【文档说明】福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高三上学期期中考试 数学答案.docx，共(18)页，844.360 KB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年高三（上）期中考试数学试卷数学一、单选题1.已知集合{1,0,1,2,3,4},{1,3,5},MNPMN=−==，则P的真子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.8个【答案】B【解析

】【分析】根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.【详解】解：{1,0,1,2,3,4},{1,3,5}MN=−=13P=，，P的真子集是1,{3},共3个.故选：B.2.若函数()210fxxmx=−+在()2,

1−−上是减函数，则实数m的取值范围是（）A.)2,+B.)2,−+C.(,2−D.(,2−−【答案】B【解析】【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围.【详解】函数2()

10fxxmx=−+的对称轴为2mx=，由于()fx在()2,1−−上是减函数，所以122mm−−.故选：B3.若“103xx−−”是“2xa−”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A.13aB.13aC.13a−D.13a−【答案】B【解析】【分析】根据分式的

性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.【详解】因为103xx−−，则()()13013xxx−−，因为2xa−，则2222xaaxa−−−+，即13x是22ax

a−+的充分而不必要条件，所以211323aaa−+，故选：B4.已知焦距为4的双曲线()222210,0xyabab−=的一条渐近线与直线30xy−=垂直，则该双曲线的方程为（）A.

2213xy−=B.22126xy−=C.2213yx−=D.22162xy−=【答案】C【解析】【分析】由已知焦距为4，得出2224abc+==，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，得出它们斜率之积为1−，从而得出a、b之间的关系，代入222

4abc+==，解出a、b，写出方程即可.【详解】由已知焦距为4，所以2c=，2224abc+==，又双曲线方程的渐近线方程为：byxa=，而直线的斜率13k=，且直线与一条渐近线垂直，所以113ba−=−，即3ba=，由2

243abba+==解得13ab==，所以双曲线方程为：2213yx−=故选：C.5.已知函数()yfx=在[,]−上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（）A.cosxxxyee−=−B.cosxxxyee−=+C.sinxxxyee−=−D.

sinxxceyx−−=【答案】C【解析】【分析】根据特殊值可排除AB，由定义域排除D，即可求解.【详解】由图可得，02f，而A、B选项2x=时，函数值均为0，A、B错误；由图可得()0f=，而D选项中函数定义域取不到，故D错误故选:C6.已知()()sincos6sin

22−−+=−，则2sincoscos+等于（）A.35B.25C.35-D.25−【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简整理，可求得tan的值，将所求改写成2222sinc

oscossincoscossincos++=+，上下同除2cos，即可得结果.【详解】由题意得coscos6sin+=−，所以cos3sin=−，解得sin1tancos3==−，所

以222222sincoscostan133sincoscos10sincostan159+++====++..故选：A7.设0.01a=，ln1.01b=，3log0.01c=，则（）A.acbB.c<a<bC.b<c<aD.cb

a【答案】D【解析】【分析】构造()()()ln10fxxxx=+−，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可.【详解】设函数()()()ln10fxxxx=+−，则()01xfxx=−+，所以(

)fx为减函数，则()()0.0100ff=，即ln1.010.01，又0cb，所以cba．故选：D8.已知定义在R上的函数()fx满足，①(2)()fxfx+=，②(2)fx−为奇函数，③当)0,1x时，()()(

)1212120fxfxxxxx−−恒成立.则152f−、(4)f、112f的大小关系正确的是（）A.()1511422fff−B.()1511422fff−C.()1115422fff

−D.()1115422fff−【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性和单调性即可比较()1511,4,22fff−的大小.【详解】由(2)

()fxfx+=可得()fx的周期为2，因为(2)fx−为奇函数，则(2)(2)fxfx−−=−−，又因为()fx的周期为2，所以()()fxfx−=−，即()fx为奇函数，因为)0,1x时，()()12120fxfxxx−−，所以()fx在)0,1x上单调递增，因为()fx

为奇函数，所以()fx在(1,0−上单调递增，所以()fx在()1,1−上单调递增，因为()fx的周期为2，1515124222fff−=−+=，(4)(0)ff=，1

