【文档说明】上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高三下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.560 MB，由小赞的店铺上传

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上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.向量()3,4a=在向量()1,0b=−方向上的投影为___________.【答案】

3−【解析】【分析】由向量投影公式直接求解即可得到结果.【详解】向量a在b方向上的投影为331abb−==−.故答案为：3−.2.设集合2230{|}Axxx=−−，{|ln(1)}Bxyx==−，则AB=___

__．【答案】(1,3]【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法与对数函数的定义域化简结合A,B，再由交集的定义可得结果【详解】集合2{|230}{|13}Axxxxx=−−=−，{|ln(1)}{|1}Bxyxxx==−=

，所以(1,3]AB=．故答案为：(1,3].3.设数列na前n项的和为nS，若14a=，且()*13nnaSnN+=，则nS=______.【答案】4n【解析】【分析】根据前n项的和nS与通项na的关系,即可求出nS.【详解】1113,3,4nnnnnnnaSSSSS

S+++=−==，11140,0,4nnnSSaSS+===,{}nS是以4为首项,公比为4的等比数列,4nnS=.故答案为:4n【点睛】本题考查数列递推关系求前n项的和nS,要灵活应用nS与na的关系,属于基础题.4.已知120,(1)aa+的二项展开式中的

第9项是7920，则实数a为__．【答案】2【解析】【分析】根据二项式定理确定开式中第9项是894957920Ta==，再由0a，即可求得实数a的值.【详解】解：12(1)a+展开式中的第9项是88

8912C4957920Taa===，解得2a=，又0a，所以2a=．故答案为：2.5.2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种

.【答案】1518【解析】【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第

三步，把学生分到两个学校中，共有12232231518CCA=，故答案为1518．【点睛】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．6.若定义在R的奇函数()fx在(,0)−单调递减，且(2)0f=，则满

足(1)0xfx−的x的取值范围是_____．【答案】(1,0)(1,3)−【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．【详解】解：因为定义在R的奇函数()fx在(,0)−单调递减，且(2)0f=，的所以()fx在(0,)+上单调递减，

且()(2)20ff−=−=，如下图为()fx的大致图象：所以当20x−或2x时，()0fx；当<2x−或02x时，()0fx，由(1)0xfx−得0210xx−−或0012xx−，解得10x−或13x，所以x的取值

范围是(1,0)(1,3)−．故答案为：(1,0)(1,3)−.7.设函数()sin3fxx=+，其中0.若函数()fx在[]0,2π上恰有2个零点，则的取值范围是________．【答案】54,63【解析】【分析】当()0fx=时,()3kxkZ=−+

,当0x时,123x=,253x=,383x=,则523823,进而求解即可【详解】由题,()sin3fxx=+取零点时,3xk+=()kZ,即()3

kxkZ=−+,则当0x时,123x=,253x=,383x=,所以满足523823,解得54,63故答案为：54,63【点睛】本题考查已知零点求参数

问题,考查运算能力8.设二元一次不等式组2190802140xyxyxy+−−++−所表示的平面区域为M，若函数xya=（0a，且1a）的图像经过区域M，则实数a的取值范围为______.【答案】

2,9【解析】【分析】作出平面区域M,利用函数xya=（0a，且1a）的图像特征,即可解决问题.【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域M,如下图所示:求得(2,10),(1,9),(3,8)ABC,由图可知,要满足条件必有1a,

且图现在过,BC两点的图像之间,当图像过B点时,19,9aa==，当图像过C点时,38,2aa==，a的取值范围是2,9.故答案为:2,9【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组、指数函数的图像与性质,以及简单的转化思想和数形结合思想,属于中档题.9.已知函数()2(

),2,2fxxx=−，2()sin(2)3,0,62gxaxax=++，12,2x−，总00,2x，使得()()01gxfx=成立，则实数a的取值范围是____________.【答案】(),46,−−+

U【解析】【分析】先求出函数()fx与()gx的值域，然后再由12,2x−，00,2x，使得()()01gxfx=成立，可知函数()fx的值域是()gx的值域的子集，即221[0,4][3,3]2aaaa−++，进而建立不等关系求a的取值范围即可.【详解】∵[2,

