,求点P

到直线l的距离的最值.【答案】(1)22143xy+=，260xy−−=.(2)点P到直线l的距离的最大值为25,最小值为255.【解析】【分析】（1）先根据变换得到222:143xyC+=，再利用cossinxy=

=把直线的极坐标方程改成直角方程.（2）利用2C的参数方程为2cos3sinxy==设出动点P，再利用点到直线的距离公式得到距离d的表达式后可得其最大值和最小值.【详解】(1)由题意可得2C的参数方程为2cos3sinxy==

(为参数)，即222:143xyC+=.直线():cos2sin6l−=化为直角坐标方程为260xy−−=.(2)设点()2cos,3sinP，由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为2cos23sin65d−−=64co

s64cos3355−+−+==因为264cos103−+，故而minmax25,255dd==.【点睛】一般地，当点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用含参数的代数式表示动

点的横纵坐标.比如，动点在椭圆22221xyab+=，可设动点为()cos,sinab，又如动点在双曲线22221xyab−=，可设动点为1,tancosab.21.某校高二（1）班的一次

数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如图所示：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70,80)，[80,90)和[90

,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70,80)分数段的人数X的分布列和数学期望.【答案】（1）50，20；（2）158.【解析】解：(1)由茎叶图可知，

分数在[50,60)上的频数为4，频率为0.008×10＝0.08，故全班的学生人数为40.08＝50.分数在[70,80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比．又[70,80)，[80,90)和[90,100]

分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70,80)之间的有5人，分数在[80,90)之间的有2人，分数在[90,100]之间的有1人．从中任取3人，共有C83＝56种不同的结果．被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数X的所有取值为0,1,2,3.

它们的概率分别是：P(X＝0)＝3356C＝156，P(X＝1)＝125356CC＝1556，P(X＝2)＝215356CC＝3056＝1528，P(X＝3)＝3556C＝1056＝528.∴X的分布列为X0123P15615561528528∴X的数学期望为

E(X)＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝10556＝158.22.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（

含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学

生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．附：()2PKk…0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828．【答案】（I）（i）列联表见解析；（ii）在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（II）0.352．【解析】试题分析：

（I）列出列联表，根据公式计算卡方的值，比较可得到结论；（II）根据题意，得到随机变量X服从二项分布(3,0.4)B，即可求解其概率．试题解析：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：优分非优分总计男

生92130女生11920总计203050假设0H：该学科成绩与性别无关，2K的观测值22()50(991121)3.125()()()()20302030nadbckabcdacbd−−===++++，因为3.1252.706，所以能在犯错误

概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f==视作概率．设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布(3,0.4)B，所求概

率223333(2)(3)0.40.60.40.352PPXPXCC==+==+=．考点：频率分布直方图、茎叶图、n次独立重复试验、独立性检验．