【文档说明】江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题含附加题含答案byde.doc，共(15)页，1.208 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题2020．6第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．若集合A＝xxm，B＝1x

x−，且AB＝{m}，则实数m的值为．2．已知i为虚数单位，复数z满足z(3＋i)＝10，则z的值为．3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包

的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250]．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为天．5．执行如图所示的流程图

，输出k的值为．第4题第5题6．若双曲线22221xyab−=(a＞0，b＞0)的渐近线为2yx=，则其离心率的值为．7．若三棱柱ABC—A1B1C1的体积为12，点P为棱AA1上一点，则四棱锥P—BCC1B1的体

积为．8．“＝2”是“函数()sin()6fxx=+的图象关于点(512，0)对称”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．9．在△ABC中，C＝B＋4，AB＝324AC，则tanB的值为．10．若数列na

的前n项和为nS，12(1)(21)nnnan−=+−−，则1001002aS−的值为．11．若集合P＝22(,)40xyxyx+−=，Q＝2(,)15xxyy+，则PQ表示的曲线的长度为．12．若函数2e,0()e1,0xmxfxxx+=−

的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是．13．在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若ABAD＝90，则ABAE的值是．14．若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝l，则7x2﹣4xy＋4y2

的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）若函数()Msin()fxx=+(M＞0，＞0，0＜＜)的最小值是﹣2，最小正周期是2，且图象经过点N(3，1)．（1）

求()fx的解析式；（2）在△ABC中，若8(A)5f=，10(B)13f=，求cosC的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面PBC

⊥平面ABCD．求证：（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．17．（本小题满分14分）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，

其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l

1，l2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：22221xyab+=(a＞b＞0)的短轴长为2，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的动直线

与椭圆交于点P，Q，过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点．当直线AB过原点时，PF1＝3PF2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH，QH，AH，BH的斜率依次为1k，2k，3k，4k．①若12215kk+=，求直线PQ的斜率；②求123

4()()kkkk++的最小值．19．（本小题满分16分）如果存在常数k使得无穷数列na满足mnmnakaa=恒成立，则称为P(k)数列．（1）若数列na是P(1)数列，61a=，123a=，求3a；（2）若等差数列nb是P(2)数列，求数列nb的通项公式；（

3）是否存在P(k)数列nc，使得2020c，2021c，2022c，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列nc；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）设函数32()3ln2fxxxaxax=−++−．（1）若a＝0时，求函数()fx的单

调递增区间；（2）若函数()fx在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；（3）设函数()fx的零点个数为m，试求m的最大值．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演

算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝21ab，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为11=，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．B．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l：cos2sinm+=（m为实数），曲线C：2cos=+4sin，

当直线l被曲线C截得的弦长取得最大值时，求实数m的值．C．选修4—5：不等式选讲已知实数x，y，z满足21xyz++=，求222xyz++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，

证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，抛物线C：22ypx=(p＞0)的焦点为F，过点P(2，0)作直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时AB的长为42．（1）求抛物线的方程；（2）若△APF与△BPO的面积相等，

求直线l的方程．23．（本小题满分10分）若有穷数列na共有k项(k≥2)，且11a=，12()1rrarkar+−=+，当1≤r≤k﹣1时恒成立．设12kkTaaa=+++．（1）求2T，3T；

（2）求kT．盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．1−2．103．434．125．46．57．88．充分不必要9．210．29911．3212．21e+13．217514．83二、解答题：本大题共6小题

，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．解析：（1）因为()fx的最小值是－2，所以M＝2．………………………………2分因为()fx的最小正周期是2，所以1=，………………………………4分又由()fx

的图象经过点(,1)3N，可得()13f=，1sin()32+=，所以236k+=+或236k+=+，k∈Z，又0，所以2=，故()2sin()2fxx=+，即()2cosfxx=．………………………………6分（2）由（1）知()2cosfxx=，又8()

5fA=，10()13fB=，故8102cos,2cos513AB==，即45cos,cos513AB==，又因为△ABC中，,(0,)AB，所以2243sin1cos1()55AA=−=−=，22512sin1cos1()1313BB=−=−=，…………………10分所以cosc

os[()]cos()CABAB=−+=−+(coscossinsin)ABAB=−−4531216()51351365=−−=．………………………………14分16．证明：(1)设ACBDO=，连结OE，因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点，又因为点E是PC的中点，所以//APOE．……

…………………………2分又因为OE平面BDE，AP平面BDE，所以//AP平面BDE．………………………………6分(2)因为平面PBC⊥平面ABCD，PCBC⊥，平面PBC平面=ABCDBC，PC平面PBC，所以PC

⊥平面ABCD．………………………………9分又BD平面ABCD，所以PCBD⊥．∵ABCD是菱形，∴ACBD⊥，又PCBD⊥，ACPCC=，AC平面PAC，PC平面PAC，所以BD⊥平面PAC．………………………………12分又BD平面BDE，所以平面PAC⊥平面BD

