【文档说明】安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(24)页，2.048 MB，由小赞的店铺上传

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高二下学期入学考试试卷（理数）时间：120分钟分值：150分一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.设i为虚数单位，复数1iz，则z（）A.2B.2C.2D.2【答案】C【解析】【分析】直接

利用模长的公式计算结果.【详解】1iz，22(1)(1)2z故选：C.【点睛】本题考查了求复数的模长，属于基础题.2.已知双曲线22212xya的一条渐近线的倾斜角为6，则双曲线的离心率为（）A.233B.26

3C.3D.2【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到a值，再由,,abc的关系和离心率公式，即可得到答案．【详解】双曲线22212xya的一条渐近线的倾斜角为6，则3tan63，所以该条渐近线方程为33yx；所以233a，解得6a；所以226222cab

，所以双曲线的离心率为222336cea．故选A．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，3.若点A在曲线ln1yx上运动，点B在直线2yx上运动，,AB两点距离的最小

值为（）A.2B.22C.4D.2(2)2e【答案】B【解析】【分析】结合图像，当与直线2yx平行的直线与曲线ln1yx相切于点P时，此时,AB两点距离的最小值为点P到直线2yx的距离，计算可得点P的坐标，从而算出答案.【详解】如图可知，当与直线2yx平行的直线与曲线ln1

yx相切于点P时，此时,AB两点距离的最小值为点P到直线2yx的距离，设与直线2yx平行的直线与曲线ln1yx相切于点00,lnx1Px时，又1yx，011x即得01x，1,1P所以点P到直线2yx的距

离为121222，所以,AB两点距离的最小值为22.故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，点到直线的距离计算，考查了数形结合的数学思想.4.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普

勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是()A.卫星向径的最小值为acB.卫星向径

的最大值为acC.卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大【答案】D【解析】【分析】由题意向径即椭圆上的点与焦点的连线的距离，由椭圆的性质可得出答案.【详解】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离.根据椭

圆的几何性质有：卫星向径的最小值为ac，卫星向径的最大值为ac，所以A,B正确.当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，由12111aceacee，可得e越大，椭圆越扁，所以C正确.卫星运行速度在近地

点时,其向径最小，由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等.则卫星运行速度在近地点时最大，同理在远地点时最小，所以D不正确.故选：D【点睛】本题考查椭圆的基本性质，属于中档题.5.若函数yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yfx具

有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A.sinyxB.lnyxC.xyeD.3yx【答案】A【解析】【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，

使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝

sinx时，y′＝cosx，满足条件；当y＝lnx时，y′1x＞0恒成立，不满足条件；当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选A．考点：

导数及其性质.6.函数2||2xyxe在–2,2的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：函数2||()2xfxxe|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为22(2)8e,08e1

f，所以排除,AB选项；当0,2x时，4xyxe有一零点，设为0x，当0(0,)xx时，()fx为减函数，当0(,2)xx时，()fx为增函数．故选：D.7.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数fx，如果00fx，那么

0xx是函数fx的极值点．因为函数3fxx在0x处的导数值00f，所以0x是函数3fxx的极值点．以上推理中（）A.小前提错误B.大前提错误C.推理形式错误D.结论正确【答案】B【解析】【分析】对大前提，

小前提，推理形式与结论进行判断．【详解】大前提：对于可导函数fx，如果00fx，那么0xx是函数fx的极值点，错误，极值点的定义中除要求00fx，还需要在0x两侧的导数的符号相反．虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，故选：B．【点睛】本题考查

三段论推理，三段论推理的结论是正确的前提条件是大前提、小前提、推理形式都正确．8.若函数sinxfxexa在区间,22上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.2,B.1,C.

1,D.2,【答案】B【解析】【分析】将问题转化为0fx在,22上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化为2sin04xa在,22

上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得2sin1,24xaaa，则只需10a即可，解不等式求得结果.【详解】由题意得：sincos2sin4xxxfxexaexexaf

x在,22上单调递增0fx在,22上恒成立又0xe2sin04xa在,22上恒成立当,22x时，3,444x2sin,142x

2sin1,24xaaa10a，解得：1,a本题正确选项：B【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零

的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.9.已知函数1322xxfxee，则曲线()yfx上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（）A.(0]3，B.2(]23，C.[)32，D.[)3，

【答案】C【解析】【分析】求出fx，然后再求出fx的值域，即得到切线斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．【详解】∵13()22xxfxee，∴1311()(3)2332222xxxxxxfxeeeeee，当且仅当3xxee

，即1ln32x时等号成立．∴tan3，又0，∴32，即倾斜角的取值范围是[,)32．故选C．【点睛】本题考查导数几何意义及其应用，解题的关键是求出导函数的值域，然后根据斜率与倾斜角的关系得到所求，考查综合运用知识解决问题的

