【文档说明】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期入学自主检测数学试题 含答案.docx，共(10)页，571.649 KB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2020-2021学年度高一第二学期入学自主检测数学时量：20分钟满分：50分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合220Mxxx=−=，0,1,2N=，则MN=（）A.

0B.0,1C.0,2D.0,1,22.设3525a=，2525b=，2535c=，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.bcaC.cabD.cba3.函数()1212

xfxx=−的零点个数为（）A.0B.1C.2D.34.已知函数()()()sincosfxaxbx=+++，且()43f=，则()2021f的值为（）A.1−B.1C.3D.3−5.关于x的方程20xa

xb++=，有下列四个命题：甲：1x=是该方程的根；乙：3x=是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁6.若实数a，b满足12abab+=，则ab

的最小值为（）A.2B.2C.22D.47.若函数()()fxxxb=−在区间0,2上是减函数，则实数b的取值范围是（）A.(,4−B.(,2−C.)2,+D.)4,+8.已知函数()yfx=的定义域为R，则“()fx无最

大值”的一个充分条件是（）A.()fx为偶函数且关于直线1x=对称B.()fx为偶函数且关于点()1,1对称C.()fx为奇函数且关于直线1x=对称D.()fx为奇函数且关于点()1,1对称二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0a，0b，且4ab+=.则下列结论正确的是（）A.4abB.111ab+C.2216ab+D.228ab+10.下列几个说法中，正确的是（）A.已知函数()fx的定义域是1,82，则()2xf的定义

域是(1,3−B.命题“0x，e1xx+”的否定为：“00x，00e1xx+”C若函数()22xfxb=−−有两个零点，则实数b的取值范围是02bD.若函数()214ln1xfxxx+=+−在区间11,22−上的最大值与最小值分别为M和m，则8Mm+=11.已知

函数()()sin322fxx=+−的图象关于直线4x=对称，则（）A.函数12fx+为奇函数B.函数()fx在,123上单调递增C.若()()122fxfx−=，则12xx−的最小值为

3D.函数()fx的图象向右平移4个单位长度得到函数cos3yx=−的图象12.已知1xy+=，0y，0x.则121xxy++的值可能是（）A.23B.34C.1D.54三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知42a=，lgxa=，则

x=.1.已知函数()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()22fxxx=−.则0x时，()fx=.15.已知函数()()sin3cos0fxxx=+，062ff+=，()fx在区间,62上单调递减，则=.16.设函数()2,,2,,

xxafxxxxa=−+①若0x，使得()()11fxfx+=−成立，则实数a的取值范围是；②若函数()fx为R上的单调函数，则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数()22lgxxafxx++=.（1）求使()1fa的a最小值；（2）若对任意)1,x+，()fx有意义，求实数a的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数()2

3sinsin3cos22fxxxx=−−+.（1）求()fx的最大值及取得最大值时x的值；（2）若方程()23fx=在()0,上的解为1x，2x，而，求()12cosxx−的值.19.（本小题满分12分）设0a

，()eexxafxa=+是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）判断()fx在()0,+上是增函数还是减函数，并证明你的结论.20.（本小题满分12分）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探

索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量0r为32mg/m，首次改良工艺后排放的废气中含有污染物数量1r为31.94mg/m，第n次改良后所排放的废气中的污染物数量nr可由函数模型()()0

.5*0015,npnrrrrpn+=−−RN给出，其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后nr的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取l

g20.3=）21.（本小题满分12分）已知函数()2103sincos10cos222xxxfx=+.（1）求函数()fx的最小正周期；（2）将函数()fx的图象向右平移6个单位长度，再向下平移()0aa个单

位长度后得到函数()gx的图象，且函数()gx的最大值为2.（i）求函数()gx的解析式；（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得()00gx.22.（本小题满分12分）已知()22fxa

xbx=++，xR.（1）若1b=−，且()3,yyfxx=R，求a的取值范围；（2）若1a=，且方程()212fxx+−=在()0,2上有两个解1x，2x，求b的取值范围，并证明121124xx+.湖南师大附中2020-2021学年

度高一第二学期入学自主检测数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CDBDACDD3.B【解析】由()0fx=，得1212xx=，在平面直角坐

标系中分别画出函数12yx=和12xy=的图象，可知其交点只有一个，所以()fx的零点只有一个.4.D【解析】因为()()()4sin4cos4sincos3fabab=+++=+=，所以()()()2021sin

2021cos2021sincos3fabab=+++=−−=−.5.A【解析】若甲、乙都为真命题，则丙、丁都为假命题，与四个命题中“只有一个假命题”矛盾，故甲、乙中必有一个假命题.若甲、丙都为真命题，则乙、丁都为假命题，也与四个命题中“只有一个假命题”矛盾，从而甲、丙中必有一个

假命题.由此可知，甲是假命题.6.C【解析】由12abab+=得：0a，0b，122222abababab=+=，即22ab，当且仅当12ab=，即442,22ab==时等号成立.7.D【解析】因为

0,2x时，()()2fxxxbxbx=−=−是减函数，则22b，即4b.8.D【解析】对于A，由()cosfxx=为偶函数且关于直线1x=对称，但有最大值知其不正确；对于B、C，可分别由反例()co

s12fxx=+，()sin2fxx=知其不正确；对于D，由()fx为奇函数且关于点()1,1对称知()()fxfx−=−，()()112fxfx++−=，由此可得()()()22fxfxfx+=+，所以()fx没有最大值.二、多项选择题：本题共4小

题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ABACDACBCD12.BCD【解析】已知1xy+=，0y，0x.∴1x

