【文档说明】广东省佛山市南海区西樵高级中学2021届高三下学期2月月考数学试题 含答案.docx，共(14)页，967.836 KB，由小赞的店铺上传

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1西樵高级中学2021届高三下学期2月月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在

答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数421izi+=−，则zz−=（）A.1B.2C.10D.62.已知集合1215Axx=−，240Bxx

=−，则()RACB=（）A.23xxB.23xxC.12xxD.12xx3.已知,22−，则“2sin23cos0−=”是“3sin4=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.埃及胡

夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已知该四棱锥的高与斜高的比值为45，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是（）A.45B.35C.125D.51225.已知0.4log0.3a=，0.7log0.4b=，0.70.3c=，则（）A.cbaB.acb

C.cabD.bca6.已知数据1x，2x，3x，4x，5x，6x的平均数是5，方差是9，则222222123456xxxxxx+++++=（）A.159B.204C.231D.6367.某地

市场调查发现，35的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为34，而在实体店购买的家用小电器的合格率为910.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则

这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（）A.320B.1115C.1519D.348.已知函数()4cos22(0)6fxx=+−在0,内有且仅有两个零点，则的取值范围是（）A.313,26B.313,26

C.313,412D.313,412二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中是偶函数，且值域为)0,+的有（）A.()()ln1fxx

=+B.1()fxxx=−C.()xxfxee−=+D.42()21fxxx=−+10.已知0a，0b，且240abab++−=，则（）A.ab+的最大值为2B.ab+的最小值为2C.ab的最大值是1D.

ab的最小值是111.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，PDAB=，则（）3A.ACPB⊥B.直线AE与平面PAB所成角的正弦值是36C.异面直线AD与PB所成的角是4D.四棱锥PABCD−的体积与其

外接球的体积的比值是232712.设A，B是抛物线C：24yx=上两个不同的点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（）A.4ABB.8OAOB+C.直线AB过抛物线C的焦点D.OAB△面积的最小值是2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1

3.已知向量a，b的夹角为6，且2a=，3b=，则2ab+=________.14.在新冠肺炎疫情期间，为有效防控疫情，某小区党员志愿者踊跃报名参加值班工作.已知该小区共4个大门可供出入，每天有5名志愿者负责值班，其中1号门有车辆出入，需2人值班，其余3个大门各需1人值班，则每

天不同的值班安排有__________种.15.双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点P是C上一点，使得12FF，2FP，1FP依次构成一个公差为2的等差数列，则双曲线C的实轴长为__________，若12120FFP=，则双曲线C的离心

率为__________.16.已知函数()xfxeax=+，当0x时，()0fx恒成立，则a的取值范围为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在递增的等比数列na中，2532aa=，

3412aa+=.（1）求na的通项公式；4（2）若1(1)nnnba+=−，求数列nb的前n项和nS.18.在①sin2sinBC=，②3bc+=，③15sin8C=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在ABC△中，

角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a=，()cos4cosaBcbA=−，且________，求ABC△的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是直角梯形，其中90ABE

=，//AFBE，且33DEAFBE===.（1）证明：平面ABEF⊥平面ABCD.（2）求二面角CDEF−−的余弦值.20.科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂.当今世界，科学技术日益渗透到经济发展、社会发展和人类生活的方方面面，成为生产力中最活跃的因素，科学技术的重要性也逐渐突显出

来.某企业为提高产品质量，引进了一套先进的生产线设备.为了解该生产线输出的产品质量情况，从中随机抽取200件产品，测量某项质量指数，根据所得数据分成)17.5,18.0，)18.0,18.5，)18.5,19.0，)19.0,19.5，19

.5,20.0这5组，得到频率分布直方图如图所示.若这项质量指数在)18.0,19.5内，则称该产品为优等品，其他的称为非优等品.5（1）估计该生产线生产的产品该项质量指数的中位数（结果精确到0.01）；

（2）按优等品和非优等品用分层抽样的方法从这200件产品中抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取3件，记优等品的数量为X，求X的分布列与期望.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为12，且椭圆C上的点到右焦点F的距离最长为3.（1）求椭圆C的标准方程.（2）过点F的直

线l与椭圆C交于A，B两点，AB的中垂线1l与x轴交于点G，试问ABFG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.已知函数()sin2cosfxxxxx=++，'()fx为()fx的导函数.（1）证

明：'()fx在,22内存在唯一零点.（2）当,22x时，()fxax，求a的取值范围.高三数学参考答案一、选择题1.D由题意可得42(42)(1)131(1)(1)iiiziiii+++===+−−+，所以13zi=−，所以6zzi−=，则

6zz−=.62.C由题意可得13Axx=，22Bxxx=−或，则22RCBxx=−，故()12RACBxx=.3.A由2sin23cos0−=，得4sincos3

cos=，因为,22−，所以cos0，所以4sin3=，则3sin4=；反之也成立.故“2sin23cos0−=”是“3sin4=”的充要条件.4.B设该四棱锥底面

的边长为2a，高为h，斜高为1h，则1222145hhhah=+=，则135ah=，从而该四棱锥底面面积为22136425ah=，侧面面积为221111312424255ahhh==，故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是2211361232555hh=.5.C0.40.

