【文档说明】陕西省延安市黄陵中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 含解析.doc，共(15)页，1.016 MB，由小赞的店铺上传

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黄陵中学2020-2021学年度第一学期高二年级理科数学期终试题（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知命题p：20,xxex，则p为（）A.00

x，020xexB.00x，020xexC.0x，2xexD.0x，2xex————A分析：这是命题的否定，改量词，否结论即可解答：解：因为命题p：20,xxex，所以p为00x，020xex，故选：A点拨：此题

考查命题的否定，属于基础题2.关于x的不等式2450xx−++的解集为（）A.(5,1)−B.(1,5)−C.(,5)(1,)−−+D.(,1)(5,)−−+————B分析：将不等式进行化简并进行因式分解可得(5)(1)0xx−+，然后根据小

于取中间可得结果.解答：不等式可化为2450xx−−，有(5)(1)0xx−+，故不等式的解集为(1,5)−.故选：B点拨：本题考查一元二次不等式的解法，重在计算，属基础题.3.已知平面、的法向量分别为(14)ay=−，，、(12)bx=−−，，且⊥，则xy+的值为（）A.8−B

.4−C.4D.8————A分析：利用两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可.解答：因为平面、的法向量分别为(14)ay=−，，、(12)bx=−−，，且⊥，所以0ab=，即80xy−−−=，则8xy+=−，故选：A.4.设直线l的方向向量是a，平面的法向

量是n，则“an⊥”是“//l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件————B分析：根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的

定义判断即可.解答：由//l，得：an⊥，则“an⊥”是“//l”的必要条件，而an⊥不一定有//l，也可能l，则“an⊥”不是“//l”的充分条件.故选：B.5.已知实数x，y满足不等式组40,0,1,xyxyy+−−−，则

23zxy=+的最小值为（）A.0B.2−C.3−D.5−————D分析：先根据约束条件画出可行域，由23zxy=+，得233zyx=−+，可知当直线在y轴上的截距最小时，z取得最小值，所以将直线23yx=−向下平移过点C时，z取得最小值，求出点C的坐标代入目标函数中可得答案解答：不等式

组表示的可行域如图所示，由23zxy=+，得233zyx=−+，作出直线23yx=−，即直线230xy+=，将此直线向下平移过点C时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，由10yxy=−−=，得11xy=−=−，即(1,1)C−−，所以23zxy=+的最小值为2(1)3(1)5

−+−=−，故选：D点拨：此题考查简单的线性规划的应用，考查数形结合的思想，属于基础题目.6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（

古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A.一鹿、三分鹿之一B.一鹿C.三分鹿之二D.三分鹿之一————B分析：由题意得在等差数列{}na中，15121354552aSad=

=+=，求出13d=−，由此能求出簪裹得一鹿．解答：由题意得在等差数列{}na中，15121354552aSad==+=，解得13d=−，3121212()133aad=+=+−=．簪裹得一鹿．故选：B．点拨：本题考查等差数列的某一

项的求法，考查等差数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.已知等比数列na满足122336aaaa+=+=，，则7a=（）A.64B.81C.128D.243————A试题分析：∵12233{6aaaa+=+=，∴，∴11{2aq==，

∴6671264aaq===．考点：等比数列的通项公式．8.已知椭圆2212516xy+=上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A.2B.3C.5D.7————B分析：根据椭圆的定义列方程，求得P到另一个焦点的距离.解答：根据椭圆定义可

知，P到两个焦点的距离之和为22510a=?，所以P到另一个焦点的距离为1073−=.故选：B.点拨：本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.9.若双曲线221yxm−=的一个焦点为(30)−，，则m=（）.A.22B.

8C.9D.12————B分析：根据,,abc的关系计算可解．解答：由双曲线性质：21a=，2bm=，∴219cm=+=，8m=．故选：B．10.已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为23，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为()A.

