【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第2章 第2讲　基本不等式 含解析【高考】.doc，共(21)页，234.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第2讲基本不等式1．重要不等式a2＋b2≥012ab(a，b∈R)(当且仅当02a＝b时等号成立)．2．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：03a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当04a＝b时等号成立．(3

)其中a＋b2叫做正数a，b的05算术平均数，ab叫做正数a，b的06几何平均数.3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当07x＝y时，x＋y有08最小值2P.(

简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当09x＝y时，xy有10最大值S24.(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)．(2)

ab≤a＋b22(a，b∈R)．(3)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)．2以上不等式等号成立的条件均为a＝b.2．利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，

则有1x＋1y＝(ax＋by)1x＋1y＝a＋b＋byx＋axy≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2.(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋

b＋ayx＋bxy≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2.1．(2022·海南调研)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．9B．18C．36D．81答案A解析因为x>0，y>0，且x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y

＝9时等号成立，故xy的最大值为9.2．(2022·汕头月考)已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为()A．－2B．12C．1D．2答案A解析y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，当且仅当t＝1t，即t＝1时，等号成立．3．下列函数中

，最小值为4的是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0<x<π)3C．y＝4ex＋e－xD．y＝log3x＋logx3(0<x<1)答案C解析A中x的范围为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若y＝sinx＋4sinx(0<x<π)取得最小值

4，则sin2x＝4，显然不成立；D中由于0<x<1，则log3x∈(－∞，0)，y＝log3x＋logx3＝log3x＋1log3x没有最小值；C中y＝4ex＋e－x＝4ex＋1ex≥4，当且仅当4ex＝e－x，即x＝－ln2时，函数的最小值为4.故选C.4．若a>0，b>0，a＋2

b＝5，则ab的最大值为()A．25B．252C．254D．258答案D解析依题意，得ab＝12×a×2b≤12×a＋2b22＝12×522＝258，当且仅当a＝2b＝52时等号成立．故选D.5．(2022·

临沂摸底)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.答案30解析总费用为600x×6

＋4x＝4900x＋x≥4×2900＝240，当且仅当x＝30时等号成立，故x的值是30.多角度探究突破考向一利用基本不等式求最值4角度利用配凑法求最值例1(1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a1＋b2的最大值为()A.7B．3C．22D．2答案D解析因

为4a2＋b2＝7，则a1＋b2＝12×(2a)1＋b2＝124a2(1＋b2)≤12×4a2＋1＋b22＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝3时，取得最大值．故选D.(2)(2022·吉林月考)函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值为________.

答案23＋2解析因为x>1，所以x－1>0，则y＝x2＋2x－1＝(x2－2x＋1)＋(2x－2)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2，当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，

取等号．所以函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值为23＋2.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常

数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标．(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．1.(2022·保定质检)若x<2，则y＝2x＋42x－4的最大值为________.答案05解析由x<2知，4－2x>0，所以y＝4－(4－2x)＋44

－2x≤4－2(4－2x)·44－2x＝4－2×2＝0，当且仅当4－2x＝44－2x，即x＝1时等号成立．所以y＝2x＋42x－4的最大值为0.角度利用常数代换法求最值例2(1)(2021·厦门一模)已知a

>0，b>0，a＋3b＝2，则4a＋3b的最小值为________.答案252解析因为a>0，b>0，a＋3b＝2，所以4a＋3b＝12(a＋3b)4a＋3b＝1213＋12ba＋3ab≥1213＋212ba·3ab＝12×(13＋2×6)＝

252，当且仅当12ba＝3ab，即a＝2b时等号成立．此时结合a＋3b＝2可知a＝45，b＝25，所以4a＋3b的最小值为252.(2)(2020·天津高考)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则12a＋12b＋8a

＋b的最小值为________.答案4解析∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，又ab＝1，∴12a＋12b＋8a＋b＝ab2a＋ab2b＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2×8a＋b＝4，当且仅当a＋b＝4，

即a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时，等号成立．故12a＋12b＋8a＋b的最小值为4.1．常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤如下：(1)根据已知条件或

