【文档说明】浙江省三锋联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学 PDF版含答案(1).pdf，共(8)页，1.672 MB，由管理员店铺上传

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AIIAABCRFABAA=}#}答案第1页，共4页2023学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考高一年级数学学科参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.123

45678ACABADBC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9101112BDACDABDABD或BD（均给

满分）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.16𝜋14.215.1316.−18449四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（1）由𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+2𝑏⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑎−

𝑏⃗,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=5𝑎−10𝑏⃗得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑎−𝑏⃗−(𝑎+2𝑏⃗)=𝑎−3𝑏⃗,……………………………2分𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗=5𝑎−10𝑏⃗−(2𝑎−𝑏⃗)=3𝑎−9𝑏⃗=3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,………………………4分所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，且有公共点B，所以,,ABC三点共线.……………………………5分（2）由3𝑎+𝑘𝑏⃗与13𝑎+2𝑏⃗平行平行，则存在实

数𝜆，使得3𝑎+𝑘𝑏⃗=𝜆(13𝑎+2𝑏⃗)，……………………………7分即(3−13𝜆)𝑎+(𝑘−2𝜆)𝑏⃗=0⃗，又𝑎,𝑏⃗是不共线的两个非零向量，因此{3−13𝜆=0𝑘−2𝜆=0，…………………

…………9分解得{𝜆=9𝑘=18，实数k的值是18……………………………10分18．（1）在△𝐴𝐵𝐶中，12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑆=𝑎𝑏𝑐4，-----------------

------------2分解得𝑎=2𝑠𝑖𝑛𝐴，-----------------------------------------------------------4分{#{QQABIQS

AggAgAJJAARgCQQXCCEKQkBGCCIoGAEAIIAABCRFABAA=}#}答案第2页，共4页由正弦定理得△𝐴𝐵𝐶的外接圆的半径𝑅=12⋅𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=1.-------------------------6

分（2）由（1）知12𝑎ℎ=𝑆=𝑎𝑏𝑐4，即𝑏𝑐=1--------------------------------------8分又𝑏+𝑐=2，所以𝑏=𝑐=1，--------------------------------------------------------

10分所以sin𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏2𝑅=12，所以𝐵=𝐶=𝜋6，所以𝐴=2𝜋3------------12分19.(1)连接AC交BD于O,连接OG.因为四边形ABCD为直角梯形,DC=2AB,所以𝐴𝑂𝑂𝐶=𝐵𝑂𝑂𝐷=𝐴𝐵𝐷

𝐶=12-----2分又因为GC=2FG,𝐶𝐺𝐺𝐹=𝐶𝑂𝑂𝐴所以𝐴𝐹//𝑂𝐺.---------4分因为OG面𝐵𝐷𝐺,𝐴𝐹⊄面𝐵𝐷𝐺,所以AF//平面BDG.--------6分(2)因为四边形ABCD为直

角梯形，所以AB//CD.因为𝐶𝐷⊂面𝐶𝐷𝐸𝐹,AB面𝐶𝐷𝐸𝐹,所以AB//平面𝐶𝐷𝐸𝐹.---9分因为AB⊂面𝐴𝐵𝐸𝐹,面𝐶𝐷𝐸𝐹∩面𝐴𝐵𝐸𝐹=EF.所以AB//EF.-------12分20．（1）∵2𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶−

√3c=0∴2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶−√3𝑠𝑖𝑛𝐶=0……………………………2分∴sinA=√32……………………………4分∴A=2𝜋3或者A=𝜋3……………………………6分（2）∵a=2√3且𝑎≤𝑏，∴𝐴=𝜋3，由正弦定理得𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=4，所以

𝑏=4𝑠𝑖𝑛𝐵……………………….7分𝑐=4𝑠𝑖𝑛𝐶=4𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝜋3)………….8分故𝑏−12𝑐=4𝑠𝑖𝑛𝐵−2𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝜋3)=3𝑠𝑖𝑛

𝐵−√3𝑐𝑜𝑠𝐵=2√3𝑠𝑖𝑛(𝐵−𝜋6)，…….10分∵𝑎≤𝑏，∴𝜋3≤𝐵<2𝜋3，𝜋6≤𝐵−𝜋6<𝜋2，即𝑏−𝑐2的取值范围[√3,2√3).………………………….12分{#{QQABIQSAggAgAJJAARgCQQXCCE

KQkBGCCIoGAEAIIAABCRFABAA=}#}答案第3页，共4页21(1)取PC中点𝐺，连接HG，EG，因为点E、G分别为PD、PC的中点，所以，EG//CD,且EG=12CD---------2分因为四边形ABCD为正方形，所以AH//CD，且AH=12CD，所以

AH//EG，AH=EG，所以四边形AHEG为平行四边形，所以AE//HG因为AE⊄平面PBE，HG⊂平面PBE，AE//平面PHC；------5分（2）由题意可知𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷=1，则𝑃�

�=𝑃𝐷=√2，∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐵𝑃𝐶=45°．将平面𝑃𝐴𝐷,𝑃𝐶𝐷,𝑃𝐵𝐶展开到一个平面内如图，则𝐴𝐸+𝐸𝐹+𝐵𝐹的最小值即为展开图中𝐴𝐵的长．∵𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝑃𝐷=𝑃𝐶2+𝑃𝐷2

−𝐶𝐷22𝑃𝐶⋅𝑃𝐷=2+2−12×√2×√2=34，----------7分从而7sin4CPD=，故𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝑃𝐵=𝑐𝑜𝑠(∠𝐶𝑃𝐷+90°)=−𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝑃𝐷=−√74．在△𝑃𝐴𝐵中，由

余弦定理可得𝐴𝐵2=𝑃𝐴2+𝑃𝐵2−2𝑃𝐴⋅𝑃𝐵⋅𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝑃𝐵=1+1+2×√74=8+2√74=(√7+12)2，---------11分则𝐴𝐵=√7+12，即𝐴𝐸+𝐸𝐹+𝐵

𝐹的最小值为√7+12．---12分22．（1）解：因为2𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，由正弦定理得2si𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶

+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴,因为𝐴+𝐶=𝜋−𝐵，可得𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵，所以2si𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵，又因为𝐵∈(0,𝜋)，可得𝑠𝑖𝑛𝐵>0

，所以2𝑐𝑜𝑠𝐴=1，即𝑐𝑜𝑠𝐴=12，因为𝐴∈(0,𝜋)，所以𝐴=𝜋3，-------------------------------------------------------------------2分又由(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，可得(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗)⋅(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=0，解得𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗2=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2，即|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，所以𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外心，由正弦定理有2|𝑂𝐴|=

𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=√3√32=2，所以|𝐴𝑂|=1．---------------------4分{#{QQABIQSAggAgAJJAARgCQQXCCEKQkBGCCIoGAEAIIAABCRFABAA=}#}答案第4页，共4页（2）解：因为𝐴=𝜋3，所以∠�

�𝑂𝐶=2𝐴=2𝜋3，且|𝑂𝐴→|=|𝑂𝐵→|=|𝑂𝐶→|=1，2222|32|941264OAOBOCOAOBOCOAOBOAOCOBOC++=+++++=9+4+1+12𝑐𝑜𝑠2𝐶+6𝑐𝑜𝑠2𝐵+4𝑐𝑜𝑠2𝐴=12+12𝑐�

�𝑠2𝐶+6𝑐𝑜𝑠(4𝜋3−2𝐶)=12+9𝑐𝑜𝑠2𝐶−3√3sin2𝐶=12+6√3𝑐𝑜𝑠(2𝐶+𝜋6)-------------------------6分因为{0<𝐶<𝜋20<𝐵=2𝜋3−𝐶<𝜋2，解得𝜋6<𝐶<𝜋2则2𝐶∈(𝜋3,

𝜋)，则2𝐶+𝜋6∈(𝜋2,7𝜋6)，所以𝑐𝑜𝑠(2𝐶+𝜋6)∈[−1,0)，所以12+6√3𝑐𝑜𝑠(2𝐶+𝜋6)∈[12−6√3，12)，所以|3𝑂𝐴→+2𝑂𝐵→+𝑂𝐶

→|√3𝑚𝑖𝑛．-------------------------------------------------------8分（3）解：如图所示：取AB的中点D，连接OD，则𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，所以𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2，同理可得𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2，-----------------------------------9分由平面向量数量积的定义可得𝐴𝐵→⋅𝐴𝐶→=12𝑏𝑐，因为𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，所以

，𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+𝑦𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，即12|𝐴𝐵→|2=𝑥|𝐴𝐵→|2+12𝑦|𝐴𝐵→||𝐴𝐶→|，所以2𝑥𝑐+

𝑦𝑏=𝑐，①𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2，即12|𝐴𝐶→|2=12𝑥|𝐴𝐵→||𝐴𝐶→|+𝑦|𝐴𝐶

→|2，所以𝑥𝑐+2𝑦𝑏=𝑏，②．---------------------------------------------------10分联立①②可得𝑥=23−13𝑏𝑐，𝑦=23−13𝑐𝑏，所以，𝑥+𝑦=43−13(𝑏𝑐+𝑐𝑏)又因为𝑐𝑏=�

�𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐵)𝑠𝑖𝑛𝐵=12𝑠𝑖𝑛𝐵+√32𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐵=12+√321𝑡𝑎𝑛𝐵，因为𝐵∈(𝜋6,𝜋2)，所以𝑡𝑎𝑛𝐵∈(√33,+∞)，可得𝑐𝑏∈(12,2)，所以𝑏𝑐+�

�𝑏∈[2,52)，𝑥+𝑦∈(12，23].-------------------------------------------------------12分{#{QQABIQSAggAgAJJAARgCQQXCCEKQkBGCCIoG

AEAIIAABCRFABAA=}#}