【文档说明】广东省茂名市电白区2024-2025学年高二上学期期中考试 数学 Word版含解析.docx，共(20)页，1.221 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年度第一学期期中考试高二数学（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.如图，直

线l的倾斜角为（）A.π4B.π3C.3π4D.5π62.经过点()2,5A和()1,Bm−的直线的倾斜角为π4，则m=（）A.3.5B.8C.-2D.23.已知向量()2,3,1a=−，()2,0,

3b=，()0,0,2c=，则()2abc−=（）A.12B.-12C.9D.-94.已知()1,0A−，()2,2B，()5,2C−三点，则ABCV的AB边上的高线所在直线的斜率是（）A.23−B.32−C.34D.35.袋子中有5个大小质地完全相同球，其中2个

红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（）A25B.35C.925D.13256.在平行六面体1111ABCDABCD−中，ABa=，ADb=，1AAc=，O是1BD与1BD的交点，以{

},,abcrrr为空间的一个基底，则直线1OA的一个方向向量为（）的.A.()12abc−−+B.()12abc++C.12abc++D.12abc−−+7.在长方体1111ABCDABCD−中，3AB=，4BC=，12CC=，M在AB上．以

D为原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面1MCA的一个法向量为()1,2,1n=，则AMMB=（）A.13B.12C.23D.18.将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1

”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分

，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.若,,abc是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.a，b，c不可能共

面B若ab⊥，bc⊥，则ac⊥C.对空间任一向量p，总存在有序实数组(,,)xyz，使pxaybzc=++..D.ab+，bc+，ca+一定能构成空间的一个基底10.设样本空间,,,abcd=含有等可能的样本点，且,Aab=，,Bac=，,Cad=．则下列结论正确的有（）A.

()()()PABPAPB=B.()()()PACPAPC=C.()()()()PABCPAPBPC=D.()()()PBCPBPC=11.（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，

C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（）A.AB与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055C.BC在AB方向上的投影向量是(210)−,-,D.平面ABC的一个法向量是(125),

-,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线l经过点()2,4P和()1,2Q−−，且方向向量()1,vk=，则k的值为_________．13.设事件A与B相互独立，()0.4PA=，()0.9PB=，则()PAB=______，()PAB=______．14.如图，两

条异面直线a，b所成的角为60o，在直线a，b上分别取点A，E和A，F，使AAa⊥，且AAb⊥．已知2AF=，1AE=，3EF=，则公垂线段AA的长为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知：(),4,1ax=，()2,,1by=−−，()3,2,cz=−，ab∥，bc⊥，求：（1）a，b，c；（2）cos,acbc++16.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，2AB=，14AA=．点2A，2B，2C，2D分别在

棱1AA，1BB，1CC，1DD上，21AA=，222BBDD==，23CC=．（1）证明：2222BCAD∥；（2）点P在线段12BB上，当21BP=时，求平面22PAC与平面222DAC的夹角的余弦值．17.2023年11月，首届全国学生（青年）运动会广西举行.10月31日，学青

会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；（2）求选出

的2名教师中至少有1名女教师的概率．18.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，M为棱11AD上一点．（1）求证：1ABBM⊥；（2）若M为11AD中点，求点1A到平面BDM的距离；（3）在棱11AD上是否存在点M，使得1AC⊥平面

BDM，若存在，指出点M的位置，若不存在，说明理由．19.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为1T，2T，3T，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：①选手每答对一道题目得5分，每答

错一道题目扣3分；在②选手若答对第iT题，则继续作答第1iT+题；选手若答错第iT题，则失去第1iT+题的答题机会，从第2iT+题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；③选手初始分为0分，若挑战结束

后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为34，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（1）挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率1P；（2）挑战

结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率2P；（3）选手甲闯关成功的概率3P．2024-2025学年度第一学期期中考试高二数学（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的

选项填涂在答题卡相应的位置上．1.如图，直线l的倾斜角为（）A.π4B.π3C.3π4D.5π6【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角的定义分析运算.【详解】由题意可知：直线l的倾斜角为π4的补角，即为3π4.故选：C2.经过点()2,5A和()1,Bm−的直线的倾斜角为π4，则m=（）

A.3.5B.8C.-2D.2【答案】D【解析】【分析】由两点坐标写出直线斜率，根据直线斜率的定义建立方程，求解即得.【详解】依题意，直线AB的斜率为5πtan34ABmk−==−，解得2m=.故选：D.3.已知向量()2,3,1a=−，()2,

