【文档说明】【精准解析】云南省昆明市东川区明月中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题.doc，共(18)页，1.434 MB，由小赞的店铺上传

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2019年春季学期高二年级期中考试理科数学试题第I卷（选择题)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则

M∩N＝（）A.{0，1，2}B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，2，3}D.{0，1，2，3}【答案】A【解析】试题分析：求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1

，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数21iz=−，其中i为虚数单位，则z=A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i【

答案】B【解析】试题分析：22(1i)1i,1i1i(1i)(1i)zz+===+=−−−+，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考

生必定得分的题目之一.3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A.2xy=B.1yx=+C.3yx=D.cosyx=【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义以及零点的定义判断．【详解】选项A,2xy=是非奇非偶函数,且没有零点,选项B,1yx=+没有零

点,选项C,3yx=是奇函数,选项D,cos()cos,cosxxyx−==是偶函数，又cos0x=有解，cosyx=既是偶函数又存在零点．故选D【点睛】本题考查偶函数和零点的概念．4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何

体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20B.24C.28D.32【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．5.若实数x、y满足约束条件,1,1.yxxyy+

−则2zxy=+的最小值是()A.1−B.3−C.32D.3【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=−2x+z,平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由1{yyx=−=,解得11xy=−=−

，即B(−1,−1)，此时z=−1×2−1=−3，故选B6.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为(mod)Nnm=，例如112(mod3)=．现

将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）．A.21B.22C.23D.24【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.7.某市一次高三年级数

学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布()284,N，且(7884)0.2PX=.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A.60B.80C.100D.120【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性求出(90)PX，乘以400得答案.【详解】解

：∵X近似服从正态分布()284,N，(7884)0.2PX=，1(90)(120.2)0.32PX=−=，∴该校数学成绩不低于90分的人数为400×0.3＝120.故选：D.【点睛】本题考查了正态分布的性质，属于基础题.8.下列选项中，说法正确的是（）A.命题“0xR

，2000xx−”的否定为“xR，20xx−”；B.命题“在ABC中，30A，则1sin2A”的逆否命题为真命题；C.已知l、m是两条不同的直线，是个平面，若//,lm⊥，则lm⊥；D.已知定义在R上的函数()yfx=，则“()yfx

=为奇函数”是“(0)0f=”的充分必要条件.【答案】C【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题，即可判断A；由150A=，可得1sin2A=，再结合原命题与逆否命题等价，即可判断B；由线面平行的性质定理，即可判断C；根据奇函数

的定义，即可判断D.【详解】解：对于A，由特称命题的否定为全称命题，可得命题“0xR，2000xx−”的否定为“xR，20xx−”，故A错；对于B，命题“在ABC中，30A，则1sin2A”为假命题，比如150A=

，则1sin2A=．再由原命题与其逆否命题等价，则其逆否命题为假命题，故B错；对于C，已知l、m是两条不同的直线，是个平面，若//l，则存在l，n=，必有//ln，又m⊥，则mn⊥，所以lm⊥，故C正确

；对于D，已知定义在R上的函数()yfx=，若()yfx=为奇函数，则()()fxfx=−−，则(0)(0)ff=−−，所以(0)0f=，满足充分性；但(0)0f=不能推出()yfx=为奇函数，不满足必要性，则“()yfx=为奇函数”是

“(0)0f=”的充分不必要条件，故D错.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定、四种命题的真假、充分必要条件的判断和奇偶性的定义，考查判断和推理能力，属于基础题.9.已知直线()

0xymm+=与圆221xy+=相交于,PQ两点，且120POQ=（其中O为原点），那么m的值是（）A.33B.22C.2D.3【答案】B【解析】O为圆221xy+=的圆心，所以易知30OPQ=，则圆心O到直线(0)xymm+=的距离等于12，根据点到直线距离公式有12

