【文档说明】北京市第三十五中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，909.989 KB，由小赞的店铺上传

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北京35中2025届10月月考数学2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合

212,340,ZAxxBxxxx=−=−−，则AB=（）A.0,1B.11xx−C.0,1,2D.12xx−【答案】C【解析】【分析】计算0,1,2,3B=，再计算交集得到答案.【详解】

2340,Z14,Z0,1,2,3Bxxxxxxx=−−=−=，12Axx=−，0,1,2AB=.故选：C.2.已知223,tan2,log3abc−===，则（）A.abcB.acbC.b

caD.cab【答案】D【解析】【分析】确定19a=，0b，1c，得到答案.【详解】2139a−==，tan20b=，22log3log21c==，故cab.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的

是A.3()fxx=B.()lg||fxx=C.()fxx=−D.()cosfxx=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A中，()3fxx=，

是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B中，()lgfxx=，是偶函数，不满足要求，选项C中，()fxx=−，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D中，()cosfxx=，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本

题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621xx−的展开式中，常数项是（）A.20−B.15−C.15D.30【答案】C【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621xx−的展开式的

通项公式为()()623616611rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，令360r−=，则2r=，故常数项为()2236115TC=−=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()xxfxe

e−=−，则函数()fx（）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()fx

的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()fx的单调性.【详解】∵||||()xxfxee−=−∴||||||||()()xxxxfxeeeefx−−−−−=−=−=，∴函数||||()xxfxee−=−为偶函数，当(0,)x+时，1()=xxxxfxeeee−=−

−，∵函数xye=在(0,+∞)上单调递增，函数1xye=在(0,+∞)上单调递减，∴()eexxfx−=−在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()xxfxee−=−在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“已

知2为无理数，若2(2)为有理数，则存在无理数2ab==，使得ba为有理数；若2(2)为无理数，则取无理数2(2)a=，2b=，此时()22222(2)(2)(2)2ba====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是

（）A.2(2)是有理数B.2(2)是无理数C.存在无理数a，b，使得ba为有理数D.对任意无理数a，b，都有ba为无理数【答案】C【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明2(2)是有理数条件，也没有证明2(2)是

无理数的条件，AB错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ba为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.故

选：C7.若点5π5πsin,cos66M在角的终边上，则tan2=（）A.33B.33−C.3D.3−【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan3=−，再根据二倍角公式计算得到答案.【详解】5π5πsin,cos66M，故

5πcos6tan35πsin6==−，22tan23tan231tan13−===−−.故选：C.8.已知函数()=lnafxxx+，则“0a”是“函数()fx在区间()1,+上存在零点”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既

不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】把函数()fx拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a时，作出ln,ayxyx==−的图像，可以看出0a时，函数()fx在区间()1,+上存在零点，反之也成立，故选C.【点

睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v（单位：/ms），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与3log100Q

成正比.当1vm/s=时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m/sv=时，其耗氧量的单位数为（）A.1800B.2700C.7290D.8100【答案】D【解析】【分析】设3log100Qvk=，利用当1vm/s=时，鲑鱼的耗氧量的单位数为

900求出k后可计算2m/sv=时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log100Qvk=，因为1vm/s=时，900Q=，故39001log2100kk==，所以12k=，故2m/sv=时，312log2100Q=即8100Q=.故选：D.【点睛】本题考查对

数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列na满足()*12121,2,3,nnnaaaaann−−==+N，则下列结论中一定正确的是（）A.520aB.10100aC.151000aD.202000a【答

案】C【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C选项一定正确.【详解】根据题意可知3123aaa+=，又数列{𝑎𝑛}的各项均为整数，所以3a最小可以取4，

即34a；同理可得4236aaa+，所以4a最小可以取7，即47a；同理53411aaa+，所以5a最小可以取12，即512a，即520a可以成立，因此可得A不一定正确；同理易得645619,2

