【文档说明】押题卷03 《2022年全国普通高等院校统一招生考试（押题）数学试卷》（浙江专用）（解析版）.docx，共(23)页，1.672 MB，由管理员店铺上传

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注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答

题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合|25M

xx=，2,3,4,5,6N=，则MN=（）A．2,3,4B．3,4C．2,3,4,5D．3,4,5【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由集合|25Mxx=，2,3,4,5,6N=，得：{3,4}MN=

，故选：B2．已知复数2i(i)zmn=+−，其中m，nR，若z为纯虚数，则（）A．0m，2n=−B．2m−，0n=C．0m=，2n−D．2m=−，0n【答案】A【解析】【分析】化简复数z，再利用纯虚数的概念得解.【详解】解：依题意，2i

(i)(2)izmnnm=+−=++，因为z为纯虚数，故0m，且2n=−.故选：A．3．向量0ab=是ab⊥的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】利用数量积的定义||||cos,ababab=判断

即可【详解】由题意，向量垂直是对非零向量而言的，故充分性不成立；若ab⊥，则,2ab=，cos,0ab=，故||||cos,0ababab==因此必要性成立故向量0ab=是ab⊥的充要条件故选：B4．《九章算术》是我国古代内容极为丰

富的数学名著，系统地总结了战国､秦､T汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称6之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（）A．3100cmB．3500cm3C．3400cmD．3400c

m3【答案】B【解析】【分析】由三视图可得几何体为四棱锥，且其中一条侧棱与底面垂直，再由几何体的性质求外接球的半径，进而求其体积.【详解】由三视图知：几何体是四棱锥，且其中一条侧棱与底面垂直，如下图，PA

⊥平面ABCD，∴6PA=，27ABCD==，6ADBC==，∴该几何体放在长方体中，可得其的外接球的半径为()2221662752++=，该阳马的外接球的体积为()3345005cm33=，故选：B.5．若,xy满足约束条件20101yxyx+−

+，则2zxy=−的最小值为（）A．5B．1C．3−D．5−【答案】C【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为122zyx=−在y轴截距取得最大值，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，由2zxy=−得：122zyx=−，则当2zxy

=−取最小值时，122zyx=−在y轴截距取得最大值，由图象可知：当直线122zyx=−过A时，y轴截距最大，由101xyx−+==得：12xy==，即()1,2A，min1223z=−=−.故选：C.6．将正方形ABCD沿对角线

BD翻折，使平面ABD与平面BCD的夹角为90，如下四个结论错误的是()A．ACBD⊥B．ACD△是等边三角形C．直线AB与平面BCD所成的角为3D．AB与CD所成的角为3【答案】C【解析】【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判断①；求解三角形可

得ACD△的形状判定②；求解线面角判断③；求解三角形，可得EFG是等边三角形判断④．【详解】取BD中点E，连结AE，CE，则AEBD⊥，CEBD⊥，,,AECEEAECE=∵平面AEC，BD⊥平面ACE，∴BDAC⊥，故A正确；设折叠前正方形的边长为2，则22BD=，2AECE==

，平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCDBD=，AE⊥BD，AE平面ABD，AE⊥平面BCD，∴AECE⊥，222ACAECE=+=＝AD＝CD，即ACD△是等边三角形，故B正确；∵AE⊥面BCD，AB与平面

BCD所成的线面角的平面角是4ABE=，故C错误；取BC中点F，AC中点G，连结EF，FG，EG，则EFCD，FGAB∥，EFG为异面直线AB，CD所成的角，∵112EFCD==，112FGAB==，112EGAC==，

EFG△是等边三角形，则3EFG=，故D正确．故选：C．7．已知函数()sinfxx=，()21gxx=+，则部分图象大致为如图的函数可能是（）A．()()yfxgx=+B．()()yfxgx=−C

．()()yfxgx=D．()()fxygx=【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性、单调性及排除法可求解.【详解】因为()sinfxx=是奇函数，()21gxx=+是偶函数，由图象可知该函数是奇函数，而()()yfxgx=不是奇函数，故排除A，B．若()()()21sin

yfxgxxx==+，则()22sin1cosyxxxx=++．当02x时，0y，故函数()21sinyxx=+在0,2上单调递增，排除C．故选：D．8．已知()sincosfxxx=−，则下列结论中

