【文档说明】安徽省宿州市省市示范高中2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.131 MB，由小赞的店铺上传

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宿州市省、市示范高中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测高二数学试卷（人教A版）命题：萧城一中朱权琪审核：萧城一中张光亮注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟；2．考生务必将答题内容填写在答题卡上，写在试卷上无放．一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线3310xy++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为3310xy++=，所以斜率333k=−=−

，设倾斜角为，所以tan3=−，所以120=?，故选：C.2.已知直线l过点()1,0M−，且一个方向向量为()1,2v=，则直线l的方程是（）A.210xy−+=B.210xy++=C.220xy−+=D.220xy+−=【答案】C【解析】【分析】利用直线的方向向量先求直线的斜率，

再利用点斜式计算即可.【详解】由直线的方向向量()1,2v=可知其斜率为2，故该直线方程为()21220yxxy=+−+=.故选：C3.“64m−”是直线:0lxym+−=和圆()()22:128Cxy−++=相交的（）A.充分不必要条

件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先求解直线与圆相交时m的取值范围，再根据集合的包含关系，判断充分，必要条件.【详解】若直线l与圆C相交，则圆心到直线的

距离12222md−−=，解得：53m−，集合53mm−64mm−.所以“64m−”是直线:0lxym+−=和圆()()22:128Cxy−++=相交的必要不充分条件.故选：B4.已知直线12:230,:320lxylxy

++=−+=，则直线12,ll的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B【解析】【分析】画出函数图形，通过直线斜率与倾斜角、直线倾斜角与直线夹角之间的关系以及三角恒等变换即可求解.【详解】如图所示：直线12,ll的倾斜角分别为,ABCFCO，12:230,:32

0lxylxy++=−+=即1232:,:2233xxlyly=−−=+，从而11tan,tan23ABCFCO=−=，所以()11tantanπ,tantan23DBCABCBCDFCO=−===，所以()11tantan23tantan1111

tantan123DBCBCDFDEDBCBCDDBCBCD++=+===−−，而0πFDE，所以直线12,ll的夹角即为π4FDE=.故选：B.5.在边长为a的等边三角形ABC中，ADBC⊥于D，沿AD折成二

面角BADC−−后，32BCa=，此时二面角BADC−−的大小为（）A.30B.60C.90D.120【答案】D【解析】【分析】由题意先分析得出BDC即为二面角BADC−−的平面角，再通过余弦定理即可求解.【详解】如图

所示：因为ADBC⊥，沿AD折成二面角BADC−−后，ADBD⊥，ADCD⊥，故BDC即为二面角BADC−−的平面角，如图所示：又∵3,22aaBDCDBC===，∴22232221cos2222aa

aBDCaa+−==−，即120BDC=.故选：D．6.若圆()()22:14Cxym−+−=与圆22:9Oxy+=有公共点，则m的取值范围是（）A.26,26−B.43,43

−C.()26,26−D.26,242242,26−【答案】A【解析】【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可.【详解】由题意知，12(1,),2,(0,0),3Cm

rOr==，则222(10)(0)1COmm=−+−=+，因圆C与圆O有公共点，所以2121rrCOrr−+，即2115m+，解得2626m−.故选：A.7.在三棱锥OABC−中，1G是ABC的重心，G是1OG上的一点，且12OGGG=，若OGxOAyOBzOC=++，则x

yz++=（）A.14B.23C.34D.1【答案】B【解析】【分析】如图，取BC的中点E，连接AE，利用三角形法则和三角形重心的性质以及中线的性质即可求解.为【详解】如图，取BC的中点E，连接AE，由12OGGG=，得1122

22224()3333339OGOGOAAGOAAEOAAE==+=+=+241222()()()392399OAABACOAOBOAOCOAOAOBOC=++=+−+−=++，所以33229xyz++==.故选：B.8.在正方体111

1ABCDABCD−中，EF、分别是棱ABBC、上的动点，且AEBF=，当1A、1EFC、、共面时，直线1CF和平面1ADE夹角的正弦值为（）A.3010B.3030C.7010D.1030【答案】A【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，先由1A、1EFC、、四点共面推得,EF的