其变形确定定值(常数)．6(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．(4)利用基本不等式求解最值．2．常数代换法求最值适用的题型及解题通法当式子中含有两个变量，且条件和所求的式子分别为整式和分式时，常构造出(ax＋by)

mx＋ny(a，b，m，n为常数且大于0)的形式，利用(ax＋by)mx＋ny＝am＋bn＋bmyx＋anxy≥am＋bn＋2abmn当且仅当bmyx＝anxy时，等号成立得到结果．2.(2021·烟台模拟)已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x

＋2y的最小值为()A.74B．2C．94D．52答案C解析将x＋2y＝8xy两边同时除以xy，得2x＋1y＝8，则4x＋2y＝18(4x＋2y)2x＋1y＝1810＋4yx＋4xy≥1810＋24yx·4xy＝94，当且仅当4yx＝4xy，

即x＝y＝38时取等号．故4x＋2y的最小值为94.角度利用消元法、换元法求最值例3(1)已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则acb2的最大值为()A．8B．2C．18D．16答案C解析因为a，b，c都是正数，且满足2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以acb27＝ac(2a＋

c)2＝ac4a2＋4ac＋c2＝14ac＋ca＋4≤124ac·ca＋4＝18，当且仅当c＝2a>0时等号成立，即acb2的最大值为18.故选C.(2)(2021·福建模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_

_______.答案6解析解法一：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤x＋3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y＝t，则t>0，且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6.故x＋

3y的最小值为6.解法二：∵x＋3y＝9－xy≥23xy，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．∴(xy)2＋23×xy－9≤0，∴(xy＋33)(xy－3)≤0，∴0<xy≤3，∴x＋3y＝9－xy≥6，即x＋3y的最小值为6.利

用基本不等式求最值的方法(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．(2)换元法，求较复杂的式子的最值时，通常利

用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解．3.(2022·聊城月考)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是()A．1B．3C．6D．12答案B解析∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝3－x22x，∴2x＋y＝2x＋3

－x22x＝3x2＋32x＝3x2＋32x≥23x2·32x＝3，当且仅当3x2＝32x，即x＝1时取等号．故选B.84．(2022·海南调研)已知a，b均是正实数，则aa＋2b＋ba＋b的最小值为________.答案22－2解析设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y

，且x，y均为正实数，所以aa＋2b＋ba＋b＝2y－xx＋x－yy＝2yx＋xy－2≥22yx·xy－2＝22－2，当且仅当2yx＝xy，即x＝2y时等号成立．所以aa＋2b＋ba＋b的最小值为22－2.考向二基本不等式

的综合应用例4(1)(2021·潍坊一模)若对于任意的x>0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．a≥15B．a>15C．a<15D．a≤15答案A解析由x>0，xx2＋3x

＋1＝1x＋1x＋3，令t＝x＋1x，则t≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时，t取得最小值2.此时xx2＋3x＋1取得最大值15，所以对于任意的x>0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a≥15，故选A

.(2)在△ABC中，A＝π6，△ABC的面积为2，则2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC的最小值为()A.32B．334C．32D．53答案C解析设△ABC中角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则S△ABC＝12bcsinA9＝

14bc＝2，所以bc＝8.由正弦定理得2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC＝2cc＋2b＋bc＝21＋2bc＋bc.设bc＝t(t>0)，则21＋2bc＋bc＝21＋2t＋t＝112＋t＋t＋12－12≥2112＋t·t＋12－12＝2－

12＝32，当且仅当112＋t＝t＋12，即t＝12时等号成立．此时bc＝12，又bc＝8，解得b＝2，c＝4.所以2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC的最小值为32，故选C.(1)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而

得到参数的值或范围．(2)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．5.(2022·山东临沂月考)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1,0)，B(1,0)，则|PA|＋|PB|的最大

值为()A．2B．22C．4D．42答案B解析由题意知∠APB＝90°，∴|PA|2＋|PB|2＝4，∴|PA|＋|PB|22≤|PA|2＋|PB|22＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，∴|PA|＋

|PB|≤22，∴|PA|＋|PB|的最大值为22.故选B.6．(2022·河北唐山质检)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为()A．3

