【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第2章 第3讲　一元二次不等式的解法 含解析【高考】.doc，共(25)页，305.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第3讲一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数01大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的02判别式.(3)当03Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴

的04交点确定一元二次不等式的解集．2．三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有05两相异实根x1，x2(x1<x2)有06两相等实根x1＝x2＝－b2a07没有实数根续表判别式Δ＝

b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|08x<x1或x>x2}x|09x≠－b2a10Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|11x1<x<x2}12∅13∅21．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0

(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．1．(2022·福建漳州模拟)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝()A．(－2,1]B．(

－∞，－4]C．(－∞，1]D．[1，＋∞)答案C解析由题意得T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．2．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为()A．∅B．RC.

x|x＝12D．x|x＝－12答案D解析因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为x|x＝－12.3．(2022·临沂摸底)不等式x－1x－3≤0的解集是()A．(－∞，1)∪[3，＋∞)B．(－∞，1]∪(3，＋∞

)C．[1,3)D．[1,3]答案C解析x－1x－3≤0⇔(x－1)(x－3)≤0，x－3≠0⇔1≤x<3，所以不等式x－1x－3≤0的解集为[1,3)．4．(2022·滨州质检)若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)x－1t>0的解集为()

3A.x|1t<x<tB.x|x>1t或x<tC.x|x<1t或x>tD.x|t<x<1t答案D解析因为0<t<1，所以t<1t，所以(t－x)x－1t>0⇔(x－t)x－1t<0，解得t<

x<1t.故选D.5．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是－12，13，则a＋b的值是________.答案－14解析由题意知－12，13是ax2＋bx＋2＝0的两根，则－12＋13＝－ba，

－12×13＝2a，解得a＝－12，b＝－2，所以a＋b＝－14.6．(2022·安徽芜湖模拟)不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.答案[0,4)解析当m＝0时，显然成

立；当m≠0时，由已知得m>0，Δ＝m2－4m<0，解得0<m<4.综上知，实数m的取值范围是[0,4)．多角度探究突破考向一一元二次不等式的解法4角度不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)9x2－6x＋1>0；(4

)x2<6x－10.解(1)∵Δ＝49>0，∴方程2x2＋5x－3＝0有两个实数根，解得x1＝－3，x2＝12，画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为x|－3<x<12.(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.∵Δ＝12>0，∴方

程3x2－6x＋2＝0有两个实数根，解得x1＝3－33，x2＝3＋33，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为x|x≤3－33或x≥3＋33.(3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，解得x1

＝x2＝13.画出函数y＝9x2－6x＋1的图象如图③所示．5由图可得原不等式的解集为x|x≠13.(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x

2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没

有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．1.解下列不等式：(1)－x2＋2x－23>0；(2)－1<x2＋2x－1≤2.解(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为3>0，且方程3x

2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33，所以原不等式的解集是x|1－33<x<1＋33.(2)原不等式等价于x2＋2x－1>－1，x2＋2x－1≤2，6即x2＋2x>0，①x2＋2x－3≤0，②由①得x(

x＋2)>0，所以x<－2或x>0；由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1.画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或0<x≤1}．角度含参数的一元二次不等式例2(2021·

山东省枣庄市第三中学高三学情调查)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a>0时，原不等

式化为x－2a(x＋1)≥0，解得x≥2a或x≤－1.③当a<0时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0.当2a>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤2a；当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当2a<－1，即－2<a<0时，解得2a≤x≤－1.综上所述，当a

＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a>0时，不等式的解集为x|x≥2a或x≤－1；当－2<a<0时，不等式的解集为7x|2a≤x≤－1；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a<－2时，不等式的解集为

x|－1≤x≤2a.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0

的关系．(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．2.解不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0.解原不等式化为(x－a)(x－a2)>0.①当a2－a>0，即a>1或a<0时，解不等式，得x>a2或x<a；②当a

2－a<0，即0<a<1时，解不等式，得x<a2或x>a；③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，解不等式，得x≠a.综上，当a>1或a<0时，不等式的解集为{x|x>a2或x<a}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0或a＝1时，不等式的解集

为{x|x≠a}．角度可化为一元二次不等式的分式不等式例3解关于x的不等式axx－1<1(a>0)．解axx－1<1⇔(a－1)x＋1x－1<0⇔[(a－1)x＋1](x－1)<0.①当a＝1时，容易解得x<1.8②当a>1时，原不等式可化为x＋1a－1(x－1)<0，解

