【文档说明】广西南宁市第三中学、北海中学2020-2021学年高一下学期6月联考数学试题含答案.docx，共(10)页，859.412 KB，由小赞的店铺上传

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1南宁三中北海中学2020级高一6月联考数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共60分）1．下列命题正确的是（）A．铺得很平的一张纸是一个平面B．四边形一定是平面图形C．三点确定一个平

面D．梯形可以确定一个平面2．已知向量(1,2)a=，(2,)bm=−，若//ab，则实数m的值为（）A．4B．4−C．1D．1−3．cos15的值是（）A．622−B．622+C．624−D．624+4．由首项a1＝1，公比q＝2确定的

等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于（）A．4B．5C．6D．75．某圆锥的侧面展开图是面积为4且圆心角为90的扇形，则此圆锥的体积为（）A．833B．153C．83D．156．当()0,π时，若2π3cos

35−=−，则πsin3+的值为（）A．45−B．45C．45D．357．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．823B．2C．83D．88．已知变量

x，y满足约束条件43120,440,220,xyxyxy−++−++则2zxy=−的最大值为（）A．12B．1C．2−D．3479．三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，,3,62BACAPBC===，则三棱锥外接球的表面积为（）A．57B．63π

C．45D．8410．已知直三棱柱111ABCABC−中，120BAC=，ABAC=，且直线A1B与平面ABC所2成的角为45，D为1CC的中点，则异面直线1AB与AD所成角的余弦值为（）A．105B．105−C．1020D．1020−11．

已知数列na的通项公式是6nnaf=，其中()()sin02，fxx=+的部分图象如图所示，nS为数列na的前n项和，则2021S的值为（）A．1−B．0C．12D．32−12．已知数列222333333344112312345671

2:,,,,,,,,,,,,2222222222222na（其中第一项是112，接下来的221−项是222123,,222，再接下来的321−项是33333331234567,,,,,,2222222，依

此类推）的前n项和为nS，下列判断：①1010212−是na的第2036项；②存在常数M，使得MnS恒成立；③20191018S=；④满足不等式1019nS的正整数n的最小值是2100.其中正确的序号是（）A．①

③B．①④C．①③④D．②③④二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在ABC中，边,,abc所对的角分别为,,ABC，若2223,sin2coscababAB=+−=，则A=______．14

．函数222ymxmxm=−++的定义域是R，则实数m的取值范围是________．15．已知等差数列na，正整数p，q，s，t满足pqstaaaa+=+，则22stpq++的取值范围是___________.16．给出下列说法：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三

条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．其中正确说法的序号是______．3三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a=−，315S=−.（1）求公差

d及na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值.18．（本小题满分12分）已知向量()2cos,1ax=r，(cos,3sin2)bxxm=+，函数()fxab=．（1）求函数()fx的单调增区间；（2）

当0,6x时，()44fx−恒成立，求实数m的取值范围．19．（本小题满分12分）在正方体1111ABCDABCD—中，E是棱1BB的中点．（1）求证：1//BD平面ACE；（2）若

F是棱1CC的中点，求证：平面1//BDF平面ACE．420．（本小题满分12分）在三棱锥PABC−中，22PAPBPCAC====，2BABC==，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点.（1）求证：PO⊥平面

ABC；（2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值.21．（本小题满分12分）在ABC中,角,,ABC对应边分别为,,abc,若3sincosaCaCcb+=+.（1）求角A；（2）若3a=，求bc+的取值范围.22．（本小题满分12分）已知数列na，nb满足111a

b==，nS为数列nb的前n项和，记1nnaa+−的前n项和为nG，1nnbb+的前n项积为nT，且22nnGT=−.（1）若312nnS−=，求数列na的通项公式；（2）若nnSa=，对任意自然数*Nn，都有()121223111n

nnnnbbbaaaaaaa++−+++，求实数的取值范围.南宁三中北海中学2020级高一6月联考数学试题答案51．DA：平面是一个无限延展的面，而一张纸只是平面图形，错误；B：若四个顶点不共面，四边形不是平面图形，错误；C：三点共线时有无数个平面，错误

；D：梯形是一个平面图形，故可以确定一个平面，正确.2．B解：因为()()1,2,2,,//abmab==−，所以40m+=，解得：4m=−.3．D()cos15cos4530cos45cos30sin45sin30=−=+.4．D

因为数列{an}为等比数列，所以an＝a1·qn－1＝2n－1＝64，解得n＝7.5．B设圆锥底面的半径为r，母线长为l，则侧面展开图的面积为1242=rl，则4rl=，又因为圆心角为90，所以22=rl，解得41，==lr，所以圆锥的高为224115h=−=，故圆锥的体积为21

