【文档说明】《八年级数学上册期末复习考点强化训练（青岛版）》专题04 图形的轴对称（3）（原卷版）.docx，共(47)页，411.681 KB，由管理员店铺上传

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1专题04图形的轴对称（3）考点11：等腰三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．29°【答案】C【解析】∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠ABC＝∠ACB＝69°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝C

D，∴∠A＝∠ACD＝42°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝27°．故选：C．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）2A．40°B．50°C．60°D．80°【答案】B【

解析】∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠C＝∠B＝40°，∵DE⊥BC于点E，∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画

弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝4，BE＝1，则EC的长度是（）A．2B．3C．D．【答案】B【解析】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝4+1＝5，在Rt△ACE中，CE＝＝3，故选：B．4．已知等腰三角形的两边长分别为+

和，则此等腰三角形的周长为（）3A．++2B．2+2+或++2C．2+2+D．2+2+或++2或2+2+2【答案】C【解析】当等腰三角形的腰为+，底为时，+，+，能够组成三角形，此时周长为++++＝2+2+；当等腰三角形的腰为，

底为+时，∵+＞+，∴不能够组成三角形，故选：C．5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，连接AD，BF、DF分别平分∠ABC和∠ADC并交于点F，BF交AC于点G，已知CD＝AC，∠AGF＝91°，则∠F的度数为_____

___°．【答案】13°．【解析】∵AB的垂直平分线DE交AB于点E，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD，4∴∠ADC＝2∠ABC，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠ADC＝∠CDA＝2∠ABD，设∠ABD

＝∠BAD＝α，∴∠ADC＝∠CAD＝2α，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝3α，∵BF、DF分别平分∠ABC和∠ADC并交于点F，∴∠FBC＝∠ABF＝，，∴∠ABC＝∠FDC，∴AB∥DF，∴∠F＝∠ABF＝，∵∠

AGF＝∠ABG+∠BAC＝α+3α＝91°，∴α＝26°，∴∠F＝13°．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为________．5【答案】．【解

析】∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，∴BC＝BD，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴∠CBD＝18

0°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝BC＝；7．等腰三角形周长为20cm，则腰长xcm的取值范围是________．【答案】5＜x＜10．【解析】依题意有等腰三角形的底边长为：（20﹣2x）cm，又，解得：5＜x＜10．68．如图

，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交AB、AC和CB的延长线于点D、E、F，过点B作BP∥AC交EF于点P．（1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数．（2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP．【答案】见解析【解析

】（1）∵∠A＝∠ABC＝70°，BP∥AC，∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC，∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°；（2）∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠F+∠F

EC＝2∠A＝2∠ABP．考点12：等腰三角形的判定1．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，则x+x+y

＝21，7即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，故选：A．2．下面叙述不可能是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°

，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形【答案】B【解析】A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，C、有一个外角为100°，

一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；D、有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是100°，当80°的外角和100°的内角构成平角时，另外两个内角可以是40°和40

°，可以构成等腰三角形．故选：B．3．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（）8A．4B．5C．6D．7【答案】C

【解析】如图所示：C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是高，CF是中线，BE是角平分线，BE交AD于G，交CF于H

，下列说法正确的是（）①∠AEG＝∠AGE；②BH＝CH；③∠EAG＝2∠EBC；④S△ACF＝S△BCF．A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】∵BE是角平分线，9∴∠ABE＝∠CBE，∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠A

CB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵∠AEG＝∠ACB+∠CBE，∠AGE＝∠CAD+∠ABE，∴∠AEG＝∠AGE，故①正确；根据已知条件不能推出∠HCB＝∠HBC，即不能推出BH＝CH，故②错误；∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠

BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠EBC，∴∠CAD＝2∠EBC，即∠EAG＝2∠EBC，故③正

确；∵CF是中线，∴AF＝BF，∴S△ACF＝S△BCF（等底等高的三角形的面积相等），故④正确．10故选：C．5．若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝________cm时，△ABC为等腰三角形．【

答案】故答案是：8cm或5cm或2．【解析】∵△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，∴BC+AC＝10cm．①当AB＝BC＝8cm时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意．②当BC＝AC＝5cm时，能构成

三角形，符合题意．③当AB＝AC＝8cm时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意．综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．6．已知点A（2，m），点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m＝________．【答案】0

．【解析】当OP＝OA时，这样的P点一定有2个，所以PO＝PA不存在，AP＝AO也不存在，所以A点在x轴上，此时m＝0．7．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为________三角形．【答