坐标，再分别求得平面1ADE的法向量和直线1CF的方向向量，结合线面角的正弦公式，从而求解.【详解】以D为坐标原点，1,,DADCDD所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正

方体的棱长为6，AEBFa==，则可得()()()()()116,0,6,0,0,0,0,6,6,6,,0,6,6,0ADCEaFa−，当1A、1EFC、、四点共面时，设平面为，且平面111111ABCDAC=，平面ABCD

EF=，平面1111//ABCD平面ABCD，所以11//ACEF，所以不妨设11EFAC=，又因为()()11,6,0,6,6,0EFaaAC=−−=−，所以666aa−=−−=，解得312a==，则()()()116,0,6

,66,3,0,3,0,DCDEFA===−，设平面1ADE的法向量为(),,nxyz=r，则1660630nDAxznDExy=+==+=，取1x=，可得2,1yz=−=−，所以()1,2,1n=−−，设平面1ADE与直线1CF所成的角为

，则111930sincos10,635CFnnCnCFF====.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是证得11//ACEF，从而得到,EF的坐标，进一步求出平面法向量和直线方向向量即可求解

.二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大B若直线20axy+−=与直线240xy−−=垂直，则12a=C.

过点()()1,2,3,2AB−−的直线的倾斜角为45D.点()5,0关于直线2yx=的对称点的坐标为()3,4−【答案】BD【解析】【分析】对于A,由直线斜率与倾斜角的变化关系即可验证；对于B，由直线垂直的充要条件列出方程即可验证；对于C，直接由过两点的斜率公式计算斜率，再得出其

倾斜角验证即可；对于D，采用验证法，验证点()5,0M与点()3,4N−构成的线段是否被直线2yx=垂直平分即可.【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误；B：由题意若直线20axy+−=与直线240xy−−=垂直，则()2110

a+−=，解得12a=，故B正确；C：由题意过点()()1,2,3,2AB−−的直线的斜率为()22113k−−==−−−，故其倾斜角为135，故C错误；D：由于点()5,0M与点()3,4N−的中点坐标为5304,22P−+即()1,2P，满足221=，即点(

)1,2P在直线2yx=上，又直线2yx=的斜率为02k=，过两点()5,0M、()1,2P的直线斜率为1021512k−==−−，所以011212kk=−=−，即直线MN（即直线MP）垂直直线2yx=，综上所

述：点()5,0关于直线2yx=的对称点的坐标为()3,4−，故D正确.故选：BD.10.已知空间中三点()()()0,1,0,2,2,0,1,3,1ABC−，则下列说法正确的是（）A.AB与AC是共线向量B.与AC同向的单位向量的坐标是.666,,636−

C.AB与BC夹角的余弦值是5511−D.平面ABC一个法向量的坐标是()1,2,5−【答案】BCD【解析】【分析】由题意首先求出()()()2,1,0,1,2,1,3,1,1ABACBC==−=−，对于A，判断对应坐标分量是否成比例即可；对于B，由公式ACACuuuruuur直接运算验

证即可；对于C，直接由公式ABABBCBC直接运算验证即可；对于D，()1,2,50a=−，只需验证0,0AaACBa==是否同时成立即可.【详解】由题意()()()2,1,0,1,2,1,3,1,1ABACBC==−=−

，对于A，因为2112−，所以AB与AC不共线向量，故A错误；对于B，与AC同向的单位向量是()()222216661,,1,,636121ACAC−=−++=−，故B正确；对于C，AB与BC夹角的余弦值是()(

)2222222311015551155210311ABCBBACB−++−===−++−++，故C正确；对于D，记()1,2,50a=−，所以()()2112050,1122150aAACaB=+−+

==−+−+=，从而平面ABC一个法向量的坐标是()1,2,5−，故D正确.故选：BCD.11.已知平面上一点()5,0M，若直线上存在点P使4PM=，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）A.10xy−−=B.5y=C.430xy−=D.210xy−+=【

答案】AC【解析】【分析】由题意知“切割型直线”需满足点(5,0)M到直线的距离小于或等于4.结合点到直线的距离公式计算，依次判断选项即可.【详解】由题意知，“切割型直线”需满足点(5,0)M到直线的距离小于或等于4.是A：点(5,0)M到直

