【文档说明】西南大学附属中学校2022-2023学年高二上学期1月线上定时检测数学试卷(含解析).doc,共(19)页,1.882 MB,由管理员店铺上传
转载请保留链接:https://www.doc5u.com/view-c0f8ac447f708ec9881e5d43922925fd.html
以下为本文档部分文字说明:
西南大学附中2022—2023学年度上期一月线上定时检测高二数学试题(满分:150分;考试时间:120分钟)注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔
填涂;答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写;必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效;保持答卷清洁、完整.3.考试结束后,将答题卡交回(试题卷学生保存,以备评讲).一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1
.顶点在原点,且过点()2,2−的抛物线的标准方程是()A.22yx=−B.22xy=C.22yx=或22xy=−D.22yx=−或22xy=【答案】D解析:点()2,2−在第二象限.当焦点在x轴上时,可设抛物线的标
准方程为22xpy=,把()2,2−代入解得:1p=,所以抛物线的标准方程为22xy=.当焦点在y轴上时,可设抛物线的标准方程为22ypx=−,把()2,2−代入解得:1p=,所以抛物线的标准方程为22
yx=−.故选:D2.过点()2,3A作圆22:1Mxy+=的一条切线,切点为B,则AB=()A.3B.23C.7D.10【答案】B解析:因为圆22:1Mxy+=,所以圆M的圆心为(0,0)M,半径为1r=,因为AB与圆M相切,切点为B,所以ABBM⊥,则2
22ABrAM+=,因为222313AM=+=,所以2213123ABAMr=−=−=.故选:B.3.在三棱锥−PABC中,M是平面ABC上一点,且52PMPAtPBPC=++,则t=()A.1B.2C.17D.12【答案】B解析:因为52PMP
AtPBPC=++,所以21555tPMPAPBPC=++,因为M是平面ABC上一点,即,,,ABCM四点共面,所以211555t++=,所以2t=.故选:B.4.已知等差数列na的公差为2,若124,,aaa
成等比数列,则2a=()A10−B.6−C.4D.4−【答案】C解析:数列na是公差为2的等差数列,122aa=−,424aa=+,124,,aaa成等比数列,2214aaa=,即()()222224aaa=−+,解得24a=,故选:C.
5.双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线的倾斜角为40,则C的离心率为()A.2sin40B.1cos40C.1sin40D.2cos40【答案】B解析:因为双曲线2222:1xyCab−=(
)0,0ab的渐近线方程为byxa=,又双曲线的一条渐近线的倾斜角为40,所以sin40tan40cos40ba==,则22222222sin401cos40bcaeaa−==−=,所
以2222222sin40sin40cos4011cos40cos40cos40e+=+==,则1cos40e=.故选:B.6.等比数列na中,342,5aa==,则数列lgna的前6项和等于()A.6B.5C.4D.3【答案】D解析:因为数列na为等比数列,且342,
5aa==,所以16253410aaaaaa===,所以312345612345634lglglglglglglg()lg()3aaaaaaaaaaaaaa+++++===,故选:D.7.已知点P是抛物线24yx=上的动点,点P在y轴上的射影是点M,已知点()3,4A
,则PAPM+的最小值是()A.251−B.92C.251+D.32【答案】A解析:因为抛物线的方程为24yx=,所以抛物线的准线:1x=−,焦点()1,0F,不妨设P在准线:1x=−上的射影为N,又()3
,4A,如图,所以||||||||1||||1||1PAPMPAPNPAPFAF+=+−=+−−22241251=+−=−.故选:A..8.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=,12,FF为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点,12FPF的重心为G,内心为I,且有12I
GFF=(其中为实数),则椭圆C的离心率e=A.13B.12C.23D.32【答案】B解析:在12PFF中,设00(,)Pxy,由三角形重心坐标公式可得重心00(,)33xyG,由12GIFF=,故内心I的纵
坐标为03y,在焦点12PFF中,1212122,2,PFFPFPFaFFcS+===12001212(2)23ycyPFPFc=++,则2ac=,12e=.选B.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给