0aaaa+；756732,33aaaa+；867853,54aaaa+；978987,88aaaa+；108910142,143aaaa+，即10100a不成立，B错误；又1191011231,232aaaa+；12101112375,37

6aaaa+；13111213608,609aaaa+；14121314985,986aaaa+，151314151595,1596aaaa+，即可得151000a一定成立，即C正确；显然若32000a=，则202000a明显错

误，即D错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii1i+=−+，所以其虚部－1考点：复数的虚部12.函数()2fxxa=−的

定义域为R，请写出满足题意的一个实数a的值______．【答案】1−（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()2fxxa=−的定义域为R，所以20xa−在R上恒成立，即

2ax，由于20x在R上恒成立，故实数a的取值范围为(,0−.故答案为：1−（答案不唯一）.13.已知数列{}na的通项公式为12nna−=，{}nb的通项公式为12nbn=−．记数列{}nnab+的前n

项和为nS，则4S=____；nS的最小值为____．【答案】①.1−②.2−【解析】【分析】（1）由题可得1212nnnnabcn−+==+−，根据等比数列及等差数列的求和公式可得nS，利用数学归纳

法可得3n时，0nc，4n时，0nc，进而即得.【详解】由题可知1212nnnabn−+=+−，为所以()()()()()423441712112325271122S+−++−++−++−+−=−=−−=，()()()()121211211232122112

2nnnnnnnSn−+−−+−++−+++−=−=−−−=，令1212nncn−=+−，则123450,1,1,1,7ccccc==−=−==，当4n时，0nc，即1221nn−−，下面用数学归纳法证明当4n=时，1221nn−−成立，假设nk=时，1221kk−

−成立，当1nk=+时，()()()122222121123211kkkkkk−=−=+−+−+−，即1nk=+时也成立，所以4n时，0nc，即1221nn−−，所以3n时，0nc，4n时，0nc，由当3n=时，nS有最小值，最小值为33221

32S=−−=−.故答案为：1−；2−.14.已知函数()e,,xxxafxxxa=−，()fx的零点为__________，若存在实数m使()fxm=有三个不同的解，则实数a的取值范围为__________.【答案】

①.0②.11,e−【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()exgxx=，可得()()1exgxx+=，由()0gx=可得1x=−，当(),1x−−时，()0gx，此时()

gx在(),1−−上单调递减，当()1,x−+时，()0gx，此时()gx在()1,−+上单调递增，因此()gx在1x=−处取得极小值，也是最小值，即()()min11egxg=−=−，又()00g=，且0x时，()10egx−，当0x时，𝑔(𝑥)>0，令

()hxx=−，其图象为过原点的一条直线，将()(),gxhx的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：的当0a时，如下图，在),+a上()()fxhxx==−零点为0，当0a=时，如下图，在)0,+上()()fxhxx==−的零点为0当0a时

，如下图，在(),a−上()()exfxgxx==的零点为0，综上可知，()fx的零点为0；当1a−时，如下图所示，曲线()fx与直线ym=至多有两个交点，的当11ea−时，如下图所示，曲线()fx与直线ym=至多有三个交点，当1ea时，如下图所示，曲线()fx与直线ym=至多

有两个交点；综上可知，若使()fxm=有三个不同的解，则实数a的取值范围为11,e−.故答案为：0；11,e−15.已知函数()()e111xfxkx=−−−−，给出下列四个结论：①当0k=时，()fx恰有2个零点；②存在正数k，使得()fx恰有1

个零点；③存在负数k，使得()fx恰有2个零点；④对任意()0,kfx只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()fx的零点个数问题，转化为函数e

1xy=−与函数()11ykx=−+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e1110xfxkx=−−−−=，得()e111xkx−=−+，函数()fx的零点个数，即为方程()e111xkx−=−+的根的个数，方程()e1