，（1）当01x时，11212212242442xxxxxxxyxxxxxxx+−−+=+=+=+++−−−12524424xxxx−+=−（当且仅当23x=时，等号成立）.（2）当0x时，1112321224424xx

xxyxxxxx−−−+=+=−+++−−−−（当且仅当2x=−时，等号成立）.综上可知，121xxy++的可取值范围是3,4+，故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1014.22xx−−【解析】当0x

时，0x−，因为()fx是奇函数，所以()()fxfx−=−.所以()()()()2222fxfxxxxx=−−=−−−−=−−.15.2【解析】∵()fx在,62上单调递减，且062ff+=

，∴6202f+=，∵()sin3cos2sin3fxxxx=+=+，∴622sin02333ff+==+=，∴()33kk+=Z，()31kk=−Z，又由122

26−，0，得03，∴2=.16.①()1,+②(,01−四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）()1fa即(

)lg31a+，所以310a+，即7a，所以a的最小值为7.（2）方法一：对任意)1,x+，()fx有意义在区间)1,+上，220xxax++恒成立220xxa++恒成立.设22yxxa=++，)1,x+，()22211yxxaxa=++=++−递增，所以当1

x=时，min3ya=+，于是当且仅当min30ya=+时，()fx在)1,x+上有意义，故3a−.所以a的取值范围是()3,−+.方法二：对任意)1,x+，()fx有意义在区间)1,+上，220xxax++恒成立220xxa++恒成立22axx−−恒

成立，①设()22gxxx=−−，)1,x+，则①()maxagx，因为()()22211gxxxx=−−=−++，故当1x=时()gx取得最大值()13g=−，所以3a−，即a的取值范围是()3,−+.18.【解析】（1）()()

23cossin2cos12fxxxx=−−13sin2cos2sin2223xxx=−=−.当()2232xkk−=+Z，即()512xkk=+Z时，函数()fx取最大值，且最大值为1.（2）由（1）知，函数()fx图象的对称轴为()5122kxk=+Z，

∴当()0,x时，对称轴为512x=或1112.又方程()23fx=在()0,上的解为1x，2x.结合图象知点12,3x与点22,3x关于512x=对称.∴1256xx+=，则1256xx=−，∴()12225coscos2sin263xxxx

−=−=−，又()222sin233fxx=−=，故()122cos3xx−=.19.【解析】（1）因为()fx是R上的偶函数，所以xR，()()0fxfx−−=，即ee0ee

xxxxaaaa−−+−−=，亦即()1ee0xxaa−−−=，又eexx−−不可能恒为“0”，所以10aa−=，而0a，故1a=.（2）()fx在()0,+上是增函数.证明如下：在()0,+上任取12x

x，()()()2121212121111e1eeeeeeexxxxxxxxfxfx−=+−−=−+−()()()1212211212121ee1eeeeeeeeeexxxxxxxxxxxx−=−+−=−.因为e1，所以由120xx得121ee

xx，从而12ee1xx，所以()()111222eeee0ee1xxxxxx−−，即()()120fxfx−，所以()fx在()0,+上是增函数.20.【解析】（1）由题意得02r=，11.94r=，所以当1n=时，()0.51

0015prrrr+=−−，即()0.51.94221.945p+=−−，解得0.5p=−，所以()0.50.5*20.065nnrn−=−N，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型()0.50.5*20.065n

nrn−=−N.（2）由题意可得，0.50.520.0650.08nnr−=−，整理得0.50.51.9250.06n−，即0.50.5532n−，两边同时取常用对数，得lg320.50.5lg5n−，整

理得5lg2211lg2n+−，取lg20.3=代入，得5lg230221151lg277+=+=−，又因为*nN，所以6n.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.21.【解析】（1）因为(

)2103sincos10cos53sin5cos510sin52226xxxfxxxx=+=++=++.所以函数()fx的最小正周期2T=.（2）（i）将()fx的图象向右平移6个单位长度后得到10sin5yx=+的

图象，再向下平移()0aa个单位长度后得到()10sin5gxxa=+−的图象.又已知函数()gx的最大值为2，所以1052a+−=，解得13a=.所以()10sin8gxx=−.（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得()00gx，就是要证明存在无穷多个互不相

同的正整数0x，使得010sin80x−，即04sin5x.由4352知，存在003，使得04sin5=.由正弦函数的性质可知，当()00,x−时，均有4sin5x.因为sinyx=的周期为2，所以当()(

)002,2xkkk++−Z时，均有4sin5x.因为对任意的整数k，()()00022213kk+−−+=−，所以对任意的正整数k，都存在正整数()002,2kxkk

++−，使得4sin5kx.即存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得()00gx.22.【解析】（1）1b=−时，()22fxaxx=−+，因为()3,yyfxx=R关于x的方程223axx−+=即210axx−−=无实数解，易

知0a，故由140a=+，得14a−，即a的取值范围是1,4−−.（2）1a=时，()212fxx+−=即2210xbxx++−=，不妨设1202xx，令()2221,1,121,1.bxxHxxbxxxbxx+=++−=+−

因为(0,1x时，()1Hxbx=+，所以()0Hx=在(0,1上至多一个解，若()12,1,2xx，则1x，2x就是2210xbx+−=的解，从而12102xx=−，这与题设矛盾.因此，(10,1x，()21,2x.由

()10Hx=得11bx=−，所以1b−，由()20Hx=得2212bxx=−，所以712b−−.故当712b−−时，方程()212fxx+−=在()0,2上有两个解.由11bx=−和2212bxx=−消去b得212112xxx+=，因为

()21,2x，所以121124xx+.