－22B．5C．3＋22D．3＋2答案C10解析令x＋3＝1，得x＝－2，故A(－2，－1)．又点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，则1m＋1n＝1m＋1n(2m

＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋2nm·2mn＝3＋22，当且仅当m＝1－22，n＝2－1时等号成立，所以1m＋1n的最小值为3＋22，故选C.考向三基本不等式的实际应用例5(2021·山东省潍坊市高三阶段测试)某市近郊有一块大约500m×500m的接

近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000m2，其中阴影部分为通道，通道宽度为2m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状、大小均相同)，塑胶运动场地占地面积为Sm2.(1

)分别写出y和S关于x的函数关系式，并给出定义域；(2)怎样设计能使S取得最大值？并求出最大值．解(1)由已知，得xy＝3000，∴y＝3000x，其定义域是(6,500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，∵2a＋6＝y，∴a＝y2－3＝1500x－3，∴S＝(

2x－10)1500x－3＝3030－15000x＋6x，其定义域是(6,500)．(2)S＝3030－15000x＋6x≤3030－26x·15000x＝3030－2×300＝2430，当且仅当15000x＝6x，即

x＝50∈(6,500)时，上述不等式等号成立，此时y＝60，Smax＝2430.所以设计x＝50，y＝60时，运动场地面积最大，最大面积为2430m2.有关函数最值的实际问题的解题技巧11(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值

的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．7.(2022·北京海淀月考)港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行

．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是()A．采用第一种方案划算B．采用第二种方案划算C．两种方案一样D．无法确定答案B解析任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元

/升，第二次的油价为n元/升，第一种方案的均价：30m＋30n60＝m＋n2≥mn；第二种方案的均价：400200m＋200n＝2mnm＋n≤mn.所以无论油价如何变化，第二种都更划算．故选B.8．某厂家拟在2022年举行促销活动，经

调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品

需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？12解(1)

由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－2m＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2022年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8

3－2m＋1－m＝－16m＋1＋(m＋1)＋29(m≥0)．(2)∵当m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时，y取得最大值．故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家

的利润最大．两次利用基本不等式求最值已知a>0，b>0，则(b＋1)2a＋(a＋1)2b的最小值为()A．4B．7.5C．8D．16答案C解析因为a>0，b>0，所以(b＋1)2a＋(a＋1)2b＝b2a＋a2b＋2ba＋2ab＋

1a＋1b≥2ab＋2ab＋4≥22ab·2ab＋4＝8，当且仅当b2a＝a2b，2ba＝2ab，1a＝1b，2ab＝2ab，即a＝b＝1时等号成立．所以(b＋1)2a＋(a＋1)2b的最小值为8.答题启示利

用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立13的条件不仅是解题

的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a>b>0，求a2＋16b(a－b)的最小值．解∵a>b>0，∴a－b>0.∴b(a－b)≤b＋(a－b)22＝a24.∴a2＋16b(a－b)≥a2＋64a2≥

2a2·64a2＝16.当且仅当a2＝64a2，b＝a－b，即a＝22，b＝2时等号成立．∴a2＋16b(a－b)的最小值为16.一、单项选择题1．(2022·山东联考)若x<0，则x＋1x()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值

为－2D．有最大值，且最大值为－2答案D解析因为x<0，所以－x>0，－x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.故选D.2．已知函数f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小

值，则a＝()A．24B．28C．32D．3614答案D解析因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.故选D.3．(2022·海口模拟

)已知a>0，b>0，并且1a，12，1b成等差数列，则a＋9b的最小值为()A．16B．9C．5D．4答案A解析根据题意，a>0，b>0，且1a，12，1b成等差数列，则1a＋1b＝2×12＝1，则a＋9b＝(a＋9b)

1a＋1b＝10＋9ba＋ab≥10＋29ba·ab＝16，当且仅当9ba＝ab，即a＝4，b＝43时取到等号，∴a＋9b的最小值为16.故选A.4．(2021·淄博二模)已知a，b为正实数，则“aba＋b≤2”是“ab