线10xy−−=的距离为512242d−==，故A符合题意；B：点(5,0)M到直线5y=的距离为54d=，故B不符合题意；C：点(5,0)M到直线430xy−=的距离为2045d==，故C符合题意；D：点(5,0)M到直线210xy−+=的距离为10

1115455d+==，故D不符合题意；故选：AC.12.已知圆22:9Oxy+=，直线:310lkxyk−++=，下列说法正确的是（）A.直线l与圆O的位置关系与k有关B.直线l截圆O所得弦长最短时，直线l的方程

是340xy−+=C.圆心O到直线l距离的最大值为2D.直线l截圆O所得弦长范围是25,6【答案】BCD【解析】【分析】对于A，直接算出2222623801kkdrk−+−−=+即可判断；对于B，算出直线过定点()3,1P−，

当且仅当OPl⊥满足题意，从而可以算出k验证；对于C，由B选项分析结合两点间的距离公式计算即可；对于D，结合A选项分析可知，通过算出22223261krdk−+−=++的范围，即可根据弦长公式验证即可.【详解】对于A，因为圆22:9Oxy+=的圆心

()0,0O到直线:310lkxyk−++=的距离为2311kdk+=+，而圆22:9Oxy+=的半径为3r=，所以()()()2222222223132319162389111kkkkkkdrkkk+++−+−+−−=−==+++，而()2234681800,0d

=−=−，所以dr，即直线l与圆O的位置关系一直相交，与k无关，故A错误；对于B，由弦长公式222lrd=−可知，若直线l截圆O所得弦长最短时，圆心到直线的距离d应该最大，而直线:310lkxyk−++=即()():310lkxy+−−=过定点()3,

1P−，所以当且仅当OPl⊥时，d最大，此时103,1330OPOPkkk−==−=−−−，解得3k=，所以此时直线l的方程是340xy−+=，故B正确；对于C，由B选项分析可知当OPl⊥时，d最大，此时()22312dOP==−+=，故C正确；对于D，由A选项分析可知()22

2226238232611kkkrdfkkk−+−+−==+=++，令232tk=−+，即()322623ttk−−==，从而()()222212664163216ttrdgtttt−=+=+=−+−+，()2126416tgttt=

+−+当0=t时，()()06gtg==，当0t时，()121266691621644gttt=++=−+−，当且仅当4t=时，()()49gtg==，当0t时，()()121266651621644gttt=++=

−−−−+−−，当且仅当4t=−时，()()45gtg=−=，综上所述，225,9rd−，从而直线l截圆O所得弦长22252296lrd=−=，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：A、D的关键是通过计算222262381kkdrk−+−

−=+与0比较大小、求范围，B、C的关键是得出OPl⊥，从而即可算k，以及maxdOP=.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知()()()2,1,3,1,0,1,1,,3abcu==−=，且,abc共面，则u=______．【答案】45##

0.8【解析】【分析】由,,abc共面可知存在实数,xy使得cxayb=+，结合向量的坐标表示建立方程组，解之即可.【详解】由题意知，,,abc共面，则存在实数,xy使得cxayb=+，即(1,,3)(2,1,3)(1,0,1)uxy=+−，所以1233xy

uxxy=−==+，解得45u=.故答案为：45.14.不论m取何值，直线()():21130lmxmy++−+=恒过一定点，该定点坐标为______．【答案】()1,2-【解析】【分析】利用直线方

程变换主元计算即可.【详解】由()()()21130320mxmyxyxym++−+=−+++=，令301202xyxxyy−+==−+==，即该直线过定点()1,2-.故答案为：()1,2-15.已知直线34250xy−+=及直线34150xy

−−=截圆C所得的弦长均为8，则圆C的半径是______．【答案】42【解析】【分析】由两平行线之间的距离可以求出圆C的圆心到两直线的距离均为42d=，然后由勾股定理即可求出答案.【详解】由题意直线34250xy−+=与直线34150xy−−=平行，则它们之间的距离为()()22251

