【文档说明】【精准解析】湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【武汉专题】.docx，共(18)页，735.407 KB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度第二学期武汉市三校联合体期中考试高一数学考试时间：2020年4月25日8：00-10：00试卷满分150分.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选

出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效

.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1.已知(,3)ax=，(3,1)b=，且//ab，则x

=（）A.9B.9−C.1D.1−【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理，得到90x−=，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量(,3)ax=，(3,1)b=，因为向量//ab，所以90x−=，解得9x=.故选A．【点睛】本题考查了向量的共线定理的坐标运算，其中解答中熟记向量

的共线定理的坐标运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.若|4,|2ab==，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为（）A.2B.3C.23D.4【答案】C【解析】【分析】利用a在b方向上的投影公式即可得到答案

．【详解】因为|4,|2ab==，a和b的夹角为30°所以a在b方向上的投影为cos,4cos3023aab==.故答案选C【点睛】本题考查向量投影的公式，属于基础题．3.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13，则sinB=()A.15B.59C.53D.

1【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得355sin1sin93BB==，故选B．考点：正弦定理的应用4.在各项都为正数的等比数列na中，首项13a=，前3项和为21，则345aaa++=()A.84B.72C.33D.189【答案】A【解析】

分析：设等比数列na的公比为q，根据前三项的和为21列方程，结合等比数列na中，各项都为正数，解得2q=，从而可以求出345aaa++的值.详解：设等比数列na的公比为q，首项为3，前三项的和为2

1，233321qq++=，解之得2q=或3−，在等比数列na中，各项都为正数，公比q为正数，2(3q=−舍去），()234512342184aaaqaaa++=++==，故选A.点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，

通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前n项和等知识点，属于简单题.5.在ABC中，90A=，()2,2ABk→=−，()2,3AC→=，则k的值是（）A.5B.5−C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】由垂直关系可知数量积为零，由

数量积的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】90A=，即ABAC⊥，4260ABACk→→=−+=，解得：5k=.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则数量积为零.6.已知ABC的三个内角,,ABC所对边

长分别是,,abc，若sinsin3sinBAacCab−+=+，则角B的大小为（）A.6B.3C.23D.56【答案】D【解析】由正弦定理得3baaccab−+=+，化简得2223cos22acbBac+−=−=，故5π6B=.点睛：本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边

角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得B的大小.7.下列命题正确的是（）A.若abbc=，则ac=；B.a

bab+=−，则0ab=；C.若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量；D.若0a与0b是单位向量，则001ab=.【答案】B【解析】【分析】由b为零向量可排除,AC；由向量数量积定义可知D

错误；由向量数量积的运算律可知B正确.【详解】对于A，若b为零向量，则ac=未必成立，A错误；对于B，若abab+=−，则22abab+=−，22abab=−rrrr，则0ab=，B正确；对于C，若b为零向量，则a与c未必是共线向量，C错误；对于D，若0

a与0b夹角不是0，则001abrr，D错误.故选：B.【点睛】本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量相等、向量共线、平面向量数量积的运算等知识，是对平面向量部分基础知识的综合考查.8.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，OPxOAyOB=+且

3BPPA=，则（）A.2133xy==，B.1233xy==，C.1344xy==，D.3144xy==，【答案】D【解析】【分析】根据3BPPA=得到3144OPOAOB=+，根据题中条件，即可得出结果.【详解】由已知3BPPA=得3()OPOBOAOP−=−，所以3144OPOAOB=

+，又OPxOAyOB=+uuuruuruuur，所以3144xy==，，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.9.已知ABC中，5a=，3A=，2bcbc+=，则ABC的面积为（）A.58B.34C.3

D.538【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可构造方程求得bc，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由余弦定理得：()()222222cos3235abcbcAbcbcbcbc=+−=+−=−=，解得：52bc=，115353sin22228ABCSbcA===△.故

选：D.【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理构造方程求得bc，属于基础题.10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织

九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30

天算，则每天增加量为A.12尺B.815尺C.1629尺D.1631尺【答案】C【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列11.一船向正北方向航行,看见

正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是()A.5海里/时B.53海里/时C.10海里/时D.103海里/时【答案】C【解析】【分析】在ACD中，计算得到15CADCDA

