河北省秦皇岛市部分学校2023-2024学年高三上学期开学联考 数学答案和解析

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【文档说明】河北省秦皇岛市部分学校2023-2024学年高三上学期开学联考 数学答案和解析.pdf,共(9)页,476.257 KB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

【·高三开学检测———数学答案第1页(共8页)】高三年级开学检测———数学答案与解析1.C2.A3.C【解析】△犃犅犆为等边三角形(法一)由题意,→犃犕=23→犃犅+13→犃犆→犃犖=13→犃犅+23→犃犆∴→犃犕·→犃犖=29→犃犅2+

59→犃犅·→犃犆+29→犃犆2=2+52+2=132(法二)以犅犆所在直线为狓轴,以犅犆垂直平分线犃犇为狔轴建立如图所示的平面直角坐标系,则犃(0,槡332)犕(-12,0)犖(12,0)→犃犕·→犃犖=(-12,-槡332)·(12,-

槡332)=-14+274=132(法三)取犕犖中点为犇∵犕犖为犅犆边的三等分点∴→犃犕·→犃犖=(→犃犇+→犇犕)·(→犃犇+→犇犖)=→犃犇2-→犇犕2=274-14=1324.A5.C6.B【解

析】狓狔+狔≥2狓狔槡2,狓狔+狔=8,2狓狔槡2≤8,当且仅当狓狔=狔时,等号成立,得狓=1,狔=4.则槡狓狔≤4,log4狓+log2狔=log2槡狓狔≤log24=2.7.D【解析】∵槡22<犲<1,∴犮2犪2>12

,2犮2>犪2,即2犮2>犫2+犮2,犮2>犫2,∴以犉1犉2为直径作圆与犆必有四个不同的交点,∴△犕犉1犉2中∠犉1犕犉2=90°的三角形有四个,且∠犕犉1犉2为直角,∠犕犉2犉1为直角的各有两个,存在使△犕犉1犉2为直角三角形的点犕有8个.8.D【

解析】犳(狓)=12sin狓cos狓-槡32cos2狓+槡34=14sin2狓-槡321+cos2狓2+槡34=14sin2狓-槡34cos2狓=12sin(2狓-π3)犳(狓)=13在(0,π)有两根狓1,狓2,则0<狓<π时,-π3<2狓-π3<5π3sin(2狓1-π3)=sin(2狓2-π

3)=23∴不妨设0<2狓1-π3<π2<2狓2-π3<π,则2狓1-π3+2狓2-π3=π,狓1+狓2=5π6,狓2=5π6-狓1cos(狓1-狓2)=cos[狓1-(5π6-狓1)]=cos(2狓1-5π6)=cos(2狓1-π3-π2)=sin(2狓1-π3)=23{#{QQABYYQUo

gAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}【·高三开学检测———数学答案第2页(共8页)】9.AB10.BCD11.BD【解析】∵犳(狓)-犳(狓-1)=犳(狓+1)①∴犳(狓)

=犳(狓-1)+犳(狓+1),则犳(狓+1)=犳(狓)+犳(狓+2)②由①②得,-犳(狓-1)=犳(狓+2),即犳(狓)=-犳(狓+3)③∴犳(狓+3)=-犳(狓+6),犳(狓)=犳(狓+6)④犳(狓)周期为6,由犳(狓-2)+犳(2-

狓)=0,得犳(狓)为奇函数⑤犳(0)=0由③⑤得,犳(狓)=-犳(狓+3)犳(狓)=-犳(-狓)犳(狓+3)=犳(-狓),∴犳(狓)关于狓=32对称,由④⑤得,犳(狓)=犳(狓+6)犳(狓)=-犳(-狓)犳(狓+6)+犳(-狓)=0,∴犳(狓)关于(3,0)对

称,故BD正确.12.BCD【解析】∵动点犖到(0,2)距离为槡22|犖犉|设犖点为(狓,狔),则狓2+(狔-2)槡2=槡22狓2+(狔-1)槡2整理得,狓2+狔2-6狔+7=0,即狓2+(狔-3)2=2∴犖点的轨迹是

以(0,3)为圆心,槡2为半径的圆,设犕点为(狓,狔),则犕点到(0,3)距离犱=狓2+(狔-3)槡2=狓2+狔2-6狔槡+9=狔2-2狔槡+9∴狔=1时,犱最小为槡22,∴|犕犖|最小值为槡槡槡22-2=2,故犃错误.∵犉点为

