【文档说明】上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高三下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.560 MB，由小赞的店铺上传

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上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.向量()3,4a=在向量()1,0b=−方向上的投影为___________.【答案】3−【解析】【分析】由向量投影公式直接求解即可得到结果

.【详解】向量a在b方向上的投影为331abb−==−.故答案为：3−.2.设集合2230{|}Axxx=−−，{|ln(1)}Bxyx==−，则AB=_____．【答案】(1,3]【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法与对数

函数的定义域化简结合A,B，再由交集的定义可得结果【详解】集合2{|230}{|13}Axxxxx=−−=−，{|ln(1)}{|1}Bxyxxx==−=，所以(1,3]AB=．故答案为：(1,3].3.设数列na前n

项的和为nS，若14a=，且()*13nnaSnN+=，则nS=______.【答案】4n【解析】【分析】根据前n项的和nS与通项na的关系,即可求出nS.【详解】1113,3,4nnnnnnnaSSSSSS+++=−==，1114

0,0,4nnnSSaSS+===,{}nS是以4为首项,公比为4的等比数列,4nnS=.故答案为:4n【点睛】本题考查数列递推关系求前n项的和nS,要灵活应用nS与na的关系,属于基础题.4.已知120,(1)aa+的二项展开式中的第9项是

7920，则实数a为__．【答案】2【解析】【分析】根据二项式定理确定开式中第9项是894957920Ta==，再由0a，即可求得实数a的值.【详解】解：12(1)a+展开式中的第9项是888912C4957920Taa

===，解得2a=，又0a，所以2a=．故答案为：2.5.2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种.【答案】1518【解析】【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成

两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有1223223

1518CCA=，故答案为1518．【点睛】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．6.若定义在R的奇函数()fx在(,0)−单调递减，且(2)0f=，则满足

(1)0xfx−的x的取值范围是_____．【答案】(1,0)(1,3)−【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．【详解】解：因为定义在R的奇函数()fx在(,0)−单调递减，且(2)0f=，的所以()f

x在(0,)+上单调递减，且()(2)20ff−=−=，如下图为()fx的大致图象：所以当20x−或2x时，()0fx；当<2x−或02x时，()0fx，由(1)0xfx−得0210xx−−或00

12xx−，解得10x−或13x，所以x的取值范围是(1,0)(1,3)−．故答案为：(1,0)(1,3)−.7.设函数()sin3fxx=+，其中0.若函数()fx在[]0,2π上

恰有2个零点，则的取值范围是________．【答案】54,63【解析】【分析】当()0fx=时,()3kxkZ=−+,当0x时,123x=,253x=,383x

=,则523823,进而求解即可【详解】由题,()sin3fxx=+取零点时,3xk+=()kZ,即()3kxkZ=−+,则当0x时,123x=,253

x=,383x=,所以满足523823,解得54,63故答案为：54,63【点睛】本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力8.设二元一次不等式组2190802140xyxyxy+−−++−所表示的平面区域为M，若函数

xya=（0a，且1a）的图像经过区域M，则实数a的取值范围为______.【答案】2,9【解析】【分析】作出平面区域M,利用函数xya=（0a，且1a）的图像特征,即可解决问题.【详解】作出二元一次不等式组

所表示的平面区域M,如下图所示:求得(2,10),(1,9),(3,8)ABC,由图可知,要满足条件必有1a,且图现在过,BC两点的图像之间,当图像过B点时,19,9aa==，当图像过C点时,38,2aa==，a的取值范

围是2,9.故答案为:2,9【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组、指数函数的图像与性质,以及简单的转化思想和数形结合思想,属于中档题.9.已知函数()2(),2,2fxxx=−，2()sin(2)3,0,62gxaxax=++，

12,2x−，总00,2x，使得()()01gxfx=成立，则实数a的取值范围是____________.【答案】(),46,−−+U【解析】【分析】先求出函数()fx与()gx的值域，然后再由12,2x−，00,2x

，使得()()01gxfx=成立，可知函数()fx的值域是()gx的值域的子集，即221[0,4][3,3]2aaaa−++，进而建立不等关系求a的取值范围即可.【详解】∵[2,2]x−，∴2()[0,4]fxx=∵0,2x，