≤16”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意，a，b为正实数，可得a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，若ab≤16，可得aba＋b≤ab2ab＝ab2≤1

62＝2，即必要性成立；反之，例如a＝2，b＝10，此时aba＋b≤2，而ab＝20，此时ab>16，即充分性不成立，所以“aba＋b≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件．故选B.5．(2021·江西师范

大学附属中学月考)若向量m＝(a－1,2)，n＝(4，b)，且m15⊥n，a>0，b>0，则log13a＋log31b有()A．最大值log312B．最小值log32C．最大值log1312D．最小值0答案B解析由m⊥n，得m·n＝0，即4(a－1)＋2b＝0，∴2a＋b＝

2，∴2≥22ab，∴ab≤12(当且仅当2a＝b时，等号成立)．又log13a＋log31b＝log13a＋log13b＝log13(ab)≥log1312＝log32，故log13a＋log31b有最小值为lo

g32.故选B.6．(2022·湖北六校联考)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元

D．240元答案C解析由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是4xm，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×2x＋8x≥80＋202x·8x＝160，当

且仅当2x＝8x，即x＝2时取得等号．7．(2022·湖南永州模拟)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝p(p－a)(p－b)(p－c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个

三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为()A．45B．85C．415D．81516答案B解析由题意，p＝10，S＝10(10－a)(10－b)(10－c)＝20(10－a)(10－b)≤20×10－a＋10－b2＝85，∴此三角形面积的最大值为85.8

．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4B．y＝|sinx|＋4|sinx|C．y＝2x＋22－xD．y＝lnx＋4lnx答案C解析对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2

＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合题意；对于B，因为y＝|sinx|＋4|sinx|≥2|sinx|·4|sinx|＝4，所以y≥4，当且仅当|sinx|＝4|sinx|，即|sinx|＝2时取等号，但是根据正

弦函数的有界性可知|sinx|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意；对于C，因为y＝2x＋22－x≥22x·22－x＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时取等号，所以ymin＝4，所以C符合题意；对于D，当0<x<1时，lnx<0，y＝lnx＋4lnx<0，所以D不符合题

意．二、多项选择题9．(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥12B．2a－b>12C．log2a＋log2b≥－2D．a＋b≤2答案ABD解析对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2a－122＋12≥12，当且仅当a＝b

＝12时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝12，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2a＋b22＝log214＝－2，当且17仅当a＝b＝12时，等号成立，故C不正确；对于D，因为(a＋b)2＝1＋2ab≤1＋a＋b

＝2，所以a＋b≤2，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故D正确．故选ABD.10．(2021·烟台模拟)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋b＋c≤3B．(a＋b＋c)2≥3C.1a＋1b＋1c≥23D．a2＋b2

＋c2≥1答案BD解析由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，上述三个不等式全部相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋c

a)≥3，∴a＋b＋c≤－3或a＋b＋c≥3，若a＝b＝c＝－33，则1a＋1b＋1c＝－33<23，因此A，C错误，B，D正确．故选BD.11．(2021·广东珠海模拟)下列说法正确的是()A．若x>0，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B．若x<12，则函数y＝

2x＋12x－1的最大值为－1C．若x>0，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1D．函数y＝1sin2x＋4cos2x的最小值为9答案BD解析对于A，因为x＋y＝2，所以2x＋2y≥22x＋y＝4，当且

仅当x＝y＝1时等号成立，没有最大值，故A错误；对于B，y＝2x＋12x－1＝－1－2x＋11－2x＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，故B正确；对于C，易知x＝2，y＝13满足等式x＋y＋xy＝3，此时xy＝23<1，故C

错误；对于D，y＝1sin2x＋4cos2x＝181sin2x＋4cos2x(sin2x＋cos2x)＝cos2xsin2x＋4sin2xcos2x＋5≥24＋5＝9，当且仅当cos2x＝23，sin2x＝13时等号成立，故D正确．故选BD.12．(2021·山东滕州高三模拟)如

