【文档说明】天津市静海区第一中学2023-2024学年高二上学期10月学生学业能力调研数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.373 MB，由小赞的店铺上传

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静海一中2023-2024第一学期高二数学（10月）学生学业能力调研试卷第Ⅰ卷基础题（共114分）一、选择题：每小题5分，共30分．1.在空间直角坐标系Oxyz−中，点()3,1,2−关于xOz平面的对称点的坐标为（）A.()3,1,2−B.()3,1,2−−C.()2,1,3−D.

()3,1,2−−【答案】D【解析】【分析】根据空间中的点关于坐标平面的对称点的特征，即可求解.【详解】点(),,xyz关于xOz平面的对称点的坐标为(),,xyz−，所以点()3,1,2−关于xOz平面的对称点的坐标为()3,1,2−−.故选：D2.直线1l：10a

xy+−=，2l：()1210axy−−+=，则“1a=−”是“12ll⊥”的（）条件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】先求出两直线垂直时a的值，进而可判

断充分必要条件．【详解】直线1l：10axy+−=，2l：()1210axy−−+=，当12ll⊥时,有()120aa−−=，解得2a=或1a=−.所以“1a=−”时“12ll⊥”成立，“12ll⊥”时“1a=−”不一定成立，则“1a

=−”是“12ll⊥”的充分不必要条件.故选：B3.若直线l的一个方向向量为31,3−，则它的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】根据直线的方向向量求出斜率，进而可求得倾斜角.【详解】因为直线l的一个方向向量为

31,3−，所以直线l的斜率33k=−，所以直线l的倾斜角为150.故选：D.4.如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc===，点M是OA的中点，点N在BC上，且2=CN

NB，设MNxaybzc=++，则x，y，z的值为（）A.112233，，B.121233，，C.121233−，，D.112233−，，【答案】C【解析】【分析】将MN表示为以,,OAOBOC为基底的向量，由此求得,,xyz的值.【详解】依题意MNONOM=−()12

OBBNOA=+−1132OBBCOA=+−()1132OBOCOBOA=+−−121233OAOBOC=−++，所以121,,233xyz=−==.故选：C.【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考

查空间向量线性运算，属于基础题.5.已知空间内三点()1,1,2A，()1,2,0B−，()0,3,1C，则点A到直线BC的距离是（）．A.6B.1C.463D.233【答案】A的【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出co

sABC，利用同角三角函数的关系求出sinABC，结合sindABABC=计算即可求解.【详解】空间内三点(1,1,2)A，(1,2,0)B−，(0,3,1)C，所以=3AB，3BC=，(1,1,1)BC=uuur，(2,1,2)BA

=−uur，由cos3|333|||3BABCABCBABC===uuruuuruuruuur，所以26sin1cos3ABCABC=−=，所以点A到直线BC的距离636sin3dABABC===.故选：A.6.点()2,1P−−到直线()()():13124

0Rlxy+++−−=的距离最大时，其最大值以及此时的直线l方程分别为（）A.13；20xy+−=B.11；340xy+−=C.13；3250xy+−=D.11；2310xy−+=【答案】C【解析】【分析】

对直线l的方程进行变形确定该直线所过的定点，然后点到线距离最大的性质进行求解即可.【详解】将直线l的方程整理得：()2340xyxy+−++−=，因为R，有()2340xyxy+−++−=成立，所以只能20340xyxy+−=+−=，

解得11xy==，即直线l过定点()1,1Q；若要()2,1P−−到直线l的距离最大，只需PQl⊥，此时直线l是图中直线l，此时点()2,1P−−到直线l的最大距离为线段PQ的长度，即()()22211113PQ=−−+−−=，又直线PQ斜率为(

)()112123PQk−−==−−，的故此时直线l的方程为：()3112yx−=−−，即3250xy+−=.故选：C二、填空题：每小题5分，共30分．7.若经过两点()2(2,1),1,ABm的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是

_______．【答案】11m−【解析】【分析】根据斜率的计算公式，解不等式得到m的取值范围.【详解】因为直线l的倾斜角为锐角，所以其斜率21012mk−=−，故11m−．故答案为：11m−.【点睛】本题属于直线的斜率问题

，关键是知道斜率的计算公式.8.设,xyR，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)axbyc===−且,//abbc⊥，则||ab+=__________．【答案】3【解析】【分析】由向量平行和垂直关系的坐标表示列出关于,xy的方程组，

再结合向量模长的坐标表示即可得结果.【详解】因为(,1,1),(1,,1),(2,4,2)axbyc===−且,//abbc⊥，所以242011242xy−+===−，解得12xy==−，所以()2,1,