2]x−，∴2()[0,4]fxx=∵0,2x，∴72666x+，∴1sin(2)126x−+∴221()[3,3]2gxaaaa−++要使12,2x−，总00,2x，使得()()01gxfx=

成立，则需满足：221[0,4][3,3]2aaaa−++∴22130234aaaa−++，解得4a−或6a∴a的取值范围是(,4][6,)−−+.【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考察二次函数、三

角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析．10.如图，双曲线22221(0,0)xyabab−=的左右焦点分别为12,FF，直线l过1F与双曲线的两渐近线分别交于,PQ．若P是1FQ的中点，且120F

QFQ=，则此双曲线的渐近线方程为______．【答案】3yx=【解析】【分析】根据题意可得2//OPFQ，1OPFQ⊥，从而可得12POFQOF=，进而可求渐近线的斜率与方程.【详解】因为P是1FQ的中点，O是12FF的中点，所以2//OPFQ，因为120FQFQ=，所以12,O

PFQOQOF⊥=，因为两条渐近线关于y轴对称，所以12POFQOF=，又1POFPOQ=，所以260QOF=，渐近线的斜率为3，故渐近线方程为3yx=．故答案为:3yx=.11.已知ABC是边长为2的

正三角形，平面上两动点O、P满足123OPOAOBOC=++（1231++=且1、2、30）．若1OP=，则OAOB的最大值为__________．【答案】323+【解析】【分析】分析出点O、P的位置，作出点O所在的平面区域，取AB的中点D，可

得出21OAOBOD=−，求出OD的最大值，即可得解.【详解】()12312121OPOAOBOCOAOBOC=++=++−−，()()12OPOCOAOCOBOC−=−+−，即12CPCACB=+，因为1231++

=且1、2、30，则1、20，所以，1201+，所以，点P在ABC的边界及其内部，因为1OP=uuur，则点O在如下图所示的封闭区域内，该区域由MH、NR、ST三条线段以及三段分别以A、B、C为圆心，半径为1且圆

心角为23的圆弧围成的区域，其中四边形ABMH、BCRN、ACST均为矩形，且1AHATBMBNCRCS======，取AB的中点D，则DADB=−，OAODDA=+，OBODDBODDA=+=−，所以，()()2221OAOBODDAODDAODDAOD

=+−=−=−，连接DC并延长交RS于点O，此时max31OD=+，因此，()221311323OAOBOD=−+−=+.故答案为：323+.【点睛】思路点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“

形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后

利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．12.定义max,ab表示实数a、b中的较大的数，已知数列na满足()10aaa=，21a=，()122max,2nnnaaan++=*Ν，若20224aa=，记数列

na的前n项和为nS，则2022S的值为_____．【答案】860574##21514.25【解析】【分析】分02a、2a两种情况讨论，结合递推公式分析可知数列na是以5为周期的周期数列，根据

20224aa=可求得a的值，再利用数列的周期性可求得2022S的值.【详解】当02a时，10aa=，21a=，()122max,2nnnaaan++=*Ν，所以3142max2,12aaa==，4482max,2aaa==

，5482max,24aaa==，62max4,28aaa==，712max,214aa==，8142max1,2aaa==，L，所以数列na是以5为周期的周期数列，因为202240452=+，所以2022

41aa==，解得14a=，所以202248860574041414Saaaa=++++++=；当2a时，10aa=，21a=，()122max,2nnnaaan++=*Ν，所以3142max1,22aaa==，442max,24aa==

，52max4,2244aaa==，612max2,224aaa==，712max,212aaa==，8142max1,2aaa==，L，所以数列na是以5为周期的周期数列，因为202240452=+，所以2202214aaa=

==，解得14a=，不合题意，舍去．故2022860574S=．故答案为：860574.【点睛】关键点点睛：解本题求2022S时，由于下标值较大，因此可以考虑利用递推公式分析数列na的周期性或归纳出该数列的通项公式，这是解题的关键，再利用数列的求和方法求解即可.二、选择题（本大题共有4小题，满

分20分，每题5分）13.若2i−是关于x的实系数方程20xaxb++=的一根，则ab+等于（）A.1B.1−C.9D.9−【答案】A【解析】【分析】将2xi=−代入方程20xaxb++=，根据复数为零可得出关于实数a、b的方程组，可解出a