图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度为5km/h，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离．设u＝x2

＋4＋x，v＝x2＋4－x，则()A．函数v＝f(u)为减函数B．15t－u－4v＝32C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h答案AC解析因为u＝x2＋4＋x，v＝x2

＋4－x，所以x2＋4＝u＋v2，x＝u－v2，由题意uv＝4，v＝4u在(0，＋∞)上是减函数，A正确；t＝x2＋43＋12－x5＝u＋v6＋125－u－v10，整理得15t＝u＋4v＋36，B错误；由A，B得15t＝u＋16

u＋36≥2u·16u＋36＝44，当且仅当u＝16u，即u＝4时取等号，此时x2＋4＋x＝4，解得x＝1.5，所以当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少，C正确；当x＝4时，u＝25＋4，v＝25－4，此人从小岛到城镇花费的时间t＝u＋4v＋3615＝105＋2415，t－3＝105＋2

415－3＝105－2115>0.所以当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间19超过3h，D错误．故选AC.三、填空题13．(2022·海口调研)已知a，b∈R，且a＋2b－4＝0，则2a＋4b的最小值为________.答案8解析由a＋2b－4＝0得a＋2b＝4，∴2a＋4b＝2a＋22b≥

22a·22b＝22a＋2b＝224＝8(当且仅当2a＝22b，即a＝2b时取等号)．所以2a＋4b的最小值为8.14．(2021·淄博模拟)若正实数x，y满足x＋y＝2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为________.答案1解析因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤(x＋

y)24＝224＝1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以1xy≥1.又1xy≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.15．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.答案45解析∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠

0且x2＝1－y45y2.∴x2＋y2＝1－y45y2＋y2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即x2＝310，y2＝12时取等号．∴x2＋y2的最小值为45.16．(2021·河南八校测评)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn

为数列{an}的前n项和，则Sn＋10an＋1的最小值为________.答案3解析因为a3＝7，a9＝19，所以d＝a9－a39－3＝19－76＝2，所以an＝a3＋(n－203)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1，所以Sn＝n(3＋2n＋

1)2＝n(n＋2)，因此Sn＋10an＋1＝n(n＋2)＋102n＋2＝12(n＋1)＋9n＋1≥12×2(n＋1)·9n＋1＝3，当且仅当n＝2时取等号．故Sn＋10an＋1的最小值为3.四、解答题17．(2022·银川月考)为庆祝建国70周年，某高中准备设计一副

宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面高与宽的比为a(a<1)，画的上下部分各留出5cm的空白，左右部分各留出8cm的空白．(1)当a＝25时，该宣传画的高和宽分别为多少？(2)如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张面积最小？并求出此时a的值．解(1)设画面的高为2xcm，宽为5xcm

，由题意得10x2＝4840，解得x＝22，∴该宣传画的高为44＋10＝54cm，宽为110＋16＝126cm.(2)设画面的高为xcm，则宽为4840xcm，根据题意得S＝(x＋10)4840x＋16＝5000＋16x＋48400x≥5000＋216x·

48400x＝6760，当且仅当16x＝48400x，即x＝55时等号成立，此时宽为4840x＝88，∴a＝5588＝58.18．已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．(1)求证：1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥32；21(2)是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a

2＋b2＋c2恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解(1)证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数，所以1a＋b＋1b＋c＋1c＋a＝16[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]1a＋b＋1b＋c＋1

c＋a＝163＋b＋ca＋b＋a＋bb＋c＋b＋cc＋a＋c＋ab＋c＋a＋bc＋a＋a＋ca＋b≥16×(3＋2＋2＋2)＝32，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥32得证．(2)因为a＋b＋c＝3，所

以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，因此a2＋b2＋c2≥3(当且仅当a＝b＝c＝1时取等号)，所以(a2＋b2＋c2)min＝3，由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，即得x2－mx＋1≥0恒成立，因此Δ＝m

2－4≤0⇒－2≤m≤2.故存在实数m∈[－2,2]，使得不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2恒成立．