==，10CDCA==，在RtABC计算得到AB，得到答案.【详解】如图依题意有60BAC=,75BAD=,∴15CADCDA==,从而10CDCA==,在RtABC中,求得5AB=,∴这艘船的速度是5100.5=(海里/时)【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题

.12.已知函数()113sin22fxxx=+−+，则122018201920192019fff+++=（）A.2018B.2019C.4036D.4038【答案】A【解

析】【分析】根据函数解析式可验证出()()12fxfx+−=，采用倒序相加法可求得结果.【详解】()11113sin22fxxx−=−+−+Q，()()12fxfx+−=，令122018201920192019Sfff=++

+，则201712019201922018019Sfff=+++，两式相加得：222018S=，2018S=.故选：A.【点睛】本题考查倒序相加法求和的问题，解题关键是能够根据函数解析式确定()()1fxfx+−为常

数.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在ABC中，若abc，且222cab+，则ABC为______三角形.（直角、锐角、或钝角）【答案】锐角【解析】【分析】将已知不等式配凑成余

弦定理的形式，得到cos0C，从而确定C为锐角；根据三角形大边对大角原则，可知C为最大内角，由此确定结果.【详解】222cab+，22202abcab+−，即cos0C，0,2C，又abc，ABC，ABC为锐角三角形.故答

案为：锐角.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形形状的问题，涉及到三角形大边对大角原则的应用.14.若向量a、b满足2=a，3b=，且a与b的夹角为4，则()2ab−=______.【答案】136

2−【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义可求得ab，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】2cos233242abab===，()222246291362abaabb−=−+=−+=−.故答案为：1362−.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量

数量积的定义和运算律的应用，属于基础题.15.数列na的前ｎ项的和Sn=3n2+n+1，则此数列的通项公式an=_______.【答案】【解析】试题分析：当1n=时115aS==，当2n时()()()22131311162nnnaSSnnnnn−=−=++−−−−−=−，综上

可知数列通项公式为5,1{62,2nnann==−考点：数列求通项16.已知平面上不重合的四点,,,PABC满足0PAPBPC→→→++=，且ABACmAP→→→+=，那么实数m的值为______.【答案】3【解析

】【分析】当,,ABC三点不共线时，根据向量的线性运算可求得23APAD→→=，进而由2ABACAD→→→+=可求得m；若,,ABC三点共线，由ABACPBPAAPPC→→→→→→+=−++可求得m；综合两种情况可得结果.【详解】若,,ABC三点不

共线，构造成ABC，设BC中点为D，2PBPCPD→→→+=，2PAPD→→=−，23APAD→→=，32232ABACADAPAP→→→→→+===，3m=；若,,ABC三点共线，则223ABACABAPPCPBPAAPPCP

AAPAPAPAP→→→→→→→→→→→→→→+=++=−++=−+=+=，3m=；综上所述：3m=.故答案为：3.【点睛】本题考查平面向量的线性运算问题的求解，关键是能够利用已知等式得到向量数乘运算的形式.三、解答题：（本大题共六小题，共70分，解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.）17.求与向量()1,2a=，()2,1b=夹角相等的单位向量c的坐标.【答案】22,22c=或22,22c=−−【解析】【分析】设(),cxy=，由向量夹

角运算和模长运算可构造方程组求得,xy，进而求得结果.【详解】设(),cxy=，则221xy+=，c与,ab夹角相等，cos,cos,acbc=，2255xyxy++=，xy=，又221xy+=，2222xy==或2222xy=−=−，22

,22c=或22,22c=−−.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量的夹角运算和模长运算，属于基础题.18.设ABC的内角ABC，，所对边分别为abc，，，且有2sinBcosAsinAc

osCcosAsinC+＝（1）求角A的大小；（2）若21bc＝，＝，D为BC中点，求AD的长．【答案】（1）A＝3；（2）72.【解析】【分析】（1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得；（2）用余弦定理求出a,利用已知数据得2B=,在直角三角形中利用勾股定理求解.

