【文档说明】2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.120 MB，由小赞的店铺上传

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2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16，24，14，

10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14B.16C.18D.20【答案】B【解析】【分析】由中位数定义即可得.【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.2.椭圆2221(1)xyaa+=的离

心率为12，则=a（）A.233B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.【详解】由题意得2112aea−==，解得233a=，故选：A.3.记等差数列na的前n项和为3712,6,17nSaaa+==，则16S=（）A.120B.140C.160D.

180【答案】C【解析】【分析】利用下标和性质先求出512aa+的值，然后根据前n项和公式结合下标和性质求解出16S的值.【详解】因为37526aaa+==，所以53a=，所以51231720aa+=+=，所以()()116165121681602aaSaa+==+=

，故选：C.4.设,是两个平面，,ml是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,ml⊥∥∥，则ml⊥B.若,,mlml∥，则∥C.若,,mll=∥∥，则ml∥D.若,,mlm

l⊥⊥∥，则⊥【答案】C【解析】【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于A，,ml可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，,可能相交或平行，故B错误，对于D，,可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，故选：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不

在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A.20种B.16种C.12种D.8种【答案】B【解析】【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.【详解】因

为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A种方法，排甲有12A种方法，剩余两个位置两人全排列有22A种排法，所以

有212222AAA8=种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A种方法，排甲有12A种方法，剩余两个位置两人全排列有22A种排法，所以有212222AAA8=种方法；由分类加法计数原理可知

，一共有8816+=种排法，故选：B.6.已知Q为直线:210lxy++=上的动点，点P满足()1,3QP=−，记P的轨迹为E，则（）A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是

两条平行直线【答案】C【解析】【分析】设(),Pxy，由()1,3QP=−可得Q点坐标，由Q在直线上，故可将点代入坐标，即可得P轨迹E，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),Pxy，由()1,3QP=−，则()1,3Qxy−+，由Q在直线:210lxy++=上，故()12310xy−++

+=，化简得260xy++=，即P轨迹为E为直线且与直线l平行，E上的点到l的距离2261512d−==+，故A、B、D错误，C正确.故选：C.7.已知3ππ,π,tan24tan44=−+，则21sin22cossin2

+=+（）A.14B.34C.1D.32【答案】A【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将21sin22cossin2++齐次化即可得出答案.【详解】由题3ππ,π,tan24tan44=

−+，的得()()224tan12tan4tan12tan1tan1tan−+=−+=−−，则()()2tan1tan20tan2++==−或1tan2=−，因为()3π

,π,tan1,04−，所以1tan2=−，222221sin2sincos2sincostan12tan2cossin22cos2sincos22tan+++++==

+++()11114214+−==+−.故选：A8.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为12,FF，过坐标原点的直线与C交于,AB两点，211222,4FBFAFAFBa==，则C的离心率为（）A.2B.2C.5D.7【答案】D【解析】【

分析】由双曲线的对称性可得12FAFB=、12FBFA=且四边形12AFBF为平行四边形，由题意可得出21FBF，结合余弦定理表示出与a、c有关齐次式即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知12FAFB=，12FBFA=，有四边形12A

FBF为平行四边形，令12FAFBm==，则122FBFAm==，由双曲线定义可知212FAFAa−=，故有22mma−=，即2ma=，即122FAFBma===，124FBFAa==，2222222cos24cos4FAFBFAFBAFBaaAFBa===，则

21cos2AFB=，即23AFB=，故212π3FBF=，则有()()()222222121221124221cos22422aacFBFBFFFBFFBFBaa+−+−===−，即2222041162aca−=−

，即2204116162e−=−，则27e=，由1e，故7e=.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a、b、c之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出1FA、2FB与a的具

体关系及21FBF的大小，借助余弦定理表示出与a、c有关齐次式，即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()3

π3πsin2cos244fxxx=+++，则（）A.函数π4fx−为偶函数B.曲线()yfx=对称轴为π,Zxkk=C.()fx在区间ππ,32单调递增D.()fx的最小

值为2−【答案】AC【解析】【分析】利用辅助角公式化简()3π3πsin2cos244fxxx=+++，再根据三角函数的性质逐项判断即可.【详解】()3π3πsin2cos244fxxx=+++3π3π3π3πsin

2cossincos2cos2cossin2sin4444xxxx=++−的2222sin2cos2cos2sin22sin22222xxxxx=−+−−=−，即()2sin2fxx=−，对于A，iππ422sn22cos2xxfx−−==

