【文档说明】北京市顺义区杨镇第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.908 MB，由管理员店铺上传

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杨镇一中2023-2024学年第一学期高二数学期中试卷一､选择题，10小题，每题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线310xy−−=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案

】B【解析】【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】直线l的方程为310xy−−=，即31yx=−，所以直线的斜率3k=，设倾斜角为，则tan3=，因为0180，所以60=.故选：B.2.在平

面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，它的终边经过点()4,3，则cos=（）A.45−B.45C.34−D.34【答案】B【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果.【详解】解：角以Ox为始边，

终边经过点()4,3，2244cos543==+.故选：B.3.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，G分别是AB，AD的中点，则异面直线EG与1BC所成角的大小为（）A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】【分析】根据题意，证得11//BDBD，得到11CBD

异面直线EG与1BC所成角，在11CBD中，即可求解.【详解】连接111,,BDBDCD，因为E，G分别是AB，AD的中点，所以//EGBD，又因为11//BDBD.所以11CBD为异面直线EG与1BC所成角，在11CBD中，因为1111CBBDCD==，

所以1160CBD=.故选：C.4.已知平面的法向量为()2,4,2−−，平面的法向量为()1,2,k−，若∥，则k=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意得两平面的法向量平行，从而得到mtn=，进而求出结果

.【详解】由题意得：()2,4,2m=−−与()1,2,nk=−平行，故mtn=，即2422ttkt=−−=−=，解得：12kt==−.故选：C为5.如果0AB，0BC，那么直线0AxByC++=不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象

限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】将直线化为ACyxBB=−−，结合已知条件即可判断不经过的象限.【详解】由题设，直线可写成ACyxBB=−−，又0AB，0BC，∴0AB−，0CB−，故直线过二、三、

四象限，不过第一象限.故选：A.6.已知圆C的方程为222440xyxy+−+−=和圆P的方程为22(1)4xy+−=，两圆的位置关系为（）A.内切B.相交C.相离D.外切【答案】B【解析】【分析】将圆化为标准方程,找到圆心之间的距离和半径之间的关系即可判断圆与圆的位置

关系.【详解】由题知222440xyxy+−+−=可化为,()()22129xy−++=,所以圆心为()1,2-,半径为3,22(1)4xy+−=,圆心为()0,1,半径为2,所以圆心之间的距离为()()()22011210−+−−=,因为圆心距大于半径差的绝对值,

小于半径和,所以两圆相交.故选:B.7.已知直线()210xmy++−=与直线310mxy+−=平行，则m的值为（）A.3−B.1C.1或3D.1−或3【答案】A【解析】【分析】利用两直线平行即可得()2130mm+−=，又因为1m

=时两直线重合，即可得3m=−.【详解】根据题意，由两直线平行可得()2130mm+−=，即2230mm+−=，解得1m=或3m=−；经检验1m=时，两直线重合，不合题意；所以3m=−.故选：A8.已知三棱锥OABC−，

点M，N分别为AB，OC的中点，且OAa=，OBb=，OCc=，用a，b，c表示MN，则MN等于（）A.1()2abc+−B.1()2bca+−C.1()2cab−−D.1()2abc−+【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算计算即可.【详解】MNMOON=+111222OAOBOC

=−−+uuruuuruuur111222abc=−−+.故选：C.9.如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.这艘轮船能

被海监船监测到的时长为（）A.1小时B.0.75小时C.0.5小时D.0.25小时【答案】C【解析】【分析】以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．【详解】如图，以O为原

点，东西方向为x轴建立直角坐标系,则(40,0)A，(0,30)B，圆O方程22225xy+=，直线AB方程：14030xy+=，即341200xy+−=，设O到AB距离为d，则|120|24255d−==，所以外籍轮船能被海监船检

测到，设监测时间为t，则22225241282t−==（小时），外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时.故选：C.10.如图所示,该曲线W是由4个圆:22(1)1xy−+=,22(1)1xy++=,22(1)1xy

++=,22(1)1yx+−=的一部分所构成,则下列叙述错误的是（）A.曲线W围成的封闭图形面积为42π+B.若圆222(0)xyrr+=与曲线W有4个交点,则2r=或2C.BD与DE的公切线方程为120xy+−−=D.曲线上点到直线5210xy+++=的距离的最小值为

3【答案】D【解析】【分析】对于A,将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆构成计算即可;对于B,结合图像分情况讨论即可;对于C,设公切线方程为()0,0ykxtkt=+,根据直线和圆相切的条件列出方程求解即可得到结果;对于D,根据选项C中的方法,求得»H

