【文档说明】辽宁省铁岭市开原市第二高级中学2021届高三第一次模拟考试数学试题 含答案.doc，共(14)页，1.020 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度（上）高三第一次模拟考试数学试卷（满分150分时间120分钟）一、单选题:每小题5分，共40分.1．已知集合0,1,2,3A=，13Bxx=，则AB=（）A．1,2B．0,1,2C．2D．2,32．设A是奇数集，B是偶数集，则命题

“xA，2xB”的否定是（)A．xA，2xBB．xA，2xBC．xA，2xBD．xA，2xB3．已知()fx是定义在R上的函数，且满足(1)(1)fxfx+=−，当)0,2x时，1

()12xfx=−，则(3)f−的值为（）A．7B．1C．1−D．12−4．函数21()fxxx=+，(0,)x+的零点个数是（）．A．0B．1C．2D．35．已知0.130.2log0.2,log0.3,10,abc===则（）A．a

bcB．acbC．cabD．bca6．已知0x,0y,且191xy+=,则xy的最小值为（）A．100B．81C．36D．97．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人

数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt=描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠

肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天8．设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，23()log(1)1fxxaxa=++−+(a为常数)，则不等式(34)5

fx+−的解集为（）A．(,1)−−B．(1,)−+C．(,2)−−D．(2,)−+二、多选题:每小题5分，共40分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是（）A．“5a”

是“3a”的必要条件B．“ab”是“22ab”的充分条件C．“ab=”是“acbc=”的充要条件D．“5a+是无理数”是“a是无理数”的充要条件10．已知不等式20axbxc++的解集为1,22−,则下列结论正确的是()A．0aB．0cC．0abc+

+D．0abc−+11．若函数()fx同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有()()0fxfx+−=；②对于定义域上的任意12,xx，当12xx时，恒有1212()()0fxfxxx−−，则称函数()fx为“理想函数”。给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（）A．1()fxxx=+；

B．13()fxx=；C．()11xxefxe−=+；D．220()0xxfxxx−=12．定义在()0,+上的函数()fx满足()()212fxxfxx+=，()10f=，则下列说法中正

确的是（）A．()fx只有一个零点B．()fx在xe=处取得极小值，极小值为12eC．()()()123fffD．若()21fxkx−在()0,+上恒成立，则2ek三、填空题:每小题5分，共20分.13

．函数()()ln21fxxx=−++的定义域为________．14．函数log(3)2ayx=−+的图像恒过定点A，且点A在幂函数()fx的图像上，则(2)f=__________．15．已知函数2221()2xxfx++=，

则该函数的值域是__________.16．某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(恒温，单位：℃)满足函数关系664,0()2,0kxxtxx+=且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.①该食品在8℃的保鲜

时间是_______小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品_______保鲜时间(填“过了”或“没过”).(本题第一空2分，第二空

3分.)四、解答题:共6小题，共70分.17．(10分)设函数()2sincoscos(2)6fxxxx=−−．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）当2[0]3x，时，求函数()fx的最值及对应的x值.18．(12分)在①222bacac+=+，②3cos

sinaBbA=，③3sincos2BB+=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_________，4A=，2b=.（1）求角B；（2）求ABC的面积.19．(12分)已知函数π()sin()(

0,0,)2fxAxBA=++的部分图象如图所示：（1）求()fx的解析式及对称中心坐标；（2）将()fx的图象向右平移3个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数()gx的图象,求函数()ygx=在7π0,6x

上的单调区间．20．(12分)已知函数()ln1,()4xfxxxgxae=−−=−（e为自然对数的底数，0a）.（1）求函数()fx在点(2,(2))f处的切线方程；（2）若对于任意(10,1x，存在(20,1x，使得12()()fxgx，求a的取

值范围.21．(12分)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，不等式23cos2sin02xCxC++对一切实数x恒成立.（1）求cosC的取值范围；（2）当C取最大值，且ABC的周长为9时，求ABC面积的最