E．………………………………14分17．解析：连接CM，设PCM=，则1cosPC=，tanPMPN==，110cosOPOCPC=−=−，2220cosABOP==−，设新建的道路长度之和为()f，则3()2tan30cosfPMPNABOP=+++=−+，……6分由110

PC得1cos110，设01cos=10，002，，则0(0]，，03sin=1110，223sin()cosf−=，令()0f=得2sin=3，…………10分ABP

CDEO设12sin=3，10(0]，，,(),()ff的情况如下表：1(0)，110(]，()f+0-()f↗极大↘由表可知1=时()f有最大值，此时2sin=3，5c

os=3，2tan=5，()=305f−．………………………………13分答：新建道路长度之和的最大值为305−千米．………………………………14分注：定义域扩展为(0,)2，求出最值后验证也可.18．解析：(1)

因为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的短轴长为2，所以=1b，当直线AB过原点时，xPQ⊥轴，所以21FPF为直角三角形，由定义知aPFPF221=+，而213PFPF=，故aPFaPF212321==，，由2212221FFPFPF+

=得)1(4414414922222−+=+=aacaa，化简得22=a，故椭圆的方程为1222=+yx．………………………………4分（2）①设直线)1(:−=xkyPQ，代入到椭圆方程得：0)22(4)21

(2222=−+−+kxkxk，设),(),,(2211yxQyxP，则222122212122,214kkxxkkxx+−=+=+，………………………………6分所以)3)(3()]3)(1()3)(1[(33211221221121−−−−+−−=−+−=+xxxxxx

kxyxykk，化简可得152782221=+=+kkkk，………………………………10分解得：1=k或87=k，即为直线PQ的斜率．………………………………12分②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，1234()()0kkkk++=，当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知782221+

=+kkkk，同理可得243782kkkk+−=+，………………………………14分故225411312564113)1(56411356564))((22222424321−=+−++−=++−

=++kkkkkkkkkkk，当且仅当221kk=即1=k时取等号．综上，1234()()kkkk++的最小值为2254−．………………………………16分19．解析：(1)由数列{}na是(1)P数列得3,16212326====aaa

aaa，可得313=a．………2分(2)由{}nb是(2)P数列知2mnmnbbb=恒成立，取1m=得nnbbb12=恒成立，当0,01==nbb时满足题意，此时0=nb，当01b时，由2112bb

=可得211=b，取2mn==得2242bb=，设公差为d，则2)21(2321dd+=+解得0=d或者21=d，综上，0=nb或21=nb或2nbn=，经检验均合题意．………………………………8分(3)方法一:假设存在满足条件的()Pk数列{}nc，不妨设该等

比数列202020212022ccc，，，…的公比为q，则有2020202020202020202020202020202020202020ckcqcckcc==−，可得2020202020202020kcq=−，①qck

cqcckcc==−2020202020202021202020202021202020212020，可得2020202120212020kcq=−，②综上①②可得1=q，………………………

………10分故202020202020cc=，代入2020202020202020ckcc=得kc12020=，则当2020n时kcn1=，…………12分又kcckcc11202012020==

，当20201n时，不妨设2020in，Ni且i为奇数，由ininnnnnnnnnnckcckckcckccciiiii)()(1222211−======−−−−，而kcin1

=，所以inickk)(11−=，iinkc)1()(=，kcn1=，综上，满足条件的()Pk数列{}nc有无穷多个，其通项公式为kcn1=．………………………………16分方法二:同方法一得，当2020n时kcn1=，当20201n时，20202020nnckcc=，而

20201nck=，kc12020=，故kcn1=，以下同方法一．方法三:假设存在满足条件的()Pk数列{}nc，显然{}nc的所有项及k均不为零，11=ck，不妨设该等比数列202020212022ccc，，

，…的公比为q，当20181n时，20202020nnckcc=，(+1)202012020nnckcc+=，两式相除可得(+1)2020202012020=nnnnccqcc+=，故当20191n时{}nc也为等比数列，………………………………10分故)1

(2020)1(202011−−==nnnqkqcc，则202021qkc=，606041qkc=，由224)(ckc=得12020=q，且当20191n时kcn1=，………………………………12分则202021010111=ckcckkkk==，202554051

11=ckcckkkk==，∴520252020=1=cqc，∴1q=，故当2020n时kcn1=，综上，满足条件的()Pk数列{}nc有无穷多个，其通项公式为kcn1=．………………………………1

6分20．解析：（1）当0a=时，3()3lnfxxx=−+，所以3231()33()xfxxxx−−=+=，…1分由()0fx=得1x=，当(0,1)x时，()0fx；当(1,)x+时，()0fx，所以函数()fx的单调增区间为(1,)+．……3分（2）由题意得2

233(1)2()322[(1)1]3xafxxaxaxxxx−−=++−=+++，令22()(1)1(0)3agxxxx=+++，，则3(1)()()xfxgxx−=，当2103a+即32a−时，()0gx恒成立，得()fx在(0,1)上递减，在(1

