【文档说明】江苏省连云港市2019-2020学年高一下学期期末调研考试数学试题.docx，共(15)页，823.567 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省连云港市2019～2020学年第二学期高一年级期末调研考试数学试题2020．7一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．22c

ossin88−＝A．24B．24−C．22D．22−2．不等式28x的解集是A．(22−，22)B．(−，22−)(22，+)C．(42−，42)D．(−，42−)(42，+)3．若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名

代表参加学校会议，则甲被选中的概率是A．14B．13C．23D．344．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这

80名教师中年龄小于45岁的人数有第4题A．45B．46C．48D．505．过圆x2＋y2＝5上一点M(﹣1，2)作圆的切线l，则l的方程是A．230xy+−=B．250xy−+=C．250xy−−=D．250xy+−=6．两条平行直线6x﹣4y

＋5＝0与y＝32x的距离是A．1313B．1326C．51313D．513267．如图，在三棱锥S—ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝23，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是A．18B．18−C．14D．14−第7题8．圆222220xyxy+−−−=的圆心

为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为3，则满足条件的直线l的条数为A．1B．2C．3D．4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在4件

产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是A．两件都是一等品的概率是13B．两件中有1件是次品的概率是12C．两件都是正品的概率是13D．两件中至少有1件是一等品的概率是5610．关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有A．

过直线a有且仅有一个平面，使b⊥B．过直线a有且仅有一个平面，使b∥C．在空间存在平面，使a∥，b∥D．在空间不存在平面，使a⊥，b⊥11．正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为31−，则A．正方体的外接球的表面积为12B．正

方体的内切球的体积为3C．正方体的棱长为1D．线段MN的最大值为31+12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直

角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(﹣1，3)，点C(4，﹣2)，且其“欧拉线”与圆M：222(3)xyr−+=相切，则下列结论正确的是A．圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最小距离为22B．圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最大距离为32C．若点(x，

y)在圆M上，则x＋3y的最小值是3﹣22D．圆22(1)()8xaya−−+−=与圆M有公共点，则a取值范围是[122−，122+]三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一

个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知两点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB的一般式方程为．14．用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为．15．设cosx＝t，用t的代数式表示cos2x＝，用t的代数式表示co

s3x＝．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足a2﹣(b﹣c)2＝S，b＋c＝2，则S的最大值是．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC中，

角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝3．（1）求c的值；（2）求sinC的值．18．（本小题满分12分）已知tan(＋)＝13，tan＝﹣2．（1）求tan；（2）求sin2

．19．（本小题满分12分）已知函数2()(3)2fxaxax=+−+（其中aR）．（1）当a＝﹣1时，解关于x的不等式()0fx；（2）若()1fx−的解集为R，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，求

证：（1）BD1∥平面EAC；（2）平面EAC⊥平面AB1C．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x﹣2ay＋a2＝0．（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2相交于点P，

圆C上异于M，N另有一点Q，满足∠MQN＝60°，若直线l：x﹣y﹣6＝0上存在唯一的一个点T，使得TP2OC=，求实数a的值．22．（本小题满分12分）已知梯形ABCD中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝9

0°，∠CBD＝45°，如图（1）所示．现将△ABC沿边BC翻折至△A′BC，记二面角A′—BC—D的大小为．（1）当＝90°时，如图（2）所示，过点B作平面与A′D垂直，分别交A′C，A′D于点E，F，求点E到平面A′BF的距离；（2

）当＝30°时，如图（3）所示，求二面角A′—CD—B的正切值．江苏省连云港市2019～2020学年第二学期高一年级期末调研考试数学试题2020．7一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂

在答题卡相应位置上）1．22cossin88−＝A．24B．24−C．22D．22−答案：C考点：二倍角的余弦公式解析：222cossincos(2)8882−==，故选C．2．不等式28x的解集是A．(22−，22)B．(−，22−)(22，+)