得11－a<x<1.③当0<a<1时，11－a－1＝a1－a>0，所以11－a>1，原不等式可化为x－11－a(x－1)>0，解得x<1或x>11－a.综上知，当0<a<1时，原不等式的解集为x|x<1或x>11－

a；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集为x|11－a<x<1.分式不等式的解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f(x

)g(x)的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f(x)g(x)>0⇔f(x)g(x)>0；f(x)g(x)<0⇔f(x)g(x)<0；f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≥0，g(x)≠0；f(x)g(x)≤0⇔f(x)g

(x)≤0，g(x)≠0.3.不等式3x－12－x≥1的解集是()9A.x|34≤x≤2B.x|34≤x<2C.x|x>2或x≤34D.x|x≥34答案B解析3x－12－x≥1⇒4x－32－x≥0⇒34≤x<2.故选B.考向二三

个二次的关系例4(1)不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为()答案B解析由根与系数的关系得1a＝－2＋1，－ca＝－2，得a＝－1，c＝－2，所以f(x)＝－x2－x＋2

(经检验知满足题意)，所以f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，顶点为12，94.故选B.(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为()A.－4

3，1B．(－∞，1)∪43，＋∞C．(－1,4)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案A10解析由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4，1)，知a<0且－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴－4＋1＝－ba，且－4

×1＝ca，即b＝3a，c＝－4a.则所求不等式转化为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，即3x2＋x－4<0，解得－43<x<1.故选A.(3)(多选)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则()A．a2－b2≤4B．

a2＋1b≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4答案ABD解析因为f(x)＝x2＋ax＋

b(a>0)有且只有一个零点，所以Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0.对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，等价于(b－2)2≥0，显然成立，故A正确；对于B，a2＋1b＝4b＋1b≥24b·1b＝

4，当且仅当4b＝1b即b＝12时等号成立，故B正确；对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，所以x1，x2是方程x2＋ax－b＝0的根，所以x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，因为不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，所以x1，x2是方程

x2＋ax＋b－c＝0的根，所以x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝4c，又因为|x1－x2|＝4，所以4c＝16，c＝4，故D正确．故选ABD.已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根

与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．4.(多选)下列说法正确的有()A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是x|x≤－23或x≥12C．若不等式ax2＋8ax

＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为－111答案BCD解析对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0

得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－12，∴不等式的解集为x|x>1或x<－12，故A错误；对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥12或x≤－23，故B正确；对于C，由题意

可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a，∴a＝3，故C正确；对于D，依题意可知q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，所以q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．5．(2021·沈阳模拟)关于x的不等式(ax－

b)(x－2)>0的解集为x|12<x<2，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是________.答案(－2，－1)(答案不唯一)解析∵不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为x

|12<x<2，∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为12和2，且a<0，ba＝12，即a＝2b<0，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1)．多角度探究突破考向三一元二次不等式恒成立问题角度在R上

的恒成立问题例5(1)(2022·豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是()A．[0,1]B．(0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞

)答案A解析当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；当k≠012时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需k>0，Δ＝36k2－4k(k＋8)≤0，解得0<k≤1.综上，k的

取值范围是[0,1]．(2)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，－2)C．(－2,2)D．(－2,2]答案D解析当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成

立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，只需a<2，4(a－2)2－4(a－2)×(－4)<0，解得－2<a<2.故－2<a≤2.故选D.一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥

0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤06.(2022·石家庄月考)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．－1<a<1B．－12<a<32C．－32<a<12D．0<

a<2答案B解析由题意，可知(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)<1，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，解得13－12<a<32.角度在给定区间上的恒成立问题例6(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－

1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围为()A.－32，22B．－22，22C.－32，0D．－22，0答案D解析对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，所

以f(m)＝2m2－1<0，f(m＋1)＝2m2＋3m<0，解得－22<m<0，即实数m的取值范围是－22，0.(2)若对于x∈[1,3]，mx2－mx＋m－6<0(m≠0)恒成立，则m

的取值范围是________.答案m|0<m<67或m<0解析由已知得，mx－122＋34m－6＜0(m≠0)在x∈[1,3]上恒成立．解法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6(m≠0)，x∈[1,3]．当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所

以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜67，则0＜m＜67.当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是m|0<m<

67或m<0.解法二：因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可．因为m≠0

，所以m的取值范围是m|0<m<67或m<0.14(3)若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________.答案1－32，1＋32解析设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，

其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则g(1)<0，g(2)<0，即x2－x－1<0，2x2－2x－1<0，解得1－32<x<1＋32，故实数x的取值范围为1－32，1＋32.