1533=rh.6．B∵()0,π∴2ππ2π,333−−∵2π3cos35−=−2ππ2π,323−，∴2π4sin35−=，∴π2π2π4sinsinπsin3

335+=−−=−=.7．C由给定的三视图知，这个几何体是四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD，如图：四棱锥P-ABCD的高PA=2，底面ABCD面积为S=AB

2=4，则该几何体体积为1833VSPA==.8．D不等式组43120,440,220xyxyxy−++−++表示的平面区域如图中阴影部分所示（包括边界）．作出直线20xy−=并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点B时2zxy=−取得最大值．由440,220xyxy+−=

++=得10,712,7xy==−故1012,77B−，所以max1012342777z=−−=．9．C因为,62BACBC==，所以ABC的外接圆的半径3，其外接圆

的圆心为其斜边BC的中点E，三棱锥PABC−中，PA⊥平面ABC，所以，作EO⊥平面ABC，并且取2162224+=61322EOPA==，所以点O是三棱锥PABC−的外接球的球心，连结OB，则223353()22RBO=

=+=，所以三棱锥外接球的表面积为2445SR==.10．A因为三棱柱111ABCABC−是直三棱柱，则1AA⊥平面ABC，所以1ABA即为直线A1B与平面ABC所成的角，所以145ABA=，所以1AAAB=，取AB中点O，1AA中点M，连接11,,OMMCO

C，则112OMAB，1CMAD，所以1OMC或其补角即为异面直线1AB与AD所成角，设12AAABa==，则()()2211122222OMABaaa==+=，()22125MCaaa=+=，在ABC中，2222212cos12042272OC

OAACOAACaaaaa=+−=+−−=2222117411COOCCCaaa=+=+=，在1CMO中，15MCa=，2OMa=，111COa=∴22222211112511410cos25225210OMMCOCaaaOMCOMMCaa+−+−−

−====，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1AB与AD所成角的余弦值为.11．D观察图象知：函数()fx周期为T，35346124TT=−==，22T==，又222(

)1223kkkZ+=+=+，而2，则3=，所以()sin(2)3fxx=+，sin(2()663)sin()33nnnnaf+=+==，数列na是周期数列，周期为6，其前6项依次

为3333,0,,,0,2222−−，则60S=，202163365=+，则20216533362SSS=+=−.12．B由题意可知，数列na的规律为：分母为2k的项有21k−项，将数列na中的项排成数阵，且使得第k行每项的分母为2k，该行有21k−项，如

图所示，105122233333331212322212345672222222LLLLLLLLLLLLLLL7对于命题①，1010212−位于数阵第10行最后一项，对应于数列na的项数为()()()()101210212

21212110203612−−+−++−=−=−L，命题①正确；对于命题②，数阵中第k行各项之和为kb，则()12121222122kkkkkkb−+−−==，且数列kb的前k项之和为()121212212121221222222kkkkkkT+−−−−−−−−=+++==L，当

k→+时，kT→+，因此，不存在正数M，使得nSM，命题②错误；对于命题③，易知第9行最后一项位于数列na的项数为()()()()91292122121219101312−−+−++−=−=−L，第10行最

后一项位于数列na的项数为2036，且101320192036，则2019a位于数阵第10行第1006项（即201910131006−=），所以20199101010121006222ST=++++L1010101100610062922222

+−−=+1110235031007101822=+，命题③错误；由①知，11203610210210182ST−−===，且121121124083101922T−−==，则恰好满足1019nS的项na位于第11行，假设位

于第m项，则有()1011111112112101810192222mmmT+++++=+L，可得出()14096mm+，由于64634032=，64654160=，则636440966465，64m=，因此，满足1019nS的最

小正整数2036642100n=+=，命题④正确．13．22223cabab=+−Q，22233cos222abcabCabab−+===，0C，6C=，又ABC++=，所以56BA=−，sin2cosAB=，sin2cos2cos2555cossinsi

n66o6csAAAAB==−+=，312coscos22sinsin3AAAA=−+=−，cos0A=，0A，2A=.14．[0，＋∞)因为函数222ymxmxm=−++的

定义域是R，当m＝0时，符合题意；当m≠08时，由题意知mx2－2mx＋m＋2≥0对x∈R恒成立，则2044(2)0mmmm=−+，解得m＞0.综上，m≥0.所以实数m的取值范围是[0，＋∞).15．)1,+由na为等差数列，且p

qstaaaa+=+，则pqst+=+，所以()22222ststststststpqstst+−+==+−+++，当且仅当st=时，取等号，又,stN，所以1,1st，即1st，所以221stpq++，故22stpq++的取值范围是)1,+.16．④如图，在正方体1111AB