−，易知为偶函数，所以A正确；对于B，()2sin2fxx=−对称轴为πππ2π,Z,Z242kxkkxk=+=+，故B错误；对于C，ππ2π,,2,π323xx，si

n2yx=单调递减，则()2sin2fxx=−单调递增，故C正确；对于D，()2sin2fxx=−，则sin21,1x−，所以()2,2fx−，故D错误；故选：AC10.已知复数,zw均不为0，则（）A.22||zz=B.22||zzzz=C.zzww−=−D.zzww=【答

案】BCD【解析】【分析】设出izab=+、iwcd=+，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设izab=+(),Rab、iwcd=+(),Rcd；对A：设izab=+(),Rab，则()22

2222i2i2izabaabbabab=+=+−=−+，()222222||zabab=+=+，故A错误；对B：2zzzzz=，又2zzz=，即有22||zzzz=，故B正确；对C：()iiiabcdzacdwb=

+−=+−−−−，则()iaczwbd−−−−=，izab=−，iwcd=−，则()iiizwabcdacbd=−−+=−−−−，即有zzww−=−，故C正确；对D：()()()()()22iiiiiiizcwabcdacbdadbcabcd

cdcdd+−+−−+===++−+()2222222222222222222acbdadbcacabcdbdadabcdbccdcdcd+−+++−+=+=+++()22222

2222222222222222acbdadbcacbdadbccdcd++++++==++，()()2222222222222222abcdzababcdwcdcdcd+++++===+++2222222222acbcadbdcd+=+++，故zzww=，故

D正确.故选：BCD.11.已知函数()fx的定义域为R，且102f，若()()()4fxyfxfyxy++=，则（）A.102f−=B.122f=−C.函数12fx−是偶函数D.函数12fx+是减函数【答案】A

BD【解析】【分析】对抽象函数采用赋值法，令12x=、0y=，结合题意可得()01f=−，对A：令12x=、0y=，代入计算即可得；对B、C、D：令12y=−，可得122fxx−=−，即可得函数12fx−及函数12fx

+函数的性质，代入1x=，即可得12f.【详解】令12x=、0y=，则有()()1110100222fffff+=+=，又102f，故()100f+=，即()01f=−，令12x=、12y=−，则

有1111114222222fff−+−=−，即()110122fff+−=−，由()01f=−，可得11022ff−=，又102f，故102f−=，故A正确；令12y

=−，则有()1114222fxfxfx−+−=−，即122fxx−=−，故函数12fx−是奇函数，有()1121222fxxx+−=−

+=−−，即1222fxx+=−−，即函数12fx+是减函数，令1x=，有12122f=−=−，故B正确、C错误、D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到()01f=−，再重新赋值，得到102

f−=，再得到122fxx−=−.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合2,0,2,4,3ABxxm=−=−，若ABA=，则m的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析

】由ABA=可得AB，解出集合B后结合集合的关系计算即可得.【详解】由ABA=，故AB，由3xm−，得33mxm−++，故有4323mm+−−+，即15mm，即5m，即m的最小值为5.故答案为：5.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高

与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是__________，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是__________．【答案】①.23②.1【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径r以及球的半径R，用r表示出

圆锥的高h和母线l以及球的半径R，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高3hr=，母线2lr=，由题可知：2hR=，所以球的半径32Rr=所以圆锥的体积

为()23113π3π33Vrrr==，球的体积33324433πππ3322VRrr===，所以31323π2333π2rVVr==；圆锥的表面积221ππ3πSrlrr=+=，球的表面积22223

4π4π3π2SRrr===，所以21223π13πSrSr==，故答案为：23；1.14.以maxM表示数集M中最大的数．设01abc，已知2ba或1ab+，则max,,1bacbc−−−的最小值为__________．【答案】15##0.2【解析】【分析】

利用换元法可得11bnpamnp=−−=−−−，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.【详解】令,,1,bamcbncp−=−=−=其中,,0mnp，所以11bnpamnp=−−=−−−，

若2ba，则()121bnpmnp=−−−−−，故21mnp++，令=max,,1max,,Mbacbcmnp−−−=，因此22MmMnMp,故421Mmnp++,则14M，若1ab+，则111npmnp−−+−−−

，即221mnp++，=max,,1max,,Mbacbcmnp−−−=，则2222MmMnMp,故5221Mmnp++,则15M，当22mnp==时，等号成立，综上