案】等腰．【解析】∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，11∵a为方程|x﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，∴a＝2，∴a＝b＝

2，∴△ABC是等腰三角形，8．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠C，BE平分∠ABC．（1）求证：AE＝AF；（2）若AC＝BC，∠C＝32°，求∠AEF的度数．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC

，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠BAD＝∠C，∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABE+∠BAD，∠AEB＝∠CBE+∠C，∴∠AFE＝∠AEB，∴AE＝AF；12（2）解：∵∠C＝32°，∴∠CBA+∠CAB＝

180°﹣∠C＝148°，∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB＝＝74°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝ABC＝37°，∴∠AEF＝∠C+∠CBE＝32°+37°＝69°．考点13：等腰三角形的判定与性质1．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则

AC＝（）A．6B．8C．5D．13【答案】A【解析】∵△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠C＝∠B，∴AC＝AB＝6，故选：A．2．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E

为AC的中点，连接DE．若DE＝3.5cm，AB＝4cm，则BC的长为（）13A．8cmB．10cmC．11cmD．12cm【答案】C【解析】∵BF平分∠ABC，AG⊥BF，∴∠ABD＝∠GBD，∠ADB＝∠GDB＝90°，∵BD＝BD，∴△ABD≌△GBD（ASA），∴AB＝GB＝4cm，AD

＝GD，∵E为AC的中点，∴DE是△AGB的中位线，∴CG＝2DE＝7cm，∴BC＝BG+CG＝4+7＝11cm，故选：C．3．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.5

14【答案】B【解析】∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF，∵∠1＝∠BEF，∴CD∥AB，∴∠EGF＝∠GEB，∴∠GEF＝∠EGF，∴△EFG是等腰三角形，∴FG＝EF＝3，故选：B．4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交

AC于点N．若BM＝2，CN＝3，则MN的长为（）A．10B．5.5C．6D．5【答案】D【解析】∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE，15∴∠

MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝MB，NE＝NC，∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝2+3＝5，故选：D．5．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；

③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有________．（填正确的序号）【答案】①②③⑤．【解析】①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝

∠BFD，∠BCF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；②∵DE＝DF+FE，∴DB＝DF，EF＝EC，16∴DE＝DB+CE，∴②选项正确，符合

题意；③∵△ADE的周长为＝AD+DE，∵DE＝DB+CE，∴△ADE的周长为＝AD+DB+AE+CE＝AB+AC，∴③选项正确，符合题意；④根据题意不能得出BF＞CF，∴④选项不正确，不符合题意；⑤∵若∠A＝80°，∴∠ABC

+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，∵∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，∴∠CBF+∠BCF＝×100°＝50°，∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣50°＝130°，∴⑤选项正确，符合题意；6．如图，在△ABC中，BC＝30，C

A＝40，AB＝50，D、E是△ABC内两点，满足AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，DE∥AB，且DE＝10，则△CDE的面积为________．【答案】80．【解析】如图，作直线DE交AC于N，交BC于M，过点C作CK⊥AB于K，交MN于H．17∵AC＝40，B

C＝30，AB＝50，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CK⊥AB，∴S△ACB＝•AC•BC＝AB•CK，∴CK＝24，∵MN∥AB，∴∠MEB＝∠EBA，∵EB平分∠ABC，∴∠EBA＝∠EBM，∴∠MEB＝∠M

BE，∴ME＝MB，同法NA＝ND，设ME＝MB＝x，NA＝ND＝y，则CN＝40﹣y，CM＝30﹣y，∵MN∥AB，∴△CMN∽△CBA，∴＝＝，18∴＝＝，解得x＝10，y＝，∴CM＝20，∵△CNM∽△CBA，∴＝，∴

CH＝16，∴S△CDE＝•DE•CH＝×10×16＝80．7．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度

数是________．【答案】40°、70°或100°．【解析】当BC＝CD时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵BC＝CD，19∴∠CBD＝∠BDC＝40°，当BD＝BC时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠

ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝70°．当DB＝DC时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵

BD＝CD，∴∠BDC＝100°，208．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，

求∠ABC、∠ACB的度数．【答案】见解析【解析】（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，所以∠EBO＝∠OBC＝，∠FCO＝∠OC＝，又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°；21（2）∵∠

BOC＝130°，∴∠1+∠2＝50°，∵∠1：∠2＝3：2，∴，，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°，∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°．考点14：等边三角形的性质1．在课堂上，老师在黑板上画出了