∴72666x+，∴1sin(2)126x−+∴221()[3,3]2gxaaaa−++要使12,2x−，总00,2x，使得()()01gxfx=成立，则需满足：221[0,4

][3,3]2aaaa−++∴22130234aaaa−++，解得4a−或6a∴a的取值范围是(,4][6,)−−+.【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考察二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立

不等关系求未知数的范围．在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析．10.如图，双曲线22221(0,0)xyabab−=的左右焦点分别为12,FF，直线l过1F与双曲线的两渐近线分别交于,PQ．若P是1FQ的中点，且120F

QFQ=，则此双曲线的渐近线方程为______．【答案】3yx=【解析】【分析】根据题意可得2//OPFQ，1OPFQ⊥，从而可得12POFQOF=，进而可求渐近线的斜率与方程.【详解】因为P是1FQ的中点，O是12FF的中点，所以2//O

PFQ，因为120FQFQ=，所以12,OPFQOQOF⊥=，因为两条渐近线关于y轴对称，所以12POFQOF=，又1POFPOQ=，所以260QOF=，渐近线的斜率为3，故渐近线方程为3yx=．故答案为:3yx=.11.已知AB

C是边长为2的正三角形，平面上两动点O、P满足123OPOAOBOC=++（1231++=且1、2、30）．若1OP=，则OAOB的最大值为__________．【答案】323+【解析】【分析】分析出点O、P的位置，作出点O所在的平面

区域，取AB的中点D，可得出21OAOBOD=−，求出OD的最大值，即可得解.【详解】()12312121OPOAOBOCOAOBOC=++=++−−，()()12OPOCOAOCOBOC−=−+−，即12CPCACB=+，因为123

1++=且1、2、30，则1、20，所以，1201+，所以，点P在ABC的边界及其内部，因为1OP=uuur，则点O在如下图所示的封闭区域内，该区域由MH、NR、ST三条线段以及三段分别以A、B、C为圆心，半径为1且圆心角为2

3的圆弧围成的区域，其中四边形ABMH、BCRN、ACST均为矩形，且1AHATBMBNCRCS======，取AB的中点D，则DADB=−，OAODDA=+，OBODDBODDA=+=−，所以，()()2221OAOBODDAODDAODDAOD=+−=−=−，连接DC并延长交

RS于点O，此时max31OD=+，因此，()221311323OAOBOD=−+−=+.故答案为：323+.【点睛】思路点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的

几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．12.定义

max,ab表示实数a、b中的较大的数，已知数列na满足()10aaa=，21a=，()122max,2nnnaaan++=*Ν，若20224aa=，记数列na的前n项和为nS，则2022S的值为_____．【答案】860574##21514.25【解析】【分析】分02a

、2a两种情况讨论，结合递推公式分析可知数列na是以5为周期的周期数列，根据20224aa=可求得a的值，再利用数列的周期性可求得2022S的值.【详解】当02a时，10aa=，21a=，()122max,2nnnaaan++=*Ν，所以3142max2,12a

aa==，4482max,2aaa==，5482max,24aaa==，62max4,28aaa==，712max,214aa==，8142max1,2aaa==，L，所以

数列na是以5为周期的周期数列，因为202240452=+，所以202241aa==，解得14a=，所以202248860574041414Saaaa=++++++=；当2a时，10aa=，21a=，()122

max,2nnnaaan++=*Ν，所以3142max1,22aaa==，442max,24aa==，52max4,2244aaa==，612max2,224aaa==

，712max,212aaa==，8142max1,2aaa==，L，所以数列na是以5为周期的周期数列，因为202240452=+，所以2202214aaa===，解得14a=，不合题意，舍去．

故2022860574S=．故答案为：860574.【点睛】关键点点睛：解本题求2022S时，由于下标值较大，因此可以考虑利用递推公式分析数列na的周期性或归纳出该数列的通项公式，这是解题的关键，再利用数

列的求和方法求解即可.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.若2i−是关于x的实系数方程20xaxb++=的一根，则ab+等于（）A.1B.1−C.9D.9−【答案】A【解析】【分析】将2xi=−代入方程20xaxb++=，根据复数为零可得出关于实数a、b的方程