40.41log0.4log0.3log0.162a===，0.70.7log0.4log0.492b==，0.700.30.31c==，故cab.6.B由题意可得()()()()()()2222

22123456155555596xxxxxx−+−+−+−+−+−=，则222222123456103015054xxxxxx+++++−+=，故22222212345654150300204xxxxxx+++++=−+=.7.C

在网上购买的家用小电器不合格的概率为3135420=，在实体店购买的家用小电器不合格的概率为21151025=，故这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率为3152031192025=+.8.D因为0x，所以22666

x++.因为函数()fx在0,内有且仅有两个零点，所以52637263++，解得313412.二、选择题9.AD由题意可得1()fxxx=−是奇函数，()x

xfxee−=+是偶函数，但值域为)2,+，7()()ln1fxx=+和42()21fxxx=−+是偶函数，且值域为)0,+.10.BC因为240abab++−=，所以242422ababab++=−−，所以2()2()80aba

b+++−，解得4ab+−或2ab+.因为0a，0b，所以2ab+，故A错误，B正确；因为240abab++−=，所以()2442ababab=−+−，所以2240abab+−，解得1ab，所以1ab，故C正确，D错误.11.AB如图，连接B

D.因为底面ABCD是正方形，所以BDAC⊥.因为PD⊥平面ABCD，所以PDAC⊥，所以AC⊥平面PBD，则ACPB⊥，故A正确.由题意易证AD，CD，PD两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系Dxyz−.

设2AB=，则()2,0,0A，()2,2,0B，()0,0,0D，()0,1,1E，()0,0,2P，从而()2,0,0AD=−，()0,2,0AB=，()2,1,1AE=−，()2,2,2PB=−.设平面PAB的法向量(),,nxyz=，则202220nABynPBx

yz===+−=，令1x=，得()1,0,1n=.设直线AE与平面PAB所成的角为，则213sincos,662AEn−+===，故B正确.设异面直线AD与PB所成的角为，则223cos

cos,3212ADPB−===，从而4，故C错误.四棱锥PABCD−的体积183V=.由题意可知四棱锥PABCD−外接球的半径3R=，则其体积33244(3)4333VR===，从而四棱锥PABCD−的体积与

其外接球的体积的比值是12239VV=，故D错误.12.ACD取()1,2A−，()1,2B，满足4OAOBkk=−，从而25OAOB+=，故B错误.由题意可知直8线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xmyt=+，()11,Ax

y，()22,Bxy，联立24xmytyx=+=，整理得2440ymyt−−=，则124yym+=，124yyt=−.因为1212121644OAOByykkxxyyt===−=−，所以1t=，所以直线AB的方

程为1xmy=+，则直线AB过点()1,0，故C正确.因为抛物线C的焦点为()1,0F，所以直线AB过焦点F，则由抛物线的性质可知24ABp=，故A正确.由上可得直线AB的方程为1xmy=+，则()2212

141myymAB=+−=+，原点O到直线AB的距离211dm=+，则()22211412122121mmABdm=+=++，故D正确.三、填空题13.27由题意可得()222244abaabb+=

++3442343282=++=，则22827ab+==.14.60先从这5人中选取2人在1号门值班，共有25C种情况，再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，有33A种情况，故每天不同的值班安排有235360CA=种.15.2；32结合题意知1222aFPFP=−=，即1a=

，则双曲线C的实轴长为22a=.又122FFc=，222FPc=+，124FPc=+，由余弦定理知22212(2)(22)(24)1cos22(22)2cccFFPcc++−+==−+，解得32c=，故32e=.16.),

e−+由题意可得'()xfxea=+.因为0x，所以'()1fxa+.当1a−时，'()0fx，则()fx在)0,+上单调递增，从而()min()010fxf==恒成立，故1a−符合题意.当1a−时，令'()0fx=，得()lnxa=−.因为'()fx在

R上单调递增，所以()fx在()()0,lna−上单调递减，在()()ln,a−+上单调递增，则()()()min()lnlnfxfaaaa=−=−+−.因为()0fx，所以()ln0aaa−+−，即()ln1a−，9解得1ea−−.综上的取值范围为),e−+.四、解

答题17.解：（1）由题意可得342534343212aaaaaaaa==+=，解得34a=，48a=，则11a=，2q=.故1112nnnaaq−−==.（2）由（1）可得12nna+=，则(1)2nnnb=−.故23123222(1)2nn

nnSbbbb=++++=−+−++−121(2)(2)21(2)3nn+−−−−+==−−−.18.解：因为cos(4)cosaBcbA=−，所以sincos(4sinsin)cosABCBA=−，即sincossincossin()4sincosABB