C．(42−，42)D．(−，42−)(42，+)答案：B考点：一元二次不等式解析：∵28x，∴22x或22x−，故选B．3．若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是A．14B．13C．23D．34答案：D考点：古典概型解析：

P＝34，故选D．4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的

人数有第4题A．45B．46C．48D．50答案：C考点：频率分布直方图解析：(0.0800.040)58048+=，故选C．5．过圆x2＋y2＝5上一点M(﹣1，2)作圆的切线l，则l的方程是A．230xy+−=B．250xy−+=C．250xy−−=D．250xy+−=答案：B考

点：圆的切线方程解析：根据切线方程公式可得切线方程为25xy−+=，即250xy−+=，故选B．6．两条平行直线6x﹣4y＋5＝0与y＝32x的距离是A．1313B．1326C．51313D．51326

答案：D考点：两平行直线间的距离公式解析：根据两平行间的距离公式可得225513266(4)d==+−，故选D．7．如图，在三棱锥S—ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝23，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是A．18B．18−C．14D．14

−第7题答案：A考点：异面直线所成的角解析：取AB、BC、SC、SA的中点分别为D、E、F、G，则∠EFG就是异面直线SB与AC所成的角或补角，首先可判断出三角形SAE是等边三角形，求得三角形SAE高EG＝3，FG＝FE＝

2，所以4491cosEFG2228+−==−，故异面直线SB与AC所成角的余弦值是18，故选A．8．圆222220xyxy+−−−=的圆心为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为3，则满足条件的直线l的条数为A．1B．

2C．3D．4答案：D考点：直线与圆相交解析：圆222220xyxy+−−−=化为标准方程为22(1)(1)4xy−+−=，则1CACBcosACB2sinACB32==，∴∠ACB＝60°或120°，故

圆心到直线AB的距离为1或3，当l斜率不存在时，符合题意，当l斜率为k时，设直线为3ykx=+，221kdk+==+1或3，解得k＝34−，或612，综上所述，共有4条，故选D．二、多项选择题（本大题共4小题，每

小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是A．两件都是一等品的概率是13B．两件中有1件是次品的概率是12C

．两件都是正品的概率是13D．两件中至少有1件是一等品的概率是56答案：BD考点：几何概型解析：两件都是一等品的概率16，故A错误；两件中有1件是次品的概率为12，故B正确；两件都是正品的概率是12，故C错误；两件中至少有1件

是一等品的概率是56，故D正确．故选BD．10．关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有A．过直线a有且仅有一个平面，使b⊥B．过直线a有且仅有一个平面，使b∥C．在空间存在平面，使a∥，b∥D．在空间不存在平面，使a⊥，b⊥答

案：BCD考点：空间中的位置关系解析：当直线a⊥b，过直线a有无数个平面，能使b⊥，故A错误；异面直线a，b，过直线a有且仅有一个平面，使b∥，故B正确；异面直线a，b，在空间存在平面，使a∥，b∥，故C正确；如果a⊥，b⊥，则a∥b，即直线a，b共面，反之异面直线a

，b，在空间不存在平面，使a⊥，b⊥故D正确．故选BCD．11．正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为31−，则A．正方体的外接球的表面积为12B．正方体的内切球的体积为3C．正方体的

棱长为1D．线段MN的最大值为31+答案：AD考点：正方体的外接球与内切球解析：设正方体棱长为a，则313122aa−=−，解得a＝2，正方体外接球半径为3，内切球半径为1，正方体外接球表面积为24(3)12=，故A正确；内切球体积为3441=33，故B错误；正方体的棱长为2，故C错误；

线段MN的最大值为31+，故D正确．故选AD．12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(﹣1，3)，点C(4，﹣2)，且其“欧拉线”与圆

M：222(3)xyr−+=相切，则下列结论正确的是A．圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最小距离为22B．圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最大距离为32C．若点(x，y)在圆M上，则x＋3y的最小值是3﹣22D．圆2