组，可解出a、b的值，由此可得出ab+的值.【详解】由题意可得()()2220iaib−+−+=，即()()2340abai++−+=，所以23040aba++=+=，解得45ab=−=，因此，1ab+=.故选：A14.对于函数(

)()()*112nfnnN+−=，我们可以发现()fn有许多性质，如：()()*21fkkN=等，下列关于()fn的性质中一定成立的是（）A.()()11fnfn+−=B.()()()*fnkfnkN+=C.()()()()10fnfnfn=++D.()()()()110fnfn

+=−+【答案】C【解析】【分析】根据所给的函数解析式，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A：()()()()()()111111111222nnnnfnfn+++−+−−−−+−=−=，当n为偶数时，上式等于1−，当n为奇数时，上式等于1，故本选项错误；选项B

：()()()()1111,22nknfnkfn++−+−+==，显然只有当k为偶数时，才有()()fnkfn+=，故本选项错误；选项C：()()112nfn+−=，当n为偶数时，上式等于，当n为奇数时，上式等于1..()()1111122nn

++−+−+当n为偶数时，上式等于，当n为奇数时，上式等于1.故本选项正确；选项D：()()11112nfn++−+=，当n为偶数时，上式等于0，当n为奇数时，上式等于.()()1112n+−−+，当n为偶数时，上式等于1−，当n为奇数

时，上式等于.故本选项是错误的.故选：C【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.15.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该

标志的是（）A.甲地：总体均值为3，中位数为4B.乙地：总体均值为2，总体方差为3C.丙地：总体均值为1，总体方差大于0D.丁地：中位数为2.5，总体方差为3【答案】B【解析】【分析】利用平均数、中位数、

方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可【详解】对于A，例如：10天病例数为0,0,0,0,4,4,4,4,6,8总体均值为3，中位数为4但是某一天的病例超过了7，故选项A错误；对于B，设连续10天，每天新增疑似病例分别为：12310,,,,,xxxx假设第一

天超过了7人，设为8人，则()()()222221018222310sxx=−+−++−，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故选项B正确；对于C，对于C，例如：10天病例数为：0,0,0,0,0,0,0,0,2,

8，总体均值为1，方差大于0，但是存在大于7人的数，故选项C错误；对于D，例如：10天病例数为2,2,2,2,2,3,3,3,3,8中位数232.52+=，平均数为2222233338310+++++++++=，均值为()()()2222152343383310s=−+−+−=，

但是在大于7的数，故选项D错误．为故选：B．16.如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A.22B.10C

.11D.23【答案】B【解析】【分析】通过对称转换,,PQQEEP，由三点共线求得三角形PEQ周长的最小值.【详解】在平面11BCCB上，设E关于B1C的对称点为M，根据正方形的性质可知1CM=，E关于B1C

1的对称点为N，111CECNCE===，连接MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为Q时，则MN是△PEQ周长的最小值，1,3CMCN==，221310MN=+=,∴△PEQ周长的最小值为10故选：B三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图

，等腰RtAOB△，2OAOB==，点C是OB的中点，AOB绕BO所在的边逆时针旋转至2π,3BODAOD=．（1）求AOB旋转所得旋转体的体积V和表面积S；（2）求直线AC与平面BOD所成角的大小．【答案】（1）8π9V=；424π4

3S+=+（2）15arcsin5【解析】【分析】（1）由题意旋转体的体积为圆锥体积的13，利用公式计算即可；表面由两个直角三角形，一个13底面圆和13侧面组成，分别计算相加即可；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角即可.【小问

1详解】由题意旋转体的体积为圆锥体积的13，所以2118π22π339V==；表面由两个直角三角形，一个13底面圆和13侧面组成，2111π222π2222332S=++424π43

+=+；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系则：(2,0,0)A，(0,0,1)C，(0,0,2)B，(1,3,0)D−，则(2,0,1)AC=−，(0,0,2)OB=，(1,3,0)OD=−，设平面

BOD的法向量为(,,)nxyz=，则，200300znOBxynOD==−+==令1y=，得(3,1,0)n=，设直线AC与平面BOD所成角为，则||2315sin5||||52ACnACn===，所以直线AC与平面BOD所成角的大小为15arcsin5．18.