正确的是（）A．()fx的最大值为2B．()fx在区间30,4上单调递增C．()fx的图象关于点3,04对称D．()fx的最小正周期为【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式可得()fx，根据正弦型函数最值、

单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项即可.【详解】()sincos2sin4fxxxx=−=−；对于A，()max2fx=，A错误；对于B，当30,4x时，,442x−−

，由正弦函数在,42−上单调递增可知：()fx在30,4上单调递增，B正确；对于C，当34x=时，42x−=，则()fx关于34x=成轴对称，C错误；对于D，()fx最小正周期2T=，D错误.故选：B.9．如图所示，直线()0ykxk=与双曲线()22

22100xyabab−=，交于MN，两点，双曲线的左顶点为A，令直线AMAN，的倾斜角分别为，，且满足()tan9tantan8+=+，则双曲线的离心率e=（）A．324B．103C．22D．3【答案】B【解析】【分析】设()()0000,

,,MxyNxy−−，由()tan9tantan8+=+，得到1tantan9=，即19AMANkk=求解.【详解】解：设()()0000,,,MxyNxy−−，因为()tan9tantan8+=+，所

以()()tantan91tantantantan8+=−+，解得1tantan9=，即19AMANkk=，则000019yyxaxa−=+−+，即2022019yxa=−，又因为2200221xyab−=，所以()2222

002byxaa=−，则()2222002219xaxbaa−=−，解得2219ba=，所以221013bceaa==+=，故选：B10．已知数列na的首项为1a，且()*1111nnaanNn−+−=，若4naa，则1a的取值

范围是（）A．925,22B．4981,88C．6,10D．25,94【答案】C【解析】【分析】由题意得到()()*11nnnanannN++−=，利用累加法求得：112nanan−=+，结合由4naa，转化为：()1442annn−

−恒成立，分13,4nn=和5n三种情况讨论，即可求解.【详解】因为()*1111nnaanNn++−=，可得111nnnaan++−=，所以()11nnnanan++−=，所以()213243121,322,43

3,,11nnaaaaaananan−−=−=−=−−=−，各式相加可得21(1)123(1)22nnnnnnaan−−−=++++−==，所以112nanan−=+，由4naa，可得1113224aann

−++恒成立，整理得1(4)42annn−−恒成立，当13n时，40n−，不等式可化为12an恒成立，所以1max(2)6an=；当4n=时，40n−=，不等式可化为00恒成立；当5n时，40n−，不等式可化为12a

n恒成立，所以()1min210an=，综上可得，实数1a的取值范围是6,10.故选：C.第II卷非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远

．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何?翻译如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高

三丈的标杆BC和DE，前后两竿相距1000BD=步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F、三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，则山峰的高度A

H=__________步．（古制1步6=尺，1里180=丈1800=尺300=步）【答案】1255【解析】【详解】试题分析：如图，由题意5BCDE==步，设AHh=步，123BF=，127DG=，5123hHF=，1235hHF=

，同理1275hHG=，由题意(127)(123)1000HGHD−−−=，即1271234100055hh−−=，1255h=．【名师点睛】本题是一个实际应用题，考查学生的阅读理解能力，抽象概括能力，转化与化归能力，通过题目画出对应的图形，通过图形寻找解题方法，画出图形后，本题只要用相

似形就可完成解题．这是考查学生的数学应用能力，在高考中经常出现，符合高考要求，平常学习中应引起重视．12．已知函数()3,0,01xxfxlnxx=，若()3fa=，则a=__________.【答案】－1或13##13或-1【解析】【分析

】首先求函数的导数，在讨论a的取值，分段求自变量.【详解】()23,01,01xxfxxx=，当0a时，233a=，解得：1a=−或1a=（舍）；当01a时，13a=，得13a=

,所以1a=−或13a=.故答案为：1−或1313．已知(13)nx−的展开式的各项系数的绝对值之和为1024，n=_______，，展开式中含32x的项的系数为_______．【答案】5；270−.【解析】【分析】根据二项

式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式(13)nx−的通项公式为：21(3)(3)rrnrrrrnnCxCx−−=−，所以(13)nx−的展开式的各项系数的绝对值之和为1024，因此有011223331024nnnnnnCCCC+++