0,3b=，()0,0,2c=，则()2abc−=（）A.12B.-12C.9D.-9【答案】A.【解析】【分析】利用空间向量的线性运算坐标公式和数量积坐标运算公式计算即得.【详解】由题意，22(2,0,3)(0,0,2)(4,0,4)bc−=−=，则()2(2,3,1)

(4,0,4)8412abc−=−=+=故选：A.4.已知()1,0A−，()2,2B，()5,2C−三点，则ABCV的AB边上的高线所在直线的斜率是（）A.23−B.32−C.34D.3【答案】B【解析】【分析】AB边上的高线垂直于AB边，通过AB边的斜率即可求出高线的斜率.【详解】∵()2

02213ABk−==−−，∴132ABkk−==−.故选：B.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（）A.25B.35C.925D.1325【答案】D【解析】【分析】依题意设2个红球为,AB，3个黄球为,

,cde，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这2个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即得.【详解】设2个红球为,AB，3个黄球为,,cde，从中有放回地依次随机摸出2个球，样本空间为：{,,,,,,,,,,,,,,,AAABAcAdAeBABBBcBdBecAcBcccd

ce=,,,,,,,,,}dAdBdcdddeeAeBecedee，则()25n=，事件M=“这2个球同色”，则{,,,,,,,,,,,,}MAAABBABBcccdcedcdddeecedee=，则()13nM=，.由古典概率公式，可得13()25PM=.故选：D.6.在平行六面体1111A

BCDABCD−中，ABa=，ADb=，1AAc=，O是1BD与1BD的交点，以{},,abcrrr为空间的一个基底，则直线1OA的一个方向向量为（）A.()12abc−−+B.()12abc++C.12abc++D.12abc−−+【答案】A【解析】【分析】由向量的

线性运算即可得到答案.【详解】()()111111222OACACBCDCCabc==++=−−+故选：A.7.在长方体1111ABCDABCD−中，3AB=，4BC=，12CC=，M在AB上．以D为原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

．若平面1MCA的一个法向量为()1,2,1n=，则AMMB=（）A.13B.12C.23D.1【答案】B【解析】【分析】设AMx=，求出1(0,,2)AMx=−，利用10nAM=求出x的值，即得比

值.【详解】设AMx=，则1(4,0,2),(4,,0)AMx，1(0,,2)AMx=−，因平面1MCA的一个法向量为()1,2,1n=，则10nAM=，即220x−=，解得1x=，故1,312,AMMB==−=，故AMMB=

12．故选：B.8.将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙

与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项.【详解】由题意知，16161155(),(),()6666666636PPP======甲乙丙，()61666P==丁，()()()()11110,,,0

66366636PPPP======甲丙甲丁乙丙丙丁，由于()1()()36PPP==甲丁甲丁，所以甲与丁相互独立．故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部

分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.若,,abc是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.a，b，c不可能共面B.若ab⊥，bc⊥，则ac⊥C.对空间任一向量p，总存在有序实数组(,,)xyz，使pxay

bzc=++D.ab+，bc+，ca+一定能构成空间的一个基底【答案】ACD【解析】【分析】根据空间的基底定义和空间向量基本定理，易判断A,C正确；通过举反例可排除B项；运用反证法思路，假设ab+，bc+，c

a+共面，经推理引出矛盾，说明假设的反面成立，即D正确.【详解】对于A，由空间的基底定义，可知a，b，c不可能共面，故A正确；对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若1,,,AAbABaACc===则显然有

ab⊥，bc⊥，但,60ac=，不满足ac⊥，故B错误；对于C，由空间向量基本定理，可知C正确；对于D，假设ab+，bc+，ca+共面，则存在,R，使()()abbcca+=+++，则有110==+=，显然方程组无解，即ab+，bc+，ca+不共面，故ab

+，bc+，ca+一定能构成空间的一个基底，D正确.故选：ACD.10.设样本空间,,,abcd=含有等可能的样本点，且,Aab=，,Bac=，,Cad=．则下列结论正确的有（）A.()()()PABPAPB=B.()()()PACPAPC=C.()()()

()PABCPAPBPC=D.()()()PBCPBPC=【答案】ABD【解析】【分析】易得ABBCACa===，从而得到(),(),()PAPBPC，(),(),(),()PABPACPBCPABC判断.【详解】解：由题意得ABBCACa===，则21()

()()42PAPBPC====，1()()()()4PABPACPBCPABC====，所以()()()PABPAPB=，()()()PACPAPC=，()()()PBCPBPC=，()()()()PABCPAPBPC，故选：ABD11.（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，

0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（）A.AB与AC是共线向量B.与AB同向单位向量是255,,055C.BC在AB方向上的投影向量是(210)−,-,D.平面ABC的一个法向量是(125),-,【答案】BCD【