2(1)()8xaya−−+−=与圆M有公共点，则a取值范围是[122−，122+]答案：ACD考点：与圆有关的位置关系解析：取BC中点D(32，12)，515BCk==−−，1ADk=，故直线AD为x﹣y﹣1＝0，故222rd==

=，求得圆心M到直线x﹣y＋3＝0的距离为32，故圆M上点到直线x﹣y＋3＝0的最小距离为22，最大距离为42，所以A正确，B错误；设32cosx=+，2siny=，则332cos6sinxy+=++3

22sin()6=++，则x＋3y的最小值是3﹣22，故C正确；222(2)32aa−+，解得122122a−+，故D正确．故选ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分

，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知两点A(3，2)，B(8，12)，则直线AB的一般式方程为．答案：240xy−−=考点：直线的两点式、一般式解析：2312283

yx−−=−−，化为一般式为240xy−−=．14．用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为．答案：2考点：圆锥的侧面展开图解析：半圆形纸片做成的圆锥，母线是底面半径的2倍，由于圆锥

筒的高为3，故半圆形纸片的半径为2．15．设cosx＝t，用t的代数式表示cos2x＝，用t的代数式表示cos3x＝．答案：221t−，343tt−考点：三角恒等变换解析：22cos22cos121xxt=−=−，2223cos3cos2cos2sincos(21)2

(1)43xxxxxtttttt=−=−−−=−．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足a2﹣(b﹣c)2＝S，b＋c＝2，则S的最大值是．答案：417考点：余弦定理，解三角形解析：2

2221()sin2cos2abcbcAbcbcA=−+=+−，化简得sin4cos4AA+=−，又22sincos1AA+=，解得cos1A=−（舍），或15cos17A=−，则8sin17A=，21

1844sin(2)(1)22171717SbcAbbb==−=−−+，当b＝1时，S有最大值为417．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝3．（1）求c的值；（2）求sinC的值．解：（1）在ABC中，1sin32ABCSbcA==，所以13322bc=，所以4c=；（2

）在ABC中，由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−所以22114214132a=+−=，所以13a=，在ABC中，由正弦定理得：sinsinacAC=，所以sin239sin13cACa==．18．（本小题满分12分）已知

tan(＋)＝13，tan＝﹣2．（1）求tan；（2）求sin2．解：（1）tan()tantan=tan()1tan()tan+−+−=++，因为1tan()3+=，tan2=−，所以tan=7（2）2222sincos2tansin2

2sincossincostan1===++，因为tan2=−，所以4sin25=−19．（本小题满分12分）已知函数2()(3)2fxaxax=+−+（其中aR）．（1）当a＝﹣1时，解关于x的不等式()0fx；（2）若()1fx−

的解集为R，求实数a的取值范围．解：（1）当1a=−时，由()0fx得，2420xx−−+，所以2420xx+−，所以不等式的解集为(62)(62)−−−−+U，，；（2）因为()1fx−≥解

集为R，所以2(3)21axax+−+−≥在R恒成立，当0a=时，得321x−+−≥，不合题意；当0a时，由2(3)30axax+−+≥在R恒成立，得20(3)120aaa−−≤，所以962962a−+≤≤20．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD

—A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，求证：（1）BD1∥平面EAC；（2）平面EAC⊥平面AB1C．证明：（1）连接BD交AC与O，连接OE，因为O是BD中点，E是棱1DD的中点，所以OE∥BD1，又BD1平面EAC，OE⊂平面EAC，所

以1BD∥平面EAC；（2）方法一：连接11BOBE，,设正方体边长为1在△AEC中,EAEC=,O是AC中点，得OEAC⊥,同理1OBAC⊥,故1EOB为1EACB−−所成二面角的平面角,在△1EOB中,32OE=,16

2BO=,132BE=得22211OEBEBO+=A1B1B1D1ABCDEO故1=90EOB故平面EAC⊥平面1ABC法二：连接1AB,在正方体1111ABCDABCD−中，11AD⊥面11ABBA，1AB