能力，属于基础题．10.若关于x的方程330xxm在0,2上有根，则实数m的取值范围是（）A.[2,2]B.0,2C.[2,0]D.(,2)(2,)【答案】A【解析】3233,[0,2]3301[13,26][2,2]yxxxy

xxy所以实数m的取值范围是22，,选A.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先

对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11.已知A，B是过抛物线22ypx（0p）焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足2AFFB，2||3OABSAB，则抛物线的标准方程为（）A.24yxB.214yxC.2

8yxD.218yx【答案】A【解析】分析：求出212,22ypyp，339,,424BFpAFpABp，利用方程121(|))22OABpSyy23AB，求得2p，从而可得结果.详解：设1122(,),(,)AxyBxy,2AFF

B，则122yy，又由抛物线焦点弦性质，212yyp，所以2222yp，得212,22ypyp，11322AFBFBFp，得339,,424BFpAFpABp．21213229(|))22834OABpSyyp

p，得2p，抛物线的标准方程为24yx，故选A.点睛：过抛物线22ypx（0p），焦点的弦的常见性质有：（1）弦长12ABxxp；（2）221212,4yypxxp；（3）112+FAFBp12.设函数lnfxx，且012,,0,x

xx，下列命题：①若12xx，则122121fxfxxxx；②存在012,xxx，12xx，使得120121fxfxxxx；③若11x，21x，则12121fxfx

xx；④对任意的1x，2x，都有121222fxfxxxf.其中正确的命题个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选

项逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，设112x，21x，121221lnln1122ln21112fxfxxxx，显然①不正确；作出函数lnfxx的图象，取点11

,Cxfx，点22,Dxfx，取线段CD的中点B，过B作垂直于x轴的直线交函数图象于A，显然AByy，即121222fxfxxxf，即④成立.在弧CD之间，必存在某点E，使过该点的切线的斜率等于割线CD

的斜率，所以②对.对于③，1()fxx，()fx在0,上单调递减，(1)1f，表示过点1,0的切线的斜率为1，若11x，21x，则1()1fx，2()1fx，割线CD的斜率

小于1，所以③对.故选：B.【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上）.13.函数()2cos,0,2fxxxx的最大值是_____

_________.【答案】36【解析】【分析】通过导数的符号得到函数的单调性，从而得到函数的最大值.【详解】'12sinfxx，当0,6x，'0fx，所以fx在0,

6上单调递增；当,62x，'0fx，所以fx在,62上单调递减；所以max36fx.【点睛】一般地，若fx在区间,ab上可导，且'0'0fxfx，则fx在,ab上为单调增（减）函数；反之，若f

x在区间,ab上可导且为单调增（减）函数，则'0'0fxfx．14.已知函数22,2()1(3),24xxfxxx，则定积分412()fxdx的值为_______.【答案】982【解析】【分析

】将该定积分按照分段函数分成两段42411222()()()fxdxfxdxfxdx，利用定积分的运算法则，定积分的几何意义，即可算出结果..【详解】2212219(2)(2)(24)(1)12882x

xdxx4221(3)xdx表示上半圆22(3)1(0)xyy的面积，则4221(3)2xdx，424112229()()()82fxdxfxdxfxdx

.故答案为：982.【点睛】本题考查了定积分的计算法则，定积分的几何意义，属于中档题.15.设函数e1xfxx，函数gxmx，若对于任意的12,2x，总存在21,2x

，使得12fxgx，则实数m的取值范围是_____．【答案】1(,)2【解析】【分析】由题意可知，fx在22,上的最小值大于gx在1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题意可知，fx在22,

上的最小值大于gx在1,2上的最小值.exfxx，当2,0x时，0fx，此时函数fx单调递减；当0,2x时，0fx，此时函数fx单调递增.00e011f，即函

数fx在22,上的最小值为-1.函数gxmx为直线，当0m时，0gx，显然10不符合题意；当0m时，gx在1,2上单调递增，gx的最小值为1gm，则1m，与0m矛盾；当0m时，gx在1,2上单调递减，gx的最小值为22gm

，则12m，即12m，符合题意.故实数m的取值范围是1,2.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.16.若

关于x的不等式20(0)xxeaxaa的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是_______.【答案】1134aee【解析】【分析】设()xfxxe，()2gxaxa，求出()fx的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于(,)mn，由切线

的斜率和切点在直线上和曲线上列方程组，解方程可得a，再由题意可得当1x时，求得a，通过图象观察，即可得到a的范围.【详解】设()xfxxe，()2gxaxa，由题意可得()xfxxe的图象在直线()2gxaxa的下方，()(1)xfxxe，()2gx

axa恒过定点1(,0)2，设直线与曲线相切于点(,)mn，则(1)22mmmeameama，消去a可得：2210mm解得：12m或1（舍去），则切线的斜率为1212(1)2ae，解得14ae，又由题设原不等式无整数解，由图象可知当1x时，1