111123222fff=−=−，所以()11022fff−，即()1511422fff−.故选：A.二、多选题9.下列函数中，满足“1

x，()20x+，，都有1212()()0fxfxxx−−”的有（）A.()31fxx=−+B.()eexxfx−=−C.()243fxxx=++D.()2fxx=【答案】AD【解析】【分析】根据题意可知满足题意的函数为在()0+，上减函数，由此一一判断选项中函数的单调性，可得答案

.【详解】由1x，()20x+，，都有1212()()0fxfxxx−−，可知函数()fx在()0x+，时减函数.函数()31fxx=−+在()0x+，时为减函数，符合题意，故A正确；函数1e()exxy−

=−=−在()0x+，时为增函数，所以()eexxfx−=−在()0x+，时为增函数，故B错误；函数()243fxxx=++图象的对称轴为2x=−，故在()0x+，时()243fxxx=++为增

函数，故C错误；函数()2fxx=在()0x+，时单调递减，符合题意，故D正确.故选：AD.10.已知复数50i34iz−=+，则下列说法正确的是（）A.复数z在复平面内对应的点在第四象限B.复数z的虚部为6−C.复数z的共轭复数86iz=−+D.复数z的模||10z=【答案】

BCD【解析】【分析】化简得86iz=−−，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案.【详解】50i50i(34i)50i(34i)86i34i(34i)(34i)25z−−−−−====−−++−，,0ab，

所以复数z在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；虚部为6−，故B正确；复数z的共轭复数86iz=−+，故C正确；复数z的模()()22||8610z=−+−=，故D正确；故选：BCD.11.设函数()cos3fxx=+，则下列结论正确的是（）A.()fx的一个周期为2−B.()y

fx=的图象关于直线83x=对称C.()fx+的一个零点为6x=D.()fx在,2ππ上单调递减【答案】ABC【解析】分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.【详解】对于A项，函数的周期为2k，,0kkZ，当1k=−时，周期2T=−，

故A项正确；对于B项，当83x=时，89coscoscoscos3cos13333x+=+=−==−为最小值，此时()yfx=的图象关于直线83x=对称，故B项正确；对于C项，4()cos3fxx+=+，4

3coscos0632+==，所以()fx+的一个零点为6x=，故C项正确；对于D项，当2x时，54633x+，此时函数()fx有增有减，不是单调函数，故D项错误.故选：ABC12.已知等差数列{}

na的前n项和为nS，且满足20220a，202120220aa+，则（）【.A.数列{}na是递增数列B.数列{}nS是递增数列C.nS的最小值是2021SD.使得nS取得最小正数的4042n=【答案】AC【解析】【分析】根据题意，结

合等差数列的性质以及前n项和的公式与性质，一一判断即可.【详解】因为20220a，202120220aa+，所以20210a，可得公差0d，nS的最小值是2021S，故AC正确；因为12021n，nS单调递减，2022n，

nS单调递增，所以B项错误；因为202120220aa+，所以1404240424042()2aaS+=202120224042()02aa+=，同理14043404320224043()404302

aaSa+==，所以nS取得最小正数的4043n=，D项错误.故选AC项．三、填空题13.若π(0,)2，1tan3=，则sincos−=________________．【答案】105−【解析】【分析】根据题意，

利用三角函数的定义，准确运算，即可求解.【详解】因为π(0,)2，且1tan3yx==，可令3x=，则1y=，设终边上一点的坐标(3,1)P，则22||3110rOP==+=，可得13210sincos5101010−=−=−=−．故答案为：105−．1

4.若直线()1ykx=−与曲线exy=相切，则k的值为___________.【答案】2e【解析】【分析】设切点为()00,xy，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,xy，则00exy

=，()001ykx=−，exy=，0exk=，()000ee1xxx=−，所以02x=，2ek=.故答案为：2e.15.记函数()()cos(0,0π)fxx=+的最小正周期为T

，若3()2fT=，9x=为()fx的零点，则的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T，根据()32fT=求出，再根据π9x=为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cosfxx=+，（0，0π

）所以最小正周期2πT=，因为()()2π3coscos2πcos2fT=+=+==，又0π，所以π6=，即()πcos6fxx=+，又π9x=为()fx的零点，

