【文档说明】四川省成都外国语学校2020-2021学年高二下学期第三次（6月）月考数学（理）试题含解析【精准解析】.docx，共(15)页，495.654 KB，由小赞的店铺上传

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四川省成都外国语学校2020-2021学年高二下学期第三次（6月）月考数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1.设集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−6≥0}，集合𝐵={0，1，2，3，4}，则𝐴∩𝐵=（）A

.{4}B.{3，4}C.{2，3，4}D.{0,1，2，3，4}2.已知复数𝑧1=−1+𝑖，𝑧2=2，在复平面内𝑧1和𝑧2所对应的两点之间的距离是（）A.√2B.2C.√10D.43.用反证法证明命题“已

知𝑎,𝑏为实数，若𝑎,𝑏≤4，则𝑎,𝑏不都大于2”时，应假设（）A.𝑎,𝑏都不大于2B.𝑎,𝑏都不小于2C.𝑎,𝑏都大于2D.𝑎,𝑏不都小于24.南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：

粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）A.164石B.178石C.189石D.196石5.公比不为1的等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎5𝑎6+𝑎4𝑎7=8，若𝑎2𝑎𝑚=4，则𝑚的值为（）A.8B

.9C.10D.116.在同一坐标系中，将曲线𝑦=2sin3𝑥变为曲线𝑦′=sin𝑥′的伸缩变换是（）A.{𝑥=3𝑥′𝑦=12𝑦′B.{𝑥′=3𝑥𝑦′=12𝑦C.{𝑥=3𝑥′𝑦=2𝑦′D.{𝑥′=3𝑥𝑦′=2𝑦7.

若曲线𝑦=sin(3𝑥+𝜑)(𝜑<2𝜋)关于直线𝑥=𝜋12对称，则𝜑的最大值为（）A.𝜋4B.5𝜋4C.2𝜋3D.5𝜋38.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.17√176𝜋B.68√1

73𝜋C.17πD.68π9.执行如图所示的程序框图，若输出的𝑆的值为75，则判断框中应填入（）A.𝑖≤5？B.𝑖≤6？C.𝑖≤7？D.𝑖≤8？10.设双曲线𝐺:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为𝐹(𝑐,0)，圆𝐹:

(𝑥−𝑐)2+𝑦2=4与双曲线𝐺的两条渐近线相切于𝐴，𝐵两点，|𝑂𝐴|=1，其中𝑂为坐标原点，延长𝐹𝐴交双曲线𝐺的另一条渐近线于点𝐶，过点𝐶作圆𝐹的另一条切线，设切点为𝐷，则|𝐵𝐷|=（）A.165

B.85C.3D.2√311.已知定义在R上的偶函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，且𝑓(𝑥)在(−1,0)上递减.若𝑎=𝑓(5−12)，𝑏=𝑓(−ln2)，𝑐=𝑓(log318)，则a，b，c的大小关系为（）A.𝑎<𝑐<𝑏B.𝑐<𝑏<𝑎

C.𝑎<𝑏<𝑐D.𝑏<𝑎<𝑐12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥，𝑔(𝑥)=−𝑚2𝑥+𝑚，若方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围为（）A.(0,𝑒)B.(0,2𝑒)C.(𝑒,+∞)D.(2𝑒,+∞)二、填空题（本

大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若变量x，y满足{𝑥+𝑦−2≥0𝑥−𝑦+2≤0𝑦≤4，则目标函数𝑧=𝑥−2𝑦的最小值为________．14.已知函数𝑓(𝑥)=32𝑥2−2𝑒𝑥，则lim𝛥𝑥→02𝑓(𝛥𝑥)−2𝑓(0)𝛥𝑥=

________.15.某产品的广告费用𝑥与销售额𝑦的统计数据如下表：广告费用𝑥(万元)4235销售额𝑦(万元)49263954根据上表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中的𝑏̂为9.4，据此模型

预报广告费用为6万元时销售额为________万元.16.已知𝐴(3,0)，若点𝑃是抛物线𝑦2=8𝑥上的任意一点，点𝑄是圆(𝑥−2)2+𝑦2=1上任意一点，则|𝑃𝐴|2|𝑃𝑄|最小值是________三