(1)fe，(1)3ga，由(1)(1)fg，可得13ae，由直线绕着点1(,0)2旋转，可得1134aee.故答案为：1134aee.【点睛】本题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定

点，考查运算能力和观察能力，难度较大.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.完成下列问题（1）用分析法证明：*121nnnnnN；（2）如果a，b，c是不全相等的实数，若a，b，c成等差数列，用

反证法证明：1a，1b，1c不成等差数列.【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】【分析】（1）利用分析法的语言，需证其充分条件成立，直至10显然成立，从而可知原结论成立；（2）按照反证法的证明步骤，先假设11

1,,abc成等差数列，则211acbacac，结合题意可得2bac代入后，得到2bac，进而得出abc，与已知矛盾，从而可知假设不成立，原命题成立.【详解】（1）要证：121nnnn，只需证：11

2nnnn，只需证：22(11)(2)nnnn，只需证：2112(1)22(2)nnnnnnn，只需证：2(1)(2)nnn，只需证：22212nnnn，10显然成立，121nnnn，综上所

述，121nnnn成立；（2）假设1a，1b，1c成等差数列，则211acbacac由于a，b，c成等差数列，得2bac……①那么22acbbacac，即2bac……②由①、②得abc，与a，b，c是不全相

等的实数矛盾.故1a，1b，1c不成等差数列.【点睛】本题考查了分析法证明不等式、反证法证明不等式，考查推理能力.用分析法证明时，语言叙述必不可少；用反证法证明时，把要证明的结论进行否定，得到要证的结论的反面.属于中档题.18.如图，OA是南北方向的一条公

路，OB是北偏东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy，则曲线符合函数

242(19)yxxx剟模型，设PMx，修建两条道路PM，PN的总造价为()fx万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求()fx解析式；（2）当x为多少时，总造价()fx最低？并求出最低造价

．【答案】（1）232()5()(19)fxxxx剟；（2）当4x时，总造价最低，最低造价为30万元．【解析】【分析】（1）求出P的坐标，直线OB的方程，点P到直线0xy的距离，即可求()fx解析式；（2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所

示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为242(19)yxxx剟，所以点P坐标为242(,)xxx，直线OB的方程为0xy，则点P到直线0xy的距离为2224242|()|||422xxxxx，又PM的造价为5万元/百米

，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为22432()5405()(19)fxxxxxx剟．（2）因为22432()5405()(19)fxxxxxx剟，所以333645(64)()5(1)xfxxx，令

()0fx，得4x，列表如下：x(1,4)4(4,9)()fx0()fx单调递减极小值单调递增所以当4x时，函数()fx有最小值，最小值为232(4)5(4)304f．答：（1）两条道路PM，PN总造

价()fx为232()5()(19)fxxxx剟；（2）当4x时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．19.设函数()ln1fxxx（1）证明：当(1,)x

时，11lnxxx；（2）设1c，证明当(0,1)x时，1(1)xcxc.【答案】（1）见详解；（2）见详解【解析】【分析】（1）利用导函数分析函数()fx的单调性，得max()

(1)0fxf，当(1,)x时，由()0fx和1()0fx化简，即可证明；（2）构造函数()1(1)xgxcxc，对其求导，求得单调区间和最值点01lnlnlnccxc，借用（1）的结论知001x，则可

知()gx在(0,1)x上单调递增，结合(0)(1)0gg，该不等式即可得证.【详解】解：（1）()ln1fxxx11()1xfxxx，令()0fx得01x，()fx在(0,1)单调递增，(1,)单调递减，则max()(1)0fxf当(1,)

x时，则()0fx，且1()0fxln10xx，且11ln10xxln1xx，且11ln1xxxx又1,ln0xx，11lnxxx；（2）由题设知1c，设()1(1)x

gxcxc，则()1lnxgxccc，令()0gx，解得01lnlnlnccxc，由（1）知11lnccc，故001x，gx在0(0,)x单调递增，0(),1x单调递减

，又(0)(1)0gg，故当01x时，()0gx.所以当(0,1)x时，1(1)xcxc.【点睛】本题考查了导数的应用，求单调区间，求最值，以及证明不等式，考查了转化的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.20.如图，点(1,0)N、(4,0)D，点P是

圆22:(1)16Mxy上一动点，线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q，设点Q的轨迹为曲线R.且直线(1)(0)ykxk交曲线R于,AB两点（点B在x轴的上方）.（1）求曲线R的方程；（2

）试判断直线DA与曲线R的另一交点C是否与点B关于x轴对称？【答案】（1）22143xy；（2）是.【解析】【分析】（1）如图所示，||||||||||42||QMQNQMQPMPMN，点Q的轨迹表示的曲

