【文档说明】安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.994 MB，由小赞的店铺上传

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屯溪一中高二年级线上教学效果检测文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知a为实数，若复数21(1)izaa为纯虚数，

则2020i1ia（）A.1B.0C.1iD.1i【答案】D【解析】【分析】结合纯虚数的定义，可得21010aa，从而可求出a的值，进而求出2020i1ia的值即可.【详解】因为复数21(1)izaa为纯虚数，所以21010aa，解得1

a.所以5054202020205051i21ii1i11111i1i1i1i1i1i1i1ia.故选：D.【点睛】本题考查纯虚数，考查学生对基础知识的掌握.2.抛物线218yx的准线方程是（）A.132xB.1

32yC.2xD.2y【答案】D【解析】【分析】将方程化为标准性质，进而求出准线方程即可.【详解】抛物线方程可化为28xy=-，其准线方程为2y.故选：D.【点睛】本题考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题.3.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②若两个

随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；③用相关指数2R来刻画回归效果，2R越接近0，说明模型的拟合效果越好④对分类变量X与Y，它们的随机变量2K的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把

握程度越大．其中错误的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】结合方差、相关系数、相关指数及独立性检验，对4个说法逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，每个数据与平均数的离散程度不变，故方差不变，即

①正确；对于②，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故②错误；对于③，用相关指数2R来刻画回归效果，2R越接近于1，说明模型的拟合效果越好，故③错误；对于④，对分类变量X与Y，它们的随机变量2K的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，故④错误.所以错误

的个数是3.故选：C.【点睛】本题考查统计知识，考查学生对基础知识的掌握程度.4.在一组样本数据11(,)xy，22(,)xy，…，(,)nnxy（2n，1x，2x，…，nx互不相等）的散点图中，若所有样本点,

)((1,2,,)iixyin都在直线，2100yx上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A.1B.0C.12D.1【答案】A【解析】【分析】由所有样本点都在一条直线上，可知这组样本数据完全负相关，结

合相关系数的意义，可得出答案.【详解】由题意，所有样本点,)((1,2,,)iixyin都在直线2100yx上，所以这组样本数据完全负相关，即相关系数为-1.故选：A.【点睛】本题考查相关系数，考查正相关及负相关，属于基础题.5.若点O和点F分别为椭

圆22143xy的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则OPFP的最大值为A.2B.3C.6D.8【答案】C【解析】【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则OPFP＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝20x＋x0＋20y∵P为椭

圆上一点，∴204x＋203y＝1.∴OPFP＝20x＋x0＋320(1)4x＝204x＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴OPFP的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.6.已知0x，0y，且4xyxy，则

xy的最小值为A.8B.9C.12D.16【答案】B【解析】由题意可得：411yx，则：41445529xyxyxyxyyxyxyx，当且仅当3,6xy时等号成立，综上可得：则xy的最小值为9.本

题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7.已知双曲线22221(0,0)xyabab的

离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,AB两点.设,AB到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126,dd则双曲线的方程为A.22139xyB.22193xyC.221412xyD.221124xy【答案】A【解析】【详解】分析

：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为,0Fc（c>0），则ABxxc，由22221cyab可得：2bya，不

妨设：22,,,bbAcBcaa，双曲线的一条渐近线方程为0bxay，据此可得：22122bcbbcbdcab，22222bcbbcbdcab，则12226bcddbc，则23,9bb，双曲线的离心率：2229112cbeaaa

，据此可得：23a，则双曲线的方程为22139xy.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，

e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为22220xyab，再由条件求出λ的值即可.8.执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）A.5

B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】运行该程序，可得11,,7128256Smn时，St，判断框不成立，输出7n.【详解】执行该程序，输入0.01t，11,0,2Snm，则1111,,1224Smn，St，判

断框成立；则1111,,22448Smn，St，判断框成立；则1111,,348816Smn，St，判断框成立；则1111,,48161632Smn，St，判断框成立；则1111,,5163232

64Smn，St，判断框成立；则1111,,6326464128Smn，St，判断框成立；则1111,,764128128256Smn，St，判断框不成立；则输出7n.故选：C.【点睛】本题考查程序框图，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9