、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其它每题12分，共70分．）17.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2−9𝑥+1(𝑥∈𝑅)．（1）求函数𝑓(𝑥)的单调区间．（2）若𝑓(𝑥)−2𝑎+1≥0对∀𝑥∈[−2,4]恒成立，求实

数𝑎的取值范围.18.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选

考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全

班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明

必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．19.如图，在圆锥𝑃𝑂中，𝐴𝐶为⊙𝑂的直径，点𝐵在𝐴𝐶⌢上，𝑂𝐷//𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐵=π6．（1）证明

：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝑂𝐷；（2）若直线𝑃𝐴与底面所成角的大小为π4，𝐸是𝑃𝐷上一点，且𝑂𝐸⊥𝑃𝐷，求二面角𝐸−𝐴𝐶−𝐵的余弦值．20.已知椭圆𝐶的中心在坐标原点，焦点在𝑥轴上，椭圆𝐶上的点到右焦点F距离的最大值

为3，最小值为1（1）求椭圆𝐶的标准方程：（2）设𝑀𝑁和𝑃𝑄是通过椭圆𝐶的右焦点F的两条弦，且𝑃𝑄⊥𝑀𝑁.问是否存在常数𝜆，使得|𝑃𝑄|+|𝑀𝑁|=𝜆|𝑃𝑄|⋅|𝑀𝑁|恒成立？若存在，求𝜆的值；若不存在，请说明理由.21.已知

函数𝑓(𝑥)=𝑎e𝑥𝑥2（𝑎∈𝑅，且𝑎≠0）（1）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；（2）若函数𝑔(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−𝑓(𝑥)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数𝑎的取值范围.22.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知直线𝑙:{𝑥=−12𝑡𝑦=3+√32𝑡

（𝑡为参数）．以坐标原点𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶的极坐标方程为𝜌=4sin(𝜃+𝜋3)．（1）求直线𝑙的普通方程和曲线𝐶的直角坐标方程；（2）设点𝑀的直角坐标为(0,

3)，直线𝑙与曲线𝐶的交点为𝐴,𝐵，求|𝐴𝐵|的值．答案解析部分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−6≥0}，集合𝐵={0，1，2，3，4}，则𝐴∩𝐵=（）A.{4}B.{3，4}C.{2，3，4}D.{0,1，2，3，4}

【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】因为𝐴={𝑥|𝑥≤−2或𝑥≥3},所以𝐴∩𝐵={3,4},故选B。【分析】先化简A，再求交集。2.已知复数𝑧1=−1+𝑖，𝑧2=2，在复平面内𝑧1和𝑧2所对应的两点之

间的距离是（）A.√2B.2C.√10D.4【答案】C【考点】向量的几何表示，向量的模【解析】【解答】在复平面内，Z1对应的点为（－1，1），Z2对应的点为（2，0）所|𝑍1𝑍2|=√9+1=√10，故答案为：C。【分析】先写出Z1,Z2在复平面对应的点，再利用两点间的距离公式求解。3.用反

证法证明命题“已知𝑎,𝑏为实数，若𝑎,𝑏≤4，则𝑎,𝑏不都大于2”时，应假设（）A.𝑎,𝑏都不大于2B.𝑎,𝑏都不小于2C.𝑎,𝑏都大于2D.𝑎,𝑏不都小于2【答案】C【考点】命题的否定【解析】【解答】即原题设的否定：设a

,b都大于2.故答案为：C【分析】即原题设的否定。4.南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）A.164石B.178石C.189石D.196石【答

案】C【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征【解析】【解答】由已知条件可知，抽得样本中含谷7粒，占样本的比例为27216＝18，由此估计总体中谷的含量为1512×18＝189石。故答案为：C。【分析

】先求样本中谷的比例，再求结果。5.公比不为1的等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎5𝑎6+𝑎4𝑎7=8，若𝑎2𝑎𝑚=4，则𝑚的值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【考点】等比数列，等比数列的通项公式【解析】【解答】由等比数列的性质有𝑎5𝑎6＝𝑎4𝑎7

=4，又𝑎2𝑎𝑚=4，则2+m＝5＝5+6＝11，所以m=9.故答案为：B【分析】利用等比数列的性质求解。6.在同一坐标系中，将曲线𝑦=2sin3𝑥变为曲线𝑦′=sin𝑥′的伸缩变换是（）A.{𝑥=3𝑥′𝑦=12𝑦′B.{𝑥′=

