【文档说明】湖南省郴州市2021届高三下学期3月第三次教学质量监测数学试题 PDF版含答案.pdf，共(13)页，2.356 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学参考答案1.C【解析】|16Axx=−，|2Bxx=，)2,6AB=，故选C.2.A【解析】由题得21i(1i)2ii1i(1i)(1i)2z−−−====−++−，所以iz=故选：A.3.A【解析】4=ab，1cos,

4=ab，()2222161530−=−=−==aabaabbbb，2b=.故选：A.4.B【解析】同时开放1m，2m两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为120（s），同时开放2m，3m两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为140（s），得1m比3m快；同时开放3m，4m两个安全

出口，疏1000名乘客需要时间为190（s），同时开放1m，3m两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（s），得1m比4m快；同时开放2m，3m两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140（s），同时开放1m

，3m两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（s），得2m比1m快.综上所述：疏散乘客最快的一个安全出口的编号是2m，故选：B.5.B【解析】此函数定义域为|0xx.因为()0fx，排除A选项；函数()fx不是偶函数，函数图象不关

于y轴对称，排除C选项；当x→+时，()0fx→排除选项D.故选：B.6.C【解析】由题意知，五年累计总投入资金为：()()123451313112535155310aaaaaaaaaaaa+++++=+=+=+，()()22222121122121010

2102120aaaaaaaa+=+++=，当且仅当12aa=时等号成立，所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.故选C.7.D【解析】如图所示：222(0)xyrr+=上存在点N使得π4OMN=，则OMN

的最大值大于或者等于π4时，一定存在点N使得π4OMN=，当MN与圆相切时，OMN取得最大值，此时，2sin223ONONOMNOM==，解得：6rON=，又()3,3M在圆外，23r综上所述：623r.故选：D.8.B【解析】对

于,ab的大小：44ln3ln3ln81a===，33ln4lnln644b===，明显ab；对于,ac的大小：构造函数ln()xfxx=，则21ln()xfxx−=，当(0,)xe时，()0,()fxfx在(0,)e上单调递增，当(,)xe+时，()0,

()fxfx在(,)e+上单调递减，3,()(3)eff即33lnln3,3lnln3,lnln3,33，ac；对于,bc的大小：3ln4b=，3434lnlnc==

，44，cb.故选B．9.AC【解析】对于A，12天中，只有2月6日的2.5PM日均值大于375/gm，故2月6日空气质量超标，A正确；对于B，12天的2.5PM日均值按照从小到大顺序排列，位于第6和第7位的日均值为350/gm和353/gm，故中

位数为505351.52+=3/gm，B错误；对于C，平均数355455665688253464236385053/12gm+++++++++++==，C正确；对于D，2月11日的2.5PM日均值大于2月10日的2.5PM日均值，D错误.故选：AC.

10.BCD【解析】因为()2sincos1sin()3fxxaxax=+=++，所以()fx的最大值为212a+=，解得3a=或3a=−(舍去)，所以()sin3cos2sin3fxxxx=+=+，当()ππ2π32xkkz+=+

时，函数()fx取得最大值，当0x时，取得前两个最大值时，k分别为0和1，当1k=时，由232xk+=+，得1336x=，所以1318，故选BCD.11.ACD【解析】选项A，取AC中点O，连接OB，OD，则ACOB⊥，且

ACOD⊥，所以AC⊥平面OBD，所以ACBD⊥，异面直线AC与BD所成的角为90，//MNBD又，所以异面直线AC与MN所成的角为定值，故选项A正确；选项B，若直线AD与直线BC垂直，因为直线AB与直线BC也垂直，则直线BC⊥平面ABD，所以直线BC⊥直线BD，又因为BDAC⊥，所以BD⊥

平面ABC，所以BDOB⊥，而OBD是以OB和OD为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项B不正确；选项C，M、N分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，所以三角形ACD与ACN面积比为2∶1，B到面ACD的距离与M到面ACN距离之比为2：1，三棱锥N-ACM与B-A

