【文档说明】河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(25)页，1.367 MB，由小赞的店铺上传

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2024学年郑州市宇华实验学校高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无

效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡

一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p：0x，0y，使得不等式()245xyyxy+++成立，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A.5

2B.53C.54D.552.已知1.30.920.9,1.3,log3abc===，则（）A.acbB.cabCabcD.cba3.将函数()πcos23fxx

=+的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()gx的图象，则函数()()242hxgxxx=−+−的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖概率分别为123,,234且三人

是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.1724.的5.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏

算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图

象的特征．已知函数()yfx=的图象如图所示，则()fx的解析式可能是（）A.sin()2xfx=B.cos()2xfx=C.()sin12xfx=D.()cos12xfx=6.在ABC中，D为BC上一点，且3BDDC=，ABCCAD

=，2π3BAD=，则tanABC=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02，()2ππ1sin2sin2coscos2714+=，则=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确

的是（）A.22zz=B.若1z=，则1iz−−的最大值为21+C.若()212iz=−，则复平面内z对应的点位于第一象限D.若13i−是关于x的方程20(R)xpxqpq++=,的一个根，则8q=−二、多项选择题：本题共3小题，每小题

6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin0,0,π2πfxAxA=+的部分

图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13−，则（）A.11π6=B.3=C.()fx在π2π,23上单调递减D.方程()()21fxaa=−−在0,π

]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a，b，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x，y使得axbyc=+成立B.若abac=，那么一定有()abc⊥−C.若()()acbc−⊥−，那么2ababc−=+−D若()()abcabc=

，那么a，b，c一定相互平行11.已知函数2()2sincos23cosfxxxx=−，则下列结论中正确的有（）A.函数()fx的最小正周期为πB.()fx的对称轴为ππ32kx=+，kZC.()fx的对称中心为ππ(0)3,2k+，

kZD.()fx的单调递增区间为π5π[π,π]1212kk−++，kZ三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142xy−−，，且21xy+=，则19214xy+++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一

部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径

为.R，球冠的高是h，球冠的表面积公式是2πSRh=，如图2，已知,CD是以AB为直径的圆上的两点，π,6π3CODAOCBODS===扇形，则扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O是ABC的外心，60BAC=，设AOmABnAC=+，

且实数m，n满足42mn+=，则mn的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,abR且0a，函数4()4xxbfxa+=−是奇函数.（1）求a，b的值；（2）对任意(0,)x+，不等式()02xmfxf−

恒成立，求实数m的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,1

00]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在)60,70的概率.17.已知ABC面积为9，点D在BC边上，2CDDB

=．的的（1）若4cos5BAC=，ADDC=，①证明：sin2sinABDBAD=；②求AC；（2）若ABBC=，求AD的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，已知侧面11CDDC为矩形，60BADAB

C==，3AB=，2AD=，1BC=，117AA=，12AEEA=uuuruuur，2AFFB=.（1）求证：平面DEF平面1ABC；（2）求证：平面11ADDA⊥平面ABCD；（3）若三棱锥1EABC−的体积为33，求平面1ABC与平面ABCD的夹角的余弦值.1

9.已知()3sin,cos2axx=，()2cos,1bx=−，记()()Rfxabx=（1）求函数()yfx=的值域；（2）求函数()yfx=，0,πx的单调减区间；（3）若()π24Fxfxm=+−，π0,3x恰有2个零

点12,xx，求实数m的取值范围和12xx+的值．2024学年郑州市宇华实验学校高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无

效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p：0x，0y，使得不等式()245xyyxy+++成立，则命题p成立的一个充分不必要条件

可以是（）A.52B.53C.54D.55【答案】A【解析】【分析】由题意分离参数得0x，0y，使

得不等式524xyxyy+++成立，利用基本不等式求出524xyxyy+++得最小值即可得解.【详解】由0x，0y，使得不等式()245xyyxy+++成立，即0x，0y，使得不等式524xyxyy+++成立，而54254

555599333242424xyyxyyxyxyyxyyxyy++++++==+++，当且仅当254454xy==时，等号成立，所以53，所以52是53的一个充分不必要条件.故选：A.2.已知1.30.920.9