+=，即(13)1024410245nnn+===；在通项公式中，令3r=，所以展开式中含32x的项的系数为335(3)10(27)270C−=−=−，故答案为：5；270−.14．如图，在ABC中，D为

BC边上靠近B的三等分点，13AB=，30ADC=，3AD=，则BC=________，sinC=_______.【答案】62114【解析】【分析】在ABD△中，由余弦定理求出BD的长，进而可得3BCBD=的长，求出CD的长，在ADC中，

由余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可得sinC的值.【详解】在ABD△中，13AB=，3AD=，18030150ADB=−=，由余弦定理可得：2222cosABADBDADBDADB=+−，即2

3133232BDBD=+−−，整理可得23100BDBD+−=，解得：2BD=或5BD=−（舍），因为D为BC边上靠近B的三等分点，所以36BCBD==，在ADC中，3AD=，4DC=，30ADC=，由余弦定理可得：22232cos31623742ADCA

CADDCADDC=+−=−=+，所以7AC=，在ADC中，由正弦定理可得：sinsinACADADCC=，即731sin2C=，可得21sin14C=.故答案为：6；2114.15．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3

所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为518，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为___________；该同学恰好通过A，B两所

大学招生考试的概率最大值为___________.【答案】79118【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率111522218Pxyxy=+−=，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得xy的最小值，进而求出该

同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值．【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率1111115(1)(1)22222218Pxyxyyxxyxy=+−+−=+−=，该同学至少通过1所大学招生考试的概率为111111571(1

)(1)222222189xyxyxy−−−=++−=+=，由111522218xyxy+−=得，59xyxy+−=，529xyxyxy+=+…，即5209xyxy−+…，解得19xy„或259xy…，又01xQ，01y，01xy，19xy„，该同学恰好通过A，B两所大

学招生考试的概率为12xy，最大值为118．故答案为：79，118．16．已知椭圆C1：22214xyb+=（02b）的离心率为12，F1和F2是C1的左右焦点，P是C1上的动点，点Q在线段F1P的延长线上，|

PQ|=|PF2|，点Q的轨迹C2方程是________，线段F2Q的垂直平分线交C2于A，B两点，则|AB|的最小值是________．【答案】22(1)16xy++=；27.【解析】【分析】先求出椭圆1C的方程，再求出点Q的轨迹C2的方程，再利用数形结合分析求解.【详解】

解：由条件得24144b−=，∴23b=，∴椭圆1C的方程是22143xy+=，∴1(1,0)F−，2(1,0)F．由于点Q在线段1FP的延长线上，2||||PQPF=，所以112||||||4FQFPFP=+=，∴2C是以1F为圆心，以4为半径的圆，方程为22(1)16xy++=．因

为|AB|的最小，所以圆心1F到弦AB的距离最大，即当P为椭圆的右顶点时，||AB取得最小值（在圆的方程中取2x=，||2||ABy=），且最小值为2224327−=.故答案为：22(1)16xy++=；27.

17．已知非零平面向量a，b，c满足4ab−=，且()()1acbc−−=−，若a与b的夹角为，且ππ,32，则c的模取值范围是___________.【答案】23,33−【解析】【分析】以向量几何意义去解题，数形结

合的方法可以简化解题过程.【详解】如图1，令aOA=，bOB=，cOC=，则4BA=，取AB中点M.由()()1acbc−−=−，可得1CACB=−，22221()()14CACBCMMACMMACMMACMAB=+−=−=−=−，所以23CM=，即C

在以M为圆心、3为半径的圆上.由cOMMC=+，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），3maxcOM=+.由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，由正弦定理可知2sinABOG=，即2sinOG=，ππ,32当π

3=时，圆G半径OG取得最大值433.22224232333GMGBBM=−=−=当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且π3=时，OM取得最大值，此时23maxOMOGGM=+=，所以333maxmaxcOM=+=.如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上）

，3mincOM=−当π2=时，圆G半径OG取得最小值2.2222220GMGBBM=−=−=，即M、G两点重合.OM取得最小值为2.则π2=时，23minc=−.故向量c的模取值范围是23,33−故答案为：23,33−三、解答题：本大题共5小题，共7

4分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点()3,Pa−.(1)若4a=，求sin24+的值；(2)若3a=且()0,2，求()()()221cossin2fxxx=−−+的单调增区间.【答案】