在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，

则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.(3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围．①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立；②ax2＋bx

＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立．提醒：一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数．如本例(2)中建立关于x的函数，m为参数，本例(3)中建立关于m的函数，x为参数．7.已知x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋a2>0恒成立，则实数a的

取值范围是()A．(0,2)B．(2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(0,4)答案A解析二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝a2.x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋a2>0恒成立，即f(x)min>0

.①当a2≤－1，即a≤－2时，f(x)min＝f(－1)＝1＋a＋15a2>0，解得a>－23，与a≤－2矛盾；②当a2≥1，即a≥2时，f(x)min＝f(1)＝1－a＋a2>0，解得a<2，与a≥2矛

盾；③当－1<a2<1，即－2<a<2时，f(x)min＝fa2＝a24－a22＋a2>0，解得0<a<2.综上可得，实数a的取值范围是(0,2)．8．(2022·山东济宁月考)已知函数f(x)＝x2－4x－4.若

f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立．则实数m的取值范围是________.答案0，13解析∵f(x)＝x2－4x－4且f(x)<1，即x2－4x－4<1，解得－1<x<5，即x∈(－1,5)．因为f(x)<1在区间(m－

1，－2m)上恒成立，∴(m－1，－2m)⊆(－1,5)．∴－1≤m－1，m－1<－2m，－2m≤5，解得0≤m<13，即m∈0，13.角度不等式能成立或有解问题例7(2021·浙江五校联考)已知关于x的不

等式ax2－2x＋3a<0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是()A.－∞，33B．－∞，47C.33，＋∞D．47，＋∞答案A解析解法一：当x∈(0,2]时，不等式可化为ax＋3ax<2.当a＝0时，不等

式为0<2，满足题意；当a>0时，不等式化为x＋3x<2a，则2a>x＋3x≥2x·3x＝23，当且仅当x＝3时取等号．要使x＋3x<2a有解，只需2a>x＋3xmin即可，即2a>23，a<33，故0<a<3

3；当a<0时，x＋3x>2a恒成立．综上所述，实数a的取值范围是－∞，33.故选A.16解法二：设g(x)＝ax2－2x＋3a，x∈(0,2]．当a＝0时，g(x)＝－2x<0，满足题意；当a<0时，函数y＝g(x)图象的

对称轴为直线x＝1a，又1a<0，所以g(x)在(0,2]上为减函数，又g(0)＝3a<0，所以g(x)<0，满足题意；当a>0时，应满足1a<2，g1a＝1a－2a＋3a<0或1a≥2，g(2)＝4a－4＋3a<0即可，解得12<a<33或0<a≤1

2.综上可得，实数a的取值范围为－∞，33.故选A.解决不等式能成立问题的策略一般也是转化为函数最值，即a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.9.(2022·湖南长沙月考)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]

上有解，则()A．a≤2B．a≥2C．a≥52D．a≤52答案D解析∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋1x在x∈[1,2]上有解⇔a≤x＋1xmax，x∈[

1,2]，∵函数y＝x＋1x在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝52，∴a≤52.分类讨论思想在不等式中的应用已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．解

(1)根据题意得2＋(－4)＝a，2×(－4)＝－b，解得a＝－2，b＝8.17(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为

∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为

∅；当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)．答题启示解一元二次不等式时，心中要有对应一元二次函数的图象(抛物线)，主要是弄清抛物线的开口方向、与x轴交点的横坐标．由此想到解含参数的一元二次不等式，首先按二次项系数为正、负、零三

类讨论，二次项系数非零时，再按判别式为正、负、零三类讨论，判别式非负时(如本例)，再按对应一元二次方程的两个根的大小关系分类讨论．对点训练(2021·厦门模拟)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．解原不等式可化为

12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a>0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(

