【文档说明】2021-2022学年高中数学人教版必修4教案：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3 含解析【高考】.doc，共(8)页，341.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式教法分析●三维目标1．知识与技能以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用．2．过程与方法经历二倍角公式的探究过程，培养学生发现数学规律的思维方法

，培养学生分析问题和解决问题的能力，并体会化归与转化的思想方法．3．情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习，培养学生的探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养．●重点、难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角

正弦、余弦和正切公式．难点：二倍角的理解及其灵活运用．方案设计●教学建议对于二倍角公式的学习，要注意引导学生从和差公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)出发，寻找思维的突破口，学生不难想到，教学中，要求学生对“倍”的相对性有一定的

认识，事实上，灵活使用“倍”的变换、“换元”等都体现了思维的灵活性，对学生推理能力的发展能起到很好的推动作用．自主导学课标解读1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2.掌握二倍角公式及其变形公式应用．(难点)3.

二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系．(易混点)-2-二倍角的正弦、余弦、正切公式【问题导思】在公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？【提示】成立．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α

＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝2tanα1－tan2α正弦、余弦的二倍角公式的变形1.余弦的二倍角公式的变形1-2sin2α2．正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα.(2)1±sin2α＝(sinα±co

sα)2.互动探究(见学生用书第69页)利用二倍角公式给角求值例1求下列各式的值：(1)cosπ5cos2π5；(2)12－cos2π8；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)sin10°sin50°sin70°.-3-【思路探究】第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公

式求值；第(2)题需将所求式变形逆用二倍角公式化简求值；(3)逆用二倍角的正切公式求解；(4)利用互余关系把正弦变成余弦，逆用二倍角公式化简、求值．【自主解答】(1)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52si

nπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos2π82＝－2cos2π8－12＝－12cosπ4＝－24.(3)原式＝tan300°

＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝18·sin160°sin20°＝18.规律方法对于给角求值问题，一般有两类：(1)直

接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角

公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．变式训练求下列各式的值．(1)cos72°cos36°；(2)1sin50°＋3cos50°.-4-【解】(1)cos36°cos72°＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝2si

n72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14.(2)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝212cos50°＋32sin50°12×2sin50°cos50°＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin8

0°＝4.利用二倍角公式给值求值例2已知sin(π4－x)＝513，0<x<π4，求cos2xcosπ4＋x的值．【思路探究】求cos(π4－x)的值→求cos(π4＋x)→利用cos2x＝sin(π2－2x)求值→代入计算【自主解答】∵0<x<

π4，∴π4－x∈(0，π4)．又∵sin(π4－x)＝513，∴cos(π4－x)＝1213.又cos2x＝sin(π2－2x)＝2sin(π4－x)cos(π4－x)＝2×513×1213＝120169，cos(π4＋x)＝sin[π2－

(π4＋x)]＝sin(π4－x)＝513，∴原式＝120169513＝2413.规律方法1．条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向

题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．2．当遇到π4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．互动探究在例题条件不变的情况下，求sin2xcosπ4－x的值．-5-【解】

∵x∈(0，π4)，∴π4－x∈(0，π4)．又∵sin(π4－x)＝513，∴cos(π4－x)＝1213.又sin2x＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos2(π4－x)－1＝119169.∴sin2xcosπ4－x＝1191691213＝119156.二倍角公式的综合应用

例3(1)化简：1＋cos2θ－sin2θ1－cos2θ－sin2θ；(2)化简：1＋sin10°－1－sin10°【思路探究】(1)化2θ为θ，消去1→提公因式，约分→通分整理→结论(2)1±sin10

°＝(sin5°±cos5°)2.【自主解答】(1)法一1＋cos2θ－sin2θ1－cos2θ－sin2θ＝2cos2θ－2sinθcosθ2sin2θ－2sinθcosθ＝2cosθcosθ－sinθ2sinθsinθ－cosθ＝－1tanθ，∴原式

＝－1tanθ.法二1＋cos2θ－sin2θ1－cos2θ－sin2θ＝1－sin2θ＋cos2θ1－sin2θ－cos2θ＝sinθ－cosθ2＋cos2θ－sin2θsinθ－cosθ2－cos2θ－sin2θ＝sinθ－cosθsinθ－cosθ－cosθ－sinθsinθ－c

osθsinθ－cosθ＋sinθ＋cosθ＝－2cosθ2sinθ＝－1tanθ，∴原式＝－1tanθ.(2)1＋sin10°－1－sin10°-6-＝1＋2sin5°cos5°－1－2sin5°cos5°＝cos5°＋sin5°2－cos5°－sin5°2

＝(cos5°＋sin5°)－(cos5°－sin5°)＝2sin5°.∴原式＝2sin5°.规律方法1．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式

中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角．(2)降幂或升幂．(3)一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±

sin2θ.变式训练化简下列各式．(1)π4＜α＜π2，则1－sin2α＝________.(2)α为第三象限角，则1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝________.【解析】(1)∵α∈(π4，π2)，∴sinα＞cosα，∴1－sin2α＝1－2sinαcosα＝sin2α

－2sinαcosα＋cos2α＝sinα－cosα2＝sinα－cosα.(2)∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，∴1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝2cos2αcosα－2sin2αsinα＝－2cosαcosα－－2sinαsinα＝0.【答案】(

1)sinα－cosα(2)0-7-易错分析(见学生用书第70页)未根据角范围分类讨论致误典例化简1＋sinθ－1－sinθ(θ∈(0，π))．【错解】原式＝sin2θ2＋cos2θ2＋2sinθ2cosθ2

－sin2θ2＋cos2θ2－2sinθ2cosθ2＝sinθ2＋cosθ22－sinθ2－cosθ22＝sinθ2＋cosθ2－(sinθ2－cosθ2)＝2cosθ2.【错因分析】利用a2＝|a|＝aa≥0，－aa<0去根号时，对a的符号未加讨论而出错或s

inθ－cosθ、sinθ＋cosθ的符号判断出错．【防范措施】化简根式问题，主要目的是把被开方数化成完全平方形式，从而进行开方，开方时要注意a2＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0，所以一定要先判断a的

正负．【正解】原式＝sin2θ2＋cos2θ2＋2sinθ2cosθ2－sin2θ2＋cos2θ2－2sinθ2cosθ2＝sinθ2＋cosθ22－sinθ2－cosθ22＝|sinθ2＋cosθ2|－|sinθ2－cosθ2

|.∵θ∈(0，π)，∴θ2∈(0，π2)．(1)当θ2∈(0，π4]时，cosθ2≥sinθ2，此时原式＝sinθ2＋cosθ2－cosθ2＋sinθ2＝2sinθ2.(2)当θ2∈(π4，π2)时，co

sθ2<sinθ2，-8-此时原式＝sinθ2＋cosθ2－sinθ2＋cosθ2＝2cosθ2.1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n＝2·α2n＋1(n∈N*)．2．二倍

角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos2α2，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos2α2.