3𝑥𝑦′=12𝑦C.{𝑥=3𝑥′𝑦=2𝑦′D.{𝑥′=3𝑥𝑦′=2𝑦【答案】B【考点】伸缩变换【解析】【解答】将曲线y=2sinx变为曲线y=sinx，即y'=sinx'，横坐标变为原来的3倍，纵坐标为原的12，故曲线y=sinx的伸缩变换是

{𝑥′=3𝑥𝑦′=12𝑦.故答案为：B【分析】根据图象平移公式判断。7.若曲线𝑦=sin(3𝑥+𝜑)(𝜑<2𝜋)关于直线𝑥=𝜋12对称，则𝜑的最大值为（）A.𝜋4B.5𝜋4C.2𝜋3D.5𝜋3【答案】B【考点】正弦函数的图象，正弦函数

的奇偶性与对称性【解析】【解答】因为关于直线𝑥=𝜋12对称，所以３×𝜋12+𝜑=𝑘𝜋+𝜋2,(𝑘∈𝑍)，所以𝜑=𝑘𝜋+𝜋2−３×𝜋12＝𝑘π+π4,(𝑘∈𝑍),又因为𝜑<𝜋，所以𝜑的最大值是5𝜋4.故答案为：B【分析】先根据正弦函数的性质，写出该函数

的对称轴的通式，再由𝜑的范围确定最大值。8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.17√176𝜋B.68√173𝜋C.17πD.68π【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】由题意可知，该几

何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，其底面是一个腰为２，底面上的高为√２的等腰直角三角形，故其外接圆半径为𝑟=√2,棱柱的高为３，故球心到底面外接圆的圆心的距离为𝑑=32,故棱柱外接球半径为𝑅2=𝑟2+𝑑2=17

4,所发外接球的表面积为S=4πR2=17πS.故答案为：C.【分析】该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可求得体积。9.执行如图所示的程序框图，若输出的𝑆的值为75，

则判断框中应填入（）A.𝑖≤5？B.𝑖≤6？C.𝑖≤7？D.𝑖≤8？【答案】C【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用【解析】【解答】由题意可知，输出的S的值为数列{3４𝑛2−1}的前ｎ项的和，

因为3４𝑛2−1＝3(2𝑛+1)·(2𝑛−1）=32(12𝑛−1−12𝑛+1),则𝑆＝３２(1−13+13−15+−−−+1２𝑛−1−1２𝑛+1)=32(1−12𝑛+1)=3𝑛2𝑛+1,令3𝑛2𝑛+1＝７５，解得n＝７，所以应填入,故答

案为：C.【分析】本题为求数列前n项和的算法程序，实际计算和即可得到ｎ的值。10.设双曲线𝐺:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为𝐹(𝑐,0)，圆𝐹:(𝑥−𝑐)2+𝑦2=4与双

曲线𝐺的两条渐近线相切于𝐴，𝐵两点，|𝑂𝐴|=1，其中𝑂为坐标原点，延长𝐹𝐴交双曲线𝐺的另一条渐近线于点𝐶，过点𝐶作圆𝐹的另一条切线，设切点为𝐷，则|𝐵𝐷|=（）A.165B.85C.3D.2√3【答案】A【考点】圆与圆锥曲

线的综合【解析】【解答】因为圆F与双曲线G的两条渐近线相切(如图），所以ｂ=|AF|=2,ａ=|OA|=1,𝑐=|𝑂𝐹|=√5,在Ｒｔ△𝑂𝐴𝐹中，cos∠𝑂𝐹𝐴=2√55,sin∠𝑂𝐹𝐴=√5

5,sin2∠𝑂𝐹𝐴=45,所以１２|𝐵𝐷|=|𝐵𝐹|sin2∠𝑂𝐹𝐴=85,所以|𝐵𝐷|=165.故答案为：D.【分析】作出图形，由渐近线斜率𝑘=𝑏𝑎＝tan∠𝐹𝑂𝐴＝|𝐴𝐹||𝐴𝑂|=21⇒𝑏=2，然后利用三角形边角关系即可得到结果。11.已知