B,HG的公切线方程,再利用两条平行线间的距离公式计算即可.【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆构成,所以其面积为2222π142π+=+,故A正确;当2r=时,交点为B,

D,F,H;当2r=时,交点为A,C,E,G;当02r或2r时,没有交点;当22r时,交点个数为8个,故B正确;设BD与DE的公切线方程为()0,0ykxtkt=+,由直线和圆相切的条件可得221111tktkk−+==++,解得1k=−,12t=+

(12−舍去)，则其公切线方程为12yx=−++,即210xy+−−=,故C正确;同理可得»HB,HG的公切线方程为120xy+++=,则两平行线的距离为5211242d+−−==,故D错误.的故选:D.二､填空题，共5小题，每

小题5分，共25分.11.已知()1,2,3A，()4,5,9B，13ACAB=，则AC的坐标为________，点C的坐标为________．【答案】①.()1,1,2②.()2,3,5【解析】【分析】由空间向量坐标运算公式计算即可.【详解】∵()1,2,3A，()4,5,9B，∴()3

,3,6AB=，∴()()113,3,61,1,233ACAB===，故AC的坐标为()1,1,2.∵原点()0,0,0O∴()()()1,2,31,1,22,3,5OCOAAC=+=+=，∴点C的坐标

为()2,3,5OC=.故答案为：()1,1,2；()2,3,5.12.椭圆的焦点坐标为(3,0)−和(3,0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为________.【答案】2212516xy

+=【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答.【详解】依题意，椭圆长轴长210a=，则5a=，而椭圆半焦距3c=，因此椭圆短半轴长2222534bac=−=−=，所以所求椭圆标准方程是2212516xy

+=.故答案为：2212516xy+=13.已知直线()12:240,:30laxylxaya−+=+−+=.（1）当4a=时，两直线12,ll的交点P的坐标为__________.（2）若直线12,lla⊥的值为__________.【答案】①.(2,2)−

−②.6【解析】【分析】把4a=代入，再解方程组求出交点坐标；利用直线垂直的充要条件列式计算即得.【详解】当4a=时，直线12:220,:40lxylxy−+=++=，由22040xyxy−+=++=，解得22xy=−=−，所以直线12,ll的交点P的坐标为

(2,2)−−；由12ll⊥，得2(3)0aa−−=，解得6a=，所以a的值为6.故答案为：(2,2)−−；614.已知集合()2,1Axyxy==−，(),Bxyyxb==+，若集合AB中有2个元素，则实数b的取值范围是__

____【答案】(2,1−−【解析】【分析】首先分析集合A、B的元素特征，再数形结合求出参数b的取值范围.【详解】解：由21xy=−，则0x，所以221xy+=()0x，所以()2,1Axyxy=

=−表示以()0,0为圆心，1为半径的圆在y轴及右侧部分的点集，集合(),Bxyyxb==+表示直线yxb=+上的点集，集合A与集合B都是点集，集合AB中有2个元素，由()22111bd==+−，解得2b=，由图可知21b−−，即(2,1b−−.故答案为：(2,1−−

15.如图，在棱长为4的正方体1111ABCDABCD−中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段11BD上，且11114DEBD=，给出下列四个结论：①存在点P，使得平面11PBD∥平面1CBD；②存在点P，使得11PBD!是等腰直角三角形；③若5PE，则点P

轨迹的长度为27；④当13APPC=时，则平面11PBD截正方体1111ABCDABCD−所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】【分析】①利用面面平行判定定

理求解，②利用空间直角坐标系求解，③分析点P在AC上运动时PE的变化情况即可求解，④根据图中的几何关系作出平面11PBD截正方体1111ABCDABCD−截面即可求解.【详解】对于①，当点P和点A重合时，平面11PBD∥平面1CBD，连接11AC交11BD于点1O，连接BD

交AC于点O，连接1CD,1CB,1CO,1AO,∵11OC∥PO,且11OCAO=∥AO,∴四边形11OPOC平行四边形，∴1OP∥1CO,∵1OP平面1CBD，1CO平面1CBD，∴1OP∥1CBD，∵11BD∥BD,11BD平面1CBD，BD平面1

CBD，∴11BD∥1CBD,又∵1111BDPOO=,11BD,1PO平面11PBD，∴11PBD∥平面1CBD；故①正确；的对于②，分别以1,,DADCDD所在的直线为x轴，y轴，z轴，由几何关系可知11PDPB=，要使11PBD!是等腰直角三角形，则11PDPB⊥