大值，并指出面积取最大值时ABC的形状.22．(12分)已知函数()lnfxxaxb=−+，a，bR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()0fx恒成立，0a，求ba的最大值．2020-2021学年度（上）高三第一次模拟考试数学试卷答

案一、单选题1．已知集合0,1,2,3A=，13Bxx=，则AB=（）A．1,2B．0,1,2C．2D．2,3【答案】C2．设A是奇数集，B是偶数集，则命题“xA，2xB”的否定是（)A．xA，2xBB．

xA，2xBC．xA，2xBD．xA，2xB【答案】A3．已知()fx是定义在R上的函数，且满足(1)(1)fxfx+=−，当)0,2x时，1()12xfx=−，则(3)f−的值为（

）A．7B．1C．1−D．12−【答案】D4．函数21()fxxx=+，(0,)x+的零点个数是（）．A．0B．1C．2D．3【答案】A5．已知0.130.2log0.2,log0.3,10,abc===则（）A．ab

cB．acbC．cabD．bca【答案】A6．已知0x,0y,且191xy+=,则xy的最小值为（）A．100B．81C．36D．9【答案】C7．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基

本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt=描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，

T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天

【答案】B【详解】因为03.28R=，6T=，01RrT=+，所以3.2810.386r−==，所以()0.38rttItee==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t天，则10.38()0.382tt

tee+=，所以10.382te=，所以10.38ln2t=，所以1ln20.691.80.380.38t=天.故选：B.8．设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，23()log(1)1fxxaxa=++−+(a为常数)，则不等

式(34)5fx+−的解集为（）A．(,1)−−B．(1,)−+C．(,2)−−D．(2,)−+【答案】D【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，所以(0)0f=，解得1a=，所以，当0x时，32()log(1)fxxx=

++．当[0,)x+时，函数3log(1)yx=+和2yx=在[0,)x+上都是增函数，所以()fx在[0,)x+上单调递增，由奇函数的性质可知，()yfx=在R上单调递增，因为(2)5(2)5ff=−=−，，故()(34)5(34)2fxfxf+−+−，即有

342x+−，解得2x−．故选：D．二、多选题9．对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是（）A．“5a”是“3a”的必要条件B．“ab”是“22ab”的充分条件C．“ab=”是“a

cbc=”的充要条件D．“5a+是无理数”是“a是无理数”的充要条件【答案】AD10．已知不等式20axbxc++的解集为1,22−,则下列结论正确的是()A．0aB．0cC．0abc++D．0abc−+【答案】BC11

．若函数()fx同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有()()0fxfx+−=；②对于定义域上的任意12,xx，当12xx时，恒有1212()()0fxfxxx−−，则称函数()fx为“理想函数”。给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（）A．1()fx

xx=+；B．13()fxx=；C．()11xxefxe−=+；D．220()0xxfxxx−=【答案】BC【详解】由()()0fxfx+−=知：()fx为定义域上的奇函数由12xx时，()

()12120fxfxxx−−知：()fx为定义域上的增函数A中，当()0,1x时，()1fxxx=+为减函数，A错误；B中，()()13fxxfx−=−=−()fx为奇函数；根据幂函数性质可知，()fx在定义域上单调递增

，B正确；C中，()()111111xxxxxxxxeeeefxfxeeee−−−−−−====−+++()fx为奇函数；()122111xxxefxee+−==−++1xye=+为增函数21xye=+为减函数()211xfxe=−+为增函数，C正确；D中，当0x时，()2fxx=为减

函数，D错误.故选：BC12．定义在()0,+上的函数()fx满足()()212fxxfxx+=，()10f=，则下列说法正确的是（）A．()fx只有一个零点B．()fx在xe=处取得极小值，极小值为12eC．()()()123fff

D．若()21fxkx−在()0,+上恒成立，则2ek【答案】ACD【详解】对B，()()212fxxfxx+=，且()0,x+可得：()()212xfxxfxx+=可得：()21xfxx=故()2lnxfxxc=+(c为常数)又()10f=可得：()211ln1fc

