【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：4.5函数的应用（二） 4.5.2用二分法求方程的近似解 含解析【高考】.doc，共(11)页，885.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-4.5.2用二分法求方程的近似解新课程标准：1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.学业水平要求：★水平一1.能从教材实例中了解二分法概念.（数学抽象）2.能从教材实例中归纳出用二分法求方

程近似解的步骤.（逻辑推理）★水平二能了解二分法求方程近似解的思想，能利用二分法求方程的近似解.（数学运算）导思1.求函数的零点时，如果方程()0fx=无法用所学的方法求根，那么怎样求函数的零点？2.应用二分法求函数的零点有哪些步骤？1.二分法的概念(1)二分法：对于在区间[],ab

上图象连续不断且)(0)·(ffba的函数()yfx=，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值.(3)应

用：求函数的零点、方程的根的近似解.【思考】为什么能用二分法求方程的近似解？提示：方程的根即为对应函数的零点.2.用二分法求函数零点近似值的步骤(1)步骤：给定精确度，用二分法求函数()yfx=零点0x的近似值的一般

步骤如下：①确定零点0x的初始区间[],ab，验证()(0)affb.②求区间(),ab的中点c.-2-③计算()fc，并进一步确定零点所在的区间：(i)若()0fc=(此时0xc=)，则c就是函数的零点

；(ii)若()()0fafc(此时0,()xac)，则令bc=；(iii)若()(0)cffb(此时零点0,()xcb)，则令ac=.④判断是否达到精确度：若ab−，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤②～④.(2)本质：计算过程程序化

，算法思想的具体体现.(3)应用：利用二分法的步骤，可以设计程序框图，用有关算法语言编写程序，用信息技术求方程的近似解.【思考】零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？提示：不是，区间[],ab中任意一个值

都是零点0x满足精确度的近似值.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)任何函数的零点都可以用二分法求得.()(2)用二分法求出的函数零点就是精确值.()(3)用“二分法”求近似解时，精确度越大，零点的精确度越高.()提示：(1)×.函数需满足在区间[],ab上连

续不断且()()0fafb，才能用二分法求零点.(2)×.用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值.(3)×.精确度越大，零点的精确度越低.2.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()-3-【解析】选A.只有A中图象与x轴交点两侧的函数

值不变号，都是正值，因此不能用二分法.3.(教材二次开发：例题改编)若函数322)2(fxxxx=+−−的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：x11.51.251.3751.43751.40625()fx2−0.6250.984−0.260−0.16

20.054−则方程32220xxx+−−=的一个近似解(精确度0.04)为_______.【解析】因为(1)(1.5)0ff，所以015()1.x，；因为(1.40625)0.0540f−，又(1.4375)0.1620f，所以01.

406251.4)5(37x，，此时1.406251.43750.031250.04−=.所以0x可以是1.40625[]1.4375，之间的任意一个数，故取01.40625x=.答案：1.40625(答案不唯一)类型一二分法的概

念应用(直观想象、逻辑推理)【题组训练】1.(2020·周口高一检测)下列函数中能用二分法求零点的是()-4-2.已知2()6fxxxc=++有零点，但不能用二分法求出，则c的值是()A.9B.8C.7D.63.下列关于函数()yfx=，,[]xab的叙述中

，①二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用；②若0x是()fx在[],ab上的零点，则可用二分法求0x的近似值；③用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.其中正确的个数为()A.1B.2C.

3D.4【解析】1.选C.只要函数图象有部分在x轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有C.2.选A.2()6fxxxc=++有零点，但不能用二分法求出，则260xxc++=，有两个相等的实数根，则3640c=−=，解得9c=.3.选B.二分法除了可

以求函数的零点，方程的根外，还广泛应用于实际问题中，如在一个串联多焊点的故障检测中，要查出哪个焊点出现故障时，就可以用二分法，以尽快找到故障焊点.正确；②中函数()fx不一定连续，且无法判断是否有()()0fafb，错误；③中利用信息技术，步骤循环进行，可以得到小数点后的任一

位，正确；-5-④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，错误.【解题策略】运用二分法求函数的零点应具备的两个条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【补偿训练】已知函数()fx的图象如图所示

，其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为()A.4，4B.3，4C.5，4D.4，3【解析】选D.由图象可知，函数有4个零点，能用二分法求出的有3个.类型二用二分法求函数零点的近似解(逻辑推理)【典例】1.(多选题)用二分法求函数()572x

fxx=+−的一个零点，其参考数据如下：x0.06250.093750.1250.156250.1875()fx0.4567−0.1809−0.09780.37970.6647-6-根据上述数据，可得()572xfxx=+−的一个零点近似值(精确度0.05

)为()A.0.625B.0.09375C.0.125D.0.0962.用二分法求方程2370xx+−=在区间[1]3，内的根，取区间的中点为02x=，那么下一个有根的区间是_______.【解题导引】1.首先确定零

点所在的区间，再根据相关的概念判断所取的零点是否正确.2.依据(1)f，(2)f，(3)f的符号作出判断.【解析】1.选BCD.由参考数据知(0.09375)0.18090(0.125)0.09780ff−，，即(0.09375)(0.125)0ff且0.1250.0937

50.031250.05−=.所以()572xfxx=+−的一个零点的近似值可取为0.09375，0.125，0.096.2.设()237xfxx=+−，(1)23720f=+−=−，(3)100f=，(2)30f=，()fx零点所在的区间为(1)2，，所以方程2370xx+−=下

一个有根的区间是(1)2，.答案：(1)2，【解题策略】二分法求函数零点的关注点(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.【跟踪训练】1.用二分法求函数的