,1.3,log3abc===，则（）A.acbB.cabC.abcD.cba【答案】C【解析】【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.【详解】由.0131090.9.=，则1a，由0.9

011.31.3=，.10931.31.31.=，则.b113，由2221.5log8log3log9==，则.c15.则abc.故选：C3.将函数()πcos23fxx=+的图象向右平移π6个

单位长度，得到函数()gx的图象，则函数()()242hxgxxx=−+−的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()gx，由零点的意义构造函数2()4||2cos2xxxx=−+

−，利用导数探讨0x的零点个数，再利用奇偶性即可得解.【详解】依题意，π()()cos26gxfxx=−=，由()0hx=，得2()4||20gxxx−+−=，即24||2cos20xxx−+−=，令2()4||2cos2xxxx=−+−，当0x

时，2()42cos2xxxx=−+−，函数242yxx=−+在(2,)+上单调递增，当4x时，2422xx−+，()2cos20xx−，即()x在[4,)+上无零点，当13x时，242

1xx−+−，当且仅当1x=或3x=时取等号，又cos20,cos61，则当13x时，()1cos20xx−−，即函数()x在[1,3]上无零点，()242sin2xxx=−+，令()242sin2uxxx=−+，求导得()

24cos2uxx=+当01x时，2π0223x，1cos212x−，()0ux，函数()x(0,1)上递增，()(1)22sin20x=−+，函数()x在(0,1)上递减，而(0)10,(1)0=，因此函数()x在(0,1)上有唯一零点；当

34x时，()22sin20xx+，函数()x在(3,4)上单调递增，而(3)1cos60,(4)2cos80=−−=−，因此函数()x在(3,4)上有唯一零点，于是函数()x在[0,)+上有2个零点，又2(

)()4||2cos(2)()xxxxx−=−−−+−−=，即函数()x是R上的偶函数，则函数()x在(,0]−上也有2个零点，所以函数()x，即函数()hx有4个零点.故选：D4.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值

观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.1724【答案】D【解析】【分析】根据题意，利

用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是()12PA=，()23PB=，()34PC=，则不获一等奖的概率分别是()11122PA=−=，()21133PB=−=，()31144PC=−=，则这三人中恰有两人获

得一等奖的概率为：在()()()()()()()()()()()()PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC++=++1231131211123423423424=++=，这三人都获得一等奖的概率为()()()()12312344PABCPAPBPC===，所以

这三人中至少有两人获得一等奖的概率1111724424P=+=.故选：D.5.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时

少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()yfx=的图象如图所示，则()fx的解析式可

能是（）A.sin()2xfx=B.cos()2xfx=C.()sin12xfx=D.()cos12xfx=【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、三角函数的单调性及复合函数的单调性判定选项即可.

【详解】由()yfx=的图象在纵轴右侧先单调递增再递减，又2xy=和sinyx=在纵轴右侧均先递增，而12xy=和cosyx=在纵轴右侧均先递减，由复合函数的单调性可排除B、C，若()cos12xfx=，则根据

复合函数单调性有π,02x−时函数单调递减，与图象不符，故D错误；而sin()2xfx=，则根据复合函数单调性有,22ππx−时函数单调递减，与图象相符，故A正确.故选：A6.在ABC中，D为BC上一点，且3BDDC=，ABCCAD

=，2π3BAD=，则tanABC=（）A.3913B.133C.33D.35【答案】D【解析】【分析】根据条件转化边角的关系，计算即可.【详解】法一、相似转化边的关系如图所示，在ACD和BCAV中，有,ACBDCAABCDAC==,故ACDBCA,设CDx=，

则4BCx=，CDCAACBC=,所以2ACx=设,ADy=则根据相似比：12ADDCABAC==得2ABy=又2π3BAD=，由余弦定理可得：2222222π4919cos,3427yyxyyx+−==−=则2224957cos1214

yxyBxy+−==，221sin1cos14BB=−=，故3tan5B=法二、正弦定理边化角.设BDAC==，则π23C=−,在ACD和BCAV中,有3BDDC=，由正弦定理有：2πsinsin3πsinsin23BDADCDAD==

−，两式相除得：2πsin223sin3−=由三角恒等变换公式得：33cos2sin223−=由弦化切，构造齐次式得：222233cos2sin23333tan2tan23sincostan1