2212xy−=B.2212yx−=C.2212xy−=D.2212yx−=————B3c=，焦点到渐近线的距离为2，说明2b=，则1a=，∴双曲线的方程为2212yx−=故选:B11.已知两点()()2

,0,2,0−MN，点P满足12PMPN=，则点P的轨迹方程为（）A.22116xy+=B.2216xy+=C.228yx−=D.228xy+=————B分析：根据曲线方程及平面向量的数量积运算，直接求轨迹方程．【详解】设(),Pxy，∴(2,)PMxy

=−−−，(2,)PNxy=−−，因为12PMPN=，所以22412xy−+=，即2216xy+=，故选：B12.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点1F，过点1F作倾斜角为030的直线与圆222xyb+=

相交的弦长为3b，则椭圆的离心率为（）A12B.22C.34D.32————B过点1F倾斜角为030的直线方程为：()33yxc=+，即30xyc−+=，则圆心()0,0到直线的距离：213ccd==+，由弦长公式可得：22234cbb

−=，整理可得：2222222,,2bcaccac=−==则：212,22ee==.本题选择B选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b

2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若抛物

线2ymx=的焦点坐标为1(,0)2，则实数m的值为________.————2分析：直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m的值．解答：解：由抛物线方程得：焦点坐标,04m，142m=，2m=，故答案为：2．点拨：本题考查抛物线方程

求出焦点坐标，属于基础题．14.已知向量()()1,0,2,6,0,2ab→→=+=，若//ab→→，则的值是_________．————15分析：由题得akb→→=，解方程组1622kk+

==即得解.解答：∵//ab→→，∴存在实数k，使得akb→→=，即()()1,0,26,0,2k+=，所以1622kk+==，∴解得15k==．故答案为：1515.若正实数,xy满足39logl

og1xy+=，则2xy+的最小值为_____.————6；分析：由39loglog1xy+=可得29xy=，再利用基本不等式可求出2xy+的最小值解答：解：因为39loglog1xy+=，所以2293loglog1xy+=，即29log()1xy=，所以29xy=，所以

222296xyxy+==，当且仅当2xy=，即3,3xy==时取等号，所以2xy+的最小值为6故答案为：6点拨：此题考查基本不等式的应用，考查对数的运算性质，属于基础题16.设12,FF分别是椭圆2212516xy+=的左、右焦点，P为椭

圆上任一点，点M的坐标为()6,4，则1PMPF+的最大值为________．————15分析：利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.解答：由椭圆方程可得：5,4,3abc===，12(3,0),(3,0)FF−

，由椭圆的定义可得：12210PFPFa+==，()221222||||210||10103415PMPFPMaPFPMPFMF+=+−=+−+=++=，则1||PMPF+的最大值为15.故答案为：15.点拨：本题主要考查椭

圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设命题p：实数x满足()()130xx−−，命题q：实数x满足302xx−−．若pq为

真，求实数x的取值范围．————(2,3)．分析：先利用一元二次不等式的解法化简两个命题，再根据若pq为真，则p，q同时为真求解.解答：由()()130xx−−，则p：13x，由302xx−−解得23x．即q：23x．若pq为真，则p，q

同时为真，即2313xx，解得23x，∴实数x的取值范围(2,3)．18.已知na是等比数列，141,8aa==，nb是等差数列，143,12bb==，（1）求na和nb的通项公式；（2）设nnncab=+，求数列nc的前n项

和nS.————（1）12nna-=，3nbn=（2）2332122nnSnn=−++分析：（1）分别求出等差数列和等比数列的公差和公比，然后可得两数列的通项公式；（2）由（1）得到数列nc的通项公式，再根据分组求和法求解即可得到结

果．解答：（1）设等比na的公比为q，由341aaq=，得381q=，解得2q=，所以12nna−=；设等差nb的公差为d，由413bbd=+，得1233d=+，解得3d=，所以()3313nbnn=+−=．（2）由（1）得123nnnncabn−=+=+．所以