,由已知得()10,0,4D,()14,4,4B,设点()4,,0Paa−，则()14,,4PDaa=−−，()1,4,4PBaa=−，∵110PDPB=，∴2480aa−+=，此方程无解，则不存在点P，使得11PBD!是等腰直角三角形，故②不正确；对于③，因111124DEBD

==，则()1,1,4E,()4,0,0A,()0,4,0C,即265EAEC==,则P轨迹是在AC上的线段，不包括端点A、C，如下图所示，由已知得△EAC为等腰三角形，则△EAC底边上的高EH=325，随着P向点C运动，EP逐渐减小，故在线段AH上存在一点P使得

5EP=，同理可知靠近点C处也存在一点P使得5EP=，设线段5PE=，由勾股定理可知7PH=,所以点P轨迹的长度为27，故③正确；为对于④，连接BD,过点P作BD的平行线交,ABAD于点,MN,连接11,BMDN,则11MNDB为平面11PBD截正方体1111AB

CDABCD−所得的截面图形，由已知得124APAC==,由△AMN∽△ABD可知22MN=，又因为1125MBND==,且MN∥11BD,所以四边形11MNDB为等腰梯形，其中梯形的高32h=，所以截面面积为()1224232

182+=，故④正确；故答案为：①③④三､解答题，6小题，共85分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数π()sin()3fxx=+.（1）写出()fx的最小正周期；（2）求()fx在区间π[0,]2上的最大值及相应x的值.【答案】（1）2

π；（2）最大值为1，π6x=.【解析】【分析】（1）根据给定的函数式，利用正弦函数的周期公式计算即可.（2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最大值即得.【小问1详解】函数π()sin()3fxx=+的周期2π2π1T==.【小问2详解】当π[0,]2x时，π

π5π[,]336x+，因此当ππ32x+=，即π6x=时，max()1fx=，所以()fx在区间π[0,]2上的最大值是1，对应π6x=.17.已知ABC的顶点坐标为()()()3,01,31,1ABC−−､､.（1）求直线BC的方程；（2）求ABC的面积.【答案】（1）210xy−−=;（2

）5.【解析】【分析】（1）求出直线BC的斜率，进而求出BC边的方程.（2）求出直线BC的方程，由点到直线的距离求解三角形的高，进而求出面积.【小问1详解】直线BC的斜率为()()13211−−=−−，因此BC

边上的直线方程为()121yx−=−，所以BC边上的直线方程为：210xy−−=.【小问2详解】直线BC的方程为210xy−−=，于是点A到直线BC的距离为：223201521d−−==+，而()()22113125BC=−−+−−=，所以ABC的面积11252255ABCSBCd==

=.18.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M为线段1AA的中点．（1）求证：11ACBC⊥；（2）求平面11ADDA与平面1MCD夹角的余弦值；（3）求点D到平面1MCD的距离．【答案】（1）证明见解析（2）23（3）43【解析】【分

析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：如图建立空间直角坐标系Axyz−．因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，M是1AA的中点，所以()()()(

)()()()110,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2,0,0,2,2,0,0ACDMDAB，()12,2,2C．所以()()112,2,2,0,2,2ACBC=−=，所以()112022220ACBC=++−=，所以11ACBC⊥

，即11ACBC⊥；【小问2详解】解：由（1）可得()()10,2,1,2,2,1MDMC==−．设平面1MCD法向量为(),,uxyz=r，则120220nMDyznMCxyz=+==+−=，令1y=，则2z=−，2x=−，所以()2,1,2u=−−，

显然平面11ADDA的法向量可以为()1,0,0n=r，设平面11ADDA与平面1MCD夹角为，所以2cos3nunu==，所以平面11ADDA与平面1MCD夹角的余弦值为23.【小问3详解】解：因为()10,0,2D

D=−，设点D到平面1MCD的距离为d，则143DDudu==，故点D到平面1MCD的距离为43.19.已知圆C的方程为：222410xyxy+−−+=.（1）求过点()1,4M的圆C的切线方程；（2

）过点()0,4P的直线l被圆C所截得的弦长为23，求直线l的方程.【答案】（1）4y=；（2）34160xy+−=或0x=.【解析】【分析】（1）由题意得点M在圆C上，由切线与过切点的半径垂直可得切线方程；的（2）求出圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求解，注意分类讨论.【小