.有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学．甲说“是乙或丙获奖”；乙说“甲、丙都未获奖”；丙说“我获奖了”；丁说“是乙获奖”．四位同学的话只有两位是真的，则获奖的同学是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C【解析

】【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，根据只有两位说的话是真的，可判断出谁获奖了，即可选出答案.【详解】若甲获奖了，则这四个人说的四句话都是错的，不合题意；若乙获奖了，则甲、乙、丁三人说的话都是对的，不合题意；

若丙获奖了，则甲丙两人说的话是对的，符合题意；若丁获奖了，则只有乙说的是对的，不合题意.故选：C.【点睛】本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于基础题.10.过椭圆22154xy的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点

，O为坐标原点，则OAB的面积为（）A.43B.53C.54D.103【答案】B【解析】【分析】根据焦点坐标可得AB方程，与椭圆方程联立求得交点坐标，利用12OABABSOFyy求得结果.【详解】由题意知：

椭圆的右焦点为1,0F，则直线AB的方程为：22yx.联立2215422xyyx，解得交点为：0,2，54,331145122233OABABSOFyy本题正确选项：

B【点睛】本题考查求解椭圆中的三角形面积问题，关键是能够通过直线与椭圆方程求得交点坐标，属于基础题.11.设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（）A.12B.2C.1D.条件不够，不能确定【

答案】C【解析】设2,2ABmBCn，由椭圆的定义：22222,22aACBCmnncABm，则：22,amnncm，椭圆的离心率122cmeamnn，同理，双曲线的离心率：222cmeamnn,则椭圆和双曲线的离心率之积为121ee.本题选择C选项.1

2.在数学解题中，常会碰到形如“1xyxy”的结构，这时可类比正切的差角公式tantantan1tantan．如：设,ab是非零实数，且满足ππsincos8π55tanππ1

5cossin55abab，则ba（）A.3B.3C.33D.33【答案】B【解析】【分析】结合题中条件，可得πtan8ππ5tantanπ1551tan5baba，tanba，从而可得到ππ3kkZ，进而可求出ba.【详解

】由题意，πππsincostan8π555tanπππ15cossin1tan555babababa，设tanba，则πtanπ5tanπ51tan5baba，即8ππtantan155，所以8π

ππ155kkZ，即π8ππππ5153kk，所以ππtantanπtan333bka.故选：B.【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，考查类比推理，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分

．）13.某种服装的广告费支出与销售额y（单位：万元）之间的关系如下表：x4235y49263954y与x的线性回归方程为ˆˆ9.4yxa，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为_______．【答案】2.1【解析】【分析】先求出线性回归方程，进而求得5x时，56.1y

，结合残差的定义，可求得残差为5456.1.【详解】由题意，42353.54x，49263954424y，则9.44ˆ29.43.59.1ayx，即回归方程为ˆ9.49.1yx，当5x时，由回归

方程可得9.459.156.1y，因为实际销售额为54，所以残差为5456.12.1.故答案为：2.1.【点睛】本题考查线性回归方程，考查残差，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14.椭圆2214xy中，以点M（1,12）为中点的弦所在直线方程是__．

【答案】220xy【解析】【分析】利用点差法，即可容易求得中点弦方程.【详解】由题：2214xy，可分别设过中点的弦与椭圆的两个交点坐标分别为：1122(,),(,)xyxy．代入椭圆的得：222212121,144xxyy．两式相减得：121212

121221121211()()()(),()44yyxxxxxxyyyykxxyy，另由中点坐标公式：12122,1xxyy，则：12k故中点弦的直线方程为：11(1),22022yxxy

.故答案为：220xy.【点睛】本题考查利用点差法求中点弦方程，属基础题.15.已知复数zxyi，x，yR，且31z，则2241xyx的最大值为________．【答案】33【解析】【分析】根据复数的几

何意义计算可得；【详解】解：复数zxyi，x，yR，设,Pxy，由31z，表示复平面上点P的轨迹是以3,0M为圆心，1为半径的圆．则22224123xyxxy．则2,0Q与点3,0M的距离23205QM

．∴222max4151333xyx．故答案为：33．【点睛】本题主要考察了复数形式的圆的方程、两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知F是双曲线22:18yCx的右焦点，P是C左支上一点，0,66A，当A

