【文档说明】重庆市清华中学校2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题 含答案.docx，共(11)页，694.552 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市清华中学校高一下期第二次月考数学试题考试时间：120分钟试题满分：150分一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分1．1ii=−（）A．1122i+B．1122i−+C．1122i−D．1122i−−2．已知ABC内角ABC，，所

对边的长分别为abc，，，cosabC=，则ABC形状一定是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．设b，c表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（）A．若//b，c

，则//bcB．若b，//bc，则cC．若//c，⊥，则c⊥D．若//c，c⊥，则⊥4．已知正四棱锥PABCD−的底面正方形的中心为O，若高3PO=，侧棱与底面所成角是45°，则该四棱锥的体积是（）A．9B．18C．36D．545．比较甲､乙两名学生的数学学科素养的各项能

力指标值(满分5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的有几个（）①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值②甲的数学建模能力指标值优于乙的数

学建模能力指标值③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平④甲的数学运算能力指标值优于乙的数学运算能力指标值A．1B．2C．3D．46．已知圆柱1OO的两底面圆周上的所有点都在球C的表面，且圆柱1OO的底面半径为1，高为

23，则球C的表面积为（）A．2B．8C．12D．167．如图，在△ABC中，点,DE是线段BC上两个动点，且ADAE+xAByAC=+，则14xy+的最小值为（）A．32B．2C．52D．928．在ABC中，2AB=，2AC=，E是边BC的中点.O为ABC所在平面内一点且满

足222OAOBOC==，则·AEAO的值为（）A．12B．1C．22D．32二、多选题：本大题共4小题,每小题5分,共20分9．已知复数1zi=+（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为iB．2z=C

．复数z的共轭复数1zi=−D．复数z在复平面内对应的点在第一象限10.设0a为单位向量，下列命题是假命题．．．的为（）A．若a为平面内的某个向量，则0=aaaB．若a与0a平行，则0=aaaC．若a与0a平行且1=a，则0

=aaD．若a为单位向量，则0=aa11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝3，a＝7，则以下判断正确的是（）A．△ABC的外接圆面积是493B．bcosC＋ccosB＝7C．b＋c可能等于16D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是731

2．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于点P，得到如图2所示的三棱锥PDEF−，则下列结论正确的是（）A．PDEF⊥B．平面DEF⊥平面PDFC．二面角PEFD−−的

余弦值为13D．点P到平面DEF的距离为23三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店､100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检_____

______家.14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝________.15．正三棱柱111ABCABC−的所有棱长都相等，则异面直线1AB与1BC所成的角余弦值是_____

_.16．正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则()APPBPD+的取值范围为_____．四、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．17.已知向量()1,2a=−，()3,1b=−.（1）求ab+；（2）若()aba+⊥，求实数的值.

18．如图，已知△ABC中，AB＝362，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．19．在平行六面体1111ABCDABCD−中，1AAAB=,111ABBC⊥．求证：（1）11//ABABC平面；（2）111ABBAABC⊥平面平面．20.如图，在四

棱锥PABCD−中，//ABCD，且90BAPCDP==．（1）证明：AB⊥平面PAD（2）若2PAPDABCD====，90APD=，求点C到平面BDP的距离．21．（1）对于平面向量a，b，求证：abab

，并说明等号成立的条件；（2）对于任意的,,,abcdR，(,),,aabbcd==（）rr求证：22222()()()acbdabcd+++；（3）求()3142fxxx=−+−的最大值．22．在①22cosabcB−=②(

)22234Sabc=+−③23sin()12sin2CAB+=+三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设ABC的面积为S，已知________．（1）求角C的值；（2）若1cos

7B=，CD为ABC边AB上的中线，且CD129=，求ABC的周长．一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分1.B2．DcosabC=，余弦定理可得2222abcabab+−=，则22222aabc=+−，则222acb+=，所以ABC为直角三角形.3.

D4.B5.C对于①甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，故①正确；对于②甲的数学建模能力指标值为3，乙的数学建模能力指标值为4，故②错误；对于③乙的六维能力指标值的平均值为543543=46+++++，甲的六维能力指标值的平

均值为43454323=66+++++，故③正确；对于④甲的数学运算能力指标值为4，乙的数学运算能力指标值为3，故④正确.6.D设球的半径为R,球心为C，如图，则球心在1OO的中点C，所以222221(3)4RAOCO=

+=+=,所以球的表面积为2416SR==，7.D如图可知x，y均为正，设=m,ADABnACAEABAC+=+，:,,,BDEC共线，1,1mn+=+=，()()ADAExAByACmABnAC

+=+=+++，则2xymn+=+++=，1411414149()5(52)2222yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，则14xy+的最小值为92，故选D.8.D二、多选题：本大题共4小题,每小题5分,共20分9.