=+求得：0c=故：()2lnxfxx=整理可得：()2lnxfxx=，()0,x+24412ln2ln()xxxxxxxfxxx−−==43(12ln)12lnxxxxx−−==当12ln0x−，即12lnlnxe解得：0xe，()0fx，此时()fx单调递增当12

ln0x−=，即12lnlnxe=解得：xe=，()0fx=，当12ln0x−，即12lnlnxe解得：xe，()0fx，此时()fx单调递减xe=，()fx取得极大值，ln1()2efeee==，故B说法错

误；对A，0x+→，()0fxxe=，1()2fee=x→+，()0fx画出()fx草图：如图根据图象可知：()fx只有一个零点，故A说法正确；对D，要保证()21fxkx−在()0,+上恒成立即：保

证()21fxkx+在()0,+上恒成立()2lnxfxx=，可得22ln1xkxx+在()0,+上恒成立故：只需22maxln1xkxx+令21ln()xGxx+=312ln()xGxx−−=当120xe−时，312ln()0xGxx−−=当

12xe−时，312ln()0xGxx−−=当12xe−=时，312ln()0xGxx−−==即1122max2121ln()2eeGxGee−−+===22maxln21exkxx+=,故D说法正确；

对C，根据0xe，()fx单调递增，xe，()fx单调递减，12e，可得()()12ff又()()ln2ln32,323ff==由()()ln3ln22ln33ln22ln33ln23232666ff−−=−=−=根据()()()()232ln33ln2ln3ln

2ln9ln80−=−=−()()32ff故：()()()123fff，故C说法正确.三、填空题13．函数()()ln21fxxx=−++的定义域为________．【答案】12xx−14．函数

log(3)2ayx=−+的图像恒过定点A，且点A在幂函数()fx的图像上，则(2)f=__________．【答案】215．已知函数2221()2xxfx++=，则该函数的值域是__________.【答案】1(0,]216．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：

C）满足函数关系60,264,,0.kxxtx+=≤且该食品在4C的保鲜时间是16小时．①该食品在8C的保鲜时间是_____小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如

图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品_______保鲜时间(填“过了”或“没过”).(本题第一空2分，第二空3分.)【答案】①4，②过了【解析】①∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系664,02,0kxxtx+=且该食品在4℃的保鲜时间

是16小时．∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣12，∴16264,02,0xxtx−+=，当x=8时，t=4，故①该食品在8℃的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故

到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故填过了．四、解答题17．设函数()2sincoscos(2)6fxxxx=−−．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）当2[0]3x，时，求函数()fx的最值及对

应的x值.【解析】(Ⅰ)因为()2sincoscos(2)6fxxxx=−−sin2(cos2cossin2sin)66xxx=−+13sin2cos222xx=−sin(2)3x=−,所以()sin(2)3fxx=−.函数()fx的最小正周期为(Ⅱ)当

0x=时函数()fx的最小值为32−；当5π12x=时函数()fx的最大值为118．在①222bacac+=+，②3cossinaBbA=，③3sincos2BB+=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

c，_________，4A=，2b=.（1）求角B；（2）求ABC的面积.【详解】若选择①222bacac+=+，（1）由余弦定理2221cos22acbBac+−==因为(0,)B，所以3B=（2）由正弦定理sinsinabAB=得2sinsin234sin332

bAaB===，因为,43AB==，所以54312C=−−=所以562sinsinsinsincoscossin124646464C+==+=+=，所以11236233sin222346ABCSabC++===.若选择②3cossina

BbA=（1）由正弦定理得3sincossinsinABBA=因为sin0A，所以3cossin,tan3BBB==，因为(0,)B，所以3B=；（2）同上若选择③3sincos2BB+=（1）由和角公式得2sin26B+=，所以sin16B+=

.因为(0,)B，所以7,666B+,所以62B+=，所以3B=；（2）同上.19．已知函数π()sin()(0,0,)2fxAxBA=++的部分图象如图所示：（I）求()fx的解析式及对称中心