AABCA+=+=.因为ABC++=，所以()sinsinCAB=+，所以sin4sincosCCA=.因为sin0C，所以14cosA=，即1cos4A=.若选①，因为sin2sinBC=，所以2bc=.由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，则22244ccc+−=，故1c=，2

b=.因为1cos4A=，所以15sin4A=，10则ABC△的面积为111515sin212244bcA==.若选②，由余弦定理可得222252cos()2abcbcAbcbc=+−=+−，则5942bc−

=，解得2bc=.因为1cos4A=，所以15sin4A=，则ABC△的面积为111515sin212244bcA==.若选③，因为1cos4A=，所以15sin4A=，因为15sin8C=，所以sin2sinAC=，所以112ca==.由余弦定理可得222212cos142abc

bcAbb=+−=+−=，即2260bb−−=，解得2b=或32b=−（舍去）.则ABC△的面积为111515sin212244bcA==.19.（1）证明：连接BD.因为ABCD是边长为2的正方形，所以22BD=，因为33DEBE==，所以1BE=，3DE=，所以222BEBDDE+=，则

BEBD⊥.因为90ABE=，所以BEAB⊥.因为ABBDB=，所以BE⊥平面ABCD，11因为BE平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面ABCD.（2）解：由（1）知AB，AF，AD两两垂直，故以A为坐标原点，以射线AB，AF，AD分别

为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系Axyz−.则()0,0,2D，()0,3,0F，()2,1,0E，()2,0,2C，故()2,1,2DE=−，()2,0,0DC=，()0,3,2FD=−.设平面DEF的法向量为()111,,mxyz

=，则11111220320mDExyzmFDyz=+−==−+=，令13z=，则()2,2,3m=.设平面CDE的法向量为()222,,nxyz=，则222222020nDExyznDCx=+−===，令21z=

，则()0,2,1n=.43785cos,85175mnmnmn+===，记二面角CDEF−−的平面角为，由图可知为钝角，则785cos85=−.20.解：（1）因为(0.160.64)0.50.40.5+=，(

0.160.640.72)0.50.760.5++=，所以该生产线生产的产品该项质量指数的中位数在)18.5,19.0内.设其中位数为m，则18.50.720.50.40.519.018.5m−+=−，解得18.64m，即该生产线生产的产品该项质量指数的中位数约为18

.64.（2）由题意可知样本中非优等品有()2000.160.240.540+=件，优等品有20040160−=件，则优等品应抽取160108200=件，非优等品应抽取40102200=件.故X的取值可能是1，2，3.12128231081

(1)12015CCCPX====，2182310567(2)12015CCCPX====，38310567(3)12015CCPX====，则X的分布列为X123P115715715故177121231515155EX=++=.21.解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为c，则2223

12accaabc+===+，解得2a=，3b=.故椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1xmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，AB的中点为()00,Hx

y.联立221143xmyxy=++=，整理得()2234690mymy++−=.13由题意可知0m，则122634myym+=−+，122934yym=−+，从而()()222121221211434

mmyyyymAB+=++−=+.因为H为AB的中点，所以02334mym−=+，0024134xmym=+=+，即2243,3434mHmm−++.直线1l的方程可设为221343434mxymmm=−++++，令0y=，得2134xm=+，则()2

2231113434mFGmm+=−=++.故()()22221213443134mmmBGmAF++==++.当直线l的斜率为0时，24ABa==，1FGc==，则4ABFG=.综上，ABFG为定值，且定值为4.22.（1）证明：因为()sin2cosfx

xxxx=++，所以'()cossin1fxxxx=−+.记()'()cossin1gxfxxxx==−+，则'()singxxx=−.当,2x时，'()0gx；当(,2x时，'()0gx.()gx在,2

上单调递减，在(,2上单调递增，即'()fx在,2上单调递减，在(,2上单调递增.因为'02f=，()'10f=−+，()'221f=+，14所以存在唯一()0,2x，使得'()0fx=，即'()fx在,22

内存在唯一零点.（2）解：由（1可知当0,2xx时，'()0fx；当(0,2xx时，'()0fx.所以()fx在0,2x上单调递减，在(0,2x上单调递增.因为当,22x时，()fxax恒成立，则至少满足22fa

=，(2)222fa=+，即2a.①当3,22x时，302f=，max()2fxf==，满足()2fxx；②当3,22x时，max()(2)22fxf==+，而32232x

=，满足()2fxx.即当,22x时，都有()2fxx.又当2a，,22x时，2axx，从而当2a时，()fxax对一切,22x恒成立.故a的取值范围为)2,+.