如图所示的3个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是：（）A．①﹣﹣不等边三角形B．②③﹣﹣等腰三角形C．③﹣﹣等边三角形D．②③﹣﹣等边三角形【答案】D【解析】由图可得：①2≠3≠4，故①﹣﹣不等边三角形，故A选项不符合题意；②3＝3≠4，故②

﹣﹣等腰三角形，③3＝3＝3，故③﹣﹣等边三角形，故B选项不符合题意；C选项不符合题意；22D选项符合题意．故选：D．2．等边三角形的边长为6，则它的面积为（）A．9B．18C．36aD．18【答案】A【解析】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴BD＝CD＝＝3，在R

t△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝3，∴△ABC的面积是＝＝9，故选：A．3．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①EG⊥A

B；②GF＝EF；③∠GNC＝120°；④GN＝GF；⑤∠MNG＝∠ACN．其中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个23【答案】B【解析】①∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，∵CE＝BC，F是AC的中点，∴CF＝CE

，∴∠E＝∠CFE，∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，∴∠E＝30°，∴∠BGE＝90°，∴EG⊥AB，故①正确；②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，∴FG＝x，BE＝6x，Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，∴E

F＝EG﹣FG﹣3x﹣x＝2x，∴GF＝EF，故②正确；③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，24等边三角形ABC，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BN＝CN，∵MN⊥AB，∴NH＝NM，∵MN是BG的垂直平分线，∴BN＝NG，∴BN＝CN＝NG，在Rt△NGM和

Rt△NCH中，，∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），∴∠GNM＝∠CNH，∴∠MNH＝∠CNG，∵∠ANM＝∠ANH＝60°，∴∠CNG＝120°，故③正确；④∵MN是BG的垂直平分线，25∴BM＝MG＝x，∴AM＝x

+x＝x，等边△ABC中，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∴MN＝，∴GN＝＝＝≠FG，故④不正确；⑤∵BN＝CN＝NG，∴∠DCN＝∠DBN，∠NBM＝∠NGM，∵∠ACN＝∠ACB﹣∠DCN＝60°﹣∠DBN

＝∠ABN＝∠NGM，∵MG＝x，MN＝x，∴MG≠MN，∴∠NGM≠∠MNG，∴∠MNG≠∠ACN，故⑤不正确；其中正确的有：①②③，一共3个，故选：B．4．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）26A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】A【

解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝20°，∴∠ABD＝140°，∴∠CBD＝80°，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝50°＝∠BDC，故选：A．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝

90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD的最大值是________．【答案】2+2，【解析】如图，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于H，27∵∠ACB＝90°，

∴点C在AB为直径的圆上，∵S△ABC＝AC×BC＝×AB×CE，∴当CE＝AB＝2时，S△ABC有最大值，∴AC×BC的最大值为8，∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，AC＝CD，∴∠DCH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴DH＝CD，

CH＝CD，∵BD2＝DH2+BH2，AB2＝AC2+BC2＝16，∴BD2＝CD2+（BC+CD）2＝AC2+BC2+AC2+BC•AC＝16+BC•AC，∴BD2的最大值为16+8，∴BD的最大值为2+2，6．如图，直线l∥m，等边

△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为________．28【答案】40°．【解析】如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，∵直线l∥m，∴l∥m∥n，∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB

＝60°，∴∠2+∠3＝60°，∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，∴∠1＝40°．7．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在CD的同

侧，若AB＝4，BE的长为________．29【答案】4．【解析】∵△ABD和△DCE是等边三角形，∴BD＝AD，ED＝CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB＝4，在△ACD和△BCD中，，∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠ADC

＝∠BDC＝30°，∴∠BDE＝60°﹣30°＝30°，在△BED和△ACD中，，∴△BED≌△ACD（SAS），∴BE＝AC＝4，8．在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．（1）如图1重叠部

分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；30（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．【答案】见解析【解析】（1）∵△COD和△AOB为正

三角形，∠AOD＝30°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣30°＝90°；（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣15°＝105°；（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝

10°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD＝60°+60°+10°＝130°；（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；31当∠AOD是两个

角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．考点15：等边三角形的判定1．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长

为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CADB．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BCD．S四边形ABDC＝AD•BC【答案】D【解析】根据作图方法可得BC＝BD＝CD，∵BD＝CD，∴

点D在BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；∴O为BC中点，∴AO是△BAC的中线，32∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；∵BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；∵四边