CD体积之比值为定值14，故选项C正确；选项D，外接球球心O在AC中点，易知外接球半径为22R=，34233VR==，故选项D正确.故选ACD.12.BCD【解析】()fx的定义域为R，()sin()()xfxexfx−−=−=−，()fx是奇函数，但是()()()sinsi

nxxfxexexfx+++=+=−，()fx不是周期为的函数，故选项A，错误；当(,0)4x−时，()sinxfxex−=，(cos()sin)0xxfxex−−=，()fx单调递增，当3(0,)4x时，()sinxfxex=，(sin))0c(osxxfxex

+=，()fx单调递增，且()fx在3(,)44−连续，故()fx在3(,)44−单调递增，故选项B正确；当[0,10)x时，()sinxfxex=，(sinc)s()oxfxexx+=，令()0fx=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

0)4xkk=−+=，当(10,0)x−时，()sinxfxex−=，(co(s)sin)xxfxex−=−，令()0fx=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4xkk=+=−−−−−−−−−−，因此，()fx在(10,

10)−内有20个极值点，故选项C正确；当0x=时，()00fxax==，则aR，当(0,]4x时，()sinxexfxaxax设sin()xexgxx=，2(sincossin)()xexxxxxgxx+−=，令()sincossinhxxxxxx=+−，(0,]4x(

)sin(cossin)0hxxxxx=+−，()hx单调递增，()(0)0hxh=，()0gx，()gx在(0,]4单调递增，()44max222244eegxg===故答案D正确.故选BCD.13.423【解析】设正四棱锥底面边长为2a，且侧棱与底面所

成角为45，则四棱锥高为2a，侧面三角形的高为3a，∵侧面积为43，∴单个侧面三角形面积为3，∴12332aa=，得a＝1．∴正四棱锥的高为2．则该棱锥的体积为21422233=．14.154【解析】621xax−的展开式中3x项为6636

6211rrrrrrCxCxaax−−−=−，3x的系数是3−，所以1613Ca−=−，解得2a=，621xax−的常数项为22611524C−=.15.3【解析】设双曲线的右焦点为1F，如图连结1AF，1

BF，由直线ykx=与双曲线都关于原点对称，可得四边形1AFBF为平行四边形，所以1||||BFAF=，由双曲线的定义可得：122AFAFAFBFBFa−=−==，所以BFa=，3AFa=，在BFO中，,,OBOAbOFcBFa====，所以

222222OBBFabcOF+=+==，所以BFO为直角三角形，即90FBA=，在RtFBA△中，()2222243ABBFaba+=+=，即223ac=，所以3==cea，故答案为：3.16.9

3【解析】ABD△中，设AB=a，又余弦定理得BD=3a，由托勒密定理得()3aBCCDACa+=，即3BCCDAC+=，又30,30BCABDADCADBA====，所以四边形ABCD的面积()21113sin30sin3093224

4SBCACCDACBCCDACAC=+=+==.17.【解析】若选①：因为sincos6aBbA=−，sinsinabAB=，所以sinsinsincos6ABBA=−，因为sin0B，所以31sincoscossin622AAAA=

−=+，即tan3A=，因为0A，3A=，……5分3ABAC=，cos3bcA=6bc=，又由余弦定理得()22222cosabcbcAbcbc=+−=−+，bc，3bc−=.……10分若选②：25coscos24

AA++=，21coscos04AA−+=，1cos2A=，(0,)A，3A=.……5分下同选①若选③：sinsin2BCA+=，BCA+=−，Asin=sin2A−，c

os2sincos222AAA=，(0,)A，(0,)22A，cos02A，1sin22A=，26A=，3A=．……5分下同选①18.【解析】(1)11a=，111S=，11(1)nSnnn=+

−=，即2nSn=，……1分当2n时，121(2)nnnaSSnn−=−=−，当1n=时，12a=符合上式，*21().nannN=−……3分1111122121nnaann−=−−+，111111111......123352

12122121nnTnnnn=−+−++−=−=−+++.……6分（2）由（1）可得，2nSn=，由33mSSP=，得229(222)mqq=++，所以22912qqm=++，因为0q，所以2912m，即3

22m，由于mN，所以12mm==或，当1m=时，271150,(22qqq−+−==解得舍负），当2m=时，21260,(84qqq−+−==解得舍负），所以q的值为1152+6.24−+