0，＋∞)；当a<0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.一、单项选择题1．下列不等式中解集为R的是()A．－x2＋2x＋1≥0B．x2－25x＋5>0C．x2＋6x＋10>0D．2x2－3x＋4<0答案C解析在C项中，对

于方程x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝36－40＝－4<0，所以18不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.2．(2022·山东枣庄联考)不等式x＋5(x－1)2≥2的解集是()A.－3，12B．－12，3C.12，

1∪(1,3]D．－12，1∪(1,3]答案D解析不等式可化为2x2－5x－3(x－1)2≤0，即(2x＋1)(x－3)(x－1)2≤0，解得－12≤x<1或1<x≤3.3．(2022·淄博二模)已知某产品的总成本y(万元)与产量x(

台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台答案C解析由已知得，产量为x台时，总售价

为25x.欲使生产者不亏本，必须满足25x≥3000＋20x－0.1x2，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．故选C.4．(2022·大

连质检)设f(x)＝x＋2，x>0，x－2，x≤0，则不等式f(x)<x2的解集是()A．(－∞，0]∪(2，＋∞)B．RC．[0,2)D．(－∞，0)答案A解析当x>0时，f(x)＝x＋2，代入不等式f(x)>x2得x＋2<x2

，即(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，所以不等式f(x)<x2的解集为(2，＋∞)；当x≤0时，f(x)＝x19－2，代入不等式f(x)<x2得x－2<x2，解得x∈R，所以不等式f(x)<x2的解集为(－∞，0]．综上，不等式f(x)<x2的解集为(－∞，0]∪(2，＋

∞)．故选A.5．设a>1，则关于x的不等式(1－a)(x－a)x－1a<0的解集是()A．(－∞，a)∪1a，＋∞B．(a，＋∞)C.a，1aD.－∞，1a∪(a，＋∞)答案D解析因为a>1，所以1－a<0，a>

1a，原不等式可化为(x－a)x－1a>0，解集为－∞，1a∪(a，＋∞)．6．(2021·皖南八校联考)若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”

的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a－1<x<a＋1}．∵B⊆A，∴a－1≥1，a＋1≤4，即2≤a≤3，又(2,3)[2,3]，∴“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件．7．(2022·

济宁调研)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2022－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．a>c>b>dB．a>b>c>dC．c>d>a>bD．c>a>b>d答案D20解析f(x)＝2022－

(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2022，又f(a)＝f(b)＝2022，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示．由图可知c>a>b>d，

故选D.8．(2021·青岛模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析由题意

知不等式x2＋(x－1)p－4x＋3>0在p∈[0,4]上恒成立，即f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3>0在p∈[0,4]上恒成立．所以f(0)>0，f(4)>0，即x2－4x＋3>0，x2－1>0，解

得x<－1或x>3.二、多项选择题9．下列四个不等式中，解集为∅的是()A．－x2＋x＋1≤0B．2x2－x＋3<0C．x2＋3x＋10≤0D．－x2＋4x－a＋4a>0(a>0)答案BCD解析对于A，－x2＋x＋1≤0对应函

数y＝－x2＋x＋1，开口向下，显然解集不为∅；对于B,2x2－x＋3<0对应的函数开口向上，Δ＝1－24＝－23<0，其解集为∅；对于C，x2＋3x＋10≤0对应的函数开口向上，Δ＝9－40<0，其解集为∅；21对于D

，－x2＋4x－a＋4a>0(a>0)对应的函数开口向下，Δ＝16－4a＋4a≤16－4×2a·4a＝0，当且仅当a＝2时取等号，其解集为∅.故选BCD.10．(2021·德州模拟)关于x的不等式(ax－1)·(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，

则a的值可以为()A．－12B．1C．－1D．－2答案AC解析由题意，知a<0，则排除B；对于A，当a＝－12时，－12x－1(x－2)>0，即(x＋2)·(x－2)<0，解得－2<x<2，恰有3个整数，符合题意；对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)>0，即(x＋1)

(x－3)<0，解得－1<x<3，恰有3个整数，符合题意；对于D，当a＝－2时，(－2x－1)(x－5)>0，即(2x＋1)(x－5)<0，解得－12<x<5，有5个整数，不符合题意．故选AC.11．(2021·淄博二模)设[x]表示不小

于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A.10B．3C．－4.5D．－5答案BC解析因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0，所以－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数x