()()011222311nnnS−=+++++++()()11213122nnn−+=+−2332122nnn=−++．所以数列nc的前n项和2332122nnSnn=−++．点拨：（1）对于等差数列和等比数列的运算问题，可转化

为其基本量即首项和公差（公比）来求解．（2）求数列的和时，需要根据通项公式的特征选择相应的求解方法，对于形如nnncab=+（na、nb分别为等差、等比数列）的数列来讲，则采用分组求和法求解，借助等差（比）数列的求和公式可得结果

．19.在ABC中，60A=，3.7ca=()1求sinC的值；()2若7a=，求ABC的面积．————（1）3314；（2）63.分析：()1由37ca=，根据正弦定理可得3sinsin7CA=，从而可求出答案；()2根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据诱导公式以及

两角和正弦公式求出sinB，利用三角形面积公式计算即可．解答：（1）60A=，37ca=，由正弦定理可得33333sinsin77214CA===.（2）若7a=，则3c=，CA，22sincos1CC+=，又由()1可得13cos14C=，()31313343sinsin

sincoscossin2142147BACACAC=+=+=+=，1143sin7363227ABCSacB===．点拨：本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题.正弦定理是解

三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD

，1,2ABADAS===，P是棱SD上一点，且12SPPD=.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角APCD−−的余弦值．————（1）34141；（2）4242.分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB

与CP所成角的余弦值；（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．解答：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2

，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），∵12SPPD=，∴（a，b，c﹣2）=12（﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣2a，1﹣2b，﹣2c），∴21222aabbcc=−=−

−=−，解得a=0，b=23，c=43，∴P（0，23，43），AB=（1，0，0），CP=（﹣1，﹣43，43），设直线AB与CP所成角为θ，cosθ=|cos＜ABCP，＞|=ABCPABCP=11616199++=34141，∴直线AB

与CP所成角的余弦值为34141．（2）PC=（1，43，﹣43），PA=（0，﹣23，﹣43），PD=（0，43，﹣43），设平面APC的法向量n=（x，y，z），则4403324033nPCxyznPAyz

=+−==−−=，取y=2，得n=（﹣4，2，﹣1），设平面PCD的法向量m=（a，b，c），则4403344033mPCabcmPDbc=+−==−=，取b=1，得m=（0，

1，1），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ=mnmn=1212=4242．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为4242．点拨：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向

量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦

点12,FF，且12213FF=，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7．（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求12cosFPF的值．————（1）椭圆方程为2214936xy+=，双

曲线方程为22194xy−=；（2）45.分析：（1）利用题设分别求椭圆和双曲线的基本量；（2）根据椭圆及双曲线的定义建立等式121214,6PFPFPFPF+=−=，可求出12PFPF、，再用余弦定理即可.解答：（1）由已知得13c=，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲

线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则4,131373,amam−==解得7,3am==．所以6,2bn==．故椭圆方程为2214936xy+=，双曲线方程为22194xy−=．（2）不妨设1F、2F分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则121214,6PFPFPFPF+=−=

，所以1210,4PFPF==．又12213FF=，故22212121212cos2PFPFFFFPFPFPF+−=222104(213)421045+−==．22.已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）过点F作相互垂直的两

条直线l1、l2，曲线C与1l交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：1212111PPQQ4+=．————（1）y2＝4x；（2）证明见解析.分析：（1）利用点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1

的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，即可得出结论；（2）设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，利用弦长公式求出|P1P2|，以﹣1k代入，可得|Q1Q2|，代入可得结论．解答：（1）∵点M到点F（1，

0）和直线x＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，设方程为y2＝2px（p＞0），∵2p＝1，∴p＝2．∴轨迹C的方程为y2＝4x．（2）证明：设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，整理可得k2x﹣（2k2+4）x+k2＝0，

设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝2224kk+，∴|P1P2|＝x1+x2+p＝2244kk+，以﹣1k代入，可得|Q1Q2|＝4+4k2，∴1212111PPQQ4+=．点拨：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查

学生的计算能力，属于中档题．