【文档说明】江西省上高二中2020-2021学年高一下学期第四次月考试题（4月）数学（理） 含答案.doc，共(13)页，1.255 MB，由小赞的店铺上传

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2023届高一年级第四次月考数学（理科）试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知向量(1,2)a=，(2,1)b=−，则A．//abB．ab⊥rrC．a与b的夹角为60D．a与b的

夹角为30°2．直线xsinα-y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0,)B．30,,44C．0,4D．0,,423．已知单位向量,ab满足23ba−=

，则向量a在向量2ba−方向上的投影为（）A．32−B．12−C．12D．324．在ABC中，内角、、ABC所对的边分别为abc、、，给出下列四个结论：①若ABC，则sinsinsinABC；②sinsinsin+=+abcABC；③若sin2sin2AB=，则AB=；④等式

coscoscaBbA=+一定成立，以上结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45．在ABC中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c，已知14bca−=，2sin3sinBC=，ABC的面积为3154，则a=（）A．2B．3C．4D．56．已知ABC为等边三角形，2AB=，设点D，E满足BD

DC=，2133BEBABC=+，AD与BE交于点P，则BPBC=（）A．12B．83C．1D．27．已知过定点()2,1作直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，这样的直线有（）条？A．2B．3C．4D．

08．设O为△ABC所在平面内一点，满足2OA−7OB−30OC=，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．83C．127D．49．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，4A=，si

n4sincAC=，若此三角形有两解，则b的取值范围是（）．A．()0,22B．()2,22C．()0,42D．()4,4210．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC中，角A，B

，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积222221()22abcSab+−=−.根据此公式，若cos(2)cos0aBbcA+−=，且2224bca+-=，则ABC的面积为（）A．6B．23C．

3D．3211．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为S，222,44aSbc==+−，则ABC外接圆的面积为（）A．4B．8C．D．212．如图，在等腰梯形ABCD中，3BC=，45C=

，高为a，E为AD的中点，P为折线段CDA−−上的动点，设BEBP的最小值为()fa，若关于a的方程()1faka=−有两不等实根，则实数k的取值范围是（）A．711,23B．7,2+C．11,3+D．()1

3,+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l经过点(2,1)，且和直线330xy−−=的夹角等于30，则直线l的方程是_________．14．已知60A=，ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中7a=，133

sinsin14BC+=，则bc的值为______.15．已知ABC中，2AB=，1AC=，1ABAC=，O为ABC所在平面内一点，且230OAOBOC++=，则AOBC的值为___________16．在ABC中，角A，B，C所对的边长分

别为a，b，c，D为边BC上的一点，若6c=，32b=，7sin4BAD=，2cos4BAC=，则AD=__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线:5530laxya−−+=.(1)求证：不论a为

何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l经过第一、三、四象限，求a的取值范围．18．（12分）设向量(cos2,cos)axx=，(2sin,3)bx=，(12sin,33)cx=−−，0,3x.（1）若//ab，求|2|ac+的值；（2）设()()fxabc=

+，求()fx的最大值和最小值以及对应的x的值.19．（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）求证：sin()sinsinABabABc−−=+；（2）若ABC是锐角三角形，,23ABab−=−=，求c的范围.20．某公司拟购买一

块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB，AC方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为32a米（其中a为正常数），过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E、F处，已知045BAP=，12tan5CAB=．（1）设AEx=米，AFy=米，求y关于x的函数关系式及定

义域；（2）试确定E，F的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．21．已知ABC中，角、、ABC所对的边分别是abc、、，22abbc=+，且sintancos1CBC+=.（1）求角A；（2）2b=，P为ABC所在平面

内一点，且满足0APCP=，求BP的最小值，并求BP取得最小值时APC△的面积S.22．已知函数()sin()fxAx=+(0,0,||)A的图像如下图所示，点B，D，F为()fx与x轴的交点，点C，E分别为()fx的最高点和最低点，若将其图像向右平移12个单位后得到函

数()gx的图像，而函数()gx的最小正周期为4，且在0x=处取得最小值．（1）求参数和的值；（2）若1A=，求向量2BCCD−与向量3BCCD+之间夹角的余弦值；（3）若点P为()fx函数图像上的动点，当点P在C，E之间运动时，1BPPF恒成立，求A的取值范围．2023届高一年

级第四次月考数学（理科）试卷答题卡一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共

20分）13、14、15、16、三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17、（本题满分10分）18、（本小题满分12分）19、（本小题满分12分）20、（本小题满分12分）21、（本小题满分12分）22.（本小题12分）2023届

高一年级第四次月考数学（理科）试卷答案BBACCDBDDCDA13．1y=或32310xy−−+=14．4015．1−16．417．（1）证明见解析；（2）3a.【详解】(1)将直线l的方程整理为y－35＝1()5ax−，所以l的斜率为a，且过定点13(,)55A，而点13(,

)55A在第一象限，故不论a为何值，直线l恒过第一象限．(2)将方程化为斜截式方程：y＝ax－35a−.要使l经过第一、三、四象限，则0305aa−−，解得3a.18．（1）13；（2）