【详解】解（1）由题设知，)2(sinBcosAsinACsinB＝＋＝因为0sinB，所以1cos2A=由于0A，故3A＝（2）因为222124122132abcbccosA创?＝＋－＝＋－＝，所以22

2acb＋＝，所以2B=.因为D为BC中点，所以312BDAB＝，＝，所以22371()22AD=+=【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个

三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．19.已知等差数列na满足：12a=，且1a，2a，5a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）记nS为数列na的前n项和，是否存在正整数n，使得60800nSn+？若存在，求n

的最小值；若不存在，说明理由.【答案】(1)通项公式为2na=或42nan=−;(2)当2na=时，不存在满足题意的正整数n；当42nan=−时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2,24dd++成等比数列

，故有()()22224dd+=+，∴240dd−=，解得4d=或0d=.∴()21442nann=+−=−或2na=.（2）当2na=时，不存在满足题意的正整数n；当42nan=−，∴()224222nnnSn+−==

.令2260800nn+，即2304000nn−−，解得40n或10n−（舍去），∴最小正整数41n=.20.已知数列na满足112a=，且122nnnaaa+=+.（1）求证：数列1na是等差数列；（2）若1nnnbaa+=，求数列nb的前n

项和nS.【答案】(1)见解析(2)4nn+【解析】试题分析：⑴由122nnnaaa+=+得到1212nnnaaa++=，进而得到11112nnaa+−=；⑵求出na，推出nb，利用裂项法求解数列的和

即可；解析：（1）∵122nnnaaa+=+，∴1212nnnaaa++=，∴11112nnaa+−=，∴数列1na是等差数列.（2）由（1）知()11113122nnnaa+=+−=，所以23nan=+，∴()()4

1143434nbnnnn==−++++，1111114455634nSnn=−+−++−++114444nnn=−=++21.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且()()()sins

insin0acACbaB−++−=.（1）求C；（2）若2c=，()2sin2sin2sinABCC++=，求ABC的面积.【答案】（1）3C=；（2）233.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑出cosC，进而求得结果；（2）利用诱导

公式、两角和差和二倍角公式可化简已知等式得到2sincoscossinAAAB=，分别在cos0A=和cos0A的情况下求得ABC的面积，从而得到结果.【详解】（1）由正弦定理得：()()()2220acacbabacbab−++−=−+−=，222abcab+−=，2221cos22

abcCab+−==，()0,C，3C=；（2）ABC++=，2BCAB+=−+，()CAB=−+，()()()()2sin2sin22sin2sin2sin2sinsinABCAABAABC++=+−−=+−=，()()()()()2sin2s

insinsinsinAABABABAB=−+−−=+−−sincoscossinsincoscossin2cossinABABABABAB=+−+=，2sincoscossinAAAB=，当cos0A=，即2A=时，2tan3cCbb===，233b=，1123232223

3ABCSbc===△；当cos0A时，2sinsinAB=，由正弦定理得：2ab=，2222222cos5234cababCaaa=+−=−==，233a=，则433b=，112343323sin223323ABCSabC=

==△；综上所述：ABC的面积为233.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用；同时涉及到三角恒等变换中的两角和差公式和二倍角公式的

应用，属于常考题型.22.己知各项均为正数的数列{na}满足221120nnnnaaaa++−−=(nN*),且32a+是24,aa的等差中项.(I)求数列{na}的通项公式na;(II)若1122log,...,n

nnnnbaaSbbb==+++,求使1250nnSn++成立的正整数n的最小值.【答案】(I)2nna=；(II)5【解析】【分析】(I)根据递推公式221120nnnnaaaa++−−=化简即可证明数列{na}为等比数列,再求解通项公式即可

.(II)求得nb再求得nS后利用错位相减求解判断即可.【详解】(I)()()2211112020nnnnnnnnaaaaaaaa++++−−=−+=,因为数列{na}各项均为正数,故120nnaa+−=

,12nnaa+=.所以{na}是以公比为2的等比数列.又32a+是24,aa的等差中项,故()24322aaa+=+,即()1111282422aaaa+=+=.故1222nnna−==(II)1122log2log22nnnnnnbaan===−.故

12312...122232...2nnnSbbbn=+++=−−−−…①所以23412122232...2nnSn+=−−−−…②②−①得()123112122222...22212nnnnnSnn++−=+++−=−−()1122nn+=−−,要1250nn

Sn++即()111122250252nnnnn+++−−+，故使1250nnSn++成立的正整数n的最小值为5.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求解通项公式的方法以及错位相减的求和方法等,属于中等题型.获

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