5408534d−−===+−，从而圆C的圆心到两直线的距离均为42d=，又因为直线34250xy−+=及直线34150xy−−=截圆C所得的弦长均为8l=，所以圆C的半径是2222444222dl+

=+=.故答案为：42.16.空间直角坐标系Oxyz−中，经过点()000,,Pxyz且法向量为(),,mABC=的平面点法式方程为()()()0000AxxByyCzz−+−+−=，经过点()000,,Pxyz且一个

方向向量为()(),,0n=的空间直线l的方程为000xxyyzz−−−==，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线1l的方程是111xyz==，直线2l是两个平面70xy−+=与4210yz++=的交线，则直线12,ll夹

角为______．【答案】π2##12π【解析】【分析】首先根据题意把两个平面70xy−+=与4210yz++=的交线即2l的直线方程求出来，然后可以分别得到两直线的方向向量，从而由向量夹角的余弦公式

即可求解.【详解】由题意空间直线1l：111xyz==的方向向量为()1,1,1a=，直线2l是两个平面70xy−+=与4210yz++=的交线，所以直线2l上的点满足704210xyyz−+=++=，不妨设yt=，则147,2txtz−−=−=，所以12127,4

2zzxtt+++===−−，所以直线2l的方程为172112zxyt++===−，从而直线2l：172112zxyt++===−的方向向量为()1,1,2b=−，设直线12,ll夹角为，所以112coscos,036ababab

+−====，所以π2=.故答案为：π2.四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知ABC的三个顶点分别为()()()1,3,4,2,3,1ABC−．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求A

BC外接圆的方程．【答案】（1）3100xy+−=（2）22420xyxy+−−=【解析】【分析】（1）先求BCk，再由斜率之积为1−求出k，再由点斜式写出直线方程；（2）设出圆的一般方程，带入三点坐标，解出即可.【小问1详解】因为12334BCk−−==−，设BC边上的高所在直线的斜率为

k，则113BCkkk=−=−，因为点()1,3A在高线上，所以()1313yx−=−−，即3100xy+−=【小问2详解】设ABC外接圆的方程为()2222040xyDxEyFDEF++++=+−，则19301644209130DEFDEF

DEF++++=++++=++−+=，解得2,4,0EDF=−=−=，故ABC外接圆的方程为22420xyxy+−−=18.已知空间向量()()2,1,3,,4,nabm=−=．（1）若//ca，且28ac=，

求c的坐标；（2）若ab⊥，且0,0mn，求mn的最大值．【答案】（1）()4,2,6−（2）23【解析】【分析】（1）直接由向量共线定理、数量积的坐标公式运算即可求解.（2）首先由向量垂直的坐标表示得到条件等式，结合基本不等式即可求解，注意取等条件是否成立.【小问1

详解】由题意//ca，()2,1,30a=−，所以不妨设ca=，又28ac=，从而()2222221328acaa===+−+=，解得2=，所以()24,2,6caa===−.【小问2详解】由题意ab⊥，所以2430bman=−+=，即234mn

+=，又因0,0mn，所以由基本不等式可得23426mnmn+=，等号成立当且仅当21,3mn==，解得23mn，所以当且仅当21,3mn==时，mn的最大值为23.19.已知圆C：224220xyxy+−++=．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线

方程；（2）从圆外一点()00,Pxy向该圆引一条切线，切点是M，若PMPO=（O是原点），求PM的最小值及对应的P点坐标．【答案】19.()26yx=−+或()26yx=−−或160xy+−+=或160xy+−−=为20

.PM最小值为55，P点坐标为21,55−.【解析】【分析】（1）首先利用待定系数法设出切线的方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径求出切线方程；（2）PM的距离用P到圆心C的距离与半径来表示，建立PO与PC的关

系，求出P点的轨迹为一条直线，然后将求PM的最小值问题转化为原点到直线的距离问题.【小问1详解】圆C：()()22213xy−++=，所以()2,1C−，3r=，①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为ykx=，则圆心到切线的距离为22131kk+=+，即2420kk+−=，解得2