定义在R上的偶函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，且𝑓(𝑥)在(−1,0)上递减.若𝑎=𝑓(5−12)，𝑏=𝑓(−ln2)，𝑐=𝑓(log318)，则a，b，c的大小关系

为（）A.𝑎<𝑐<𝑏B.𝑐<𝑏<𝑎C.𝑎<𝑏<𝑐D.𝑏<𝑎<𝑐【答案】A【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为定义在R上的偶函数，所以𝑓(−𝑥)=𝑓(

𝑥)，因为𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，所以𝑓(2−𝑥−2)=𝑓(𝑥+2)，即𝑓(−𝑥)=𝑓(2+𝑥)=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)是以2为周期的周期函数，又𝑓(𝑥)在(−1,0)上递减，所以在(0,1)递增，𝑎=𝑓(5−12)=𝑓(1√5)，𝑏=

𝑓(−ln2)=𝑓(ln2)，𝑐=𝑓(log318)=𝑓(2+log32)=𝑓(log32)，因为1√5<12=log3√3<log32<ln2<1，𝑓(𝑥)在(0,1)上递增，所以𝑓(5−12)<𝑓(log32)<𝑓(ln2)，𝑓(5−12)

<𝑓(log318)<𝑓(−ln2)，即𝑎<𝑐<𝑏，故答案为：A.【分析】由𝑓(𝑥)在R上是偶函数且在(−1,0)上递减，可得在(0,1)递增，然后比较𝑎,𝑏,𝑐的自变量，进而判断得

出结果。12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥，𝑔(𝑥)=−𝑚2𝑥+𝑚，若方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围为（）A.(0,𝑒)B.(0,2𝑒)C.(𝑒,+∞)D.(2𝑒,+∞)【答案】D【考点】对数函数图象与性质的综合应用，函数

的零点与方程根的关系【解析】【解答】因为ｆ(ｘ)＝ｅｘ，𝑔(𝑥)=−𝑚2𝑥+𝑚,且ｆ(ｘ)=ｇ(ｘ)有两个不相等的正实根，所以ｅｘ=−𝑚2𝑥+𝑚有两个不相等的正实根，即方程𝑥𝑒𝑥=𝑚(

𝑥−12)有两个不相等的正实根，设h(x)=xex，所以ℎ(𝑥)=𝑥𝑒𝑥的图象与直线𝑦=𝑚(𝑥−12)在(0,+∞)上有两个不相同的交点，因为x>0时，h'(x)=ex（x+1）>0，所以ｈ（ｘ）＝ｘｅｘ在(0,+∞)上单调递增，作出h(x)=x

ex在(0,+∞)上的大致图象，如下当ｘ＞0时，若直线𝑦=𝑚(𝑥−12)与h(x)=xex的图象相切，设切点为(t，tet)(t>0)，则切线方程为y-tet=et(1+t)(x-t)，易知切点为(12,0),所以-tet=et(1+

t)(12-t),解得ｔ＝１或－１２（舍去），所以该切线的斜率为h'(1)=2e，若h(x)=xex的图象与直线𝑦=𝑚(𝑥−12)在(0,+∞)上有两个不相同的交点，则由数形结合可以得到m>2e,故答案为：D【分析】作出函数图象，将方程解的问题，转化成求图象交点问题来求

解。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若变量x，y满足{𝑥+𝑦−2≥0𝑥−𝑦+2≤0𝑦≤4，则目标函数𝑧=𝑥−2𝑦的最小值为________．【答案】-10【考点】简单线性规划【解析】【解答】由约束条件画出可行

域（如图）联立{𝑦=4𝑥+𝑦−2=0,)解得{𝑥=−2𝑦=4,)即A（－２，４）,由z=x-2y，得𝑦=𝑥2−𝑧2,由图可知，当直线𝑦=𝑥2−𝑧2过点A时，直线𝑦=𝑥2−𝑧2的截距最大，此时z

有最小值-10，故答案为：-10.【分析】画出可行域，再由目标函数，由数形结合的方法即可求得结果。14.已知函数𝑓(𝑥)=32𝑥2−2𝑒𝑥，则lim𝛥𝑥→02𝑓(𝛥𝑥)−2𝑓(0)𝛥𝑥=________.【答案】-4【考点】变化的快慢与变化率【解析】【解答】