,+)上递增，所以1x=是函数()fx的极小值点；当22(1)403a=+−即9322a−时，此时()0gx恒成立，()fx在(0,1)上递减，在(1,+)上递增，所以1x=是函数()fx的极小值点；当22(1)403a=+−=即9=2a−或32

a=时，易得()fx在(0,1)上递减，在(1,+)上递增，所以1x=是函数()fx的极小值点；……6分当22(1)403a=+−时，解得92a−或32a（舍），当92a−时，设()gx的两个零点为12,xx，所以121xx=，不妨设120xx，

又2(1)303ag=+，所以1201xx，故123()()(1)()fxxxxxxx=−−−，当1(0,)xx时，()0fx；当1(,1)xx时，()0fx；当2(1,)xx时，()0fx；当2(,)xx+时，

()0fx；∴()fx在1(0,)x上递减，在1(,1)x上递增，在2(1,)x上递减，在2(,)x+上递增；所以1x=是函数()fx极大值点.综上所述92a−．……10分（3）①由（2）知当92a−时，函

数()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，故函数()fx至多有两个零点，欲使()fx有两个零点，需(1)10fa=−，得1a，此时32()3ln23ln2fxxxaxaxxax=−++−

−−，1()3ln2faa−，当ae时，1()0fa，此时函数()fx在(0,1)上恰有1个零点；……12分又当2x时，33()3ln(2)3lnfxxxaxxxx=−++−−+，由（1）知3()3lnxxx=−+在(1,)+上单调递增，所以3(

)30fee−+，故此时函数()fx在(1,)+恰有1个零点；由此可知当ae时，函数()fx有两个零点．……14分②当92a−时，由（2）知()fx在1(0,)x上递减，在1(,1)x上递增，在2(1,)x上递减，在2(,)x+上递增；而101x

，所以311111()3ln(2)0fxxxaxx=−++−，此时函数()fx也至多有两个零点.综上①②所述，函数()fx的零点个数m的最大值为2．……16分附加题答案21A．解：由题意知2113111aAb==，所

以2313ab+=+=，即12ab==，…………4分所以矩阵A的特征多项式212()(1)421f−−==−−−−，由()0f=，解得3=或1=−，…………8分当1=−时，220220xyxy−−=−−=，令1x=，则1y=−，所以矩阵A的另一个特征值为1−，对应

的一个特征向量为11−．…………10分21B．解：由题意知直线l的直角坐标方程为20xym+−=，…………2分又曲线C的极坐标方程2cos4sin=+，即22cos4sin=+，所以曲线C的直角坐标方程为22240xyxy+−−=，所以曲线C是圆

心为(1,2)的圆，…………8分当直线l被曲线C截得的弦长最大时，得1220m+−=，解得5m=．…………10分21C．解：由柯西不等式有2222222(112)()(2)1xyzxyz++++++=，…………6分所以22216xyz++(当且仅当112xyz==即16xy==，1

3z=时取等号)，…………8分所以222xyz++的最小值是16．…………10分22．解：（1）当直线l与x轴垂直时AB的长为42，又(2,0)P，取(2,22)A，…………1分所以2(22)22p=，解得2p

=，所以抛物线的方程为24yx=．…………2分（2）由题意知1122APFAASFPyy==，12BPOBBSOPyy==，因APFBPOSS=，所以2AByy=，…………4分当0ABk=时，直线AB与抛物线不存在两个交点，所以0ABk，故设

直线AB的方程为2xmy=+，代入抛物线方程得2480ymy−−=，所以4AByym+=，8AByy=−，…………6分当0,0AByy时，2AByy=−，228By−=−，所以2By=−，214BByx==，所以2PBk=，直线AB的方程为240xy−−=，…………8分当0

,0AByy时，同理可得直线AB的方程为240xy+−=，综上所述，直线AB的方程为240xy−=．…………10分23．解：（1）当2k=时，1r=，由212(12)111aa−==−+，得21a=−，20S=，……1分当3k=时，1r=或2，由212(13)

211aa−==−+，得22a=−，由322(23)2213aa−==−+，得343a=，313S=．…………3分（2）因12()1rrarkar+−=+，由累乘法得321122(1)2(2)2()231rra

aakkrkaaar+−−−=+，所以1(1)(2)()!(2)(2)231(1)!(1)!rrrkkkrkarkrkr+−−−=−=−++−−，………5分所以1111(2)2rrrkaCk+++=−−，………6分当0r=时，11a=也适合1111(2)2rrrkaCk++

+=−−，所以11221[(2)(2)(2)]2kkkkkkSCCCk=−+−++−−，………8分即0011221[(2)(2)(2)(2)1]2kkkkkkkSCCCCk=−+−+−++−−−，所以11[(12)1][1(1)]22kkk

Skk=−−=−−−．………10分