【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：4.5函数的应用（二）4.5.3函数模型的应用 含解析【高考】.docx，共(6)页，358.228 KB，由小赞的店铺上传

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-1-4.5.3函数模型的应用必备知识·探新知基础知识知识点1.指数函数与对数函数模型指数函数模型xybac=+(a，b，c为常数，0b，0a且1a)对数函数模型logaymxn=+(m，a，n

为常数，0m，0a且1a)知识点2.解函数应用题的基本思路与步骤1．建立函数模型解决实际问题的基本思路2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模

型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．第三步，转译成实际问题的解．知识点3.拟合函数模型问题

定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过

程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．1．建立拟合函数模型的步骤(1)收集数据．(2)根据收集到的数据在平面

直角坐标系内画出散点图．(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．-2-(4)选择其中的几组数据求出函数模型．(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一

步．(6)用所得函数模型解释实际问题．2．建立拟合函数模型的一般流程根据建立拟合函数模型的步骤，我们用下图来表示建立拟合函数模型的一般流程．基础自测1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以%n的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元

)是（）A．13(1%)an+B．12(1%)an+C．11(1%)an+D．12(1%)an−2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为ktye=，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k=_________，经过5小时，1个细菌通

过繁殖个数变为__________.3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为2log(1)yax=+，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到_______只．4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x1.9934

5.18y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数：-3-①0.580.16yx=−；②23.02xy=−；③25.58yxx=−+；④2logyx=；⑤1()1.742xy=+.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选______(填序号)．

关键能力·攻重难题型探究题型一：指数函数模型的应用例1.2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率为2.1‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：0rtyye=预测什么时候世界人口会翻一番？[分析]解指数方程，要进行指对

式互化．[解析]由2011年世界人口数据，把070y=，0.0021r=代入马尔萨斯人口模型，得0.002170tye=.解不等式0.002170140tye=得ln23300.0021t.所以由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2341年世界人口

达到140亿．[归纳提升]指数型函数问题的类型及解法(1)指数型函数模型：xyma=(0a且1a，0m)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际

情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．【对点练习】❶目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万

人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．题型二：对数函数模型的应用例2.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞-4-行速度可以表示为函数301loglg2100xvx=−，单位是/mink

m，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg20.30=，1.233.74=，1.434.66=)．(1)当02x=，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位

时，候鸟的飞行速度是多少/minkm?(2)当05x=，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5/minkm，同类雌鸟的飞行速度为1.5/minkm，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的

多少倍？[分析](1)将0x，x代入解析式求速度．(2)利用候鸟休息的速度为0解题．(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．[解析](1)由题意，02x=，8100x=，得318100loglg21.

72100v=−=，故此时候鸟的飞行速度为1.7/minkm.(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，310loglg52100x=−，即3log2lg5100x=，解得：466x=，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个

单位．(3)设雄鸟的耗氧量为1x，雌鸟的耗氧量为2x，由题意得：13023012.5loglg210011.5loglg2100xxxx=−=−，两式相减可得13211log2xx=，解得：129xx=，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．[归

纳提升]对数型函数问题的类型及解法(1)对数型函数模型：logaymxc=+(0m，0a且1a)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．-5-(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出

或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．【对点练习】❷大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：/ms)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数3log100Qvkb=+，其

中k，b为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5/ms时，其耗氧量为2700个单位．(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5/ms时，其耗氧量至多需要多少个单位．误区警示忽视实际问题对定义

域的限制致误例3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为21022yxx=++(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？[错解]设该企业所能获取的最大利润为z万元，则2

20(1022)zxxx=−++，即22218102(4.5)30.5zxxx=−+−=−−+，故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．[错因分析]题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在4.5x=时取到的最大值30.5

，这种情况在实际中是无法操作的．[正解]设该企业所能获取的最大利润为z万元，则220(1022)()zxxxxN=−++，即22218102(4.5)30.5zxxx=−+−=−−+，故当4x=或5时，z

取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．学科素养二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．例4.已知函数()ln26fxxx=+−

.(1)证明：()fx有且仅有一个零点；(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于14.[解析](1)∵函数lnyx=，26yx=−在(0,)+上都是增函数，-6-∴()ln26fxxx=+−在(0,)+上是增函数，∴()fx至多有一个零点，由(

2)ln220f=−，(3)ln30f=，∴(2)(3)0ff，∴()fx在(2,3)内至少有一个零点，∴()fx有且仅有一个零点．(2)∵(2)0f，(3)0f，取132522x+==，555()ln56ln10222f=+−=−，∴5(3)()02ff，∴()fx的零点

05(,3)2x．取25311224x+==，111111111()ln26ln044442f=+−=−，∴115()()042ff，∴0511(,)24x．∵11511||4244−=，∴满足题意的区间为511(,)

24．巩固提升·课后练布置作业