【文档说明】吉林省长春博硕学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，882.564 KB，由小赞的店铺上传

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长春博硕学校2022—2023学年度下学期高一年级期中考试数学学科试卷考试时间：120分钟满分：150分审题人：高一数学组一、单选1.若复数12zi=+，则z的共轭复数z在复平面上对应的点为A.1(,1

)2B.1(,)2iC.1(,)2i−D.1(,1)2−【答案】D【解析】【分析】由共轭复数的定义得共轭复数，进而可得解.【详解】∵12zi=+，∴12zi=−，∴z在复平面上对应点为1(,1)2−．故选D．【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念，考查了复数的几何意义，属于基础题.2.已知

AD为ABC的中线，则AD等于（）A.ABAC+B.ABAC−C.1122ABAC−D.1122ABAC+【答案】D【解析】【分析】根据平面向量线性运算可直接求得结果.【详解】AD为ABC中线，2ABACAD+=，即1122ADABAC=+.故选：D.

【点睛】本题考查平面向量线性运算问题，属于基础题.3.已知在ABC中，5AB=，4BC=，4cos5B=，则cosA=（）A.35B.34C.32D.25【答案】A的【解析】【分析】直接利用余弦定理可解得3AC=，由此可知ABC为直角三角形，所以3cos5ACAAB==.【详解】

由余弦定理可得2222cosACABBCABBCB=+−，解得3AC=，所以222ABACBC=+，所以ABC为直角三角形，则在RtABC△中，3cos5ACAAB==．故选：A.4.已知e为单位向量，8a=，向量,ae的夹角为3π4，则a在e上的投影向量是（）

A.32eB.42e−C.32e−D.23e−【答案】B【解析】【分析】利用投影向量定义即可求得a在e上的投影向量.【详解】a在e上的投影向量是223π81cos41eeeea==42e−故选：B5.某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头

A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为18km/hv=，水流的速度的大小为24vkm/h=，设1v和2v的夹角为1(080)，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，cos=（）A.32B.3

2−C.12D.12−【答案】D【解析】【分析】设船的实际速度为v，则12vvv=+，由题意可得2vv⊥，即20vv=，代入计算即可求出答案．【详解】解：设船的实际速度为v，则12vvv=+，北岸的点B

在A的正北方向，游船正好到达B处，则2vv⊥，所以20vv=，即2122122()cos32cos160vvvvvv+=+=+=，解得1cos2=−，故选：D．6.为了得到函数sin2yx=的图像，只需将函数π()sin(2)6fxx=+的图像（）A.

向左平移π12个单位B.向左平移π6个单位C.向右平移π12个单位D.向右平移π6个单位【答案】C【解析】【分析】由()sin2()12πfxx=+，再根据平移规则，得到答案．【详解】由()sin(2)sin2()612ππfxxx=+=

+，所以为了得到函数sin2yx=的图像，函数π()sin(2)6fxx=+需要向右平移π12个单位，即()sin2()sin2121212πππfxxx−=−+=，故选：C．7.已知()πcossin6fxxx=−，则下列描述中正确的是（）A.函数()fx周期2πB.当π0,

2x，函数()fx最大值是14C.直线π3x=不是该函数的一条对称轴D.当π,π2x，函数()fx没有最小值【答案】B是【解析】【分析】由三角恒等变换化简函数关系式，再根据三角函数的单调性、周期性、对称性判定选项即可.【详解】()

π31311cossincossincossin2cos2622444fxxxxxxxx=−=−=−−1π1sin2264x=−−，显然周期πT=,故A错误；

当π0,2x时，ππ5π2,666x−−，()max14fx=(π3x=时取得)，故B正确；由B知，π3x=时函数取得最值，则π3x=是该函数的一条对称轴，故C错误；当π,π2x时，π5π11π2,666x−

，函数有最小值，在5π6x=时取得，故D错误.故选：B.8.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且sin3cos,3aBbAa==.若2BDDC=，则AD的最大值是（）A.3B.21+C.31+D.3【答案】C【解析】【分析】由正弦定理和已知

求出A，再利用正弦定理求得23sincC=，在ABD△中，运用余弦定理和C的范围可得答案.【详解】由正弦定理、sin3cosaBbA=可得sinsin3sincosABBA=，因为0πB，所以sin0B