−−−==++，即253tan2tan30+−=，解之得：3tan5=或33−在ABD△中2π3BAD=，则π0,3B，故3tantan5B==故选：D【点睛】本题考察向量与解三角形的综合，属于压轴题.方法一通过已知找到边之间的关系是

关键，在根据余弦定理即可解得答案；方法二是根据“爪”型三角形，通过两次正弦定理转化边角关系，解有关角的方程，颇考验计算功底.7.已知π02，()2ππ1sin2sin2coscos2714+=，则=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π14【答案】B【解析】【分析】先得到πππ

sinsin2sincoscos2141414+=，即ππcos2sin1414+=，根据ππ15π2141414+，得到πππ214214+=−，即5π28=.【详解】()2ππ

πππsin2sincos1sin2sin2coscos271414714=+=，，所以πππsinsin2sincoscos2141414+=，则πππcoscos2sinsin2sin141414−=，即ππcos2sin1414

+=．因为π02，所以ππ15π2141414+，所以πππ214214+=−，解得5π28=．故选：B．8.已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22zz=B.若1z=，则1iz−−的最大值

为21+C.若()212iz=−，则复平面内z对应的点位于第一象限D.若13i−是关于x的方程20(R)xpxqpq++=,的一个根，则8q=−【答案】B【解析】【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数z判断C；利用复数相等求出q判断D

.【详解】对于A，设i(,R)zabab=+，则()2222222||,i2izabzababab=+=+=−+，22zz，A错误；对于B，由1z=知，在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上，1iz−−可看作该单位圆上的

点到点()1,1的距离，因为圆心到()1,1的距离为2，则该单位圆上的点到点()1,1的距离最大值为21+，B正确；对于C，()212i34i,34izz=−=−−=−+，则复平面内z对应的点位于第二象限，C错误；对于

D，依题意，2(13i)(13i)0pq−+−+=，整理得(8)(36)i0pqp+−+−−=，而,Rpq，因此80360pqp+−=−−=，解得2,10pq=−=，D错误．故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6

分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin0,0,π2πfxAxA=+

的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13−，则（）A.11π6=B.3=C.()fx在π2π,23上单调递减D.方程()()21fxaa=−−在0,π]［内恰有4个互不相等的实根【答案】BCD【解析】【分析】根据正弦型三角函

数图象性质确定,,A的值，从而可判断A，B；得()fx的解析式后根据其单调性与图象可判断C，D.【详解】由题意可得2A=，将()0,1−代入可得()02sin1f==−，所以1sin2=−，又π2π，所以7π6=或π611=，根据图象可知点

()0,1−在其递减区间上，故7π6=，故A不正确；将π,13代入可得ππ7π2sin1336f=+=，结合图象可得π7ππ2π,Z366kk+=+，所以36,Zkk=+

，且202T−=，故2π2，则0π，故3=，故B正确；则()7π2sin36fxx=+，当π2π,23x时，7π8π19π3,636x+，则()fx在π2π,23

上单调递减，故C正确；当0,πx时，则7π7π25π3,666x+，从而可得()fx在0,πx上的图象如下：由图可得方程()()21fxaa=−−在0,π]［内恰有4个互不相等的实根，故D正确.故选：BCD.的10.已知a，b，c

是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x，y使得axbyc=+成立B.若abac=，那么一定有()abc⊥−C.若()()acbc−⊥−，那么2ababc−=+−D.若()()abcabc=，那么a，b，c一定相互平行【答案】BC【解析】【分析】根

据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】只有当b，c不是共线向量时，一定存在实数x，y使得axbyc=+成立，因此选项A不正确；由()()00abacabacabcabc=−=−=

⊥−，因此选项B正确；由()()()()200acbcacbcabaccbc−⊥−−−=−−+=，()()()()22222220ababcabacbcabaccbc−−+−=−−−+−=−−−+=，所以

选项C正确；当0abbc==时，显然()()abcabc=成立，但是a，b，c不一定互相平行，故选：BC11.已知函数2()2sincos23cosfxxxx=−，则下列结论中正确的有（）A.函数()fx的最小正周期为π