CDABCD−中，111AAABA=，1ADAAA=，但是11,ABAD异面，故①错误.又1111,,AAABAD交于点1A，但1111,,AAABAD不共面，故②错误.如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.如图，

因为abD=，故,ab共面于，因为,,BaFbEb，故,,BFE，故BF即c，而Ac，故A，故EA即d即abcd,,,共面，故④正确.17．（1）设na的公差为d，由题意得13315ad+=−.由17a=−得

2d=.所以na的通项公式为29nan=−.(5分)(2)由(1)得()228416nSnnn=−=−−.所以4n=时nS取得最小值，最小值为16−.(10分)18.（1）()22cos3sin2fxabxxm==++3sin2cos212sin216xxmxm=+++=+++

(3分)由222262kxk−++，()kZ得(),36kxkkZ−+∴()fx的单调增区间是()36kkkZ−+，(6分)（2）由（1）知()fx在06,

上单调递增，9∴当6x=时，()max3fxm=+；当0x=时，()min2fxm=+.(10分)由题设可得3424mm++−解得61−m，∴m的取值范围是61−m(12

分)19．（1）连BD，使BDACG=，连EG．(1分)∵ABCD是正方形，BDACG=，DGBG=．又E是1BB中点，1BEBE=，1//DBGE(4分)，又1DB平面ACE，GE平面ACE，∴1//B

D平面ACE．(6分)（2）∵E是棱1BB的中点，F是棱1CC的中点，1//BECF且1BECF=,所以四边形1BECF是平行四边形(8分)1//BFCE,又1BF平面ACE,CE平面ACE，1//BF平面ACE.(10分)由(1)1//BD平面ACE,

又111=DBBFBQ，∴平面1BDF//平面ACE.(12分)20．（1）由2BABC==，22AC=，有222BABCAC+=，从而有2ABC=，BOAC⊥且2BO=.又PAC△是边长等于22的等边三角形，POAC⊥

(2分)，6PO=.又22PB=，从而有222PBPOBO=+，2POB=，POBO⊥.(4分)又ACBOO=，PO⊥平面ABC.(6分)（2）过点M作MNBO⊥交BO于点N，连PN.由（1）知PO⊥平面ABC，得MNPO⊥，又MNBO⊥，MN⊥平面ABC，M

PN是直线PM与平面PBO所成的角.(9分)由（1）证BOAC⊥，从而N为线段BO的中点，112242MNOCAC===，222(22)17PMPCMC=−=−=，2142sin147MNMPNPM===，直线PM与平面PBO所成的角的正弦值是1414.(12分)

21.解：（1）∵cos3sinaCaCbc+=+，∴由正弦定理可得sincos3sinsinsinsinACACBC+=+，(2分)10∴sincos3sinsinsin()sinACACACC+=++，∴3sin

cos1AA−=，∴()1sin302A−=，∵3030150A−−，∴3030A−=，∴60A=；(6分)（2）由题意：0,0,3bcbca+=，∴由余弦定理2232cos60bcbc

=+−(8分)则3221()3()4bcbcbc=+−+…（当且仅当3bc==时取等号），即2()12bc+，∴23bc+.∵3bc+，∴323bc+.(12分)22.解：（1）∵()()()112111nnnnnnGaaaaaaa+−+=−++++−=−，(2分)12111

nnnnnnbbbTbbbb++−==.∵22nnGT=−，∴1121nnab++=−，(4分)∵312nnS−=，∴()11131313222nnnnnnbSSn−−−−−=−=−=.(5分)∵11b=，∴13nnb−=，∴121231nnnab−=−=−.(6分)（2）∵n

nSa=，()112nnSan−−=，∴()12nnnbaan−=−.∵21nnab=−，∴()1122nnnaaan−+=−，∴()1212nnaan−=+，∴21nna=−，12nnb−=.(8

分)∵()()()()()()011121223112231222212121212121nnnnnnbbbaaaaaa−+++++=+++−−−−−−111111(1)22121nnn++=−−−

−两边同乘以121n+−(1n时，1210n+−)，∴条件不等式等价于()21(1)nn−−(10分)，∴当n为偶数时，21n−恒成立，当2n=时，221213n−−=，故3；当n为奇数时，1

2n−恒成立，当1n=时，12121n−−=−，故1−；故13−.(12分)1223111111112212121212121nn+=−+−++−−−−−−−