可知max,,1bacbc−−−的最小值为15，故答案：15【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在2ba和1ab+前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2ln2fxxxax=+++在点()()22f,处的切线与直线230xy+=垂直．（1）求a；（2）求()fx单调区间和极值．【答案】（1）3a=−（2）单调递增区间为10,2

、()1,+，单调递减区间为1,12，极大值3ln24−，极小值0为的【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.【小问1详解】

()12fxxax=++，则()1922222faa=++=+，由题意可得92123a+−=−，解得3a=−；【小问2详解】由3a=−，故()2ln32fxxxx=+−+，则()()()221112

3123xxxxfxxxxx−−−+=+−==，0x，故当102x时，()0fx¢>，当112x时，()0fx，当1x时，()0fx¢>，故()fx的单调递增区间为10,2、()1,+，()fx的单调递减

区间为1,12，故()fx有极大值211113ln32ln222224f=+−+=−，有极小值()21ln113120f=+−+=.16.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字

两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望()EX．【答案】（1）47（2）分布列见解析，()107EX=【解析】【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要

求的取法数，再除以总的取法数可得结果；（2）先确定X的可取值为1,2,3，然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望()EX.【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字的小球，

有34C种方法，然后每种小球各取1个，有111222CCC种取法，所以()3111422238CCCC4=C7PM=.【小问2详解】由题意可知，X的可取值为1,2,3，当1X=时，分为两种情

况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以()1221262638CCCC91=C14PX+==；当2X=时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以()1221242438CCCC22=C7PX+==；当3X=时

，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以()1221222238CCCC13=C14PX+==，所以X的分布列为：X123P91427114所以()92110123147147EX=++=.17.如图，平行六面体1111ABCDABCD

−中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，11112,,45AACCBCCDCCO===．（1）证明：1CO⊥平面ABCD；（2）求二面角1BAAD−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223【解析】【分析】（1）根据题意，利用线面垂

直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.【小问1详解】连接11,BCDC，因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BCDC=，又因11CCBCCD=，11CCCC=，所以11CCBCCD，

所以11BCDC=，点O为线段BD中点，所以1COBD⊥，在1CCO△中，11222,CCCOAC===，145CCO=，所以222111112cos222CCOCCOCCOCOCCOC+−===，则222111CCOCCOCOOC=+⊥，又O

CBDO=，OC平面ABCD，BD平面ABCD，所以1CO⊥平面ABCD.【小问2详解】为由题知正方形ABCD中ACBD⊥，1CO⊥平面ABCD，所以建系如图所示，则()()()()()10,2,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0

,0,0,2BDACC−−，则()112,0,2AACC==，()()2,2,0,2,2,0ABAD=−=−−，设面1BAA的法向量为()111,,mxyz=，面1DAA的法向量为()222,,xnyz=，则()1111122001,1,10220xzAAmmABmxy+==

=−=−+=，()2212222001,1,10220xzAAnnADmxy+===−−=−−=，设二面角1BAAD−−大小为，则21122cossin1cos3333mnmn====−=

，所以二面角1BAAD−−的正弦值为223.18.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，过F的直线l交C于,AB两点，过F与l垂直的直线交C于,DE两点，其中,BD在x轴上方，,MN分别为,ABDE的中点．（1）证明：直线MN过定点；（2）设

G为直线AE与直线BD的交点，求GMN面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）设出直线AB与直线CD的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线MN后即可得定点坐标；（2）设出直线AE与直线BD的方程，联立两直线后结合第

一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为1−，再结合面积公式及基本不等式即可得.【小问1详解】由2:4Cyx=，故()1,0F，由直线AB与直线CD垂直，故两只直线斜率都存在且不为0，设直线AB、CD分别为11xmy=+、21xmy=+，有121mm=−，()11,Axy、()22,Bxy、()33,E

xy、()44,Dxy，联立2:4Cyx=与直线AB，即有2141yxxmy==+，消去x可得21440ymy−−=，2116160m=+，故1214yym+=、124yy=−，则()2121112

112111242xxmymymyym+=+++=++=+，故2121212xxm+=+，12122yym+=，即()21121,2Mmm+，同理可得()22221,2Nmm+，当22122121mm++时，则()()2212112212122:12221MNmmlmmxmy

m−−−=++−+，即()()21212121212121112221212122mmmmxyxmmmmmmmmmmmm+−+=−+−=−−++++1212212121212211212122mmmmxxmmmmmmmmmm=−−=−+++