2ab+=−，得()2222123ab+=+−+=，故答案为：3.9.若直线1:(2)20laxay+++=与2:10lxay++=平行，则实数a的值为______；1l与2l间的距离为____________．【答案】①.1−②.322##32

2【解析】【分析】根据两直线平行的公式求解a，再根据平行线间的距离公式即可得解.【详解】因为直线1:(2)20laxay+++=与2:10lxay++=平行，所以()220aa−+=，解得2a=或1a

=−，经检验，当2a=时，两直线重合，所以1a=−，故1:20lxy−++=，2:10lxy−+−=，所以1l与2l间的距离为1232211−−=+.故答案为：1−；322.10.如图，三棱柱111ABCABC-中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAACAA

==，求异面直线1AB与1BC所成角的余弦值_____．【答案】66【解析】【分析】设1AAa=，ABb=，ACc=，根据向量加减法运算法则将11,ABBC分别用,,abc表示，再根据空间向量的数量积运算和夹角公式计算可得结果.【详解】设1AAa=，ABb=，ACc=，则111,,2

22abacbc===，则1111ABAAABab=+=+，1111111111BCBBBCBBACABAAACABacb=+=+−=+−=+−，所以2221()21113ABababab=+=++=++=，()22221222BCacbacbacabbc

=+−=+++−−1111112222222=+++−−=，因为2211()()ABBCabacbaacabbacbb=++−=+−++−11111112222=+−++−=，所以11111116cos,623ABBC

ABBCABBC===，所以异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为66．故答案为：66．11.已知直线10kxyk−−−=和以()()3,1,3,2MN−为端点的线段相交，则实数k的取值范围为__________.【答案】13

,,22−−+【解析】【分析】求出10kxyk−−−=所过定点()1,1A−，然后画出图形，求出,ANAMkk，数形结合实数k的取值范围.【详解】10kxyk−−−=变形为

()11ykx+=−，恒过点()1,1A−，画图如下：则213312ANk+==−，111312AMk+==−−−，则要想直线10kxyk−−−=和以()()3,1,3,2MN−为端点的线段相交，则ANkk或AMkk，即32k或12k−.故答案为：13,,22−−+

.12.下面命题中正确的有__________．①直线0AxByC++=的斜率为AB−；②直线1l与2l垂直的充要条件是斜率满足121kk=−；③截距相等的直线都可以用方程1xyaa+=表示；④若623OPOAOBOC=++，则四点P，A，B，C必共面

；⑤ABC为直角三角形的充要条件是0ABAC=；⑥若,,abc为空间的一个基底，则ab+，bc+，ca+构成空间的另一基底；⑦在空间中，直线l的方向向量a，平面的一个法向量n，若0an=，则//l.【答案】④⑥【解析】【分析】根据直线一般式得斜率即可

判断①；根据直线垂直的充要条件即可判断②；根据直线的截距式的限制条件即可判断③；根据空间向量共面定理即可判断④；举出反例即可判断⑤；根据基底的定义即可判断⑥；利用向量法判断线面之间的位置关系即可判断⑦.【详解】对于①，当0B=时，直线的斜率不存在，故①错误；对于②，若直线1

l与2l垂直，则121kk=−或一条直线斜率不存在另一条直线斜率为0，故②错误；对于③，当直线过原点时，直线方程不能用截距式表示，故③错误；对于④，若623OPOAOBOC=++，则()()23OPOAOBOPOCOP−=−+−，即23APPBPC=+，即23P

APBPC=−−，所以,,PAPBPC共面，又,,PAPBPC有公共始点P，所以P，A，B，C四点共面，故④正确；对于⑤，当RtABC△的直角为角B时，0ACAB，故⑤错误；对于⑥，若,,ab

c为空间的一个基底，则,,abc不共面，设ab+，bc+，ca+共面，则存在唯一实数对(),xy，使得()()abxbcyca+=+++rrrrrr，即()yaxbxbyca++=++，所以110yxxy===+，方程组无解，所以ab+，bc+，ca+不共面，所以ab+，bc+，

ca+构成空间的另一基底，故⑥正确；对于⑦，由题意可得l或//l，故⑦错误.故答案为：④⑥.三、解答题：(本大题共3小题，共54分)13.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线1:230lxy−+=，2:2380l

xy+−=（1）经过点(1,4)A且与直线1l平行的直线；（2）经过点(1,4)A且与直线2l垂直的直线；（3）经过直线1l与2l的交点，且与坐标原点O距离为1的直线；（4）一入射光线经过点(2,5)M，被直线1l反射，反射光线经过点(2,4)N−，求反射光线所在直线方程．【答

案】（1）270xy−+=（2）3250xy−+=（3）1x=或3450xy−+=（4）260xy+−=【解析】【分析】（1）设所求直线的方程为120xyC−+=，求出1C即可；（2）设所求直线方程为2320xyC−+=，求出2C即可；（3）先求出交点坐标，再分直线斜率存在