−或……12分19.【解析】（1）证明：连接AC交BE于H，连接FH，,,ABCEHABHCE==BHACHA=，ABH≌CEH，//AHCHFHPC=，FH面,FBEPC面FBE，//PC面FBE.……5分（2）取AD中点O，连PO，OB.由PAPD=，POA

D⊥，面PAD⊥面ABCD，PO⊥面ABCD，又由60DAB=，ADAB=，OBAD⊥，以,,OAOBOP分别为,,XYZ轴建立如图所示空间直角坐标系，ABCDEFPxyzHO设2AD=，则(1,0,0

)A，(0,3,0)B，(1,0,0)D−，11(0,0,1),(,0,)22PF，(2,0,0)EBDA==，11(,3,)22BF=−，1(0,0,1)n=为面BEC的一个法向量，设面FBE的法向量为2000(,,)nxyz=，依题意，2200EBnBFn=

=即000020113022xxyz=−+=，令03y=，解得026.(0,3,6)zn==，121212,6239cos,1339nnnnnn===，因为二面角CBEF−−为钝角，故其余弦值为23913−.……12分20.【解析】（1）这60

0辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(300.005500.015700.020900.010)2064+++=，即10：04.……3分（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通

过的车辆数就是位于时间分组中在20~60这一区间内的车辆数，即(0.0050.015)20104+=，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4.所以()464101014CPXC===，()31644108121CCP

XC===，()2264410327CCPXC===，()13644104335CCPXC===，()4441014210CPXC===.所以X的分布列为：X01234P114821374351210()18

341012341.61421735210EX=++++=……7分（3）由（1）得64=，2222(3064)0.1(5064)0.3(7064)=−+−+−车辆20.4(9064)0.2324+−=，所以18=，估计在9:46

~10:40之间通过的车辆数也就是在46~100通过的车辆数，由()2~64,18TN，得(641864218)PT−+()2PT−+=+(22)2PT−+0.8186=所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为100

00.8186819……12分21.【解析】（1）由题意，点P椭圆上的一动点，且1PF的最小值是1，得1ac−=，因为当1PF垂直长轴时，132PF=，所以232ba=，即223ba=，又由222abc=+，解得2,3

ab==，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.……4分（2）假设存在斜率为﹣1的直线l，设为yxm=−+．由（1）知，F1（﹣1，0），F2（1，0），所以以线段F1F2为直径的圆为x2+y2＝1．

由题意，圆心（0，0）到直线l的距离||12md−=，得||2m，22||21212mABd=−=−=222m−，联立方程组，22143xyyxm+==−+，消去y，整理得7x2﹣8mx+4m2﹣12＝0．由题意，△＝（

﹣8m）2﹣4×7×（4m2﹣12）＝336﹣48m2＝48（7﹣m2）＞0，解得m2＜7，又||2m，所以m2＜2．设11(,)Cxy，22(,)Dxy，则1287mxx+=，2124127mxx−=，所以221||1C

Dkxx=+−=2467277m−=，若|CD|•|AB|＝2427，则224624222777mm−−=，整理得m4﹣9m2+8＝0，解得21m=，或28m=．又m2＜2，所以21m=，即1m=．故存在符合条件的直线l，其方程为1yx=−+，或1yx=−−．……12分22.【解析】

（1）易得函数()fx的定义域为()0,+.对函数()fx求导得：()1fxaxx=−.曲线()yfx=在1x=处的切线与直线0xy−=垂直，112aa−=−=，()'202fxx==（舍去负根），()fx在202

，上单调递增，在212，上单调递减.函数()fx有极大值即最大值221ln222f=+．……4分（2）当1a=时，()21ln12fxxx=−+，()211xfxxxx−=−=，此时()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减．(

)()1102fxf==极大值，又10fe，()0fe，不妨设12xx，则有1201xx，令()()()2Fxfxfx=−−，()0,1x，()()()()()()22212211222xxxF

xfxfxxxxx−−−−=+−=+=−−.当()0,1x时，()0Fx，()Fx单调递增，()10,1x，()()()()111210FxfxfxF=−−=，()()112fxfx−，

又()()120fxfx==，()()212fxfx−，21x，121x−，()fx在()1,+上单调递减，212xx−，即122xx+.……12分