因为ｆ／（ｘ）＝－４，而则lim𝛥𝑥→02𝑓(𝛥𝑥)−2𝑓(0)𝛥𝑥=２lim𝛥𝑥→0𝑓(𝛥𝑥)−𝑓(0)𝛥𝑥＝２/𝑓(0)=−4【分析】由导数的定义，将原式化为：lim𝛥𝑥→02𝑓(𝛥𝑥)−2𝑓(0)𝛥𝑥

=２lim𝛥𝑥→0𝑓(𝛥𝑥)−𝑓(0)𝛥𝑥15.某产品的广告费用𝑥与销售额𝑦的统计数据如下表：广告费用𝑥(万元)4235销售额𝑦(万元)49263954根据上表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中的𝑏̂为9.4，据此模型预报广告费用

为6万元时销售额为________万元.【答案】65.5【考点】线性回归方程【解析】【解答】因为𝑥＝4+2+3+54=3.5,𝑦＝49+26+39+544=42,根据样本中心点在回归直线上，而回归直线方程中的𝑏⏞=9.4，所以42=9.4

×3.5+a，则a=9.1，则回归方程为：y=9.4x+9.1，则广告费为６元时，销售额为9.4×6+9.1=65.5.【分析】先求的平均值，由回归中心点在回归直线上，代入求得ａ得到回归方程，然后再求结果。16.已知𝐴(3,0)，若点𝑃是抛物线𝑦2=8𝑥上的任意一点，点𝑄是圆(𝑥−2)

2+𝑦2=1上任意一点，则|𝑃𝐴|2|𝑃𝑄|最小值是________【答案】4√3−4【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】由题意得抛物线𝑦2=8𝑥的焦点为𝐹(2,0)，准线方程为𝑥=−2．又点𝑃是抛物线上一点，点𝑄是圆(𝑥−2)2+𝑦2

=1上任意一点，∴|𝑃𝑄|max=|𝑃𝐹|+1，∴|𝑃𝐴|2|𝑃𝑄|≥|𝑃𝐴|2|𝑃𝐹|+1．令𝑡=|𝑃𝐹|+1，点𝑃的坐标为(𝑥𝑃,𝑦𝑃)，则𝑥𝑃=|𝑃𝐹|−2=𝑡

−3，∴|𝑃𝐴|2=(𝑥𝑃−3)2+𝑦𝑃2=(𝑥𝑃−3)2+8𝑥𝑃=(𝑡−3−3)2+8(𝑡−3)=𝑡2−4𝑡+12，∴|𝑃𝐴|2|𝑃𝐹|+1=𝑡2−4𝑡+12𝑡=𝑡+12𝑡−4≥2√𝑡⋅12𝑡−4=4√3−4，当且

仅当𝑡=12𝑡，即𝑡=2√3时等号成立．∴|𝑃𝐴|2|𝑃𝑄|的最小值为4√3−4．故答案为4√3−4．【分析】首先根据题意得抛物线𝑦2=8𝑥的焦点以及准线方程，根据已知条件得出|𝑃𝐴|2|𝑃𝑄|≥|𝑃𝐴|2|𝑃𝐹|+1，令𝑡=|𝑃𝐹|+1，点𝑃的坐标

为(𝑥𝑃,𝑦𝑃)，根据圆的几何性质得出结果。三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其它每题12分，共70分．）17.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2−9𝑥+1(𝑥∈𝑅)．（1）求函数𝑓(𝑥)的单调区间．（2）若𝑓(𝑥)−2𝑎+1≥0对∀

𝑥∈[−2,4]恒成立，求实数𝑎的取值范围.【答案】（1）解：令𝑓′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥−9>0，解得𝑥<−1或𝑥>3，令𝑓′(𝑥)=3𝑥2−6𝑥−9<0，解得：−1<𝑥<3故函数𝑓(𝑥)的单调增区间为(−∞,−1),(3,+∞)

，单调减区间为(−1,3)（2）解：由（1）知𝑓(𝑥)在[−2,−1]上单调递增，在[−1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，又𝑓(−2)=−1，𝑓(3)=−26，𝑓(3)<𝑓(−2)，∴𝑓(𝑥)min=−26，∵𝑓(𝑥)−2𝑎+1≥0对∀𝑥∈[−2,4]恒成立，∴�

�(𝑥)min≥2𝑎−1，即2𝑎−1≤−26，∴𝑎≤−252【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】（１）求导，求导数大于０及小于０的区间，即能求单调区间；（２）将原不等式分离参数，讨论函数在[−2,

4]上的单调性，再求函数的最小值，即可求得结果。18.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生

分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸五个等级，并分

别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，

小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．【答案】（1）解：9

0分（2）解：40名学生中，地理赋分为90分有40×15%=6人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有40×35%=14人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，

76，77，78；∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分，∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．（3）解：记地理、政治、物理、化学、生物依次为𝐴、𝑎、𝑏、𝑐、𝑑，∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(𝐴,𝑎

)，(𝐴,𝑏)，(𝐴,𝑐)，(𝐴,𝑑)，(𝑎,𝑏)，(𝑎,𝑐)，(𝑎,𝑑)，(𝑏,𝑐)，(𝑏,𝑑)，(𝑐,𝑑)共10种，而其中包括地理的有(𝐴,𝑎)，(𝐴,𝑏)，(𝐴,𝑐)，(𝐴,𝑑)共4种，∴小明选考科目包括地理的概率为：

𝑃=410=25【考点】频率分布直方图，茎叶图，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（１）根据赋分方案，可得求小明历史成绩的最后得分为９０分；（２）先计算出40名学生中，地理赋分为90分人数（６人），且六人的原始成绩分别为96，

93，93，92，91，89；再计算赋分为80分的人（１４人），然后可以计算得到结果。（３）先写出所有样本空间点，再写出满足条件的所要样本空间点，由古典概率公式直接求得。19.如图，在圆锥𝑃𝑂中，𝐴𝐶为⊙𝑂的直径，点𝐵在𝐴𝐶⌢上，𝑂

𝐷//𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐵=π6．（1）证明：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝑂𝐷；（2）若直线𝑃𝐴与底面所成角的大小为π4，𝐸是𝑃𝐷上一点，且𝑂𝐸⊥𝑃𝐷，求二面角𝐸−𝐴𝐶−𝐵的余弦值．【答案】（1）在圆锥𝑃𝑂中，𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵�

�，则𝑃𝑂⊥𝐴𝐵，又𝐴𝐶为⊙𝑂的直径且点𝐵在𝐴𝐶⌢上，则𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，因𝑂𝐷//𝐵𝐶，则有𝐴𝐵⊥𝑂𝐷而𝑃𝑂∩𝑂𝐷=𝑂，所以𝐴𝐵⊥平面𝑃𝑂𝐷，又𝐴𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵，从而有平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝑂𝐷（

2）令𝐴𝐶=4，因为直线𝑃𝐴与底面所成角的大小为π4，即∠𝑃𝐴𝑂=𝜋4，则𝑃𝑂=𝐴𝑂=2，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶𝐴𝐵=π6，则𝐵𝐶=2，𝐴𝐵=2√3，在平面PDO内，过点D作Dz//PO，则Dz⊥平面ABC，以射线DO，DA，Dz分别为x

，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则𝐷(0,0,0)，𝐴(0,√3,0)，𝐶(2,−√3,0)，𝑃(1,0,2)，𝑂(1,0,0)，又𝐸是𝑃𝐷上一点，即𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝜆,0,2𝜆)，点𝐸(𝜆,0,2𝜆)，𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(�

�−1,0,2𝜆)，𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,2)，而𝑂𝐸⊥𝑃𝐷，即𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝜆−1)⋅1+2𝜆⋅2=5𝜆−1=0，𝜆=15，则𝐸(15,0,25)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−2√3,0)，𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(−15,√3,

−25)，设平面𝐸𝐴𝐶的法向量𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑚⃯⋅𝐴𝐶⃯=0𝑚⃯⋅𝐸𝐴⃯=0，即{2𝑥−2√3𝑦=0−15𝑥+√3𝑦−25𝑧=0，令y=1，则𝑥=√3，𝑧=2√3，即𝑚⃗⃗=(√3,1,2√3)，又平面𝐴𝐵𝐶的法向量𝑛⃗=(0,