2m−=，所以22m=，故选择B.方法点睛：直线与圆相交时，通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形，利用勾股定理来解题.本题根据等腰三角形顶角为120，底角为30，弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形，根据几何图形，转化为圆

心到直线的距离等于半径的一半来求解，考查数形结合思想方法在解题中的应用.10.已知，都为锐角，若4tan3=，cos()0+=，则cos2的值是（）A.1825B.725C.725−D.1825−【答案】B【解析】【分析】利用()cos+求得+，由此求得

2的表达式，利用诱导公式化简cos2，并利用齐次方程计算出cos2的值.【详解】由于()cos0+=，所以ππ,22ππ22kk+=+=+−，所以()cos2cos2ππ2cos2k=+−=−222222sincossincossincos

−=−=+22tan1tan1−=+22417325413−==+.故选B.【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.11.公差不为0的等差数列na的部分

项123,,kkkaaa构成等比数列nka且1231,2,6kkk===，则4k=（）A.20B.22C.24D.28【答案】B【解析】试题分析：设等差数列na的公差为d，因为126,,aaa成等比数列，所以2

261aaa=，即21111()(5)3adadada+=+=，所以214aa=，所以等比数列123,,,kkkaaa的公比4q=，所以433111464kaaqaa===，又414141(1)(1)3kaakdaka=+−=+−，所以

414(1)kaakd=+−141(1)3aka=+−，所以14114(1)(3)643264akaak+−=−=，解得422k=，故选B．考点：等比数列的应用．12.已知F1，F2为双曲线C的左，右焦点

，过F1的直线分别交C的左，右两支于A，B两点，若△AF2B为等腰直角三角形，且∠AF2B=90°，那么C的离心率为（）A.2B.2C.3D.3【答案】D【解析】【分析】设22BFAFx==，根据双曲线的定义可以得到22xa=，进一步有1222BFaa=+，222BFa=，再利用余弦定理确定

出a和c关系，由此求出结果.【详解】△AF2B为等腰直角三角形，且∠AF2B=90°，设22BFAFx==由双曲线的定义有212AFAFa−=，则12AFxa=−122BFBFa−=，则12BFax=+所以()11222ABBFAFaxxax=−=+−−=，则22xa=12

22BFaa=+，222BFa=，1245FBF=由余弦定理有：2221221212cos45FFBFBFBFBF=+−即()()()()22222222222222222caaaaaa=++−+整理得：22

3ca=，所以2223cea==，即3e=.故选：D【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要注意应用双曲线的定义和性质，注意数形结合思想的应用，属于中档题.第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.5(2)xx+的展开式中，x3的系

数是_________.（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：5(2)xx+的展开式的通项为555255(2)()2rrrrrrCxxCx−−−=(0r=，1，2，…，5)，令532r−=得4r=，所以3x的系数是452C10=.考点:

二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1rT+,再确定r的值,从而确定指定项系数.14.设,xyR，向量(,1)ax=，()1,by=，()3,6c=−，且ac⊥，bc，则()abc+=．【答案】15【解析】试题分析：由ac⊥得()=360,2,2,1acxxa−=

==由bc得()630,2,1,2yyb−−==−=−，()()()=3,13,69615abc+−−=+=．考点：平面向量平行与垂直关系的坐标表示及数量积运算．15.若P是抛物线28yx=上的动点，点Q在

以点()2,0C为圆心，半径长等于1的圆上运动．则PQPC+的最小值为__________．【答案】3【解析】由于点C为抛物线的焦点，则PC等于点P到抛物线准线2x=−的距离d.又圆心C到抛物线准线的距离为4，则3PQPCP

Qd+=+.当点P为原点，Q为()1,0时取等号.故PQPC+得最小值为3,故答案为3.16.已知三棱锥SABC−的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SAAC=，SBBC=，三棱锥SAB

C−的体积为9，则球O的表面积为______．【答案】36π【解析】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积

为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得112932rrr=，解得r=3.球O的表面积为：2436r=.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置