【答案】BCD10.【答案】ABC11.【答案】ABD【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A，设ABC的外接圆半径为R，根据正弦定理2sinaRA=，可得733R=，所以ABC的外接圆面积是2493SR==，故

A正确；对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合ABC++=，可将原式化为2sincos2sincos2sin()2sinRBCRCBRBCRAa+=+==，故B正确．对于C，22(sinsin)2[sinsin()]3

bcRBCRBB+=+=+−1314(cossin)14sin()223BBB=+=+14bc+，故C错误．对于D，设A到直线BC的距离为d，根据面积公式可得11sin22adbcA=，即sinbcAda=，再根据①中的结论，可得73d=，故D正确．12.【答案】AC

D三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13.【答案】2014.【答案】34因为b2＝ac，且c＝2a，222ba=，所以cosB＝2222acbac+−＝2224222aaaaa+−＝34.15.【

答案】1416.【答案】12,4−【详解】以AB，AC为x，y轴建立直角坐标系则，(0,0)A，(1,0)B，(1,1)C，(0,1)D，设()(),01Pxxx，则(,)APxx=，(1,)PBxx=−−，(,1)PDxx=−−，()2(12)APPBPDxx+=−2114(

01)44xx=−−+，当14x=时，函数有最大值为14，当1x=时，函数有最小值为2−，()APPBPD+的取值范围是12,4−．故答案为：12,4−．四、解答题（17题10分，18～22每小题12分，共70分．17解：（1）(2,1)a

b+=,5ab+=（2）由()1,2a=−，()3,1b=−得()13,2ab+=−+−，因为()aba+⊥，所以()0aba+=，所以()()13220−−++−=，即550−+=，解得1=；18.解：（1）如图所示，在△A

BC中，由正弦定理得，sinsinACABABCACB=,则36sin45sin23sinsin60ABABCACACB===（2）因为∠ACB＝60°，所以120ACD=,在ACD△中，由余弦定理得，2212cos12092523572ADAC

CDACCD=+−=++=19.证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形

ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面A

BB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．20.（1）证明：由90BAPCDP==，得：ABAP⊥，CDPD⊥，由//ABCD，即CDAP⊥，又APPDP=，∴CD⊥平面PAD，又CD平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）设E为AD中点，连接PE

，由PAPD=，∴PEAD⊥，由（1）知：平面PAD⊥平面ABCD，面PAD面ABCDAD=，PE面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∵//ABCD，ABCD=，∴ABCD是平行四边形，由（1）知：CD⊥平面PAD，AD平面PAD，∴CDAD⊥，即ABCD是矩形，由90APD=，2

2ADBC==，2PE=，∴由上知：11114222232323PBCDVCBCDPE−===，连接EB，在△PEB中，6EB=，2PE=，可得22PB=，在△PBD中，2PD=，23DB=，22PB=，所以90BPD=，∴1

12222222PBDSPBPD===，设点C到平面PBD的距离为h，由CPBDPBCDVV−−=，有142233h=．∴2h=，即点C到平面PBD的距离为2．21解：（1）设,ab=，所以coscosababa

bab==当且仅当//ab时，即0=或=，等号成立（2）①()(),,,aabbcd==，则2222,,abacbdaabbcd=+=+=+∵abab，∴2222acbdabcd+++两边平方得：()()()22222acbdabcd+++．②()()3

,4,1,2abxx==−−，所以5,1ab==，所以()3142fxxxab=−+−=当,ab共线同向时取得最大值，即()fx的最大值为5，当且仅当3425x=时取得最大值．22.（1）选①22cosab

cB−=，由余弦定理得222222222acbacbabcaca+−+−−==，整理得222abcab+−=，所以2221cos22abcCab+−==，又(0,)C，故3C=.选②2223()4Sabc=+−，因为in12sSabC=，22

22cosabcabC+−=，故13sin2cos24abCabC=，可得tan3C=，又(0,)C，故3C=.选③23sin()12sin2CAB+=+，可得3sin2cos3sincos2CCCC=−+=，所以sin61C+=

，又(0,)C，所以62C+=，故3C=.(2)143cos,sin77BB==53sinsin14A=（B+C）=53433sin,sinsin1472ABC===由正弦定理可知sin:sin:sin::5:8:7ABCabc==令5,8,7akbkck===

22221()21()211129()(2cos)443CDCACBCDCACBCACBbaab=+=+=+=++2211291294k=2k=周长为40.