、b的值，由此可得出ab+的值.【详解】由题意可得()()2220iaib−+−+=，即()()2340abai++−+=，所以23040aba++=+=，解得45ab=−=，因此，1ab+=.故选：A14.对于函数()()()*112nfnnN+−=，我们可以发

现()fn有许多性质，如：()()*21fkkN=等，下列关于()fn的性质中一定成立的是（）A.()()11fnfn+−=B.()()()*fnkfnkN+=C.()()()()10fnfnfn=++D.()()()()110fnfn+=−+【答案】C【解析

】【分析】根据所给的函数解析式，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A：()()()()()()111111111222nnnnfnfn+++−+−−−−+−=−=，当n为偶数时，上式等于1−，当n为奇数时，上式等于1，故本选项错误；选项B：()()()()1111,

22nknfnkfn++−+−+==，显然只有当k为偶数时，才有()()fnkfn+=，故本选项错误；选项C：()()112nfn+−=，当n为偶数时，上式等于，当n为奇数时，上式等于1..()()1111122nn

++−+−+当n为偶数时，上式等于，当n为奇数时，上式等于1.故本选项正确；选项D：()()11112nfn++−+=，当n为偶数时，上式等于0，当n为奇数时，上式等于.()()1112n+−−+，当n为偶数时，上式等于1−，

当n为奇数时，上式等于.故本选项是错误的.故选：C【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.15.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、

丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（）A.甲地：总体均值为3，中位数为4B.乙地：总体均值为2，总体方差为3C.丙地：总体均值为1，总体方差大于0D.丁地：中位数为2.5，总体方差为3【答案】B【解析】【分析】利用平均数、中位数、方差的计算公式以及含

义，对四个选项逐一分析判断即可【详解】对于A，例如：10天病例数为0,0,0,0,4,4,4,4,6,8总体均值为3，中位数为4但是某一天的病例超过了7，故选项A错误；对于B，设连续10天，每天新增疑似病例分别为：12310,,,,,xxxx假设第一天超过了7人，设为

8人，则()()()222221018222310sxx=−+−++−，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故选项B正确；对于C，对于C，例如：10天病例数为：0,0,0,0,0,0,0,0,2,8，总体均值为1，方差大于0，

但是存在大于7人的数，故选项C错误；对于D，例如：10天病例数为2,2,2,2,2,3,3,3,3,8中位数232.52+=，平均数为2222233338310+++++++++=，均值为()()()2222152343383310s=−+−+−=，但是在大于7的数

，故选项D错误．为故选：B．16.如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A.22B.10C.11D.23【答案】B【解析

】【分析】通过对称转换,,PQQEEP，由三点共线求得三角形PEQ周长的最小值.【详解】在平面11BCCB上，设E关于B1C的对称点为M，根据正方形的性质可知1CM=，E关于B1C1的对称点为N，111CEC

NCE===，连接MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为Q时，则MN是△PEQ周长的最小值，1,3CMCN==，221310MN=+=,∴△PEQ周长的最小值为10故选：B三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，等腰RtAOB△，2OAOB=

=，点C是OB的中点，AOB绕BO所在的边逆时针旋转至2π,3BODAOD=．（1）求AOB旋转所得旋转体的体积V和表面积S；（2）求直线AC与平面BOD所成角的大小．【答案】（1）8π9V=；424π43S+=+（2）15arcsin5【解析】【分析】（1）由题意旋转体的体积为圆锥体积的

13，利用公式计算即可；表面由两个直角三角形，一个13底面圆和13侧面组成，分别计算相加即可；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角即可.【小问1详解】由题意旋转体的体积为圆锥体积的13，所以2118π22π339V==；表面由两个直角三角形，一

个13底面圆和13侧面组成，2111π222π2222332S=++424π43+=+；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系则：(2,0,0)A，(0,0,1)C，(0,0,2)B，(1,3

,0)D−，则(2,0,1)AC=−，(0,0,2)OB=，(1,3,0)OD=−，设平面BOD的法向量为(,,)nxyz=，则，200300znOBxynOD==−+==令1y=，得(3,1,0)n=，设直线AC与平面BOD所成角为，则||2315sin