出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知空间向量()()1,2,5,2,4,mnx=−=−,则下列选项中正确的是()A.当mn⊥时,2x=B.当//mn时,10x=−C.当5mn+=时,4x=−D.当10x=时,102c
os,6mn−=【答案】ABD解析:对于A,因为mn⊥,()()1,2,5,2,4,mnx=−=−,所以()()·122451050mnxx=−+−+=−+=,解得2x=,故A正确;对于B,因为//mn,所以
存在R,使得mn=,则()()()1,2,52,4,2,4,xx−=−−=,即21425x=−−==,解得1210x=−=−,故B正确;对于C,因为()()12,24,51,2,5mnxx+=−+−+=
−+,所以22221(2)(5)5(5)5mnxx+=+−++=++=,解得5x=−,故C错误;对于D,因为10x=,则()()1,2,5,2,4,10mn=−=−,所以()1224510·102cos,,·6142541610mnmnmn−+−+
−===++++,故D正确.故选:ABD.10.设na是等差数列,nS是其前n项的和,且67789,SSSSS=,则下列结论正确的是()A.80a=B.0dC.7S与8S均为nS的最大值D.8
S为nS的最大值【答案】ACD解析:na是等差数列,且67SS,789SSS=,7760aSS=−,8870aSS=−=,9980aSS=−,0d,7S与8S是nS的最大值,故A、C、D正确,B错误.故选:ACD.11.若方程22152xytt+=−−所表示的
曲线为C,则下面四个选项中错误的是()A.若C是圆,则72t=B.若C为椭圆,则25tC.若C为双曲线,则5t或2tD.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则25t【答案】BD解析:对于A,因为方程2215
2xytt+=−−表示圆,所以52tt−=−,解得72t=,故A正确;对于B,因为方程22152xytt+=−−表示椭圆,所以502052tttt−−−−,解得25t且72t,故B错误;对于C,因为方程22152xytt+=−−表示双曲线,所
以()()520tt−−,解得5t或2t,故C正确;对于D,因为方程22152xytt+=−−表示长轴在y轴上的椭圆,所以5025ttt−−−,解得752t,故D错误.故选:BD12.已知12
,FF是椭圆()2211221110xyabab+=和双曲线()2222222210xyabab−=的公共焦点,P是它们的一个公共点,且12π3FPF=,则以下结论正确的是()A.22221122abab−=+B.22123bb=C.2221314ee+=D.2212ee+的最
小值为512+【答案】ABC解析:12,FF是椭圆()2211221110xyabab+=和双曲线()2222222210xyabab−=的公共焦点,可设122FFc=.对于A:由定义可得:22211bca−=
,22222bca+=,所以22221122abab−=+.故A正确;对于B:可设P第一象限的点,则12,PFmPFn==.由椭圆的定义可得:122,2mnamna+=−=,解得:1212,maanaa=+=−.在12FPF△中,12π3FPF=
,112212,PFaaPFaa=+=−,122FFc=,由余弦定理222121212122cosFFPFPFPFPFFPF=+−得:()()()()()22212121212π22cos3caaaaaaaa=++−−+−,化
简得:2221234aac+=.所以()()22222222212121233340bbaccaaac−=−−−=+−=,所以22123bb=.故B正确;对于C:由2221234aac+=得:22122234aacc+=,即2221314ee+=.故C正确;对于D:因为()2211222222
222112222222122211131131421444213eeeeeeeeeeeeee+++=+=++=++(当且仅当22123ee=时“=”成立).所以2212ee+的最小值为312+.故D错误.故选:ABC三、填空题:本题共4小题,
每小题5分,共20分.13.设nS是等差数列na的前n项和,若731013aa=,则135SS=___________.【答案】2解析:因为nS是等差数列{}na的前n项和,所以()()()()113113137715
55313131313213131022555252513aaaaSaaaaSaaaa++======++.故答案为:2.14.已知圆()()22:228Cxym−+−=−.若圆C与圆()()22:121Dxy+++=外切,则m的值为________.【答案】8−
解析:圆()()22:228Cxym−+−=−的圆心为()22,,半径8r=m−1,圆()()22:121Dxy+++=的圆心为()12−−,,半径21r=.因为圆C与圆D外切,所以12CDrr=+,所以()()22212281m+++