某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为()Gx万元，22503,0253000900080,25()xxxxGxx−+−=.（1）

写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2316030,0259000102970,25xxxxxSx−+−−−+=；（2）当年产量为30万台时，该公司获得

利润最大，最大利润为2370万元.【解析】【分析】（1）根据利润=销售收入−成本，即可得解；（2）分025x„和25x两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的S的最大值，再比较大小，即可得解．【详解】解：（1）年利润2316030,025()3090900

0102970,25xxxSxGxxxxx−+−=−−=−−+.（2）当025x时，22806310316030333Sxxx=−+−=−−+，所以S在(]0,25上单调递增，所以2max32516025302095S=−+−=；当25x时，900090

00900010297029701029702102370Sxxxxxx=−−+=−+−=，当且仅当900010xx=，即30x=时，等号成立，此时max2370S=，因为23702095，所以30x=，max2370S=，故当年产量

为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.19.已知23()sincos3cos2fxxxx=+−，将()fx的图象向右平移π02个单位后，得到()gx的图象，且()gx的图象关于π,06对称．的（1）求；（2）若ABC的角,,ABC

所对的边依次为,,abc，外接圆半径为R，且121,1,823AgbR=−==，若点D为BC边靠近B的三等分点，试求AD的长度．【答案】（1）π3=（2）133AD=【解析】【分析】（1）根

据三角恒等变换可得()πsin23fxx=+，由正弦型函数的图象变换可得π()sin223gxx=−+，根据正弦型函数的对称性即可求解；（2）由182Ag=−可得2π3A=，根据

正弦定理可求a，从而可求BD，在ABC中利用余弦定理可求c与cosB，在ABD△中利用余弦定理即可求AD.【小问1详解】πsin23x=+，π()sin223gxx=−+，因为()

gx图象关于π,06对称，所以()ππ2π33kk−+=Z，所以ππ,23kk−=+Z.又π02，所以π3=；【小问2详解】π()sin23gxx=−，因为182Ag=−，所以ππ2π436Ak−=−或π52ππ,4

36Akk−=−Z，所以28ππ3Ak=+或8π2π,Akk=−Z.因为(0,π)A，所以2π3A=，在ABC中，由正弦定理得2sin7aRA==，的因为点D为BC边靠近B的三等分点，所以73BD=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即271cc=++，解得

2c=，所以22274157cos21447acbBac+−+−===，在ABD△中，由余弦定理得2222cosADBABDBABDB=+−77571342293149=+−=，所以133AD=．20.已知椭圆221:14xCy+=的左、右焦点分别为1

2,FF，点,AB为椭圆1C上两点．（1）若直线AB过左焦点1F，求2ABF△的周长；（2）若直线AB过点(1,0)P，求||||PAPB的取值范围；．（3）若点A是椭圆1C与抛物线223:4Cyx=在第

一象限的交点．是否存在点B，使得线段AB的中点M在拋物线2C上？若存在，求出所有满足条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8（2）3,34（3）存在；31,2B−−【解析】【分析】（1）由标准方程知2,1,3abc=

==，然后写出2ABF△的周长；（2）设,AB两点坐标，分直线AB斜率不存在或存在（为0或不为0）进行讨论.（3）假存在，联立1C与2C即可求出点A，然后根据中点公式以及点所在的位置，联立出方程组，解出即可.【小问1详解】由题意

知2222,1,3abcab===−=，所以2,1,3abc===，2ABF△的周长为121248BFBFAFAFa+++==；【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，当直线AB斜率不存在时，直线方程为1x=，代入2214xy+=中，得：32y=，333||||22

4PAPB=−=，当直线AB斜率为0时，||3,||1PAPB==，所以||||3PAPB=；当直线AB斜率不为0时，设:1ABxmy=+，由22114xmyxy=++=得()224230mymy++−=，所以12122223,44myyy

ymm+=−=−++，又()()11221,,1,PAxyPBxy=−=−，所以()2221223||||1114PAPBmymymm=++=++23331,344m=−+，综上，||||PAPB的取值范围是3,3