5||||52ACnACn===，所以直线AC与平面BOD所成角的大小为15arcsin5．18.某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收

入为()Gx万元，22503,0253000900080,25()xxxxGxx−+−=.（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2316030,

0259000102970,25xxxxxSx−+−−−+=；（2）当年产量为30万台时，该公司获得利润最大，最大利润为2370万元.【解析】【分析】（1）根据利润=销售收入−成本，即可得解；（2）分025x„和25x两种

情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的S的最大值，再比较大小，即可得解．【详解】解：（1）年利润2316030,025()30909000102970,25xxxSxGxxxxx−+−=−−=−−+.（2）当025x时，22806310316030333S

xxx=−+−=−−+，所以S在(]0,25上单调递增，所以2max32516025302095S=−+−=；当25x时，90009000900010297029701029702102370Sxxxxxx=−−+

=−+−=，当且仅当900010xx=，即30x=时，等号成立，此时max2370S=，因为23702095，所以30x=，max2370S=，故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.19.已

知23()sincos3cos2fxxxx=+−，将()fx的图象向右平移π02个单位后，得到()gx的图象，且()gx的图象关于π,06对称．的（1）求；（2）若ABC的角,,ABC所对的边依次为,,abc

，外接圆半径为R，且121,1,823AgbR=−==，若点D为BC边靠近B的三等分点，试求AD的长度．【答案】（1）π3=（2）133AD=【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换可得()πsin23fxx=+，由正弦型函

数的图象变换可得π()sin223gxx=−+，根据正弦型函数的对称性即可求解；（2）由182Ag=−可得2π3A=，根据正弦定理可求a，从而可求BD，在ABC中利用余弦定理可求c与cosB，在ABD△中利用余弦定理即可求AD.【

小问1详解】πsin23x=+，π()sin223gxx=−+，因为()gx图象关于π,06对称，所以()ππ2π33kk−+=Z，所以ππ,23kk−=+Z.又π02，所以π3=；【小问2详解】π()sin23gxx=−，

因为182Ag=−，所以ππ2π436Ak−=−或π52ππ,436Akk−=−Z，所以28ππ3Ak=+或8π2π,Akk=−Z.因为(0,π)A，所以2π3A=，在ABC中，由正弦定理得2sin7aRA==，的因为点D为BC边靠近B的三等分点，所以73BD=，由余弦定理

得2222cosabcbcA=+−，即271cc=++，解得2c=，所以22274157cos21447acbBac+−+−===，在ABD△中，由余弦定理得2222cosADBABDBABDB=+−77571342293149=+−

=，所以133AD=．20.已知椭圆221:14xCy+=的左、右焦点分别为12,FF，点,AB为椭圆1C上两点．（1）若直线AB过左焦点1F，求2ABF△的周长；（2）若直线AB过点(1,0)P，求||||PAPB的取值范围；．（3）若点A是椭圆1C与抛物线2

23:4Cyx=在第一象限的交点．是否存在点B，使得线段AB的中点M在拋物线2C上？若存在，求出所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8（2）3,34（3）存在；31,2B

−−【解析】【分析】（1）由标准方程知2,1,3abc===，然后写出2ABF△的周长；（2）设,AB两点坐标，分直线AB斜率不存在或存在（为0或不为0）进行讨论.（3）假存在，联立1C与2C即可求出点A，然后根据中点公式以及点所在的位置，联立出方程组，解出即可.【小问1详解】

由题意知2222,1,3abcab===−=，所以2,1,3abc===，2ABF△的周长为121248BFBFAFAFa+++==；【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，当直线AB斜率不存在时，直线方程为1x=，代入2214xy+=中，得：32y=，333

||||224PAPB=−=，当直线AB斜率为0时，||3,||1PAPB==，所以||||3PAPB=；当直线AB斜率不为0时，设:1ABxmy=+，由22114xmyxy=++=得()224230mymy++−=，所以12122223,44myyyymm+=−=−++，又()(

)11221,,1,PAxyPBxy=−=−，所以()2221223||||1114PAPBmymymm=++=++23331,344m=−+，综上，||||PAPB的取值范围是3,34；【小问3详解】假设存在满足条件的点B的坐