的最小整数，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC.12．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是()A．若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－25B．若不等式的解集为

x|x∈R，x≠1k，则k＝6622C．若不等式的解集为R，则k<－66D．若不等式的解集为∅，则k≥66答案ACD解析对于A，∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，∴k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k，解得k＝－25，故

A正确；对于B，∵不等式的解集为x|x∈R，x≠1k，∴k<0，Δ＝4－24k2＝0，解得k＝－66，故B错误；对于C，由题意，得k<0，Δ＝4－24k2<0，解得k<－66，故C正确；对于D，由题意，得k>0，Δ＝4－24k2≤0，解得

k≥66，故D正确．三、填空题13．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________.答案{x|x<－5或x>5}解析2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－7

2(舍去)⇔x>5或x<－5.14．(2022·湖南长沙调研)若a<0，则关于x的不等式组ax－a2<0，x2－ax－2a2<0的解集为________.答案(a，－a)解析因为a<0，所以由ax－a2＝a(x－a)<0，得x>a，由x2－ax－2a2

＝(x－2a)(x＋a)<0，得2a<x<－a.所以原不等式组的解集为(a，－a)．15．(2022·福建莆田月考)若不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________.答案(－∞，1)23解析不等式

x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，即a<2x－x，x∈[1，5]有解，显然g(x)＝2x－x在[1,5]上单调递减，g(x)max＝g(1)＝1，∴a<1.16．(2022·河北衡水调研)已知集合A＝x∈R|12x＋

1≤1，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)<0}，若(∁RA)∩B＝∅，则实数a的取值范围是________.答案[0，＋∞)解析因为A＝x∈R|12x＋1≤1＝x∈R|2x2x＋1≥0＝x∈R|x≥0或x<

－12，所以∁RA＝x∈R|－12≤x<0.因为(∁RA)∩B＝∅，当B＝∅时，2a＝a2＋1，即a＝1；当B≠∅时，a≠1，所以a2＋1－2a＝(a－1)2>0，所以2a≥0，a≠1，即a≥0且a≠1.综上所述，实数a的取值范围是[0，＋∞)．四、解答题17．设函数f(x

)＝x2－ax＋b.(1)若不等式f(x)<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式bx2－ax＋1>0的解集；(2)当b＝3－a时，对任意的x∈(－1,0]都有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．解(1)因为不等式x2－ax＋b<

0的解集是{x|2<x<3}，所以x＝2，x＝3是方程x2－ax＋b＝0的解．所以2＋3＝a，2×3＝b，即a＝5，b＝6，故不等式bx2－ax＋1>0为6x2－5x＋1>0.解不等式6x2－5x＋1>0，得其解集为

x|x<13或x>12.(2)当b＝3－a时，f(x)≥0在区间(－1,0]上恒成立转化为x2－ax＋3－a≥0在区间(－1，0]上恒成立，即a(x＋1)≤x2＋3在区间(－1,0]上恒成立，等价于a≤x2＋3x＋1，

则a≤x2＋3x＋1min.24设t＝x＋1，t∈(0,1]，u＝x2＋3x＋1＝(t－1)2＋3t＝t＋4t－2，由对勾函数的单调性知，当t∈(0,1]时，u关于t单调递减，所以t＋4t－2min＝1＋4－2＝3，即实数a的取值范围为(－

∞，3]．18．(2022·鞍山质检)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组f(x)>0，f(x＋k)<0的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式tf(x)≤2恒成立，求t的取值范围

．解(1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，可得0＋5＝－b2，0×5＝c2，解得b＝－10，c＝0.所以f(x)＝2x2－10x.不等式组f(x)>0，f(x

＋k)<0，即2x2－10x>0，2(x2＋2kx＋k2)－10(x＋k)<0，解得x<0或x>5，－k<x<5－k，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k≤7，解得－2≤k<－1，所以实数k的取值范围是[－2，－1)．(2)tf(x)≤2，即

t(2x2－10x)≤2，即tx2－5tx－1≤0，当t＝0时显然成立，25当t>0时，有t×1－5t×(－1)－1≤0，t×1－5t×1－1≤0，即t＋5t－1≤0，t－5t－1≤0，解得－14≤t≤1

6，所以0<t≤16；当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1,1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t－5t－1≤0，解得t≥－14，即－14≤t<0，综上，t的取值范围是－14，16.