0,1)，∴𝑐𝑜𝑠〈𝑚⃗⃗,𝑛⃗〉=𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗|𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗|=2√3√(√3)2+12+(2√3)2=√32，显然二面角𝐸−𝐴𝐶−𝐵的平面角是锐角，所以二面角𝐸−𝐴𝐶−𝐵的余弦值为√32.【考

点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理即可得证；（2）以射线DO，DA，Dz分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，分别求出平面𝐸𝐴𝐶

和平面𝐴𝐵𝐶的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求出二面角𝐸−𝐴𝐶−𝐵的余弦值。20.已知椭圆𝐶的中心在坐标原点，焦点在𝑥轴上，椭圆𝐶上的点到右焦点F距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆𝐶的标准方程：（2）设𝑀𝑁和𝑃

𝑄是通过椭圆𝐶的右焦点F的两条弦，且𝑃𝑄⊥𝑀𝑁.问是否存在常数𝜆，使得|𝑃𝑄|+|𝑀𝑁|=𝜆|𝑃𝑄|⋅|𝑀𝑁|恒成立？若存在，求𝜆的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）

解：{𝑎+𝑐=3𝑎−𝑐=1，解得：𝑎=2,𝑐=1.所以𝑏2=𝑎2−𝑐2=3，椭圆C的方程为𝑥24+𝑦23=1.（2）解：当MN和PQ一个斜率不存在另一个为0时，不妨令MN斜率不存在，则|𝑀𝑁|=2𝑏2𝑎=2×32=3,|𝑃𝑄|=2𝑎=4，�

�=|𝑀𝑁|+|𝑃𝑄||𝑀𝑁|⋅|𝑃𝑄|=1|𝑀𝑁|+1|𝑃𝑄|=13+14=712.当MN和PQ斜率都存在时，设直线MN的方程为𝑦=𝑘(𝑥−1),𝑀(𝑥1,𝑦1),𝑁(�

�2,𝑦2)，直线PQ的方程为𝑦=−1𝑘(𝑥−1).联立方程{𝑥24+𝑦23=1𝑦=𝑘(𝑥−1)得：(3+4𝑘2)𝑥2−8𝑘2𝑥+4𝑘2−12=0.𝛥=(−8𝑘2)2−4(3+4𝑘2)

(4𝑘2−12)=144𝑘2+144>0，{𝑥1+𝑥2=8𝑘23+4𝑘2𝑥1𝑥2=4𝑘2−123+4𝑘2，则|𝑀𝑁|=√1+𝑘2|𝑥1−𝑥2|=√1+𝑘2√(8𝑘23+4𝑘2)2−4×4𝑘2−123+4𝑘2=12(

𝑘2+1)4𝑘2+3.同理可得|𝑃𝑄|=12×(−1𝑘)2+14(−1𝑘)2+3=12(𝑘2+1)3𝑘2+4.则𝜆=|𝑀𝑁|+|𝑃𝑄||𝑀𝑁|⋅|𝑃𝑄|=1|𝑀𝑁|+1|𝑃𝑄|=4𝑘2+3

12(1+𝑘2)+3𝑘2+412(1+𝑘2)=712.综上可知存在常数𝜆=712，使得|𝑃𝑄|+|𝑀𝑁|=𝜆|𝑃𝑄|⋅|𝑀𝑁|恒成立【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（１）由题意及椭圆的性质，有{�

�+𝑐=3𝑎−𝑐=1，即可得到a,c的值，进一步写出方程；（２）首先讨论斜率不存在的情况，然后联立直线与椭圆的方程，韦达定理，求｜PQ｜,｜MN｜的表达式，从而将问题转化为函数求最值的问题，据此讨论计算即可确定常数入的存在

性。21.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎e𝑥𝑥2（𝑎∈𝑅，且𝑎≠0）（1）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；（2）若函数𝑔(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−𝑓(𝑥)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数𝑎的取值范围.【答案】（1）解：𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，𝑓′(

𝑥)=𝑎𝑥(𝑥−2)𝑒𝑥𝑥4，当𝑎<0时，𝑓(𝑥)在区间(−∞,0)和(2,+∞)上𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)递减，在区间(0,2)上𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)递增.当𝑎>0时，𝑓(𝑥)在区间(−∞,0)和(2,+∞)上𝑓′(𝑥)>0，