标满足题意，由2221434xyyx+==，得2340xx+−=，所以4x=−或1，因为A在第一象限，所以31,2A，由AB中点M在拋物线2C上，故设AB中点M0204,3yy

，则利用中点公式得：200831,232yBy−−且在2214xy+=上，所以22200831424032yy−+−−=，所以42000812930yyy+−=，即()()200002342390yyyy−++=，所

以00y=或032y=（舍去），故AB中点(0,0)，所以存在点31,2B−−．21.设集合*()()TkkN是满足下列两个条件的无穷数列na的集合：①12nnnaaka+++=；②存在常数,ABR，使得nAaB（1）已知119()52nna−=−−，且()

naTk，求BA−的最小值（2）是否存在(1)naT，且满足10nnaa+恒成立？若存在，请写出一个符合条件的数列na；若不存在，请说明理由；（3）若()naTk且*naN，求数列na的

通项公式.【答案】（1）BA−的最小值为272；（2）不存在符合条件的数列，理由见解析；（3）nat=，tN.【解析】【分析】(1)由数列的通项公式求数列的最大值和最小值由此可求BA−的最小值；(2)由条件121nnnaaa+++=求出数列na的通项公式，并检验其是否满足nA

aB条件，(3)由条件()naTk求数列na的通项，结合条件nAaB求出k及数列的通项公式.【小问1详解】因为119()52nna−=−−，由已知nAaB，所以()minnAa，()maxnaB，设1159()2nnnba−=+=−，则+214nnbb=

，19b=，292b=−，所以1321nbbb−，242nbbb，所以992nb−，所以9+592na−，故1942na−，所以192A−，4B，所以272BA−，所以BA−的最小值为272，【

小问2详解】因为(1)naT，所以121nnnaaa+++=，所以12nnnaaa+++=，设()211+1nnnnatataa+++=++，令111tt+=，则210tt+−=，所以152t−=，记1152t−−=，21+52t−=所()()21111

+1nnnnatatata+++=++，()()22112+1nnnnatatata+++=++，所以()()1112111+1nnnataatat−+=++，()()1122212+1nnnataatat−+=++，所以()()()()()11212212211

111nnnttaatatatat−−−=++−++，所以()()1122121121212111nnnataataatttttt−−++=+−+−−，所以()()1122121115151225nnnaataata−−

+−=+−+又10nnaa+，所以120,0aa或120,0aa当120,0aa，取n为奇数，函数()1221152nyata−+=+单调递增，111551=22nny−−−−=

单调递减，其取值随n的增大趋近与0，所以不存在B使得()()1122121115151225nnnaataata−−+−=+−+满足n

AaB，【小问3详解】因为12nnnaaka+++=，所以2111nnnaaakk++=+，设21111+nnnnatataakk+++=++，令111tkkt+=，则210ttkk+−=，所以2114114=22kkkktk−+−+=，记1

1142ktk−−+=，21+142ktk−+=所()211111+nnnnatatatak+++=++，()221121+nnnnatatatak+++=++，所以()11121111+nnnataa

tatk−+=++，()11222121+nnnataatatk−+=++，所以()()()11212212211111nnnttaatatatatkk−−−=++−++

，所以1122121121212111nnnataataattttkttk−−++=+−+−−，所以()()112212111141142241nnnkkkaataata

kkk−−++−+=+−++因为210ata+，因为244141kkk+++，所以2141kk++，所以411102kk+−当n为奇数时，11412nkyk−−+=单调递减，其取值随n的增大趋近与0，若114

12kk++，则()12211142nkyatak−++=+单调递增，与条件相矛盾，若11412kk++，所以2k，则()12211142nkyatak−++=+单调递减，与*naN矛盾，当

2k=，()12121112223nnaaaaa−=+−−−当n为奇数时，若210aa−，则()12112nyaa−=−−的取值随n的增大趋近与0，与*naN矛

盾，又*naN，所以210aa−=，所以数列na的通项公式为nat=，tN，此时2k=.【点睛】本题解决的关键由条件()naTk确定数列的通项公式.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com