B.()fx的对称轴为ππ32kx=+，kZC.()fx的对称中心为ππ(0)3,2k+，kZD.()fx的单调递增区间为π5π[π,π]1212kk−++，kZ【答案】AD【解析】【分析】先利用三角恒等变换将函数解析式化简，再结合三角函数的图象和性质逐一判断选项即可．【详解】2()2s

incos23cosfxxxx=−πsin23cos232sin233xxx=−−=−−，对于A，函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，所以A正确；对于B，令ππ2π32xk−=+，则5ππ,122kxk=+Z，所以对称轴为5ππ,12

2kxk=+Z，故B错误；对于C，令π2π3xk−=，kZ，可得对称中心为ππ,3,62kk+−Z，故C错误；对于D，令πππ2π22π232kxk−+−+，kZ，则π5πππ,1212kxkk−++Z，所以单调递增区间为π5ππ,π,1212kkk−+

+Z,故D正确．故选：AD．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142xy−−，，且21xy+=，则19214xy+++的最小值为_________.【答案】83##223【解析】【分析】利用19

119()(214)2146214xyxyxy+=++++++++，结合基本不等式可求其最小值.【详解】因为142xy−−，，所以21040xy++，，又因为21xy+=，所以2146xy+++=，所以191191921)()(214)(19)21462146421

4xxyxyxyyxy++=++++=++++++++++（1921)8(192)642134xyxy+++=+++（，当且仅当921)4214yxyx++=++（，即11,42xy==时取等号.所以19214xy+++的最小值为83.故答案

为：83.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围

成的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠的高是h，球冠的表面积公式是2πSRh=，如图2，已知,CD是以AB为直径的圆上的两点，π,6π3CODAOCBODS===扇形，则扇形COD绕直线AB旋

转一周形成的几何体的表面积为__________.【答案】72π363π+【解析】【分析】首先求出DOC，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点C作CEAB⊥交AB于点E，过点D作DFAB⊥交AB于点F，即可求出,,,,

,CEOEAEOFBFDF，将扇形DOC绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径R的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为π3AOCBOD==，所以πππ

233DOC=−=，设圆的半径为R，又2π1π236CODSR==扇形，解得6R=（负值舍去），过点C作CEAB⊥交AB于点E，过点D作DFAB⊥交AB于点F，则πsin333CEOC==，πcos33OEOC==，所以3AEROE=−=，同理可得

33,3DFOFBF===，将扇形DOC绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径6R=的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺高3h=，圆锥的高13h=，底面半径33r=，则其中一个球冠的表面积12π2π6336πSRh===，球的表面积2224π4π6144πSR

===，圆锥的侧面积3336π183πS==，所以几何体的表面积21322144π236π2183π72π363πSSSS=−+=−+=+.的【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.

14.已知点O是ABC的外心，60BAC=，设AOmABnAC=+，且实数m，n满足42mn+=，则mn的值是___________.【答案】0【解析】【分析】将已知条件转化为221339mn−−=，再结合42mn+=可得0m=，12n=.【详解】将AOmABn

AC=+两端分别与AB、AC作内积，结合数量积的几何意义可得：22221212ABAOABmABnACABACAOACmABACnAC==+==+，又60BAC=，即有11221122ccmbnbcmbn=+=+，解得222133233933bmcmn

cnb=−−−==−.又42mn+=，联立可得0m=，12n=，所以0mn=故答案为：0.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：将已知条件两端分别与AB、AC作内积，转化为221339m

n−−=.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,abR且0a，函数4()4xxbfxa+=−是奇函数.（1）求a，b的值；（2）对任意(0,)x+，不等式()02xmfxf−恒成立，求实

数m的取值范围.【答案】（1）1ab==；（2）2m.【解析】【分析】（1）利用()()fxfx−=−恒成立可得；.（2）换元令2xt=，构造函数用基本不等式求最值．【详解】解：（1）因为()fx是奇函数，所以()()fxfx

−=−，即22()(44)0xxabba−−+−+=恒成立，0220baab−=−=，解得1ab==；（2）不等式()()02xmfxf−222(1)(1)04141xxm+−+−−对任意(0,)x+恒成立，令2(1)xtt=，则2222