，所以sintan3cosAAA==，A为三角形的内角，π0π,3AA=，由正弦定理可得2sinsinsinabcRABC===，其中R为ABC的外接圆半径，323,23sinsin32acCA===，3,2,2aBDDCBD===，在ABD△中，

运用余弦定理，可得2222cosADABBDABBDB=+−()22π23sin4223sin2cos3CCC=+−−，化简，可得223sin24ADC=+，π2π4π,0,,20,333ACC=

，当π22C=时，AD取得最大值，max231413AD=+=+.故选：C.二、多选9.下列说法错误的有（）A.三点确定一个平面B.平面外两点A、B可确定一个平面与平面平行C.三个平面相交，交线平行D.棱台的侧棱延长后必交与一点【

答案】ABC【解析】【分析】利用平面的基本性质判断选项A；举反例判断选项BC；利用棱台的定义判断选项D即得解.【详解】A.不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，所以该选项错误；B.平面外两点A、B在平面的垂线上，则经过A、B不能确定一个平面与平面平行，所以该选项

错误；C.三个平面相交，交线不一定平行，如三棱锥的三个侧面，所以该选项错误；D.棱台的侧棱延长后必交与一点，所以该选项正确.故选：ABC10.下列命题为真命题的是（）A.若复数12zz，则12,RzzB.若i为虚数单位，n为正整数，则43iin+=C.若22120zz+=，则120zz==D.

若()12i2iab++=，其中a，b为实数，a=1，b=-1【答案】AD【解析】【分析】利用复数的性质判断选项A；通过计算判断选项BD；举反例判断选项C即得解.【详解】A.若复数12zz，则12,Rzz,所以该选项正确；B.若i为虚数单位，n为正整数，则43iin+

=−，所以该选项错误；C.若22120zz+=，则120zz==不一定成立，如12i,1zz==，所以该选项错误；D.若()12i2iab++=，其中a，b为实数，则02i=2i,,22ababaa+=+

+=1,1ab==−.所以该选项正确.故选：AD11.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，则下列结论正确的是（）A.若2220acb+−，则ABC为锐角三角形B.若ABC为锐角三角形，则sincosABC.若sin2sin2AB=，则

ABC为等腰三角形D.若2coscaB=，则ABC是等腰三角形【答案】BD【解析】【分析】对于A，用余弦定理可以判定；对于B，利用正弦函数单调性及诱导公式即可判定；对于C，由正弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦公式即可判定.【详解】

对于A，由余弦定理可得222cos02acbBac+−=，即π0,2B，但无法判定A、C的范围，故A错误；对于B，若ABC为锐角三角形，则有πππ0222ABAB+−，由正弦函数

的单调性可得πsinsincos2ABB−=，故B正确；对于C，若sin2sin2AB=，由正弦函数的性质可得222πABk=+或22π2πABk+=+，又()0,πAB、，故AB=或π2AB+

=，所以C错误；对于D，若2coscaB=，由正弦定理可得sin2sincosCAB=，结合两角和的正弦公式得()sinsincossincos2sincossincossincosABABBAABABBA+=+==又()0,πAB、，所以coscos0AB、

，故tantanABAB==，所以D正确故选：BD12.已知函数()()()3sincos(0,0π)fxxx=+−+，且()fx图象的相邻两对称轴间的距离为π2，则以下说法正确的是（）A.1=B.若()fx为偶函数，则23=

C.若()fx在区间π0,6上单调递增，则的最大值为π3D.若()fx的一个对称中心为π,012−，则π6=【答案】BC【解析】【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的最大值判断选项

C；求得的值判断选项D.【详解】()()()π3sincos2sin6fxxxx=+−+=−+，由()fx图象的相邻两对称轴间的距离为π2，可得周期π2π2T==，则2π2π==.则()π2sin26fxx=−

+.选项A：由2=可得选项A判断错误；选项B：若()fx为偶函数，则()π02sin26f=−+=，则ππ2π+,Z62kk−+=或ππ2π,Z62kk−+=−，又0π，则23=

.判断正确；.选项C：由π0,6x，可得π26x−+6ππ6,−++，又0π，且()fx在区间π0,6上单调递增，则π6π2+，解之得π3，则的最大值为π3.判断正确；选项D：由()fx的一个对称中心为π,012

−，可得ππ2sin0123f−=−+=，则ππ,Z3kk−+=，又0π，则π3=.判断错误.故选：BC三、填空题13.复数5i2=−____.【答案】2i−−##i2−−【解析】【分析】利用复数除法即可求得5i2−的化简结果.