(1,0),∴|犖犉|最小为槡2-2,|犕犉|最小值为1,∴|犕犉|+|犖犉|最小为槡3-2,故犅正确.|犕犉|等于点犕到直线狔=-1的距离,∴|犕犖|+|犕犉|最小值为(0,3)到直线狔=-1的距离减去槡2,即槡4-2,故犆正确.∵犖到(0,2)的距离为槡22|犖犉|∴槡22|犖犉|+|犕犖

|最小值为犖到(0,2)的距离与|犕犖|和的最小值,即犕到(0,2)的距离最小值,设犕为(狓,狔)则犕到(0,2)距离为狓2+(狔-2)槡2=狓2+狔2-4狔槡+4=狔2槡+4当狔=0时,狔2槡+4最小值为2,∴槡22|犖犉|+|犕犖|最小值为2,得|犖犉|槡+2|犕犖|最小值为

槡22,故D正确.{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}【·高三开学检测———数学答案第3页(共8页)】13.2914.-115.1025犛狀=3狀-1+1【解析】由数阵形成规律,设第狀行数据有犪狀个,则犪狀

=犪狀-1+犪狀-1-1=2犪狀-1-1(狀≥2)则犪狀-1=2(犪狀-1-1){犪狀-1}是以1为首项,2为公比的等比数列.则犪狀-1=2狀-1,犪狀=2狀-1+1∴犪11=1025设第狀行数据的和为犛狀第狀-1行数据为1,狓1,狓2,狓3,…,狓犿,1则第狀行数据为1,1+狓1,狓1,狓

1+狓2,狓2,狓2+狓3,狓3,…,狓犿,狓犿+1,1∴犛狀=3犛狀-1-2(狀≥3)∴犛狀-1=3(犛狀-1-1)得{犛狀-1}从第二项起,是以犛2-1=3为第二项,以3为公比的等比数列∴犛狀-1=3·3狀-2=3狀-1(狀≥2)犛狀=3狀-1

+1(狀≥2)狀=1时,犛1=2∴犛狀=3狀-1+116.41π【解析】三棱锥底面为直角三角形,犗为△犃犅犆内心,∵犃犅=4,犅犆=3∴△犃犅犆内切圆半径狉=4+3-52=1设四面体犘犃犅犆外接球球心为犗′,则犗′在平面犃犅犆射影为犃犆中点犙,且犗犙=槡52,设犗′犘=犗′犆=犚则

犗′犙2+犙犆2=犚2(5-犚2-犗犙槡2)2+(52)2=犚2(5-犚2-槡54)2+254=犚2解得犚2=414则四面体犘犃犅犆的外接球表面积为41π.17.解:(1)收视时间在0~10分钟组的频率为1-(0.018+0.022+0.025+0.020+0.005)×

10=0.1∴狆=0.110=0.012分�����������������������������又∵收视时间低于10分钟的有10人.∴2狀=100.1∴狀=505分��������������������������������(2)∵狀=50∴“热心观众”有2×50×(0.020+0.00

5)×10=25人{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}【·高三开学检测———数学答案第4页(共8页)】则2×2列联表如下图所示:非热心观众热心观

众总计男351550女401050总计75251007分������������������������������������零假设犎0:“热心观众”与性别无关联.将2×2列联表数据代入公式计算得:χ2=100×(35×10-40×15)250×50×75×25≈1.33

3<3.8419分����������������根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据证明犎0不成立,因此可认为犎0成立,即认为“热心观众”与性别无关联.10分�������������������18.解:(1)∵{犛狀+2}是首项为4,公比为2的等比数列.∴犛狀+2=4·2狀-1

=2狀+1∴犛狀=2狀+1-22分�����������������������������当狀≥2时,犛狀-1=2狀-2∴犪”=犛狀-犛狀-1=(2狀+1-2)-(2狀-2)=2狀4分�����������������又∵犪1=

犛1=2∴犪狀=2狀(狀∈犖)5分����������������������������(2)犪狀+1犛狀·犛狀+1=2狀+1(2狀+1-2)(2狀+2-2)=12狀+1-2-12狀+2-26分������������∴

犜狀=犪2犛1犛2+犪3犛2犛3+…+犪狀+1犛狀犛狀+1=122-2-123-2+123-2-124-2+…+12狀+1-2-12狀+2-2=12-12狀+2-210分��������������������

�������∵狀∈犖,2狀+2-2>0,∴12-12狀+2-2<12得犜狀<1212分�������������������������������19.解:(1)∵犗1犗为圆柱∴直线犃1犃⊥平面犃犅犆∴直线犃1犃⊥直线犅犆又∵直线犃犅为圆犗的直径∴∠犃犆犅=