线为椭圆，M，N为焦点，由此可求方程；（2）设11,Axy，22,Bxy，将直线方程与椭圆方程联立化为：22223484120kxkxk，假设点C与点B关于x轴对称，则22Cxy.下面证明D，A,C三点共线.即证明：DADCkk,即证明：121244

yyxx利用根与系数的关系证明:122144yxyx0即可.【详解】（1）如图所示，有||||||||||42||QMQNQMQPMPMN∴Q的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，设其方程为22221(0)x

yabab则24,1ac,∴2,3ab，∴22143xy；（2）联立22(1)143ykxxy得22223484120kxkxk设11,Axy，22,Bxy0恒成立，2122834kxxk，2122

41234kxxk假设C与B关于x轴对称，则22Cxy，下证,,DAC三点共线即证DADCkk，即证121244yyxx∵111ykx，221ykx∴122112211212441414258yxyxk

xxkxxkxxxx22222412802580343434kkkkkkk∴22,Cxy与,DA共线，∴DA与R的另一交点C与B关于x轴对称【点睛】本题考查由定义求椭圆的标准方程

，还考查了由韦达定理表示根与系数的关系进而证明对称关系，属于较难题.21.已知函数12()(1),xfxxeaxaR（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见详解；（2）0a【解析】【分析】（1）求出函

数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据（1）的单调性的讨论，分析函数极值的正负，以及极限的思想，确定零点的个数.【详解】解：（1）由题1()2xfxxea，（i）当0a时，120

xea，(,0)x时，()0fx，fx单调递减，(0,)x时，()0fx，fx单调递增；（ii）当02ea时，(,ln(2)1)xa时，120xea，1()20xfxxea，函数fx单调递增，(ln(2)1,0

)xa时，120xea，1()20xfxxea，函数fx单调递减，(0,)x时，120xea，1()20xfxxea，函数fx单调递增；（iii）当2ea时，1()20xfxxea恒成立，函数fx单调递

增；（iv）当2ea时，(,0)x时，()0fx，函数fx单调递增，(0,ln(2)1)xa时，()0fx，函数fx单调递减，(ln(2)1,)xa时，()0

fx，函数fx单调递增；（2）（i）当0a时，()()0xfxexee有唯一零点1x，不符合题意；由（1）知：（ii）当2ea时，fx单调递增，x时，()fx；x时，()fx；则()fx仅有唯一零点，不符合题意；（iii）当0a时，

(,0)x时，函数fx单调递减，(0,)x时，函数fx单调递增，x时，()fx；x时，()fx，(0)0fe必有两个零点；（iv）当02ea，(,ln(2)1)xa

时，函数fx单调递增，(ln(2)1,0)xa时，函数fx单调递减，(0,)x时，函数fx单调递增，2(ln(2)1)2(ln(2)1)(ln(2)1)0faaaaa，(0)0fe，函数fx至多有一个零点

；（v）同理可知，2ea时，函数fx至多有一个零点.综上所述：当0a时，函数fx有两个零点.【点睛】本题考查了导函数的应用，求函数的单调区间，函数的零点个数的问题，考查了分类讨论的思想，分类较多

，分类标准不好确立，都是本题的难点.22.已知函数2()sin2afxxx.（1）若fx在0,2，上有唯一极大值点，求实数a的取值范围；（2）若1a，()()xgxfxe且121

22gxgxxx，证明120xx．【答案】（1）0a（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数yfx的导数，对实数a分0a和0a两种情况讨论，结合导数的单调性、零点存在定理以及导数符号来判断，于此得出实数a的取值范围；（2）利用分析法进行转化证明，构造新函数2F

xgxgx，求出新函数的导数，判断该函数的单调性进行证明即可.【详解】（1）已知()cosfxxax.当0a时，()0fx，()fx在0,2上单调递增，此时fx在0,2上，不存在极大值点；当0a时，()sin0fxxa，'

()fx在0,2单调递减，又(0)10f，022fa，故存在唯一00,2x使得00,xx，()0,()fxfx单调递增，0,2xx，()0,()fxfx单调递减.此时，0x是函数fx的唯一极大值点.

综上可得0a；（2）依题21()sin2xgxexx.()cos1cos0xgxexxx.21()sin2xgxexx在R单调递增，12(0)1,:0gxx.欲证12

0xx，等价证12xx，等价证12gxgx，等价证2202gxgx.令2()()()22(0)xxFxgxgxeexx，()2xxFxeex

，()20xxFxee，故0x时，()Fx单调递增()(0)0PxF，()Fx单调递增，()(0)0FxF，得证.【点睛】本题主要考查导数的应用，涉及极值点的存在性问题，以及二阶导数的应用，构造函数解决函数不等式的证明，考查函数思

想，考查转化与化归数学思想的应用，属于难题．