，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设ABC的内角,,AB

C的对边分别为,,,abc已知2cos2.bCac=−（1）求B；（2）若7,2,bc==求ABC的面积.【答案】⑴B3=；⑵332【解析】【分析】(1)先利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求得B3=.(2)先利

用余弦定理求出a=3,再利用三角形的面积公式求ABC的面积.【详解】（1）由已知以及正弦定理可得()2sincos2sinsin2sinsinBCACBCC=−=+−2sincos2cossinsinBCBC

C=+−2cossinsin0BCC−=0Cπ,sin0C,1cos2B=0Bπ,B3=（2）由（1）以及余弦定理可得2742aa=+−2230aa−−=，解得3a=或1a=−舍去11333sin322222ABCSacB

===【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子

女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户.若00.6x，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x，则认定该户为“相对贫困户”，若0

.81x，则认定该户为“低收入户”；若100y，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户

中乙村的户数，求的分布列和数学期望()E；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）.【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差.【解

析】试题分析：（1）处于100以下“*”图标共5个，由古典概型可求．（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，，的可能值为0，1，2，3.写出超几何分布列．（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中．试

题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P==（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，的可能值为0，1，2，3

.从而()3631020101206CPC====，()124631060111202CCPC====，()2146310363212010CCPC====，()3431041312030CPC====.所以的分布列为：故的数学期望()11311201231.26210301

0E=+++==.（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据

的波动大小.19.如下图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，点,EF分别为11,ABCC的中点.（1）求证：EF平面ABCD；（2）若四棱柱1111ABCDABCD−是长方体，且12ABADAA==，求平面1ABF与平面ABCD所成二面角的正弦值.【答案】（1）详见

解析；（2）10521.【解析】试题分析：（1）取AB的中点为M，连结,MEMC,要证线面平行，即证明平面外的线与平面内的线平行，所以证明EMCF是平行四边形，即证明//EFMC；（2）以点D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，分别求平面1ABF和平面ABCD

的法向量，求法向量夹角的余弦值，再求正弦值.试题解析：（1）设AB的中点为M，连接EM、MC.∵E为1AB的中点，∴1AAEM，且11AA2EM=.又∵F为四棱柱1111ABCDABCD−的棱1CC的中点，∴EMFC，且EMFC=，∴四边形EMCF是平行四边形.∴EFMC.

又∵MC平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF平面ABCD.（2）根据四棱柱1111ABCDABCD−是长方体，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，设2AB=，由已知得()()()()()11110,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0,1,0,2,1,2,1,,0,2,

22DBCACEF.11AB0,2-1,2,0,2BF（，）==−，设平面1ABF的一个法向量为(),,nxyz=，则1AB,nnBF⊥⊥.∴20,{20,2yzzx−=−+=取4z=，解得1,{2.x

y==∴()1,2,4n=是平面1ABF的一个法向量.由已知容易得到()0,0,1m=是平面ABCD的一个法向量.设平面1ABF与平面ABCD所成二面角的大小为，则m421cosm21nn==.∵0，∴1

05sin21=.∴平面1ABF与平面ABCD所成二面角的正弦值为10521.20.已知数列na的前n项和为nS，若2nnSan=+，且(1)nnbna=−．（1）求证：1na−为等比数列；（2）求数列{}

nb的前n项和nT．【答案】（1）详见解析；（2）1(1)22nnTn+=−+【解析】试题分析：（1）2nnSan=+，得：1121nnSan++=++，可得111221nnnnnaSSaa+++=−=−+，化简可得121nnaa+=−，整理可得112(1)nnaa+−=−，即可证明结论．（

2）由（1）得12nna=−，即•2nnbn=然后再利用错位相减即可求出结果．试题解析：（1）2nnSan=+，得：1121nnSan++=++，∴111221nnnnnaSSaa+++=−=−+，即1

21nnaa+=−，∴112(1)nnaa+−=−，∴1na−是以-2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）得11222nnna−−=−=−，即21nna=−+，∴2nnbn=∴1212222nnTn=+++①23121