零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(),ab内，当ab−(为精确度)时，函数零点近似值02abx+=与真实零点的误差最大不超过()A.4B.2C.D.2-7-【解析】选B.真实零点离近似值0x最远即靠近a或b，而2222ababbaba++−−=−==因此误差

最大不超过2.2.在用二分法求函数()fx在(0)1，内的零点的近似解时，经计算(0.625)0f，(0.75)0f，(0.6875)0f，则可得出方程零点的一个近似解为_______(精确度0.1).【解析】因为0.750.68750.06250

.1−=，所以0.6875()0.75，内的任意一个值都可作为方程的近似解.答案：0.75(答案不唯一)类型三用二分法求方程的近似解(数学运算、直观想象)角度1求方程的近似解【典例】用二分法求方程3350xx+−=的近似解(精确度为0.1).【思路导引】设

出方程相应的函数，按照二分法求函数零点的步骤计算.【解析】设函数3()35fxxx=+−，因为函数3yx=与35yx=−在()−+，上都是增函数，所以()fx在()−+，上是单调递增的，又因为(0)0055f=+−=−，(1)1351f=+−=−，(2)8659

f=+−=，所以()fx在区间(1)2，内存在零点0x，利用二分法可得表，区间中点m()fm的符号区间长度(1)2，1.5+1(1)1.5，1.25+0.5-8-(1)1.25，1.125−0.251.125()1.25，1.1875+0.

1251.1251().1875，1.15625+0.0625方程3350xx+−=在精确度为0.1的要求下的一个近似值为1.125.【变式探究】本例中，若精确度变为0.001，则要达到精确度要求至少要计算多少次？【解

析】设至少需要计算n次，则n满足10.0012n，即21000n，因为1021024=，所以至少需要计算10次.角度2已知方程根的个数求参数范围【典例】(2020·南通高一检测)已知函数|1|1(

),0,()2|ln()|,0,xxfxxx−=−设方程()0fxa−=有4个不同的根，则实数a的取值范围是_______.【思路导引】将方程的根的个数变成函数的交点的个数，利用图象解决.【解析】方程()0fxa

−=有4个不同的根，即为()fxa=有4个不等实根，作出()yfx=的图象，可得112a时，()yfx=与ya=的图象有4个交点.-9-答案：[1,1)2【解题策略】1.关于二分法求方程的根设出方程对应的函数，函数的零点即为方程的根，因此只需利用二分法求

出对应函数的零点即可.2.关于利用方程的根求参数的范围(1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式，设出两个函数，作出两个函数的图象，根的个数即为图象交点的个数，利用图象确定参数的范围；(2)解题思维

过程：方程解的个数⇒函数交点个数⇒方程根的个数，方法是数形结合法.【题组训练】1.利用二分法求方程3log3xx=−的近似解，初始区间可以取()A.(0)1，B.(1)2，C.(2)3，D.(3)4，【解析】选C.设3log()3fxxx=−+，因为当连续函数()fx满足)(0)·(ffba时，

()fx在区间(),ab上有零点，即方程3log3xx=−在区间(),ab上有解，又因为3(2)log210f=−，3log330(3)31f=−+=，故·(2)0(3)ff，故方程3log3xx=

−在区间(2)3，上有解.2.(2020·吉林高一检测)已知函数23,,()63,,xxafxxxxa+=++若函数()()2xxgfx=−恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为_______.【解析】因为23,,24(()3,),xxa

gfxxxxxxa−+=−=++,所以()gx的图象如图：所以()gx的图象如图：-10-因为()gx恰有2个不同的零点，所以()gx图象与x轴有两个不同的交点.因为若xa时，()gx有两个零点，则令2430xx++=，得3

x=−或1x=−；则xa时，没有零点，所以3a.因为若xa时，()gx有一个零点；则xa时，()3gxx=−有一个零点，所以31a−−.答案：[[3)13)−−+，，.1.用二分法求函

数()yfx=在区间[2]4，上的唯一零点的近似值时，验证(2)(4)0ff，取区间(2)4，的中点12432x+==，计算得1(2)()0ffx，则此时零点0x所在的区间是()A.(2)4，B.(2)3，C.(

3)4，D.无法确定【解析】选B.由题意可知：对于函数()yfx=在区间[2]4，上，有(2)(4)0ff，利用函数的零点存在定理，所以函数在(2)4，上有零点.取区间的中点12432x+==,-11-因为计算得1·(02)()ffx，所以利用函数的零点存在定理，函数在(2)3，上有零点.2

.已知函数()yfx=为[0]1，上的连续函数，且(0)(1)0ff，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少等分的次数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.设需计算n次，则n满足10.12n，即210n.

故计算4次就可满足要求，所以将区间等分的次数最少为4次.3.(教材二次开发：例题改编)用二分法求函数()34xfxx=−−的一个零点，其参考数据如下：x1.60001.58751.57501.56251.55621.5500()fx的近似值0.2000.1330.0670.

0030.029−0.060−据此数据，可得方程340xx−−=的一个近似解(精确度为0.01)可取_______.【解析】()1.56250.0030f，()1.55620.0290f−，方程340xx−−=的一个近似解在()1.5

5621.5625，上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.5625.答案：1.5625(答案不唯一)4.用二分法求方程3250xx−−=在区间[2]3，内的实根，取区间中点02.5x=，那么下一

个有根区间为_______.【解析】因为(2)0f，(2.5)0f，(3)0f，所以(2)(2.5)0ff，(2.5)(3)0ff.所以下一个有根区间应为(2)2.5，答案：(2)2.5，.