11xkx−=−+根个数，即为e1xy=−与函数()11ykx=−+的交点个数，又函数()11ykx=−+是过定点(1,1)A的直线，作出e1xy=−的图象如图所示，当0k=直线()11ykx=−+与函数e1xy=−有一个交点，故()()e111xfxkx=−−−−有一个零点，故①

错误；当()11ykx=−+在第一象限与函数e1xy=−相切时，函数()()e111xfxkx=−−−−有一个零点，故②正确；函数()11ykx=−+绕着A顺时针从1y=转到1x=时，两图象只有一个交点

，故0k时，函数()()e111xfxkx=−−−−只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆

交于,AB两点.点A的纵坐标是45，点B的横坐标是513−.的（1）求cos2的值；（2）求()sin−的值.【答案】（1）725−（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin5=，再由二倍角公式计算可得7cos225=

−；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于,AB两点；点A的纵坐标是45，点B的横坐标是513−，所以45s

in,cos513==−.即可得27cos212sin25=−=−.【小问2详解】由于22sincos1+=，且π0,2，所以23cos1sin5=−=，同理由于2π12,π,sin1cos213=−=，所以()56sinsincoscos

sin65−=−=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,ABC三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目ABC做对的概率451214获得的奖金/元204080规

则如下：按照,,ABC的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；（3）如果改变做

题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,ABC的顺序获得奖金

的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期

望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A没有做对，设甲没有获得奖金为事件M，则()41155PM=−=.【小问2详解】分别用,,ABC表示做对题目,,ABC的事件，则,,ABC相互独立.由题意，X的可能取值为0,20,60,140.41412(

0)()1;(20)()155525PXPAPXPAB===−====−=;4134111(60)()1;(140)()52410524101PXPABCPXPABC===−=====.所以甲最终

获得的奖金X的分布列为X02060140P1525310110()12310206014040551010EX=+++=（元）.【小问3详解】不同，按照,,ABC的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,ABC的顺序获得奖

金的期望为40元，若按照,,ACB的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435PXPX==−===−=;41411(100)1;(140)5105421011142PXPX==−====.故期望

值为110201001403613110550+++=元；若按照,,BAC的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125PXPX==−===−=;143141(60)1;(140)2541

02541011PXPX==−====.故期望值为131040601403611110200+++=元；若按照,,BCA的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480

)122432PXPX==−===−=;1114(120)1;(140)24024510141145PXPX==−====.故期望值为131040601403611110200+++=元，若按照,,CA

B的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245PXPX==−===−=;1141(100)1;(140)10452104111452PXPX=

=−====.故期望值为1080100140284101311200+++=元，若按照,,CBA顺序做题，则奖金X的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(88

0)144214PXPX==−===−=;1114(100)1;(140)40425101411425PXPX==−====.故期望值为5311108010014026.401048+++=元，显然按照

,,ABC的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cossin,fxaxxxxa=++R.（1）当0a=时，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若函数()fx在区间ππ,22−上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）2y=（2）)1

,+.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；的（2）将()fx在区间ππ,22−上为增函数转化为sincosaxxx−在ππ,22−上恒成立，构造函数()sincosgxxxx=−并求导得出其单调性，求出最大

值可得实数a的取值范围.【小问1详解】当0a=时，()2cossinfxxxx=+，易知()2sinsincoscossinfxxxxxxxx=−++=−可得()()00,02ff==，所以切线方程为2y=.