2221(1)1222111111111ttttttmttttttt++++−===+=++++++−对1t恒成立，21ytt=+在1t时，单调递减，2121tt++，2m…，m的取值范围为[2，)+．16.本学期初，某校对全校高二学生进行

数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数

学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在)60,70的概率.【答案】（1）平均数为75.5，85%分位数为88；（2）25.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为

1求出a后，再由平均数，百分数的算法求出即可；（2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可；【小问1详解】由()0.020.0350.025101aa++++=，解得0.01a=.该校高三学生期初数学成绩的平均数为550.1650.2750.35850.25950.175

.5++++=.前3组的频率和为0.10.20.350.65++=，所以85%分位数为0.850.658010880.25−+=.【小问2详解】分层抽样抽取的6人中，)50,60的有0.1620.

10.2=+人，记为1,2.)60,70的有624−=人，记为3,4,5,6，从6人中任取2人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种，其中2人分数都在)60,70的有34,35,36,45

,46,56共6种，所以从6人中任取2人，分数都在)60,70的概率为62155=.17.已知ABC的面积为9，点D在BC边上，2CDDB=．（1）若4cos5BAC=，ADDC=，①证明：sin2sinABDBAD=；②求AC；（2）若ABBC=，求AD的最小值．【答

案】（1）证明见解析，46AC=（2）4【解析】【分析】（1）①在ABD△中，由正弦定理可得sinsinADBDABDBAD=，从而得证；②在ABD△中，利用三角函数恒等变换可得所以263ACDABCSS==，在ACD中，

由211717sin621617ACDSADACAC===，可解问题；（2）由2133ADABAC=+，两边平方的222414cos999ADcbbcBAC=++，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为412cossincossinBACADBACBA

CBAC=+，化简利用基本不等式求最值.【小问1详解】①因为2CDDB=，ADDC=，所以2ADDB=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinADBDABDBAD=，所以sinsin2sinADABDBADBAD

BD==；②设BAC=，则4cos5=，因为0π，所以23sin1cos5=−=，设C=，因为ADDC=，所以CCAD==，在ABD△中，π,BBAD=−−=−，由①知sin2sinABDBAD=，所以sin()2sin()+=−，所以si

ncoscossin2sincos2cossin+=−，整理得cos4sin=，又因为22sincos1+=，0π，所以17417sin,cos1717==，因为2CDDB=，所以263ACDABCSS==，在ACD中，因为ADD

C=，C=，所以cos2ACAD=，所以172cos8ACADAC==，则211717sin621617ACDSADACAC===，所以46AC=；【小问2详解】记ABC的内角为,,ABC，所对边为,,abc，因为2CDDB=，所

以()22213333ADACCDACCBACABACABAC=+=+=+−=+，所以222414cos999ADcbbcBAC=++，在ABC中，因为ABBC=，所以由余弦定理可得2222cosccbbcB

AC=+−，整理得2cos,2cosbcBACbcBAC==，因为1sin92ABCSbcBAC==，所以18sinbcBAC=，所以222236cos9,sin4coscossinBACbbcBACBACBACBAC===，所以2241

2cos412cossincossinsincosBACBACADBACBACBACBACBAC+=+=224sin16cossincosBACBACBACBAC+=sin4cos416cossinBACBACBACBAC

=+，当且仅当255sin,cos55BACBAC==时取等号，所以AD的最小值为4.【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由平面向量得2133ADABAC=+，两边平方的222414cos99

9ADcbbcBAC=++，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为412cossincossinBACADBACBACBAC=+，利用三角函数恒等变换化简，并利用基本不等式求最值.18.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，已知侧面11CDDC为矩形，60BADABC

==，3AB=，2AD=，1BC=，117AA=，12AEEA=uuuruuur，2AFFB=.（1）求证：平面DEF平面1ABC；（2）求证：平面11ADDA⊥平面ABCD；（3）若三棱锥1EABC−的体积为33，求平面1ABC与平面ABCD的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（

2）证明见解析（3）5719或217.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF平面1ABC，//DF平面1ABC，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC=，从而可证ADCD⊥，进而结合已知可证CD⊥平面11ADDA，可证结论；（3）延长