形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，故选：D．2．若△ABC的三条边长分别是a、b、c，且（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解

析】∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．故选：B．3．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于

点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（）33A．CE垂直平分ADB．CE平分∠ACDC．△ABD是等腰三角形D．△ACD是等边三角形【答案】D【解析】由题可得，CA＝CD，BA＝

BD，∴CB是AD的垂直平分线，即CE垂直平分AD，故A选项正确；∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，∴∠ACE＝∠DCE，即CE平分∠ACD，故B选项正确；∵DB＝AB，∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；∵AD与AC不一定相等，∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误

；故选：D．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，△AEF是等边三角形，其中正确的

结论的个数为（）34A．2B．3C．4D．1【答案】B【解析】∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，∴AD平分∠E

DF；③正确；∵AD平分∠BAC，∵AE＝AF，DE＝DF，∴AD垂直平分EF，①正确；②错误，∵∠BAC＝60°，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形，④正确．故选：B．5．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），

在第一象限内找一点P（a，b），使△PAB为等边三角形，则2（a﹣b）＝________．35【答案】1﹣．【解析】过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵点P（a，b

）在第一象限，∴OM＝PN＝a，ON＝PM＝b，∴AM＝a﹣4，BN＝b﹣3，∵△PAB是等边三角形，∴AB＝BP＝PA＝5，由PN2+BN2＝BP2＝PA2＝PM2+AM2得，b2+（a﹣4）2＝a

2+（b﹣3）2＝25，由b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2，整理得，8a+9＝6b+16，即，b＝①，将b＝代入a2+（b﹣3）2＝25，整理得，4a2﹣16a﹣11＝0，解得a＝，或a＝＜0（舍去），把a＝代入①得，b＝，36∴2（a﹣b

）＝4+3﹣4﹣3＝1﹣，6．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有________（填序号）

．【答案】①②③④．【解析】①有两个角等于60°的三角形是等边三角形．②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．③三个角都相等的三角形是等边三角形④三边都相等的三角形是等边三角形，7．如图，把边长为acm的等边△ABC剪成四部分，从三

角形三个顶点往下bcm处，呈30°角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边△DEF．若△DEF的面积是△ABC的，则的值为________．【答案】．【解析】延长ED交AB于H，设AB与FD的交点为G，AC与DE的交点为P，∵∠HGD＝30°，37∴AH＝（a﹣b），PH＝（a﹣b），∴HG＝AH

﹣AG＝a﹣b，∴DH＝HG＝a﹣b，DG＝2DH＝a﹣b，∴DE＝PH﹣DH﹣PE＝PH﹣DH﹣DG＝b，∵△ABC与△DEF是等边三角形，∴△ABC∽△DEF，∴＝（）2＝，∴＝，∴的值为，8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD

∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形．【解答】证明：证法一：∵CD∥AB，38∴∠A＝∠ACD＝60°，∵∠B＝60°，在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°，∴∠A＝∠B＝∠ACB．

∴△ABC是等边三角形；证法二：∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴∠BCD＝120°．∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACB＝60°在△ABC中，∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°∴∠A＝∠B＝∠ACB．∴△ABC是等边三角形．考点16：等边三角形的判定与性质1

．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）39A．B．C．D．【答案】C【解析】∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝

，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°

，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，40∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．2．如图，AB＝AC

，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，41∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC

＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+

4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，42∴BE

＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①

∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠

ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，43∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30

°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．4．关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的

等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形44D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形【答案】B【解析】A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确；B、等边三角形是特殊的等腰三角形，此选项错误；C、两个角都等于60°的三角形是等边三角形，此选项正确；D、有一个角为6

0°的等腰三角形是等边三角形，此选项正确；故选：B．5．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为________．【答案】2

00m．【解析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M．由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，∵∠A＝∠B＝60°，45△ABC是等边三角形，∴ED＝FM+MK+K

H＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH，∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m．6．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°

，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝________米．【答案】48．【解析】∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝48米，∴AC＝48米．7．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6

，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________．【答案】6．46【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴

EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．8．在等边△ABC中，（1）如图1，P

，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将

图2补全；②求证：PA＝PM．【答案】见解析【解析】（1）∵△ABC为等边三角形47∴∠B＝60°∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°∵AP＝AQ∴∠AQB＝∠APC＝80°，（2）①补全图形如图所示，②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，可得

∠PAB＝∠QAC，∵点Q，M关于直线AC对称，∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，∵AP＝AM，∴△APM为等边三角形∴PA＝PM．