【小问2详解】易知()sincosfxaxxx=+−由函数()fx在区间ππ,22−上为增函数，可得𝑓′(𝑥)≥0在ππ,22−上恒成立，即sincosaxxx−在ππ,22−上恒成立，令()()ππsincos,sin,,22gxxxxgxx

xx=−=−法一：令()sin0gxxx==，得0x=，()(),gxgx的变化情况如下：xπ,02−0π0,2()gx+0+()gx所以()gx为ππ,22−上的增函数，()gx最大值为π12g=.即a的取

值范围是)1,+.法二：当π02x−时，sin0,sin0xxx；当π02x时，sin0,sin0xxx.综上，当ππ22x−时，()()0,gxgx为ππ,22−上的增函数，()gx最大值为π12g

=.即a的取值范围是)1,+.19.现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮

盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cmx，高为ycm，体积为()3cmV.（1）求出x与y的关系式；（2）求该铁皮盒体积V的最大值.【答案】（1）21200,0304xyxx−=；（2）34000cm.【解析】【分析】（1）由题意得

到244030xxy+=，化简得到212004xyx−=，并由实际情境得到030x；（2）表达出()()3112004Vxxx=−，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030xxy+=，即212004xyx−=；因为长方形铁皮ABCD长为

40cm，宽为30cm，故030x，综上，212004xyx−=，030x；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312001120044xVxxyxxxx−===−，()()21120034Vxx=−，令()0Vx=，得20,x=()(),VxVx的变化情

况如下：x()0,2020()20,30()Vx+0-()Vx()Vx在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x=时，()Vx取最大值，最大值为()3311200202040040cm−=.20.已知函数1e()xfxx−=.（1）求曲线()yfx=在点(1,(1))f

处的切线方程；（2）求()fx的单调区间；（3）当211xx时，判断21()()fxfx−与2122xx−的大小，并说明理由.【答案】（1）230xy+−=；（2）单调递增区间为(,1)−−，单调递减

区间为(1,0)−和(0,)+；（3）212122()()fxxxfx−−，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()fx的单调区间.（3）构造函

数2()(),1gxfxxx=−，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e()xfxx−=，求导得12(1)e()xxfxx−−−=，则()12f=−，而(1)1f=，所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为12(1

)yx−=−−，即230xy+−=.【小问2详解】函数()fx的定义域为(,0)(0,)−+，且12(1)e()xxfxx−−−=，当1x−时，()0fx，当10x−或0x时，()0fx，所以()fx的单调递增区间为(,1)−−，单调递减区间为(

1,0)−和(0,)+.【小问3详解】当211xx时，212122()()fxxxfx−−，证明如下：令2()(),1gxfxxx=−，求导得12(1)e2()xxgxx−−−+=，令1()(

1)e2,1xhxxx−=−−+，求导得1()e0xhxx−=，函数()hx在(1,)+上单调递增，则()(1)0hxh=，即()0gx，函数()gx在(1,)+上为增函数，当211xx时，21(

)()gxgx，所以212122()()fxxxfx−−.21.已知项数为()*2mmNm，的数列na满足如下条件：①()*1,2,,naNnm=；②12···.maaa若数列nb满足()12*···1mnnaaaabNm+++−=−，其中1,2,,nm=则

称nb为na的“伴随数列”.（I）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II）若nb为na的“伴随数列”，证明：12···mbbb；（III）已知

数列na存在“伴随数列”nb，且112049maa==，，求m的最大值.【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）详见解析；（III）33.【解析】【分析】（I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II）利用差比较法判断出nb的单调性，由此证得结论成立.（III

）利用累加法、放缩法求得关于ma的不等式，由此求得m的最大值.【详解】（I）不存在.理由如下：因为*413579751bN++++−=−，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II）因为*11,11,1nnnnaabbnmnNm++−−=

−−，又因为12maaa，所以10nnaa+−，所以1101nnnnaabbm++−−=−，即1nnbb+，所以12···mbbb成立.（III）1ijm，都有1jiijaabbm−−=−，因为*ibN，12mbbb，所以*ijbbN−，所以*11

204811mmaabbNmm−−==−−.因为*111nnnnaabbNm−−−−=−，所以11nnaam−−−.而()()()()()()111221111mmmmmaaaaaaaammm−−−−=−+−++−

−+−++−()21m=−，即()2204911m−−，所以()212048m−，故46m.由于*20481Nm−，经验证可知33m.所以m的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属

于难题.