−++−，由121mm=−，即()2121213121yxxmmmmmm−=++=−++，故3x=时，有()213013mmy−+==，此时MN过定点，且该定点为()3,0，当22122121mm+=+时，即2212mm=时，由121mm

=−，即11m=时，有213:MNlx=+=，亦过定点()3,0，故直线MN过定点，且该定点为()3,0；【小问2详解】由()11,Axy、()22,Bxy、()33,Exy、()44,Dxy，则()311131:AEyylyxxyxx−=−+−，由2114yx=、2224yx=，故2

2231113131112231313131313144444yyyyyyyyyxxyxyyyyyyyyyyyyy−+=−+=−+=++++++−，同理可得2442424:BDyyxlyyyyy=++

+，联立两直线，即13313124424244yyxyyyyyyyxyyyyy=+++=+++，有13243131424244yyyyxxyyyyyyyy+=+++++，即()()()()4213423124314

4xyyyyyyxyyyyyy+++=+++，有()()()2431134242314yyyyyyyyxyyyy+−+=+−−，由124yy=−，同理344yy=−，故()()()()243113422341241341234231423144yyyyyyyyyyyyyy

yyyyyyxyyyyyyyy+−++−−==+−−+−−()()24134231414yyyyyyyy−+−−==−+−−，故1Gx=−，过点G作//GQx轴，交直线MN于点Q，则12MNQGGMNSyyxx=−−，由()21121,2Mmm+、()22221,2Nmm+，故

12111122222224MNyymmmmmm−=−=+=，当且仅当11m=时，等号成立，下证4QGxx−：由抛物线的对称性，不妨设10m，则20m，当11m时，有()2111,0mm=−−，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，有21120111mmmm=+−，由直线

MN过定点()3,0，此时()314QGxx−−−=，同理，当11m时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，有2110mm+，故此时4QGxx−，当且仅当11m=时，3Qx=，故4QGxx−恒成立，且11m=时，等号成立，故114482

2MNMGNQGSyyxx=−−=，【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为1−，此时可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.19.离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数，集合1,

2,,1Xp=−，若,,uvXmN，记uv为uv除以p的余数，,mu为mu除以p的余数；设aX，2,2,1,,,,paaa−两两不同，若(),0,1,,2nabnp=−，则称n是以a为底b的离散对数，记为log()anpb=．（1）若11,2pa==，

求1,pa−；（2）对12,0,1,,2mmp−，记12mm为12mm+除以1p−的余数（当12mm+能被1p−整除时，120mm=）．证明：()log()log()log()aaapbcpb

pc=，其中,bcX；（3）已知log()anpb=．对,1,2,,2xXkp−，令,,12,kkyayxb==．证明：()2,21npxyy−=．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）第一问直接根

据新定义来即可.（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.（3）根据新定义进行转换即可得证.【小问1详解】若11,2pa==，又注意到102102493111==+，所以1,01,21pa−==.【小问2详解】当2p=时，此时{1}X=，此时1bc==，1bc=

，故()log()0,log()0,log()0aaapbcpbpc===，此时()log()log()log()aaapbcpbpc=.当2p时，因2,2,1,,,,paaa−相异，故2a，而aX，故,ap互

质.设()12=log(),log(),=log()aaanpbcnpbnpc=记()12=log(),log(),=log()aaanpbcnpbnpc=，则12,Nmm，使得1212,nnapmbapmc=+=+，故()()1212nnapmbpmc+=++，故

12(mod)nnabcp+，设()121,02nntpssp+=−+−，则12nns=，因为1,2,3,..1p−除以p的余数两两相异，且(),2,3,..1aaapa−除以p的余数两两相异，故()()1!23,..1(mod)pa

aapap−−，故11modpap−，故(mod)sabcp，而(mod)(mod),nabcpbcp=其中02np−，故sn=即()log()log()log()aaapbcpbpc=.【小问3详解】当2b时，由（2）可得11m

odpbp−，若1b=，则11modpbp−也成立.因为log()anpb=，所以()modnabp.另一方面，()()()()()22,2,,,2121npnpnpkkyyyyxba−−−()()()()()()()()112211m

odmodkkknpkpkkpxbaxbbxbxpxp−−−−−.由于xX，所以()2,21npxyy−=.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

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