PF周长最小时，该三角形的面积为．【答案】126【解析】【分析】根据题意，根据1,,PAF三点共线，求出直线1AF的方程，联立双曲线方程，即可求得P点坐标，则由11APFAFFPFFSSS即可容易求得.【详解】设双曲线的

左焦点为1F，由双曲线定义知，12PFaPF，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12aPF+|AF|=|PA|+1PF+|AF|+2a，由于2||aAF是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|

+1PF最小，即P、A、1F共线，∵0,66A，13,0F∴直线1AF的方程为1366xy，即326yx代入2218yx整理得266960yy，解得26y或86y(

舍)，所以P点的纵坐标为26，∴111166662622APFAFFPFFSSS=126.故答案为：126.【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17

.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①22sin20cos50sin20cos50②22sin18cos48sin18cos48③22sin15cos45sin15cos45

④22sin30cos60sin30cos60⑤22sin25cos5sin25cos5（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发

现推广为三角恒等式，并证明这个结论．【答案】（1）34；（2）223sincos30sincos304，证明见解析【解析】【分析】（1）若选择①式，由22sin20cos50sin20cos5022sin20cos3020sin20cos302

0，进而利用两角和的余弦公式，展开计算即可，若选别的式子，方法相同；（2）结合（1），可得223sincos30sincos304，进而结合两角和的余弦公式，展开计算可证明结论.【详解】（1）若选择①式，计算如下：22sin20cos50s

in20cos5022sin20cos3020sin20cos3020223131sin20cos20sin20sin20cos20sin202222

22213sin20sin20cos20442331sin20cos20sin20cos20sin202222233sin20cos204434.若选择②式或③式或④式或⑤式，方法同上，计算结果均为34.（2）由式子的规律推广为

：223sincos30sincos304下面证明：22sincos30sincos30223131sincossinsincossin222222213

sinsincos442331sincossincossin22222223333sincossincos4444右边.【点睛】本题考查归纳推理，考查两角和的余弦公式的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档

题.18.第24届冬季奥林匹克运动会（简称“北京张家口冬奥会”）将于2022年2月4日～2月20日在中国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，也是中国继“北京奥运会”、“南京青奥会”后，中国第三次举办的奥运赛事．某电视传

媒公司为了解本地区观众对体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看体育节目时间的频率分布直方图（将日均收看体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”）．（

1）根据已知条件完成下面的22列联表：非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）根据此调查结果，是否有95﹪的把握认为“体育迷”与性别有关？（3）己知在被调查的女性“非体育迷”中有5名学生，其中2位是小学生．现从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1位小学生的概率．参考公式和

数据：22()()()()()nacbdKabcdacbd20PKk0.100.050.0100k2.7063.8416.635【答案】（1）见解析；（2）没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（3）710【解析】【分析】

（1）根据频率分布直方图，可求出体育迷人数及非体育迷人数，进而结合表格中数据，可完成22列联表；（2）由22()()()()()nacbdKabcdacbd，求出2K的观测值，与3.841比较大小，可得出结论；（3）记5人为abcde，其中ab

表示小学生，列出从5人任意抽3人的所有可能事件，从而可知至多1位小学生的基本事件有7个，结合古典概型的概率公式，可求出对应概率.【详解】（1）根据频率分布直方图，可知体育迷人数为1000.0200.0051025，则非体育迷人数为1002575.完成下面的22列联表：非体育迷体

育迷合计男301545女451055合计7525100（2）222()100(45153010)3.033.841()()()()45557525nacbdKabcdacbd所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别

有关．（3）记5人为abcde，其中ab表示小学生，从5人任意抽3人的所有可能事件是：abc、abd、abe、acd、ace、ade、bcd、bce、bde、cde共10个，其中至多1位小学生有7个基本事件：acd、ace、ade、bcd、bce、bde、cde，

所以所求概率710P．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查22列联表，考查独立性检验，考查古典概型的概率计算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19.（1）已知函数32xfxx，求证：对于任意的12,xxR，均有121222fxfxxxf．（2）若,,a

bc均为实数，且2π22axy，2π23byz，2π26czx，求证：,,abc中至少有一个大于0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将1212,2,xxxx