=−+,解得:8m=−.故答案为:8−15.已知圆锥的顶点为P,母线,PAPB的夹角为60,PA与圆锥底面所成角为45,若PAB的面积为3,则该圆锥的侧面积为_____________.【答案】42π解析:圆锥的顶点为P,
母线,PAPB的夹角为60,得3sinsin602APB==.由△PAB的面积为3,得22113sin3222PAAPBPA==,解得:2PA=.因为PA与圆锥底面所成角为45,可得圆锥的底面半径为:2cos452=,则该圆锥的侧面积为:
π22242π=.故答案为:42π.16.已知椭圆221167xy+=的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,OF为半径的圆上,则直线PF的斜率是_____________.【答案】35
【详解】方法1:由题意可知||=|3OFOM|=c=,由中位线定理可得12||6PFOM==,设(,)Pxy可得22(3)36xy−+=,联立方程组()22221167336xyxy+=−+=,整理可得:29963200xx−−=,解得340
,83xx=−=(舍),点P在椭圆上且在x轴的上方,求得835(,)33P−,所以5315313PFk==,方法2:焦半径公式应用解析1:由题意可知|3OF|=|OM|=c=,由中位线定理可得12||6PFOM==,即863ppaexx−==−
求得85333,P−,所以5335313PFk==.故答案为:35.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,∠BCD=60°,PA
⊥面ABCD,E是AB的中点,F是PC的中点.(1)求证:DE⊥平面PAB(2)求证://BF平面PDE.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析1.由于四边形ABCD是菱形,60BCD=,所以三角形ABD是等边三角形,而E是AB的中点,所以DEA
B⊥.由于PA⊥平面,ABCDDE平面ABCD,所以PADE⊥,由于,ABPA平面,PABABPAA=,所以DE⊥平面PAB.2.取PD的中点G,连接,FGGE,由于F是PC的中点,G是PD的中点,所以1//,2FGCDFGCD=,由于E是AB的中点,所以1//,2BE
CDBECD=,所以//,FGBEFGBE=,所以四边形BEGF是平行四边形,所以//BFGE,由于BF平面PDE,GEÌ平面PDE,所以//BF平面PDE.18.已知数列{an}前n项和Sn=n2+n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=11nna
a+,求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1)an=2n,n∈N*(2)Tn=4(1)nn+1.由题意,当n=1时,a1=S1=12+1=2,当n≥2时,an=Sn﹣1nS−=n2+n﹣(n﹣1)2﹣(n﹣1)=2n,∵当n=1时,12a=也满足上式,∴an=2n,n∈N*
.2.由(1),可得bn=11nnaa+=122(1)nn+=14(1)nn+=11141nn−+则Tn=b1+b2+•••+bn=1111111114242341nn−+−++−+
L=111111142231nn−+−++−+L=11141n−+=4(1)nn+19.双曲线()2222:10,0xyCabab−=的渐近线方程为2yx=,一个焦点到该渐近线的距离为2.(1)求C的方程;(2)是否存在直线l,经过点()1
,4M且与双曲线C于A,B两点,M为线段AB的中点,若存在,求l的方程:若不存在,说明理由.【答案】(1)2214yx−=(2)存在;3yx=+.1.双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的渐近线为byxa=,因为双曲线的一条渐近线方程为2yx=,所以2ba=,又焦
点(),0c到直线2yx=的距离()222221cd==+−,所以5c=,又222cab=+,所以21a=,24b=,所以双曲线方程为2214yx−=2.假设存在,由题意知:直线的斜率存在,设()11,Axy,()22,Bx
y,直线l的斜率为k,则122xx+=,128yy+=,所以221114yx−=,222214yx−=,两式相减得22221212044yyxx+−−=,即()()()()121212124yyyyxxxx−++
=−即()()()()121212124yyyyxxxx−++=−,所以44k=,解得1k=,所以直线l的方程为41yx−=−,即3yx=+,经检验直线:3lyx=+与双曲线C有两个交点,满足条件,所以直线l的方程为3yx=+.20.已知等差数
列na的前n项和为nS,且6523aS−=,68239Sa−=.(1)求na的通项公式;(2)若12nanba−=,求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)23nan=−(2)()5252nnTn=+−