问1详解】圆的标准方程是22(1)(2)4xy−+−=，圆心为(1,2)C，半径为2r=，由2MC=知点M在圆C上，且MC与x轴垂直，因此切线方程是4y=；【小问2详解】由题意圆心C到直线l的距离为222(3)1d=−=，因此直线0x=满足题意，再设直线l的斜率存在时的方程为4ykx=

+，由22411kdk−+==+解得34k=−，直线l的方程为344yx=−+，即34160xy+−=，综上，直线l方程为34160xy+−=或0x=.20.在梯形ABCD中，AB,60,224,CD

BADABADCDP====为AB的中点，线段AC与DP交于O点，将ACD沿AC折起到ACD△的位置，使得平面ACB⊥平面ACD.（1）求证：BC平面POD；（2）线段PD上是否存在点Q，使得CQ与

平面BCD所成角的正弦值为68？若存在，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，13PQPD=【解析】【分析】（1）根据菱形和中位线的性质得到OPBC∥，然后根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据面面垂直和

菱形的性质得到OD，OA，OP两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量和CQ与平面BCD所成角的正弦值为68列方程，解方程得到即可.【小问1详解】在梯形ABCD中连接CP，因为2ABCD=，ABCD，P为AB中点，所

以APADCD==，APCD∥，所以四边形APCD为菱形，所以O是AC中点，又P为AB中点，所以OPBC∥，因为OP平面POD，BC平面POD，所以BC∥平面POD.【小问2详解】因为四边形APCD为菱形，所以ACOP⊥，ACOD⊥，即ACOD⊥，因为平面ACB⊥平面ACD，平面AC

B平面ACDAC=，OD平面ACD，所以OD⊥平面ABC，因为,OAOP平面ABC，所以ODOA⊥，ODOP⊥，所以OD，OA，OP两两垂直，则以O为原点，分别以,,OAOPOD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，因为60BAD

=，所以3OAOC==，1ODOP==，()0,1,0P，()0,0,1D，()3,0,0C−，()3,2,0B−，()0,1,1PD=−，()0,20BC=−,uuur，()3,2,1BD=−，()3,1,0CP=，设()0,,PQPD==−uuuruuur，则()3,

1,CQCPPQ=+=−uuuruuruuur，设平面BCD的法向量为(),,mxyz=，则00mBCmBD==，即20320yxyz−=−+=，令3x=，则0y=，3z=−，所以()3,0,3m=−ur，因为CQ与平面BCD所成角的正弦值为68，所以

()()()223,1,3,0,36cos,831309CQmCQmCQm−−===+−+++uuururuuururuuurur，解得13=或2（舍去），所以线段PD上存在点Q使得CQ与平面BCD所成角的正弦值为68，13PQPD=.21.古希腊数学

家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点,AB的距离之比为定值()1mm的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点()()2,1,1,1AB−.P满足2PAPB=，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，（1）求圆M的方程；（2）若点Q是直线1:50lxy++=上的一个动点，过点Q作圆

M的两条切线，切点分别为,EF，求四边形QEMF的面积的最小值；（3）若直线2:10(0,0)laxbyab+−=始终平分圆M的面积，写出()()11abbaab+++的最小值.【答案】（1）()()224116xy

−+−=（2）434（3）11【解析】【分析】（1）根据定义化简2PAPB=即可得圆M的方程为()()224116xy−+−=；（2）画出图象，利用几何关系可知当QM取最小值时，四边形QEMF的面积最小

，写出表达式即可求出其最小值为434；（3）易知直线2l过圆心，可得41ab+=，将式子化简后利用基本不等式即可求得最小值为11.【小问1详解】根据题意设(),Pxy，由2PAPB=可得()()()()2222212

11xyxy++−=−+−，整理可得()()224116xy−+−=，即圆M的方程为()()224116xy−+−=【小问2详解】由（1）可知圆M的圆心()4,1M，半径4r=如下图所示：易知四边形QEMF的面积12242QEMFQEMSSEMQEQE===，由勾股定理可知22216Q

EQMrQM=−=−，所以当QE取最小值，也即QM取最小值时，四边形QEMF的面积最小；显然当1QMl⊥时，min4155211QM++==+，所以2min416434QEMFSQM=−=即可得四边形QEMF的面积的最小值为434；【小问3详解】若直线2l始终平分圆M的面积，则可知2

l过圆心()4,1M，即410ab+−=，所以41ab+=，又()()112112abbaababababab+++++==++，所以()1111442424127211babaababababab++=+++=+++++=；当且仅当4baab=时，即11

,63==ab时，等号成立；所以()()11abbaab+++的最小值为11.