和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公司即可得解；（4）求出点(2,5)M关于直线1l的对称点M，则直线MN的方程即为所求.【小问1详解】设所求直线的方程为120xyC−+=，则有11240C−+=，解得17C=，所以所求直线方程为270xy−+=；【

小问2详解】设所求直线方程为2320xyC−+=，则有231240C−+=，解得25C=，所以所求直线方程为3250xy−+=；【小问3详解】联立2302380xyxy−+=+−=，解得12xy==

，即直线1l与2l的交点为()1,2，当所求直线的斜率不存在时，所求直线方程为1x=，符合题意，当所求直线的斜率存在时，设直线方程为()21ykx−=−，即20kxyk−−+=，则2211kk−+=+，解得34k=，所以直线方程为3450xy−+=，综上

所述，所求直线方程为1x=或3450xy−+=；【小问4详解】设点(2,5)M关于直线1l的对称点为(),Mab，则5222523022baab−=−−++−+=，解得41ab==，即()4,1M，则直线MN的方程为414242yx−−=++，即26

0xy+−=，即反射光线所在直线方程为260xy+−=.14.如图，AE⊥平面ABCD，//,//,,1,2CFAEADBCADABABADAEBC⊥====，87CF=.（1）求证：BF//平面ADE；（2）求点F到平面BDE的距离；（

3）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）127（3）49【解析】【分析】（1）证明平面ADE//平面BCF，再根据面面平行的性质即可得证；（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可.【小问1

详解】因为//CFAE，CF平面ADE，AE平面ADE，所以CF//平面ADE，因为//ADBC，BC平面ADE，AD平面ADE，所以BC//平面ADE，又,,BCCFCBCCF=平面BCF，所以平面ADE//平面BCF，又

BF平面BCF，所以BF//平面ADE；【小问2详解】如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则()()()81,0,0,0,1,0,0,0,2,1,2,7BDEF，故()()81,1,0,1,0,2,0,2,7BDBEB

F=−=−=，设平面BDE的法向量为(),,nxyz=，则有020nBDxynBExz=−+==−+=，可取()2,2,1n=r，所以点F到平面BDE的距离为80412737nBFn++==；【小问3详解】()1,2,0C，

则()122CE=−−,,，则2424cos,339CEnCEnCEn−−+===，所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49．15.如图，正三棱柱111ABCABC-的所有棱长都为2，D为1CC的中点．（1）求AB与1AD所成角的余弦值；

（2）求证：1AB⊥平面1ABD；（3）求平面1ABD与平面11ADC的夹角的余弦值．【答案】（1）55（2）证明见解析（3）64【解析】【分析】（1）根据题意，证得AO⊥平面11BCCB，得到AOOE⊥，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得所以1(1,0,3),(

1,1,3)ABAD==−−−，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）设11ABABF=，连接1,,DEDADB，证得11ABAB⊥和1ABDF⊥，结合线面垂直的判定定理，即可证得1AB⊥平面1ABD；（3）由（2）知，1AB⊥平面1ABD，得到平面1ABD的一个法向量

1(1,2,3)AB=−，再求得平面11ADC的一个法向量为(3,0,3)n=−，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：在正三棱柱111ABCABC-中，可得ABC为等边三角形，取BC的中点O，11BC的

中点E，连接AO，OE，则AOBC⊥，OEBC⊥因为平面ABC⊥平面11BCCB，且平面ABC平面11BCCBBC=，所以AO⊥平面11BCCB，又因为OE平面11BCCB，所以AOOE⊥以O为坐标原点，以,,OBOEOA所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系

，如图所示，因为2ABACBC===，可得1(0,0,3),(1,0,0),(0,2,3),(1,1,0)ABAD−,所以1(1,0,3),(1,1,3)ABAD==−−−，设异面直线AB与1AD所成角为，可得11125cos

cos525ABADABADABAD====，所以AB与1AD所成角的余弦值为55.【小问2详解】证明：设11ABABF=，连接1,,DEDADB，因为11ABBA为正方形，所以11ABAB⊥，在直角ACD中，可得225D

AACCD=+=，在直角11BCD中，可得2211115DBBCCD=+=，所以1DADB=，又因为F是1AB中点，所以1ABDF⊥，因为1ABDFF=，且1,ABDF平面1ABD，所以1AB⊥平面1ABD.【小

问3详解】解：由（1）中的空间直角坐标系，因为正三棱柱111ABCABC-的所有棱长都为2，又由（2）知，1AB⊥平面1ABD，所以1AB为平面1ABD的一个法向量，因为1(0,0,3),(1,2,0)AB，可得1(1,2,3)AB=