90°,犃犆⊥犅犆2分�������������������������又∵犅犆⊥犃犃1∴犅犆⊥平面犃1犃犆,且犅犆平面犃1犅犆∴平面犃1犃犆⊥平面犃1犅犆5分������������������������(2)过点犆作犆犇⊥犃犅于点犇∵︵犅犆=2︵犃犆{#{QQAB

YYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}【·高三开学检测———数学答案第5页(共8页)】∴∠犃犗犆=π3,∠犆犗犅=2π3∴△犃犗犆为等边三角形7分�����������������

���������∴犃犇=犇犗=1,犆犇槡=3∵犃1犆与面犃1犃犅犅1所成角为π4∴犃1犇=犆犇槡=3∴犃1犃槡槡=3-1=28分���������������������������以点犗为坐标原点,以直线犃犅为狔轴,以过点犗且垂直于直线犃犅的直线为狓轴,以

犗1犗所在的直线为狕轴,建立如图所示的空间直角坐标系.犅(0,2,0)犆(槡3,-1,0)犃1(0,-2,槡2)犅1(0,2,槡2)∴→犅犆=(槡3,-3,0)犃1→犆=(槡3,1,槡-2)犅1→犆=(槡3,-3,槡-2)设犿=(狓,狔,狕)为平面犃1犅犆的法向量∴犿·→犅犆=0

犿·犃1→犆烅烄烆=0∴槡3狓-3狔=0槡3狓+狔槡-2狕烅烄烆=0取犿=(槡3,1,槡22),同理取平面犅1犅犆的法向量狀=(槡3,1,0)10分������������������∴平面犃1犅犆与平面犅1犅犆夹角的余弦值cosθ=|犿·狀

||犿|·|狀|=|4|槡12·槡4=槡3312分���20.解:(1)∵△犃犅犆面积为犛,∴犛=12犪犫sin犆,且犫2=槡233犛+犪犫cos犆,得犫2=槡33犪犫sin犆+犪犫cos犆犫=槡33犪sin犆+犪cos犆2

分��������������������������由正弦定理得:sin犅=槡33sin犃sin犆+sin犃cos犆sin(犃+犆)=槡33sin犃sin犆+sin犃cos犆sin犃cos犆=槡33sin犃sin犆+sin犃cos犆cos犃=槡33sin犃(sin犆≠0)4分����

���������������������∴tan犃槡=3(0<犃<π)得犃=π35分��������������������������������(2)∵犅犆边上中线|犃犇|=1∴2→犃犇=→犃犅+→犃

犆{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}【·高三开学检测———数学答案第6页(共8页)】∴4→犃犇2=→犃犅2+→犃犆2+2→犃犅·→犃犆得犫2+犮2+犫犮=4,犫2+犮2=4-犫犮6分��

��������������������(犫+犮)2=4+犫犮,犫+犮=4+槡犫犮且犫2+犮2≥2犫犮,即4-犫犮≥2犫犮0<犫犮≤43,当且仅当犫=犮时,“=”成立.7分�������������������又∵∠犆=π3,由余弦定理得犫2+犮2-犪2=犫犮犪2=犫2+犮2-犫犮=

4-2犫犮∴犪=4-2槡犫犮8分������������������������������∴犪+犫+犮=4-2槡犫犮+4+槡犫犮(0<犫犮≤43)设犳(狓)=4-2槡狓+4+槡狓(0<狓≤43)犳′(狓)=-224-2槡狓+124+槡狓=4-2槡

狓-24+槡狓24-2槡狓4+槡狓设犵(狓)=4-2槡狓-24+槡狓犵′(狓)=(4-2槡狓-24+槡狓)′=-224-2槡狓-14+槡狓<0∴犵(狓)在(0,43]单调递减又∵犵(0)=-2∴犵(狓)<0∴犳′(狓)<010

分������������������������������∴犳(狓)在(0,43]单调递减则犳(狓)最小值为犳(43)槡=23则△犃犅犆周长最小值为槡23.12分�����������������������21.解:(1)犆的右焦点

为犉(2,0),∴犮=2∵渐近线方程为狔槡=±3狓,∴犫犪槡=3∴犫槡=3犪,∴犮2=犪2+犫2=4犪2=4∴犪=1,∴犫槡=3∴犆的方程为:狓2-狔23=13分�������������������������(2)设犾方程为狓=犿狔+2联立狓2-狔23=1狓=犿狔烅烄

烆+2得:(3犿2-1)狔2+12犿狔+9=04分���������������3犿2-1≠0,犿≠±槡33Δ=144犿2-36(3犿2-1)=36犿2+36>0{#{QQABYYQUogAoABBA

ARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}【·高三开学检测———数学答案第7页(共8页)】设犕(狓1,狔1),犖(狓2,狔2),则狔1+狔2=-12犿3犿2-1狔1·狔2=93犿2-16分�����������������������������犃(-1,

0)∴犽犃犕=狔1狓1+1,犽犃犖=狔2狓2+1犽犃犕·犽犃犖=狔1狔2(狓1+1)(狓2+1)=狔1·狔1(犿狔1+3)(犿狔2+3)=狔1狔2犿2狔1狔2+3犿(狔1+狔2)+9=93犿2-19犿23犿2-1+-36犿23犿2-1+9=-19分����������

���������∴直线犃犕与直线犃犖垂直在△犃犕犖中∠犕犃犖=90°,犃犅⊥犕犖∴△犃犕犅∽△犖犃犅∴→犅犕·→犅犖=-→犃犅2=→犅犉2-→犃犉211分���������������������即→犅犕·→犅犖=→犅犉2-→

犃犉2.12分������������������������22.解:(法一)(1)由题意犵(狓)=狓2犲-2狓=0(狓>0)得狓=2犲1分��������������������������������∵犳(狓)=犪(狓-犲)(ln狓-1)-犲∴狓>0且犳(2犲

)=0犪犲(ln2犲-1)=犲犪=1ln23分���������������������������������(2)当0<狓≤2犲时,设犉(狓)=犳(狓)-犵(狓)=1ln2(狓-犲)(ln狓-1)-犲-狓2犲+2狓犉′(狓)=1ln2(ln狓-犲狓)-2犲狓+2犉″(狓)=1l

n2(1狓+犲狓2)-2犲5分�������������������������∵狓>0∴犉″(狓)单调递减又∵狓→0时,犉″(狓)→+∞犉″(2犲)=1ln2(12犲+14犲)-2犲=3-8ln24犲ln2<0∴定存在狓

0∈(0,2犲)使犉″(狓0)=0狓(0,狓0)狓0(狓0,2犲)犉″(狓)+0-犉′(狓)极大8分������������������������������������当狓→0时,犉′(狓)→-∞,{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQ

GgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}【·高三开学检测———数学答案第8页(共8页)】且犉′(犲)=1ln2(1-犲犲)-2犲×犲+2=0又∵犉″(犲)=1ln2(1犲+1犲)-2犲=(log2犲-

1)·2犲>0∴犲<狓0∵犉′(狓)在(0,狓0)单调递增得犉′(狓0)>09分������������������������������又∵犉′(2犲)=1ln2(ln2犲-犲2犲)-2犲×2犲+2=12ln2-1<0则存在狓1∈(狓

0,2犲)使犉′(狓1)=0,得狓(0,犲)犲(犲,狓1)狓1(狓12犲)犉′(狓)-0+0-犉(狓)极小值0极大又∵狓→0时,犉(狓)→+∞11分������������������������犉(犲)=0,犉(2犲)=0∴狓∈(0,2犲]时,犉(狓)≥0即:犳(狓

)≥犵(狓)12分�����������������������������(法二)(1)由犵(狓)=0得狓=2犲;由犳(2犲)=0得犪犲(ln2犲-1)=犲故犪=1ln23分��������������������������������(2)令犉

(狓)=犳(狓)-犵(狓)=1ln2(狓-犲)(ln狓-1)-犲-(狓2犲-2狓)(0<狓≤2犲)则犉′(狓)=1ln2(ln狓-犲狓)-2犲狓+2犉″(狓)=1ln2(1狓+犲狓2)-2犲5分�������

������������������犉(狓)=-1ln2(1狓2+2犲狓3)<0,故犉″(狓)在(0,2犲]上单调递减∵犉″(犲)=2犲(1ln2-1)>0,犉″(2犲)=1ln2(12犲+14犲)-2犲=3-8ln24犲ln2<0,∴由零点存在性

定理知狓0∈(犲,2犲)使犉″(狓0)=0且犉′(狓)在(0,狓0)单增,在(狓0,2犲]单减8分����������������������������������∵犉′(犲)=0,∴犉′(狓0)>09分����������

��������������������而犉′(2犲)=12ln2-1<0∴由零点存在性定理知狓1∈(狓0,2犲)使犉(狓)在(0,犲)单减,(犲,狓1)单增,(狓1,2犲)单减11分�����������������������������������而

犉(犲)=犉(2犲)=0∴犉(狓)≥0在(0,2犲]上恒成立,故犳(狓)≥犵(狓).12分���������������{#{QQABYYQUogAoABBAARgCEQGgCEAQkBACAAgGhAAIIAABiRFABAA=}#}获得更多资源请扫

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