1.设na的公差为d.由656823239aSSa−=−=,得1111542(5)(5)32652(6)3(7)92adadadad+−+=+−+=,化简得1133999aad−=+=,解得112ad=−=.所以数列na的通项公式为()112
23nann=−+−=−.2.由(1)知()1232nnbn−=−,所以()()0121121232232nnTn−=−++++−①则()()1232121232232nnTn=−++++−②由①-②得:()
()1211222222232nnnTn−−=−++++−−()1122222123212nnn−−=−+−−−()152232nnn+=−+−−()5252nn=−−−,所以数列nb
的前n项和()5252nnTn=+−.21.已知抛物线C:()220ypxp=的焦点为F,过点()1,2P−的直线垂直x轴于Q,PQF△为等腰直角三角形.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l交抛物线C于A,B两点,且F恰为PAB的重心,求直线l的方程.【答案】(1)24yx=;(2)2
30xy+−=.1.因为过点()1,2P−的直线垂直x轴于Q,PQF△为等腰直角三角形,所以122p+=,即2p=,所以抛物线C的方程为24yx=;2.由题可设直线:lxtym=+,由24xtymyx=+=,可得2440ytym−−=,则()24440tm
=−+,即20tm+,设()()1122,,,AxyBxy,12124,4yytyym+==−,又()1,0F,()1,2P−,F恰为PAB的重心,∴121213,20xxyy+−=++=,即12124,2xxyy+=+=−,所以()
12121224,42xxtyymyyt+=++=+==−,解得13,22tm=−=,满足20tm+,所以直线l的方程为1322xy=−+,即230xy+−=.22.已知点()0,2P为椭圆()2212
2:10xyEabab+=的上顶点,椭圆2E以椭圆1E的短轴为长轴,点()0,1F−为椭圆2E的一个焦点,且椭圆1E的离心率是椭圆2E的离心率的2倍.(1)求椭圆1E,2E的标准方程;(2)过点F作直线l与椭圆1E交于点A,B,直线PA,PB分别与椭圆2E
交于C,D两点,设PAB和PCD的面积分别为12,SS,求12SS的最小值.【答案】(1)22184xy+=;22134xy+=(2)2891441.因为点()0,2P为椭圆()22122:10xyEabab+=的上顶点,所以2b=,因为点()0,1F−为椭圆2E的一个焦点,所以
21c=,且椭圆2E的焦点在y轴上,设椭圆2E为2222221xyba+=,因为椭圆2E以椭圆1E的短轴为长轴,所以22ab==,则2222223bac=−=,所以椭圆2E为22134xy+=,且22212cea==,因为椭圆1E的离心率是椭圆2E的离心率的2倍,所以2222cea==,令()20
cmm=,则2am=,因为222bac=−,所以22442mm=−,解得22m=,所以2248am==,故椭圆1E为22184xy+=.2.依题意,易知直PA斜率存在,不妨设PA为()1120ykxk=+
,联立1222184ykxxy=++=,消去y,得()22111280kxkx++=,解得0x=或121812kxk=−+,所以121812Akxk=−+,此时0,设PB为()2220ykxk=+,同理可得222812Bkxk=−+,因为,,AFB三点
共线,()0,1F−,所以AFBFkk=,即11ABAByyxx++=,则1233ABABkxkxxx++=,所以1212221212221288331212881212kkkkkkkkkk−+−+++
=−−++,整理得()()1212230kkkk+−=,因为12kk,所以12230kk+=,则1232kk=−,221294kk=,联立1222134ykxxy=++=,消去y,得()221143120kxkx++=,解得0x=或1211243kxk=
−+,所以1211243Ckxk=−+,此时0,同理可得2221243Dkxk=−+,因为121sin21sin2PAPBAPBPAPBSSPCPDPCPDAPB==,又,ABCDPAPBxxPCxP
Dx==,所以()()1222221212122221222122211222128864483622918361212311443ABCDkkkkkkkkSxxSxxkkkkkkkk−−
++===++−−++++++()()22122212481451890kkkk++=++,因为1232kk=−,所以22121223kkkk+−=,当且仅当1262kk=−=或1262kk=−=−时,等号成立,令()22121890tkk=++,
则144t,22129018tkk−+=,所以1290481458958952891833144144tSStt−+==−−=,所以12SS的最小值为289144..获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公
众号www.xiangxue100.com