解析】【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在λ使ABAC=；B：与AB同向的单位向量是||ABAB即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，

即可判断．【详解】由题意得，()()()2,1,0,1,2,1,3,1,1ABACBC==−=−，A：若AB与AC共线，设ABAC=，则2120=−==，方程无解，故不共线，A错误；B：与AB同向的单位向量是()2,1,0255,,0

55||5ABAB==，B正确；C：BC在AB方向上的投影向量是()()2,1,062,1,5510ABBCABABAB−+==−−，C正确；D：设平面ABC的一个法向量是(),,nxyz=，则2020nAB

xynACxyz=+==−++=，令2y=−，的则()1,2,5n=−，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线l经过点()2,4P和()1,2Q−−，且方向向量()1,vk=，则k值为____

_____．【答案】2【解析】【分析】直线斜率两种表示方法建立等式，求解即可.【详解】()()42211lkk−−==−−，∴2k=故答案为：213.设事件A与B相互独立，()0.4PA=，()0.9PB=，则()PAB=______，()PAB

=______．【答案】①.0.36②.0.94【解析】【分析】由独立事件的交事件和并事件计算公式计算出结果.【详解】因为事件A与B相互独立，所以()()()0.40.90.36PABPAPB===，又()()()()0.40.90.

360.94PABPAPBPAB=+−=+−=.故答案为：0.36；0.9414.如图，两条异面直线a，b所成的角为60o，在直线a，b上分别取点A，E和A，F，使AAa⊥，且AAb⊥．已知2AF=，1AE=，3EF=，则公垂线段AA的长为_________．【答案】

2或6##6或√2【解析】【分析】根据空间向量基本定理，将EF用,,EAAAAF表示出来，借助于相关模长、夹角条件，利用空间向量的数量积运算律列出方程，求解即得.的的【详解】由已知，得21cos601EA

AF==或21cos(18060)1EAAF=−=−，设AAd=，因为0,0,EAAAAAAF==，而EFEAAAAF=++,则22||()EFEAAAAF=++222||||||EAAAAF=++222EAAAAAAFEAAF+

++当1EAAF=时，可得21429d+++=，解得：2d=；当1EAAF=−时，可得21429d++−=，解得6d=.综上可知，即公垂线段AA的长为2或6.故答案为：√2或6.四、解答题：

本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知：(),4,1ax=，()2,,1by=−−，()3,2,cz=−，ab∥，bc⊥，求：（1）a，b，c；（2）cos,acbc++【答案】（1）()()2,4,1

,2,4,1ab==−−−，()3,2,2c=−（2）219−【解析】【分析】（1）根据平行关系设ab=，求出,ab，利用向量垂直得到2z=；（2）利用向量夹角余弦公式求出答案．【小问1详解】因为//abrr，所以设ab=，即()(

),4,12,,1xy=−−，故241xy=−==−，解得124xy=−==−，()()2,4,1,2,4,1ab==−−−，bc⊥，∴2380bcz=−+−=，解得2z=，()3,2,2c

=−；【小问2详解】()()5,2,3,1,6,1acbc+=+=−，()()()()5,2,31,6,12cos,1925491361acbcacbcacbc++−++===−++++++.16.如图，在正四棱柱1111ABCD

ABCD−中，2AB=，14AA=．点2A，2B，2C，2D分别在棱1AA，1BB，1CC，1DD上，21AA=，222BBDD==，23CC=．（1）证明：2222BCAD∥；（2）点P在线段12BB上，当21BP=时，求平面22PAC与平面222DAC的夹角的余弦值．【答案】

（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】（1）以C为坐标原点，1,,CDCBCC所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，然后求出2222,BCAD的坐标，根据坐标即可证明；（2）求出平面22PAC与平面222DAC的

法向量，然后利用夹角公式列方程求解即可．【小问1详解】证明：以C为坐标原点，1,,CDCBCC所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()()22220,0,0,0,0,3,0,2,2,2,0,2,2,2,1CCBDA，()()22220,2,1,0,

2,1BCAD=−=−，2222BCAD=，2222//BCAD，又2222,BCAD不在同一条直线上，2222BCAD∥.【小问2详解】由已知得()0,2,3P，则()()()222222,2,2,0,2,0,2,0,1ACPCDC=−−=−=−，设平面22PAC的法向量(,,)nxy

z=，则222222020nACxyznPCy=−−+==−=，令1z=，得0,1yx==，()1,0,1n=，设平面222ACD的法向量(),,mabc=，则2222222020mACabcmDCac=−