−，由111(1,1,3),(1,0,3)ADAC=−−−=−−,的设平面11ADC的一个法向量为(,,)nxyz=，则1113030nADxyznACxz=−−−==−−=，取3z=，可得3,0xy=−=

，所以(3,0,3)n=−，设平面1ABD与平面11ADC的夹角，则11166cos,42223ABnABnABn===，所以平面1ABD与平面11ADC夹角的余弦值为64.第Ⅱ卷提高题（共33分）16.已知直线:210,Rlaxyaa+++=．

（1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线l过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12，求直线l的方程；（3）若直线l不经过第二象限，求a的取值范围；（4）在（1

）的条件下，若直线l交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，求AMAN的最小值并求出此时直线l的方程．【答案】（1）(2,1)A−−（2）240xy++=（3）1,02−（4）最小值为4；直线l方程为30xy++=【解析】【分析】（1）化简方程为(2

)(1)0axy+++=，联立方程组，即可求解；（2）根据题意，设所求直线l的方程为12xyaa+=，将点(2,1)A−−代入直线方程，求得a的值，即可求的的解；（3）得到直线l的斜率为ka=−，根据题意，得到0OAkk，即可求解；（4）设ONM=，且π(0,

)2，可得FAM=，化简得到1sin2AMAN=，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由直线210axya+++=，可化为(2)(1)0axy+++=，由方程组2010xy+=+=，解得2,1xy=−=−，所以直线l恒过定点(2,1)A−−.【小问2详解】由（1）知，直

线l恒过定点(2,1)A−−，因为直线l过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12，设所求直线l的方程为12xyaa+=，将点(2,1)A−−代入直线方程，可得2112aa−−+=，可得2a=−，所以所求直线的方程为142xy+=−−，即240xy++=

.【小问3详解】解：由（1）知，直线l恒过定点(2,1)A−−，可得直线l的斜率为ka=−，因为12OAk=，要使得直线l不经过第二象限，则满足0OAkk，可得102a−，解得102a−，即实数a的取值范围1,02−；【小问4详解】

解：因为直线210axya+++=，由直线l交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，如图所示，设ONM=，且π(0,)2，可得FAM=，过点A作AEy⊥轴，点A作AFx⊥轴，则2,1AEAF==，在直角AEN△中，可得2sinAN=，在直角AF

M△中，可得1,cosAM=所以1224cossinsincossin2AMAN===，当π4=时，AMAN取得最小值，最小值为4，此时直线l的倾斜角为3π4=，所以斜率为3πtan14==−k，所以直线l的方程为11(2)yx+=−+，即3

0xy++=.17.如图，在四棱锥EABCD−中，平面ABCD⊥平面ABE，//,ABCDABBC⊥，222,3ABBCCDAEBE=====，点M为BE的中点．（1）求平面BDE与平面BDC夹角的正弦值；（2）在线段AD上是否存在一点N，使直线MD与平面BEN

所成的角正弦值为4621，若存在求出AN的长，若不存在说明理由．【答案】（1）255（2）存在，22AD=【解析】【分析】（1）取AB的中点O，连接,OEOD，根据面面垂直的性质证明OE⊥平面ABCD，以点O为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）假设存

在，设,0,1ANAD=，再利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，取AB的中点O，连接,OEOD，因为AEBE=，所以OEAB⊥，因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD平面ABEAB=，OE平面ABE，所以OE⊥平面ABCD，因为//,2ABCDABCD=，所以,//

OBCDOBCD=，所以四边形OBCD为平行四边形，所以//ODBC，又因ABBC⊥，所以ODAB⊥，如图，以点O为原点建立空间直角坐标系，312OE=−=，则()()()()0,0,0,1,0,0,0,0,1,

0,2,0OBDE−，故()()1,0,1,1,2,0BDBE==，设平面BDE的法向量为(),,nxyz=，则有020nBDxznBExy=+==+=，可取()2,1,2n=−−，因为OE⊥平面BCD

，所以()0,2,0OE=即为平面BCD的一条法向量，则25cos,552nOEnOEnOE−===−，所以平面BDE与平面BDC夹角的正弦值为2525155−−=；【小问2详解】假设存在，设,0,1

ANAD=，()121,0,0,,,022AM−，则12,,122DM=−−，()()()2,0,01,0,12,0,BNBAANBAAD=+=+=+−=−，设平面BEN的法向量为(),,mabc=，则有()2020mBEabmBNa

c=+==−+=，令2a=，则(),22bc=−=−，所以()()2,,22m=−−，因为直线MD与平面BEN所成的角正弦值为4621，所以()()22222222246cos

,2172222DMmDMmDMm−−−−===++−，解得12=或138=（舍去），所以存在，1222ANAD==.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定

义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangx

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