面11ABBA,得11AD⊥1AB11ABBA是正方形，得1AB⊥1AB,又1111ABADA=,得1AB⊥面11ABD,1BD面11ABD,故1AB⊥1BDOE∥1BD得1OEAB⊥，在△AEC中,EAEC=,O是AC中点，得OEAC⊥又1ABACA=I,得OE⊥

面1ABC，OE平面EAC故平面EAC⊥平面1ABC.21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x﹣2ay＋a2＝0．（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；（2）若M，

N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线l1，l2，若l1与l2相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足∠MQN＝60°，若直线l：x﹣y﹣6＝0上存在唯一的一个点T，使得TP2OC=，求实数a的值．解：（1）圆C的方程可

以化为：22(2)()4xya++−=，所以圆心(2)Ca−，，半径为2,因为圆C与x轴相切，所以||2a=，所以2a=（2）因为点MN，在圆C上，且60MQN=o，所以120MCN=o，因为PMPN

，分别是圆C的切线，所以4PC=，即点P在以C为圆心，4为半径的圆上，所以点P的轨迹方程为22(2)()16xya++−=，设00()Txy，，()Pmn，，由2TPOC=uuruuur得，00()2(2)mxnya−−=−，，所以0042mxnya−=−

−=，即0042mxnya=−=+，所以2200(2)()16xya−++=，因为直线l60xy−−=上一存在唯一点T，使得2TPOC=uuruuur，所以220000(2)()1660xyaxy−++=−−=只有一组解，所以|26|4

2a+−=，所以442a=22．（本小题满分12分）已知梯形ABCD中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，如图（1）所示．现将△ABC沿边BC翻折至△A′BC，记二面角A′—BC—D的大小为．（1

）当＝90°时，如图（2）所示，过点B作平面与A′D垂直，分别交A′C，A′D于点E，F，求点E到平面A′BF的距离；（2）当＝30°时，如图（3）所示，求二面角A′—CD—B的正切值．解：（1）因为平面'ABC⊥平面BCD，平面'ABCI平面BCDBC

=，CDBC⊥，CD平面BCD，所以CD⊥平面'ABC，又BE平面'ABC，所以CDBE⊥，因为'ADBEF⊥平面，BEBEF平面，所以'ADBE⊥又'CDADD=I，''CDADACD，平面，所以'BEACD⊥平面，又''AC

ACD平面，所以'BEAC⊥，在'RtABC中，3=2ABBCBEAC=，又'ABCBCD⊥平面平面，'ABCBCDBC=I平面平面，'ABBC⊥，''ABABC面所以'ABBCD⊥平面，又BDBCD

平面，所以'ABBD⊥，在'RtABD中，67ABBDBFAD==，所以221'7AFABAF=−=，在RtBEF中，22327EFBFBE=−=，设点E到平面ABF的距离为d，因为''ABEFEABFVV

−−=，所以'11'33BEFABFSAFSd=，所以68d=；（2）过点B作直线l//CD，过'A作'AHl⊥交l于点H．因为CDBC⊥，所以lBC⊥，又因为'ABBC⊥，所以'ABH就是二面角'ABCD−−的

平面角，所以'30ABH=，因为'1AB=，所以1'2AH=，过点H作HQCD⊥交CD于点Q，连接'AQ，因为'BCAB⊥，BCl⊥，'lABB=I，所以'BCABH⊥平面，又BCBCD平面，所以'BCDABH⊥平面平面又因为'BCDAB

Hl=I平面平面，'AHl⊥，''AHABH平面所以'AHBCD⊥平面，因为HQCD⊥，所以'CDAHQ⊥平面，因为''AQACD平面，所以'CDAQ⊥，所以'AQH是二面角ACDB−−的平面角，在'RtAQH中，'3tan'6AHAQHHQ==，所以二

面角ACDB−−的正切值为36．BCDQHl