所以ππππ,Z962kk+=+，解得39,Zkk=+，因为0，所以当0k=时min3=；故答案为：316.已知函数()()2lnfxxax=++存在极值，则实数a的取值范围是___________.【答案】()2,+【解析】【分析】分析可知函数()fx在(),a−+

上存在极值点，求得()2221xaxfxxa++=+，可得出2022aaa−+−−，即可求得实数a的取值范围.【详解】函数()()2lnfxxax=++的定义域为(),a−+，且()212212xaxfxxxaxa++

=+=++，由题意可知，函数()fx在(),a−+上存在极值点，对于方程22210xax++=，2480a=−，解得2a−或2a，解方程22210xax++=可得2122aax−−−=，2222aax−+−=，且21xx，故有222aaa−+−−，整理可得22aa

−−.若2a−，则22aaa−=−，矛盾；若2a，则220aa−−.综上所述，实数a的取值范围是()2,+.故答案为：()2,+.四、解答题17.在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且2222abcab+

=+．（1）求C；（2）若tan2tanBacCc−=，求A．【答案】（1）45C=（2）75A=【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得60B=，进而可求解.【小问1详解】∵2222abcab+=+，∴222222abcab+

−=，∴2cos2C=，由于C是三角形内角，∴45C=．【小问2详解】由正弦定理可得tan22sinsintansinBacACCcC−−==，∴sincos2sinsincossinsinBCACBCC−=∴sincos2sincossincosBCABCB=−

，∴sincossincos2sincosBCCBAB+=，∴()sin2sincosBCAB+=，∴sin(π)sin2sincosAAAB==-．∵sin0A，∴1cos2B=，由于B是三角形内角，∴60B=，则180456075A−−==．18

.设各项非负的数列na的前n项和为nS，已知212nnSan+=−*()nN，且235,,aaa成等比数列.（1）求na的通项公式；（2）若12nnnaab+=，数列{}nb的前n项和nT.【答

案】（1）1nan=−（2）1242nnnT−+=−【解析】【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn−=−得出{}na的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得2a，这样可得通项公式(2)nan，

然后由已知式中令1n=求得1a，比较后可得结论；（2）用错位相减法求和．【小问1详解】当1n=时，21221aa=−，当2n时，212nnSan+=−①，212(1)nnSan−=−−②.①-②得22121nnnaaa+=−−，即(

)2221211nnnnaaaa+=++=+，∵0na，∴11nnaa+=+，∴数列na从第2项起是公差为1的等差数列.∴22(2)naann=+−，又2a，3a，5a成等比数列，∴2325aaa=，即()()222213

aaa+=+，解得21a=，∴121(2)nannn=+−=−，∵21221aa=−，∴10a=，适合上式，∴数列na的通项公式为1nan=−.【小问2详解】12nnnb−=，∴数列nb的前n项的和为01221123122222nnnnnT−−−=++++

+③123111231222222nnnnnT−−=+++++④③-④得211111122222nnnnT−=++++−111122221222212nnnnnnnn−−+=−=−−=−−，∴1242nnnT−+=−.19.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，,ADBCA

DAB⊥∥，侧面PAB⊥底面1,22ABCDPAPBADBC====，且,EF分别为,PCCD的中点．（1）证明：//DE平面PAB；（2）若直线PF与平面PAB所成的角为60，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB中点

M，连接,AMEM，通过证明四边形ADEM为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF与平面PAB所成的角为60，可得,,,,GFPGAGBGAB，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】证明：取PB中点M，连接,AM

EM，E为PC的中点，1,2MEBCMEBC=∥，又1,2ADBCADBC=∥，,MEADMEAD=∥，四边形ADEM为平行四边形：DEAM∥，DE平面,PABAM平面PAB，DE平面PAB；【小问2详解】平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面,ABCDABBC=平面ABCD，

,BCABBC⊥⊥平面PAB，取AB中点G，连接FG，则,FGBCFG⊥∥平面PAB，()160,32GPFGFADBC==+=，3tan60,3PGPG==，又2,431,2PAPBAGGBAB====−==，如图以G为

坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，()()()0,0,3,1,4,0,1,2,0PCD−，()()1,43,2,2,0PCCD=−=−−，设平面PCD的一个法向量，()1,,nxyz=，则114