【详解】()()()5i25i2i2i2i2−−==−−−−−−故答案为：2i−−14.如图，已知ABC的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角ABC，则ABC的面积为________【答案】42【

解析】【分析】根据直观图画出原图ABC，求出||,||ABAC即得解.【详解】根据直观图画出原图ABC，如图所示，||2||4ACAC==,||4422AB=+=,所以1224422ABCS==△.故答案为：4215.已知正三棱锥SABC−侧棱长为

43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.【答案】64π【解析】【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面

积.【详解】解析：过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.∵在正三棱锥SABC−中，底面边长为6，侧棱长为43，∴2362332BE==，∴226SESBBE=−=.∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径

长R，∴OBR=，6OER=−.的在RtBOE中，222OBBEOE=+，即()22126RR=+−，解得4R=，∴外接球的表面积为2464SR==.故答案为：64π.【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题.16.已知函数()cos()xfx

A=+（其中π0,0,2A）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为_____________【答案】π5π[π,π],Z88kkk++【解析】【分析】根据函数()fx的图象，结合三角函数的

性质，求得()π2cos(2)4fxx=−，进而求得函数()fx的单调递减区间.【详解】由函数()fx的图象，可得2A=，1πππ()4884T=−−=，即πT=，所以2π2T==，即()2cos(2)fxx=+

，又由π()28f=，可得πcos(2)18+=，解得ππ,Z4kk+=，即ππ,Z4kk=−，因为π2，所以π4=−，即()π2cos(2)4fxx=−，令π2π22ππ,Z4kxkk−+，解得π5ππ

π,Z88kxkk++，即函数()fx的递减区间为π5ππ,π,Z88kkk++.故答案为：π5π[π,π],Z88kkk++.四、解答题17.已知复数()()()222823izmmmmmR=+−++−在复平面内所对应的点为A.（1）若复数2zm−+为纯虚数，求m的值；（

2）若点A在第三象限，求m的取值范围.【答案】（1）2m=（2）()3,1−【解析】【分析】（1）先化简2zm−+，再利用2zm−+为纯虚数列方程组即可求解（2）依题意的实部和虚部均小于0，解此不等式组即可求解【小问1详解】由题意得()()222623iz

mmmmm−+=+−++−，因为2zm−+为纯虚数，所以2260230mmmm+−=+−，解得2m=.【小问2详解】复数z在平面内所对应的点为()2228,23Ammmm+−+−，因为点A在第三

象限，所以22280230mmmm+−+−，解得31m−，所以实数m的取值范围为()3,1−.18.如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，ADBC∥，π2BAD=，π3BDA=，BC

BD=．（1）求AEBD的值；（2）求AC与BD夹角的余弦值．【答案】（1）0（2）714−【解析】【分析】（1）首先由已知条件得出BCD△为等边三角形，2ADBDBCCD===，把AD和DC作为一组基向量，分别表示出AE和BD，直接计算AEBD即

可．（2）把AD和DC作为一组基向量，表示出AC，结合（1），由cos,ACBDACBDACBD=代入计算即可．【小问1详解】因为π3BDA=，ADBC∥，所以3πBDADBC==，又因为BCBD=，所以BCD△为等边

三角形，所以BDCDBC==，π3BDC=，在Rt△ABD中，由π3BDA=得π6ABD=，所以2BDAD=，所以2CDBCAD==，由12AEADDEADDC=+=+，2BDBCCDADDC=+=−，则222211()(2)222022AEBDADDCADDC

ADDCADAD=+−=−=−=．【小问2详解】由（1）得，2BDADDC=−，2DCAD=，又ACADDC=+，2π3ADC=，则()(2)ACBDADDCADDC=+−222ADADDCDC=+−222cos43πADADDCAD=+

−22224ADADAD=+−2AD=−，又22222()2527ACADDCADDCADDCADADAD=+=++=+=，22222(2)44842BDADDCADDCADDCADADAD=−=+−=−=，所以27cos,1472ADACBDACBDAC