坐标；（Ⅱ）将()fx的图象向右平移3个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数()gx的图象,求函数()ygx=在7π0,6x上的单调区间．【答案】（

I）由图像可知：13ABAB+=−+=−,可得：2,1AB==−又由于721212T=−,可得：T=,所以22T==由图像知()112f=,sin(2)112+=,又因为2363−+所以2122+=,3=.所以()2sin(2)13fxx=+−令2

3xk+=(kZ),得：26kx=−(kZ)所以()fx的对称中心的坐标为,126k−−(kZ)（II）由已知的图像变换过程可得：()2sin3gxx=−函数在7π0,6x上的单调增区间为50,6

,单调减区间57,66．20．已知函数()ln1,()4xfxxxgxae=−−=−（e为自然对数的底数，0a）.（1）求函数()fx在点(2,(2))f处的切线方程；（2）若对于任意(10,1x，存在(20,1x

，使得12()()fxgx，求a的取值范围；（3）若()2()0fxxxgx−−恒成立，求a的取值范围.【详解】（1）()ln1fxxx=−−，1()1fxx=−，11(2)122f=−=−，又(2

)ln221ln23f=−−=−，所以切线方程为：()1ln23(2)2yx−−=−−，即1ln222yx=−+−；（2）11()1xfxxx−=−=，01x时，()0fx，()fx在(01，上单调递增，()(1)2l

n1112fxf=−−=−，由于对于任意(10,1x，存在(20,1x，使得12()()fxgx，则需maxmax()()fxgx，()4xgxae=−当>0a时，()4xgxae=−在(01，上单调递增，()(1

)4gxgae=−，所以24ae−−()4xgxae=−，解得2ae；21．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，不等式23cos2sin02xCxC++对一切实数x恒成立.(1)求cosC的取值范围；(2)当C

取最大值，且ABC的周长为9时，求ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时ABC的形状.【解析】(1)当cos0C=时，sin1C=，原不等式即为3202x+对一切实数x不恒成立，当cos0C时，应有204sin60cosCCcosC=−，∴2

02cos320cosCCcosC+−，解得1cos2C或cos2C−(舍去)，∵0C，∴1cos12C.(2)∵0C，1cos12C，∴C的最大值为3.此时22222cos3cababa

bab=+−=+−，∴229223abcababababababab=++=+++−+−=，∴9ab(当且仅当ab=时取等号).∴193sin234ABCSab=(当且仅当ab=时取等号).此时，ABC面积的最大值为934，ABC为等边三

角形.22．已知函数()lnfxxaxb=−+，a，bR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()0fx恒成立，0a，求ba的最大值．【详解】（1）因为函数()lnfxxaxb=−+，a，bR，所以()'11axfxaxx−+=−=，()0,x+，

当0a时，()'0fx在()0,+上恒成立，所以函数()fx在()0,+上单调递增；当0a时，令()'0fx=，则1xa=，所以当10xa时，()'0fx；当1xa时，()'0fx，所以函数()fx在10,a上单调递增，在1,a+单调递减，综上可

知，当0a时，函数()fx在()0,+上单调递增；当0a时，函数()fx在10,a上单调递增，在1,a+单调递减.（2）由题意知，()0fx恒成立等价于ln0xaxb

−+对任意0x恒成立，由（1）知，当0a时，函数()fx在()0,+上单调递增，所以当x→+时，()fx→+显然不符合题意，故舍去；当0a时，函数()fx在10,a上单调递增，

在1,a+单调递减，所以此时函数()fx的最大值为11ln1fbaa=−+，即需满足ln10ab−−+成立，所以可得ln1ba+，两边同时除以a可得，ln1baaa+，()0,a+，令()ln1,0agaaa+=，则()()'

2211lnlnaaaagaaa−+−==，所以函数()ga在()0,1上单调递增，()1,+上单调递减，所以当1a=时，函数()ga有最大值为1，即1ba，故所求ba的最大值为1.