代入函数表达式，进而利用分析法，可将证明1122212123332xxxxxxxx，转化为证明121223332xxxx，再结合基本不等式可证明结论成立；（2）利用反证法，假

设a，b，c都不大于0，可得0abc，再结合abc222(1)(1)(1)π30xyz，可推出矛盾，进而可知a，b，c中至少有一个大于0．【详解】（1）要证明121222fxfxxxf，即

证明21211212232323222xxxxxxxx，因此只要证明1122212123332xxxxxxxx，即证明121223332xxxx，因此

只要证明121233332xxxx，由于12,xxR时，130x，230x，由基本不等式知121233332xxxx，当且仅当1233xx，即12xx时，等号成立，故原结论成立．（2）证明：假设a，b，c都不大于0，即0a，0b，0c，则0abc．而2

22πππ222236abcxyyzzx222(1)(1)(1)π3xyz，π30，且222(1)(1)(1)0xyz，0abc，这与0abc矛

盾，因此a，b，c中至少有一个大于0．【点睛】本题考查分析法、反证法在证明题中的应用，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售

量iy（1,28i）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw821iixx821iiww81iiixxyy81iiiwwyy46.65636.8289.81.61.

469108.8表中iiwx，8118iiww（1）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y

关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为0.2zyx根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费49x时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122,,,,,,nnuvuvuv，其回归线vu

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121ˆniiiniiuuvvuu，ˆˆvu．【答案】（1）ycdx适宜；（2）ˆ100.668yx；（3）①576.6，,6.32；②46.24x【解析】【分析】（1）由图中散点的大致

形状，可以判断ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（2）令wx，先建立y关于w的线性回归方程，进而可得到y关于x的回归方程.（3）①由（2），可求出49x时，年销售量y的预报值

，再结合年利润0.2zyx，计算即可；②根据（2）的结果，可求得年利润z的预报值ˆ13.620.12zxx，求出最值即可.【详解】（1）由图中散点的大致形状，可以判断ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.（2）令wx，先建立y关于w的线性回归

方程，由于81821108.8ˆ681.6iiiiiwwyydww，ˆˆ563686.8100.6cydw，所以y关于w的线性回归方程为ˆ100.668yw，因此y关于x的回归方程为ˆ100.668yx

.（3）①由（2）知，当49x时，年销售量y的预报值ˆ100.66849576.6y，年利润z的预报值ˆ576.60.24966.32z.②根据（2）的结果可知，年利润z的预报值ˆ0.

2(100.668)13.620.12zxxxx，当13.66.82x时，即当46.24x时，ˆz取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．【点睛】本题考查回归方程及其应用，考查利用二次函数求最值，考查学生的计算求解能力，属于中

档题.21.设抛物线22Cyx：，点20A，，20B，，过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN．【答案】（1）112yx或112yx；（2）见解析.【解析】【分析】（1）首先

根据l与x轴垂直，且过点20A，，求得直线l的方程为2x，代入抛物线方程求得点M的坐标为2,2或2,2，利用两点式求得直线BM的方程；（2）设直线l的方程为2xty，点11,Mxy、22,Nxy，将直线l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达

定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM、BN的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【详解】（1）当l与x轴垂直时，l的方程为2x，可得M的坐标为2,2或2,2．所以直线BM的方程为112yx或112yx；（2）设

l的方程为2xty，11,Mxy、22,Nxy，由222xtyyx，得2240yty，可知122yyt，124yy．直线BM、BN的斜率之和为211221121

21212122244222222BMBNxyxytyytyyyykkxxxxxx1212121224244202222tyyyyttxxxx

，所以0BMBNkk，可知BM、BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，

需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.22.设O为坐标原点，动点M在椭圆C22:12xy上，过M

作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【答案】（1）222xy；（2）见解析.【解析】【详解】（1）设P（x，y），M（00,xy）,则N（0,

0x），00NP(x,),NM0,xyy（）由NP2NM得00202xyy，.因为M（00,xy）在C上，所以22x122y.因此点P的轨迹为222xy.由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则OQ3tPF1mnOQPF33mtn

，，，，，OPmnPQ3mtn，，（，）.由OPPQ1得-3m-2m+tn-2n=1，又由（1）知222mn，故3+3m-tn=0.所以OQPF0，即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ

，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的.定点、定值

问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.