,ADBC交于N，过1A作1AMAD⊥于M，过M作MHBN⊥于H，连接1AH，可得1AHM为平面1ABC与平面ABCD所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AEEA=uuuruuur，2AFFB=，所以1EFAB∥，又1AB平面1ABC，EF平面1AB

C，所以//EF平面1ABC，2AFFB=，3AB=，可得2AF=，又2AD=，60BAD=，所以ADF△是等边三角形，所以2DF=，60AFD=，又60ABC=，所以DFBC∥，又BC平面1ABC，DF平面1ABC，//DF平面1ABC，又DFEFF=

，又,DFEF平面DEF，所以平面DEF平面1ABC；【小问2详解】由侧面11CDDC为矩形，可得1CDDD⊥，连接CF，可得BCF△是等边三角形，所以60BFC=，所以60DFC=，又2DF=，1CF=，

由余弦定理可得22211221232DC=+−=，所以222DCCFDF+=，所以90FCD=，所以30FDC=，所以90ADC=，所以ADCD⊥，又1ADDDD=，1,ADDD平面11ADDA，所以CD⊥平

面11ADDA，又CD平面ABCD，所以平面11ADDA⊥平面ABCD；【小问3详解】延长,ADBC交于N，可得ABN是等边三角形，过1A作1AMAD⊥于M，由（1）可知//EF平面1ABC，所以三棱锥

1EABC−的体积即为三棱锥1FABC−的体积，又三棱锥1FABC−的体积等于三棱锥1ABCF−的体积，由（2）可知平面11ADDA⊥平面ABCD，且两平面的交线为AD，所以AM⊥平面ABCD，所以111111331133223BFB

CFACVSAMAM−===，解得14AM=，过M作MHBN⊥于H，连接1AH，AM⊥平面ABCD，BN平面ABCD，所以AMBN⊥，又1HMAMM=，1,HMAM平面1AMH，所以BN⊥平面1AMH，又1AH平面1AMH，1BNAH⊥，所以1AHM为平面1ABC与平面ABCD所

成二面角的平面角，若12AAD，则点M在线段AD上，且为AD中点，又117AA=，由勾股定理可得1AM=，所以2MN=，所以3MH=，所以由勾股定理可得131619AH=+=，所以1357cos1919AHM==，所以平面1ABC与平

面ABCD的夹角的余弦值为5719；若12AAD，则点M在线段DA延长线上，此时123,27MHAH==，112321cos727MHAHMAH===.19.已知()3sin,cos2axx=，()2cos,1bx=−，记()()Rfxabx=（1

）求函数()yfx=的值域；（2）求函数()yfx=，0,πx的单调减区间；（3）若()π24Fxfxm=+−，π0,3x恰有2个零点12,xx，求实数m的取值范围和12xx+的值．【答案】（1）22−,（2）π5[,π]36（3）231,3

m，12π6xx+=【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差正弦公式化简，再结合正弦函数的值域计算可得；（2）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的单调性计算可得；（3）化简函数()π24Fxfxm=+−，的根据π0,3x恰有2

个零点12,xx，求出实数m的取值范围；再根据对称性求出12xx+的值.【小问1详解】由题意可知，()π3sin2coscos2(1)3sin2cos22sin(2)6fbxxxxxxax==−+=−=−则函数函数()yfx=

的值域为[2,2]−【小问2详解】由()π2sin(2)6xfx=−因为0,πx，所以ππ11π2666x−−，令ππ3π2262x−，解得π5π36x，函数()yfx=，0,πx的

单调减区间π5[,π]36【小问3详解】()π2ππ2π22[3sin2()]2sin(2)446Fxfxxxmmm=+−=+−−=+−因为π0,3x，所以ππ<2π33x+，根

据条件()Fx在π0,3x恰有2个零点12,xx，则π2203sin(2)xm+−=有两个根，即1πsin(2)3xm+=有两个根，则13,12m，解得231,3m

实数m的取值范围231,3根据函数()Fx在π0,3x恰有2个零点12,xx，即1πsin(2)3xm+=有两个根，因为ππ<2π33x+，令ππ232x+=，解得π12x=，所以12,xx关于π12x=对称，

则12ππ2126xx+==．