6x=时，最小值为52−；3x=时，最大值为132−−.【详解】（1）因为向量(cos2,cos)axx=，(2sin,3)bx=，且//ab，所以3cos22sincosxxx=，即3cos2sin2xx=.若cos20x=，则sin20x=，与22sin2

cos21xx+=矛盾，故cos20x.于是tan23x=.又0,3x，所以23x=，6x=，所以2(1,3)a=，(12sin,33)(0,33)cx=−−=−，则2(1,23)ac+=−，所以

|2|13ac+=.（2）因为(2sin,3)bx=，(12sin,33)cx=−−，所以(1,23)bc+=−，所以()()(cos2,cos)(1,23)fxabcxx=+=−，cos223cosxx=−223

52cos23cos12cos22xxx=−−=−−又0,3x，所以1cos,12x，所以当3cos2x=，即6x=时，()fx取到最小值52−；∵3311222−−.∴当1cos2x=，即3x=时，()fx取到最大值132−−.19．（

1）证明见解析；（2）(22,23).【详解】（1）由两角差的正弦公式，可得sin()sincoscossinsinsinsinsinABABABABAB−−=++，又由正弦定理和余弦定理，可得sincoscossinsinsinABABAB−+22222222acbbcaaba

cbcab+−+−−=+2222()()2()()ababababcabcabc−+−−===++，所以sin()sinsinABabABc−−=+（2）由（1）知()(sinsin)4(sinsin)sin()3abABcABAB−+==+−

4433sinsinsincos32233BBBB=++=+314sincos4sin226BBB=+=+因为ABC是锐角三角形，所以32AB

=+，可得06B，又由2AB+，可得32BB++，所以12B，所以463B+，所以23sin262B+，可得2223c，符合2cab−=.所以实数c的取值范围是(22,23).

20．(1)1347axyxa=−，定义域为7(,)4a+(2)见解析【详解】（1）法一：由12tan5CAB=得12sin13CAB=，5cos13CAB=且()()72sinsinsin4526FAP

CABPAECAB=−=−=由题可知AEFAEPAFPSSS=+所以111··sin?·sin?·sin222AEAFCABAEAPPAEAPAFFAP=+得11212172323221322226xyxaya=+即122131313x

yaxay=+所以1347axyxa=−由013047xaxyxa=−得定义域为7,4a+法二：由12tan5CAB=得12sin13CAB=，5cos13CAB=()()72sinsinsin4526FAPFAEPAEFAE=−=−=设FPA=AP

F中，由正弦定理sinsinsinAFPFAPAPFFAPAFE==所以7232sin26,sinsinyaPFAFEy==同理可得122132,sin32sinxyxPEFEa==由PFPEFE+=即7212226132sinsin32s

inyxyxa+=整理得1347axyxa=−，由013047xaxyxa=−得定义域为7,4a+（2）设三条路围成地皮购价为z元，地皮购价为k元/平方米，则AEFz

kS=（k为常数），所以要使z最小，只要使AEFS最小由题可知2111266136sin221313134747AEFaxaxSAEAFCABxyxyxxaxa=====−−定义域为7,4a+

令470txa=−则2222763144934941488AEFtaaatataaaStattt+++===++223492121482aataat+=当且仅当7ta

=即72ax=时取等号所以，当72ax=时，AEFS最小，所以z最小，此时y=132a答：当点E距离点A72a米,F距离点132aA米远时，三条路围成地皮购价最低21．（1）3.（2）BP的最小值为131−，A

PC△的面积S为23913.【详解】（1）22abbc=+，2222acbcbc+−=+，22222acbcbaca+−+=，2cosbcaB+=，由正弦定理得：sinsin2sincosBCAB+=，sinsin()2sincosBABAB++=，sinsin

()BAB=−，ABC、、为三角形内角，2AB=.又由sintancos1CBC+=，得sin()cosBCB+=，sincos0AB=，1sin2B=，()0,6BB=，3A=.（2）由（1）可知2C=.

ABC为直角三角形，又0APCP=，PAPC⊥，P点在以AC为直径的圆上，如图，2b=Q，23BC=，4AB=，设O为AC中点，连结BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时，21(23)113

1BPBOPO=−=+−=−.设OCP=，则2COP=−，1sin2PAPAAC==，1cos2PCPCAC==，12sincossin22SPAPC===，在直角BCO中，2

3239sinsin(2)sin21313BCCOBBO=−====，当BP取得最小值131−时，APC△的面积S为23913.22．（1）2=，4=−；（2）210−；（3）(0,2]A.【详解】（1）1()sinsin22gxAx=Ax

=−++−242T===()sin24gxAx=+−又0x=时，g()x取最小值则242k−=−+，kZ24k=−，kZ又||则04k==−（2）()sin24fxx=−

，则1,02B，3,12C，5,02D则2(1,3)BCCD−=3(4,2)BCCD+=−则(2)(3)2cos10|2||3|BCCDBCCDBCCDBCCD−+==−−

+（3）P是()fx上动点，2()sin4fxAx=−1,02B，902,F又1BPPF恒成立设,sin42PxAx−1,sin224BPxAx=−−

，9,sin224PFxAx=−−−9221BPPFxx=−−sinsin4224AxAx−−−2229sin2454Axxx=−+−−−32x=或72x=时，上式有最小

值即当P在C活E时，BPPF有最小值3,2PA或7,2PAP为3,2A时，(1,)BPA=，(3,)PFA=−231BPPFA=−，得22A−又0A，则02AP为7,2A

时，(3,)BPA=，(1,)PFA=−231BPPFA=−同时，02A综上，(0,2]A