𝑓(𝑥)递增，在区间(0,2)上𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)递减（2）解：𝑔(𝑥)=ln𝑥+2𝑥−𝑎𝑒𝑥𝑥2(𝑥>0)，𝑔′(𝑥)=1𝑥−2𝑥2−𝑎𝑥(𝑥−2)𝑒

𝑥𝑥4=𝑥3−2𝑥2−𝑎𝑥(𝑥−2)𝑒𝑥𝑥4=𝑥(𝑥−2)(𝑥−𝑎𝑒𝑥)𝑥4.当𝑥∈(0,2)时，𝑥(𝑥−2)𝑥4<0.构造函数ℎ(𝑥)=𝑥−𝑎𝑒𝑥(0<𝑥<2,𝑎≠0)，依题意可知ℎ(𝑥)在区间(0,2)上有两个零点，且零点两侧函数值

符号相反.ℎ′(𝑥)=1−𝑎𝑒𝑥，当𝑎<0时，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)在区间(0,2)上递增，至多有一个零点，不符合题意.当𝑎>0时，令ℎ′(𝑥)=1−𝑎𝑒𝑥=0，解得𝑥=ln1𝑎.（i）若ln1𝑎≤0即𝑎≥1，则ℎ(𝑥)在区间(0,2)上递

减，至多有一个零点，不符合题意.（ii）若ln1𝑎≥2即0<𝑎≤1𝑒2，则ℎ(𝑥)在区间(0,2)上递增，至多有一个零点，不符合题意.（iii）若0<ln1𝑎<2，即1𝑒2<𝑎<1，则ℎ(𝑥

)在区间(0,ln1𝑎)上递增，在区间(ln1𝑎,2)上递减.当𝑥=0时，0−𝑎×𝑒0=−𝑎<0；当𝑥=2时，2−𝑎×𝑒2=2−𝑎𝑒2；ℎ(ln1𝑎)=ln1𝑎−𝑎×𝑒ln1𝑎=ln1𝑎−𝑎×1

𝑎=ln1𝑎−1.要使ℎ(𝑥)在区间(0,2)上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反，则需{1𝑒2<𝑎<1ln1𝑎−1>02−𝑎𝑒2<0，解得2𝑒2<𝑎<1𝑒.综上所述，实数𝑎的取值范围是(2𝑒2,1𝑒)【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件

，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（１）先求函数的定义域，再求导数，对a分：ａ＜０，ａ＞０两种情况进行分类讨论，由此求得ｆ（ｘ）的单调区间；（２）先求ｇ（ｘ）的导数，构造函数ｈ（ｘ）＝ｘ－ａｅｘ，依题意可

知，ｈ（ｘ）在区间（０，２）上有两个零点，且零点两侧函数值异号，利用导数研究ｈ（ｘ）的零点，由此求得ａ的取值范围。22.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知直线𝑙:{𝑥=−12𝑡𝑦=3+√32𝑡（𝑡为参数）．以坐标原点𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶的极坐标方程

为𝜌=4sin(𝜃+𝜋3)．（1）求直线𝑙的普通方程和曲线𝐶的直角坐标方程；（2）设点𝑀的直角坐标为(0,3)，直线𝑙与曲线𝐶的交点为𝐴,𝐵，求|𝐴𝐵|的值．【答案】（1）解：�

�:√3𝑥+𝑦−3=0；𝑥2+𝑦2−2√3𝑥−2𝑦=0（2）解：将{𝑥=−12𝑡𝑦=3+√32𝑡代入②式，得𝑡2+3√3𝑡+3=0，点𝑀的直角坐标为(0,3)．设这个方程的两个实数根分别为𝑡1,𝑡2，则𝑡

1+𝑡2=−3√3<0,𝑡1⋅𝑡2=3>0，∴𝑡1<0,𝑡2<0，由参数𝑡的几何意义即得|𝐴𝐵|=|𝑡1−𝑡2|=√(𝑡1+𝑡2)2−4𝑡1𝑡2=√15【考点】极坐标系，参数方程化成普通方程【解析】【分析】（１）

直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程与普通方程之间进行转换；（２）利用一元二次方程根与系数关系式求出结果。