(1)31250−；(2)()5,Z1212kkk−+.【解析】【分析】(1)根据三角函数的定义即可求sinα和cosα的值，再根据正弦的和角公式和二倍角公式即可求值；(2)利用三角恒等变换化简f(x)解析式，再根据正

弦型函数单调性求解即可.(1)当4a=时，()2244sin534==−+，()2233cos534−==−−+，∴24sin22sincos25==−，227cos2cossin25=−=−，()2312sin

2sin2cos24250+=+=−；(2)3tan3=−，()3,3P−在第二象限，且()0,2，故56=，()22551cos21cos215533cossin26642xxfxxx+−−+

=−−+=−1551551cos2cossin2sincos2cossin2sin4332334xxxx=++−−33131sin2cos2sin2884434xxx=+−=+−

，令52222321212kxkkxk−++−+，k∈Z，∴单调递增区间为()5,Z1212kkk−+.19．如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD−中，E为棱AD上一点，PE⊥底面ABCD．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD．(2)若2,3

AEDEPE===，且四棱锥PABCD−的体积为20，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)91365【解析】【分析】（1）根据PE⊥底面ABCD，证得PEAB⊥，再根据线面

垂直的判定定理可得AB⊥平面PAD，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）根据四棱锥PABCD−的体积求得AB，以E为坐标原点，ED的方向为y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系Exyz−，利用向量法即可得出答案.(1)证明：因为PE⊥底面ABCD，ABÌ面ABCD

，所以PEAB⊥，在矩形ABCD中，ABAD⊥，因为ADPEE=I，所以AB⊥平面PAD，因为ABÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；(2)解：因为113(23)2033PABCDVPEABADAB−==+=，所以4AB=，以E为坐标原点，ED的方向为

y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系Exyz−，则(0,0,0)E，(0,0,3),(0,2,0),(4,2,0),(4,3,0)PABC−−，(4,0,0),(0,2,3),(4,3,0)ABPAEC==−−=，设平面PAB的法向量为(,,)nxyz=，则0nA

BnPA==，即40,230,xyz=−−=，令3y=，得(0,3,2)n=−，所以9913cos,65513ECn==，故直线EC与平面PAB所成角的正弦值为91365．20．已知各项均为正数的数列na的前n项和n

S，数列3na的前n项和nT，且2nnST=.(1)求数列na的通项公式；(2)设()2202nnabtnnt=−+，且()8nbbnN，求实数t的取值范围.【答案】(1)nan=(2)2836t【解析】【分析】（1）由题给条件2nnST

=入手解得数列na的12、aa，并进一步转化为数列na的递推公式后，即可求得数列na的通项公式；（2）把nan=代入222nnabnnt=−+后，以函数最大值为8b入手即可求得实数t的取值范围.(1)由题意可得11Sa=，212Saa=+，311Ta=，33212Taa=+由2nnST

=，得211222STST==，即()23112331212aaaaaa=+=+，解之得1212aa==.又21nnST+=，则有2211nnnnSSTT++−=−即()3111nnnnaSSa++++=，又10na

+，所以211nnnSSa+++=.又2212nnnSSa++++=，则222121nnnnaaaa+++++=−，又120nnaa+++，则211nnaa++−=，又211aa−=所以数列na是以1为首项，1为公差的等差数列，则nan=(2)由

nan=，()2202nnabtnnt=−+且()8nbbnN知222nnbnnt=−+，且8()nbbnN，所以7898,bbbb即782128983628tttt+++

+，解得2836t.222221nnbtnntnn==−++−，且7562729t函数2()(729)tfxxtx=+在(0,2)t单调递减，在(2,)t+单调递增，所以nb的最大值只可能在7,8,9n=时取到.又当2836t时，7898,bbb

b，所以8nbb所以满足条件的实数t的取值范围是2836t.21．已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点P在抛物线上，当以Fx为始边，FP为终边的角60xFP=时，4PF=.(1)求C的方程(2)过点F的直线交C于,A

B两点，以AB为直径的圆D平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交C于点N，求AMB的面积与AMN的面积的比值【答案】(1)24yx=(2)4【解析】【分析】（1）过点P作PFl⊥，垂足为F，过点F作FEPF⊥，垂足为E，根据抛物