2222nnTn+=+++②①-②得：21112(21)22222(1)2221nnnnnnTnnn+++−−=+++−=−=−−−∴1(1)22nnTn+=−+．考点：1．数列的递推公式；2．错位相减．【方法点睛】针对数列

nnab（其中数列,nnab分别是等差数列和等比数列（公比1q）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1．112233...nnnSabababab=++++…①；2．等式112233...nnnSabababab=++++两边同时

乘以等比数列nb的公比，得到112233...nnnqSabqabqabqabq=++++…②；3．最后①-②，化简即可求出结果．21.已知函数23()sincos3cos2fxxxx=+−(0)，直线1xx=，2xx=是()yfx=图象的任意两条对称轴，且1

2xx−的最小值为4．（1）求()fx的表达式；（2）将函数()fx的图象向右平移8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()ygx=的图象，若关于x的方程()0gxk+=，在区间0,2上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【答案】

（1）()sin(4)3fxx=+；（2）1122k−或1k=−．【解析】试题分析：（1）由辅助角公式得()sin(2)3fxx=+，再由12xx−的最小值为4可得最小正周期，进而得2=，()sin(4)3fxx=+；（2）将()fx的图象向右平移8个单位后，得到

sin(4)6yx=−的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()sin(2)6ygxx==−的图象．令26xt−=，566t−，原题转化为5sin,66ktt−=−上有且只有一个t值，由正

弦函数的图象可得k的范围．试题解析：（1）11cos2313()sin23sin2cos2sin(2)222223xfxxxxx+=+−=+=+，由12xx−的最小值为4可得最小正周期242T==，222T===，∴2=，∴()sin(4)3f

xx=+．（2）将()fx的图象向右平移8个单位后，得到sin(4)6yx=−的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin(2)6yx=−的图象．∴()sin(2)6gxx=−令26xt−=，∵02x，∴566t−

，()0gxk+=，在区间0,2上有且只有一个实数解，即函数()ygx=与yk=−在区间0,2上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知1122k−−或1k−=，∴1122k−或1k=−．考点：1、

三角函数的图象和性质及两角和的正弦公式；2、已知方程根的个数求参数范围．22.已知点()12,0F−，圆()222:216Fxy−+=，点M是圆上一动点，1MF的垂直平分线与2MF交于点N.（1）求点N的轨迹

方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点()0,1P且斜率不为0的直线l与E交于,AB两点，点B关于y轴的对称点为B，证明直线AB过定点，并求PAB面积的最大值.【答案】(1)22142xy+=.(2)22.【解析】【试题分析】（1）由于

24MNNF+=，所以N的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线l的斜率存在时，设出直线方程和点,,ABB的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线'AB的方程，求得其纵截距为2

，即过()0,2.验证当斜率不存在是也过()0,2.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.【试题解析】解：（1）由已知得：1NFNM=，所以1224NFNFMNNF+=+=又1222FF=,所以点N的轨迹是以12,FF为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点N轨迹方程是

22142xy+=.（2）当k存在时，设直线():10ABykxk=+，()()1122,,,AxyBxy，则()22,Bxy−，联立直线AB与椭圆得22241xyykx+==+，得()2212420kxkx++−=，∴()21221228140412212kkxxkx

xk=+−+=+−=+，∴1212AByykxx−=+，所以直线()121112:yyAByyxxxx−−=−+，所以令0x=，得122112xyxyyxx+=+，()()12211212121

1212xkxxkxkxxxxxx+++==+=++，所以直线AB过定点()0,2Q，（当k不存在时仍适合）所以PAB的面积12221212PQBPQAkSSSxxk=−=+=+22122kk=+

，当且仅当22k=时，等号成立.所以PAB面积的最大值是22.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点()12,0F−，而圆心恰好是()2,0，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质

可知动点的轨迹为椭圆.