−+==−+=，令1a=，得1,2==bc，()1,1,2m=，33cos,262nmnmnm===，所以平面22PAC与平面222DAC的夹角的余弦值为32．17.2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林

举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．（1）写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；（2）求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．【答案】（

1）答案见解析（2）910【解析】【分析】（1）写出试验包含的所有可能发生的情况组成样本空间；（2）写出所求事件包含的的情况数，根据古典概型即可计算概率．【小问1详解】将2位男教师记为12,aa，3位女教师记为123,,bbb，则样本空

间()()()()()()()()()()12111213212223121323Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,aaababababababbbbbbb=，共有10个样本点．【小问2详解】设事件A表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”，则()()()()()()()

()()111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,Aababababababbbbbbb=，A中包含9个样本点，故9()10PA=．18.正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，M为棱11A

D上一点．（1）求证：1ABBM⊥；（2）若M为11AD中点，求点1A到平面BDM的距离；（3）在棱11AD上是否存在点M，使得1AC⊥平面BDM，若存在，指出点M的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）23（3）棱11AD

上不存在点M，使得1AC⊥平面BDM，理由见解析.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算10ABBM=，即可证明1ABBM⊥；（2）在空间直角坐标系中，求出面BDM的法向量，利用空间中点到平面的距离公

式计算即可；（3）在空间直角坐标系中，设()102AMaa=，求出面BDM的法向量n，若1AC⊥平面BDM，则1//ACn，求出a的值，即可判断棱11AD上是否存在点M.【小问1详解】以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体1111ABCDABCD−的

棱长为2，所以()0,0,0A，()2,0,0B，()12,0,2B，又M为棱11AD上一点，设()102AMaa=，则()0,,2Ma，所以()12,0,2AB=uuuur，()2,,2BMa=−，所以()1220220ABBMa=−++=，所以1ABBM⊥，即1AB

BM⊥.【小问2详解】由（1）建系可知，()10,0,2A，()2,0,0B，()0,2,0D，因为M为11AD中点，所以()0,1,2M，所以()12,0,2AB=−，()2,2,0BD=−uuur，()0,1,2DM=−，设面BDM的法向量为(),,mxyz=，则mBDmDM⊥

⊥即22020mBDxymDMyz=−+==−+=，化简为2xyyz==，令1z=，则2xy==.所以()2,2,1m=，所以点1A到平面BDM的距离1|||2221|23||441ABmdm−

===++.【小问3详解】棱11AD上不存在点M，使得1AC⊥平面BDM，理由如下：由（1）建系可知，()10,0,2A，()2,2,0C，()2,0,0B，()0,2,0D，因为M为棱11AD上一点

，设()102AMaa=，则()0,,2Ma所以()12,2,2AC=−，()2,2,0BD=−uuur，()0,2,2DMa=−，设面BDM的法向量为(),,nxyz=，则mBDmDM⊥⊥即()220220mBDxymDMayz

=−+==−+=，令2za=−，则2xy==.所以()2,2,2na=−，若1AC⊥平面BDM，则1//ACn，所以22a−=−，解得4a=，故在棱11AD上不存在点M，使得1AC⊥平面BDM.19.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防

疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为1T，2T，3T，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；②选手若答对第iT题，则继续作答第1iT+题；选手若答错

第iT题，则失去第1iT+题的答题机会，从第2iT+题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为34，各次作答结果相互独立，且他不会主动放

弃任何一次作答机会，求：（1）挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率1P；（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率2P；（3）选手甲闯关成功的概率3P．【答案】（1）964；（2）716；（3）916.【解析】【分析】

（1）根据“选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错”，结合相互独立事件概率计算公式、概率的加法公式，计算出所求概率.（2）根据“选手甲恰好作答了2道题即选手甲第1题答错或第一题答对且第2题答错”，结合相互独立事件概率计算公式，计

算出所求概率.（3）根据““选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件”，结合（2）以及对立事件的性质，计算出所求概率.【详解】设iA为选手答对iT题，其中1,2,3i=.（1）设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件A

，选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，所以123AAAA=，所以，由事件独立性的定义得()()()()()11231233339144464PPAPAAAPAPAPA====−=.（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B，选手甲恰好

作答了2道题即选手甲第1题答错或第一题答对且第2题答错所以112BAAA=由概率的加法公式和事件独立性的定义得()()()()211211233371144416PPBPAAAPAPAA−===++−==

（3）设选手甲挑战成功为事件C若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2题或3道题所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，所以CB=根据对立事件的性质得()()()379111616PPCPBPB===−=−=