30220nPCxyznCDxy=+−==−−=，取1y=，则()11,1,3n=−，平面PAB的一个法向量可取()20,1,0n=uur，设平面PAB与平面PCD所成的夹角为，121215cos5

5nnnn===,平面PAB与平面PCD所成的夹角的余弦为5520.已知P为椭圆22221(0)xyabab+=上任一点，1F，2F为椭圆的焦点，124PFPF+=，离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：()0ykxmm=+与椭圆

的两交点为A，B，线段AB的中点C在直线12yx=上，O为坐标原点，当OAB的面积等于2时，求直线l的方程．【答案】（1）22142xy+=（2）30xy+−=或30xy++=【解析】【分析】()1由椭圆定义可得a的值，进而由离心率可得c，

再求得b，即可得到椭圆的方程；()2设出点A，B的坐标，联立直线l与椭圆的方程，利用设而不求的方法，并依据题给条件列方程，即可求出k，进而求得m的值，从而求得直线l的方程．【小问1详解】由椭圆定义得24a=，2a=，所以2cae==，故2b=

，所以椭圆的方程为22142xy+=．【小问2详解】设()()1122AxyBxy，，，，ykxm=+代入方程22142xy+=，得()()222124240*kxkmxm+++−=．所以1222212Cxxkmxk+−==+，

212CCmykxmk=+=+，所以221212212mkmkk−=++，解得1k=−，则()*式变为2234240xmxm−+−=，则2124623mABxx−=−=，OAB底边AB上的高2mh=，所以OAB的面积()22263mmS−=．令()222623

mm−=，解得3m=，把1k=−，3m=代入()*式，经检验，均满足0，此时直线l的方程为30xy+−=或30xy++=．21.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负

者得5−分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为1p，2p.（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果22121220.1

5pppp−−+，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；（2）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望.【答案】（1）甲、乙获得冠军的实力没有明显差别（2）分布列见解析，5.25【解析】【分析】（1）设教师甲在三个项目中

获胜的事件依次为,,ABC，利用互斥事件和独立事件的概率共求得10575p=.和20.425p=，结合22121220.15pppp−−+，即可得到结论；（2）根据题意，得到X的可能取值为15,0,15,30−，利用独

立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,,ABC，则教师甲获得冠军的概率()()()()1pPABCPABCPABCPABC=+++0.40.50.750.60.50.750.40.50.750.40.

50.25=+++0.150.2250.150.050575=+++=.，由对立事件的概率公式，可得得2110.425pp=−=，所以221220.10.160.45pp−+==，解得120.15pp−=，因为22121220.15pppp−

−+，所以甲、乙获得冠军实力没有明显差别.【小问2详解】解：根据题意知，X的可能取值为15,0,15,30−，可得()150.40.50.750.15PX=−==，()00.60.50.750.40.50.750.40.50.250.

425PX==++=，()150.40.50.250.60.50.250.60.50.750.35PX==++=，的()300.60.50.250.075PX===.所以随机变量X的分布列为X15−01530P0.150.4250.350.075所以期望为()150.1

500.425150.35300.0755.25EX=−+++=.22.已知函数()()ln,xfxkxgxx==.（1）若不等式()()fxgx在区间()0,+内恒成立，求实数k取值范围；（2）求证：444ln2ln3ln1...232enn+++（

2,N,enn为自然对数的底数）【答案】（1）12ek（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分离参数，转化为求定函数的最值问题；（2）根据第一问，合理构造，利用不等式的性质合理变形达到证明的目的.【小问1详解】因为0x，lnxkxx，所以2lnxkx，令()2lnxhxx=，又

()312lnxhxx−=，令()0hx=解得ex=，0ex时，()0hx，()hx递增，ex时，()0hx，()hx递减，所以当ex=时函数()hx有最大值，且最大值为12e，所以12ek.【小问2详解】由（1）知2ln12exx，所以42ln11·2exxx，所以4

44222ln2ln3ln1111......232e23nnn++++++，又222111111231223(1)nnn++++++−的1111111...112231nnn=−+−++−=−−

，所以444222ln2ln3ln11111......232e232ennn++++++，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com