线的定义，得到24PFPEEFp=+=+=，求得2p=，即可求得抛物线的方程；（2）设直线AB的方程为1xty=+，联立方程组求得124yyt+=，得到21242xxt+=+，由抛物线的定义得到244ABt=+，根据12MDAB=，求得1m=−，

设00(,)Nxy，得到20xt=，进而求得2AMDAMNSS=，因为D为AB的中点，求得4AMBAMNSS=△△，即可求解.(1)解：由题意，抛物线2:2(0)Cypxp=，可得其准线方程:2plx=−，如图所示，过点P作PFl⊥，垂足为F，过点F

作FEPF⊥，垂足为E，因为60xFP=时，4PF=，可得cos602PEPF==，又由抛物线的定义，可得24PFPEEFp=+=+=，解得2p=，所以抛物线的方程为24yx=.(2)解：由抛物线24yx=，可得(1,0)F，设1

122(,),(,)AxyBxy，因为直线AB的直线过点(1,0)F，设直线AB的方程为1(0)xtyt=+联立方程组214xtyyx=+=，整理得2440yty−−=，可得212(4)160,4ty

yt=−++=，则21212(1)(1)42xxtytyt+=+++=+，因为D为AB的中点，所以2(21,2)Dtt+，由抛物线的定义得212244ABxxt=++=+，设圆D与直线:lxm=相切于点M，因为DM交C于点N，所

以0m且DMl⊥，所以12MDAB=，即22121(44)2tmt+−=+，解得1m=−，设00(,)Nxy，则02yt=，且20(2)4tx=，可得20xt=，因为2221(1)2tt++−=，所以点N为DM的中点，

所以2AMDAMNSS=，又因为D为AB的中点，可得2AMBAMDSS=，所以4AMBAMNSS=△△，即AMB的面积与AMN的面积的比值为4.22．设函数()()()2ln1fxxmxmR=++．(1)若

1m=−，①求曲线()fx在点()()0,0f处的切线方程；②当()1,x+时，求证：()3fxx．(2)若函数()fx在区间()0,1上存在唯一零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)①10xy+

+=；②证明见解；(2)1(,0)ln2−.【解析】【分析】（1）①当1m=−时，求得()121fxxx=−+，得到()()01,00ff=−=，进而求得曲线在点()()0,0f处的切线方程；②令()()3hxfxx=−，利用导数求得()hx在()1,x

+单调递减，得到()()10hxh，即可求解；（2）求得()2221xxmfxx++=+，令()()222,0,1gxxxmx=++，分0m和0m两种情况，结合()00f=和单调性，求得40m−，设()00,1x使得()00gx=，利用函数的单调性，得到()10f，即可

求解.(1)解：①当1m=−时，()()2ln1fxxx=−+，可得()21221211xxfxxxx+−=−=++，则()()01,00ff=−=，可得曲线()fx在点()()0,0f处的切线方程01(1)yx-=-?，即10xy++=.

②令()()332ln(1)hxfxxxxx=−=−+−+，则()22213(1)3211xxhxxxxx+−=−+−=−++，当(1,)x+，可得()0hx，()hx在()1,x+单调递减，又因为

()1ln20h=−，所以()0hx，即23ln(1)xxx−+，即()3fxx，即当()1,x+时，()3fxx．(2)解：由函数()()()2ln1,0,1fxxmxx=++，可得()222211mxxmfxxxx++=+=++，令()()222,0,1gxxxmx=++，

当0m时，()0gx，即()0fx，()fx在区间()0,1上单调递增，因为()00f=，所以()()00fxf=，所以函数()fx在区间()0,1上没有零点，不符合题意；当0m时，函数()222=++gxxxm的图象开口向上，且对称轴为12x=−，由()1220gm=++，

解得4m−，当4m−时，()0gx在区间()0,1上恒成立，即()0fx，()fx在区间()0,1上单调递减，因为()00f=，所以()()00fxf=，所以函数()fx在区间()0,1上没有零点，不符合题意；综上可得40m−，设

()00,1x使得()00gx=，当0(0,)xx时，()0gx，()0fx，()fx单调递减；当0(,1)xx时，()0gx，()0fx，()fx单调递增，因为()00f=，要使得函数()fx在区间()0,1上存在唯一零点，则满足()()11ln11

0fm=++，解得1ln2m−，所以实数m的取值范围为1(,0)ln2−.