4；【小问3详解】假设存在满足条件的点B的坐标满足题意，由2221434xyyx+==，得2340xx+−=，所以4x=−或1，因为A在第一象限，所以31,2A，由AB中点M在拋物线2C上，故设AB中点M0204,3yy

，则利用中点公式得：200831,232yBy−−且在2214xy+=上，所以22200831424032yy−+−−=，所以42000812930yyy+

−=，即()()200002342390yyyy−++=，所以00y=或032y=（舍去），故AB中点(0,0)，所以存在点31,2B−−．21.设集合*()()TkkN是满足下列两个条件的无穷数列na的集合：①12nnnaaka+++=；②存在常数,ABR，使得n

AaB（1）已知119()52nna−=−−，且()naTk，求BA−的最小值（2）是否存在(1)naT，且满足10nnaa+恒成立？若存在，请写出一个符合条件的数列na；若不存在，请说明理由；（3）若(

)naTk且*naN，求数列na的通项公式.【答案】（1）BA−的最小值为272；（2）不存在符合条件的数列，理由见解析；（3）nat=，tN.【解析】【分析】(1)由数列的通项公式求数列的最大值和最小值由此可求BA−的最小值；(2)由条件121nnnaaa+

++=求出数列na的通项公式，并检验其是否满足nAaB条件，(3)由条件()naTk求数列na的通项，结合条件nAaB求出k及数列的通项公式.【小问1详解】因为119()52nna−=−−，由已知nAaB，所以()minnAa，()maxnaB，设

1159()2nnnba−=+=−，则+214nnbb=，19b=，292b=−，所以1321nbbb−，242nbbb，所以992nb−，所以9+592na−，故1942

na−，所以192A−，4B，所以272BA−，所以BA−的最小值为272，【小问2详解】因为(1)naT，所以121nnnaaa+++=，所以12nnnaaa+++=，设()211+1nnnnatataa+++=++，令

111tt+=，则210tt+−=，所以152t−=，记1152t−−=，21+52t−=所()()21111+1nnnnatatata+++=++，()()22112+1nnnnatatata+++=++，所以()()1112111+1n

nnataatat−+=++，()()1122212+1nnnataatat−+=++，所以()()()()()11212212211111nnnttaatatatat−−−=++−++，所以()()1122121121212111nnnataataatttttt−−++=+−+−−，所以()()

1122121115151225nnnaataata−−+−=+−+又10nnaa+，所以120,0aa或120,0aa当120,0aa，取n为奇数，函数()1221152nyata−+=+单调递增，111551=2

2nny−−−−=单调递减，其取值随n的增大趋近与0，所以不存在B使得()()1122121115151225nnnaataata−−+−=+−+

满足nAaB，【小问3详解】因为12nnnaaka+++=，所以2111nnnaaakk++=+，设21111+nnnnatataakk+++=++，令111tkkt+=，则210ttkk+−=，所

以2114114=22kkkktk−+−+=，记11142ktk−−+=，21+142ktk−+=所()211111+nnnnatatatak+++=++，()221121+nnnnatatatak+++=++，所以()11121111+nnnataatatk−

+=++，()11222121+nnnataatatk−+=++，所以()()()11212212211111nnnttaatatatatkk−−−=++−++，所以1122121121212111nnn

ataataattttkttk−−++=+−+−−，所以()()112212111141142241nnnkkkaataatakkk−−++−+=+−++因为210ata+，因为

244141kkk+++，所以2141kk++，所以411102kk+−当n为奇数时，11412nkyk−−+=单调递减，其取值随n的增大趋近与0，若11412kk++，则()12211

142nkyatak−++=+单调递增，与条件相矛盾，若11412kk++，所以2k，则()12211142nkyatak−++=+单调递减，与*naN矛盾，当2k=，()12121112223nnaaaaa−

=+−−−当n为奇数时，若210aa−，则()12112nyaa−=−−的取值随n的增大趋近与0，与*naN矛盾，又*naN，所以210aa−=，所以数列na的

通项公式为nat=，tN，此时2k=.【点睛】本题解决的关键由条件()naTk确定数列的通项公式.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com