BDADAD−===−．19.在ABC中，已知2AB=，4AC=，π3BAC=．（1）求ABC面积；（2）求ABC内切圆半径．【答案】（1）23（2）31−【解析】【分析】（1）直接由三角形面积计算公式1sin2ABCSABACBAC=，代入计算即可；（2）首先由余弦定理求

出BC，再由等面积法即可求出ABC内切圆半径．【小问1详解】因为2AB=，4AC=，π3BAC=，所以113sin2423222ABCSABACBAC===△．【小问2详解】由222222241cos22242ABACB

CBCBACABAC+−+−===，解得23BC=，设ABC内切圆半径为r，则11123222ABCSABrACrBCr=++=，所以232331133()2rABACBC===−+++，故ABC内切圆半径为31−．20.如图，棱长为6的正方

体，截去八个一样的四面体，得到一个新的多面体，（1）求新多面体的体积；（2）新多面体的表面积是多少？【答案】（1）180（2）108363+【解析】【分析】（1）利用正方体的体积减去八个四面体的体积即可求解；（2）分别求出新多面体每个侧面的面积，

相加即可.【小问1详解】由题意正方体的体积1666216V==，截去的每个四面体的体积2119333322V==，所以新多面体的体积128180VVV=−=.【小问2详解】由图可知新多面体的侧面由6个正方形和8个正三角形组成，

正方形的边长和正三角形的棱长均为223332+=，正三角形的高为362，所以正方形面积1323218S==，三角形面积21369332222S==，所以新多面体的表面积1268108363SSS=+=+.21.已知函

数()πsin()0,0,2fxAxBA=++的部分图象如图所示.（1）求()fx的解析式及对称中心坐标：（2）先把()fx的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()gx的图象，若当π

π,46x−时，关于x的方程()210gxa+−=有实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1）π()2sin213fxx=+−，ππ,126k−−()kZ（2）11,2

2−【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得A，B的值，由7ππ21212T=−以及2πT=可得的值，再由最高点可求得的值，即可得()fx的解析式，由正弦函数的对称中心可得()fx对称中心；（2）由图象的平移变换求得()gx的解析式，由正弦函数的性质可得()gx的值域，令1

2a−的取值为()gx的值域，解不等式即可求解.【小问1详解】由题意可得：13ABAB+=−+=−，可得21AB==−，所以()2sin()1fxx=+−，因为7πππ212122T=−=，所以2ππT==，可得2=，所以()2sin(2)1fxx=+−，由()ππ22πZ1

22kk+=+可得()π2πZ3kk=+，因为π2，所以0k=，π3=，所以()π2sin213fxx=+−.令()π2π3xkk+=Z可得()ππZ26kxk=−，所以对称中心为()

ππ,1Z26kk−−.【小问2详解】由题意可得：()ππ2π2sin2112sin2633gxxx=++−+=+，当ππ,46x−时，2ππ2,π36x+

，2πsin20,13x+，()0,2gx若关于x的方程()210gxa+−=有实数根，则()12agx−=有实根，所以0122a−，可得：1122a−.所以实数a的取值范围为11,22−.22.

已知向量()13cos,sin,3,122axxb==−.（1）当ab⊥时，求tanx的值；（2）设函数()()fxabb=+，且π0,2x，求()fx最大值以及对应的x的值.【答案】（1）1；（2）0x=时，()fx取最大值，最大值为

342+【解析】【分析】（1）利用题给条件列方程即可求得tanx的值；（2）先利用向量的数量积化简()fx的解析式，再利用三角函数性质即可求得()fx的最大值以及对应的x的值.【小问1详解】()13cos,sin,3,1,22axxbab==−⊥

，的()13cos3sin1022xx+−=，cossin0xx−=，tan1x=.【小问2详解】因为()13cos,sin,3,122axxb==−，所以()133cos3sin1(cossin)22

2abxxxx=+−=−，314bb=+=，所以()()()3cossin42fxabbabbbxx=+=+=−+，所以()6ππcos4,0,242fxxx=++，由π02x，可得ππ

3π444x+，所以2π2cos242x−+，所以36π34cos442242x−++++，当ππ44x+=，即0x=时，()fx取最大值，最大值为342+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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