6k=−.所以切线方程()26yx=−+或()26yx=−−.②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线的方程为0xya+−=，则圆心到切线的距离为2132a−−=，即16a−=，解得16a=−或16a=+.所以切线方程为160xy+−+=或160xy+−−=.综

上所述，所求切线方程为()26yx=−+或()26yx=−−或160xy+−+=或160xy+−−=.【小问2详解】因为POPM＝，()00,Pxy，则222PMPCr=−，所以()()22220000

213xyxy+=−++−即00210xy−−=，即点P在直线l：210xy−−=上．PM取最小值，只需要OP取得最小值，即过点O向l作垂线，所以OPl⊥，即直线OP的方程为：20xy+=，为解方程组20210xyxy+=−−=得2515xy=

=−，所以P点坐标为21,55−，PM的最小值为41525255+=．20.如图所示，三棱柱111ABCABC-中，MN、分别是111ABBC、上的点，且12BMMA=，112BNNC=．用空间向量解决如下问题：（1）若1

1,BAACAAABAC==，证明：1BCAA⊥；（2）证明：//MN平面11ACCA．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意分解向量BCABAC=−+，结合已知条件证明10AABC

=即可；（2）由向量共面基本定理证明存在,Rxy，使得1MNxAAyAC=+即可.【小问1详解】由题意BCABAC=−+，且11,BAACAAABAC==，所以()1111BCABACACABAAAAAAAA==−+−

1111coscos0ACCAAAAAAABBAA=−=，所以1ABAC⊥，即1BCAA⊥.【小问2详解】由题意11111111133MNMAACCNBAACCB=++=++()111111112333333BAAAACCB

AAACCAAAAC=+++=++=+，这表明了1,,MNAAAC共面，而,MN面11ACCA，所以//MN平面11ACCA.21.如图所示，四棱锥PABCD−的底面为直角梯形，//,90BCADBAD=，120,222ADPADPDABBC

=====，平面ABCD⊥平面,PADM为PA的中点．（1）求点M到平面PCD的距离；（2）求平面PCD和平面ADC所成锐二面角大小的余弦值．【答案】（1）217（2）77【解析】【分析】（1）由题意建立适当的空间直角坐标系，先求出平面PCD的法向量1n以及M

P，再由店面距离公式11MPndn=即可求解.（2）先求出平面ACD的法向量2n，再结合平面PCD的法向量1n，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】如图所示，平面ABCD⊥平面PAD，90BAD=即BAAD⊥，又平面ABCD平面PADAD=，BA平

面ABCD，所以BA⊥平面PAD，设Ax轴AD⊥，Ax轴平面PAD，又AD平面PAD，所以BAAx⊥轴，BAAD⊥，分别以,ADAB方向为,yz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为2AD=，所以由题意()()0,0,0,0,2,0AD，又因为

//BCAD，BA⊥平面PAD，1ABBC==，所以()()0,0,1,0,1,1BC，又因为120,2ADPADPD===，所以60,sin3,cos3PpPDyxPDPDyyADPDPDy====+=，即()3,3,0P，又M为PA的

中点，所以33,,022M，所以()()33,,0,3,2,1,3,1,022MPCPDP==−=，设平面PCD的法向量为()1111,,nxyz=，则111111132030CPnxyzDPnxy=+−==+=，令11x=，解得1

13yz==−，即取平面PCD的法向量为()11,3,3n=−−ur，所以点M到平面PCD的距离为113217133MPndn−===++.【小问2详解】如图所示：由（1）可知平面PCD的法向量为()11,3

,3n=−−ur，()()()0,0,0,0,2,0,0,1,1ADC，所以()()0,2,0,0,1,1ADAC==，设平面ACD的法向量为()2222,,nxyz=，则22222020ACnyzADny=+===，令21x=，解得220yz==，即

取平面ACD的法向量为()21,0,0n=，不妨设平面PCD和平面ADC所成锐二面角大小为，则12121217coscos,7133nnnnnn====++，即平面PCD和平面ADC所成锐二面角大小的余弦值为77.22.已知直线BC经过定点

()0,2,NO是坐标原点，点M在直线BC上，且OMBC⊥．（1）当直线BC绕着点N转动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知点()3,0T−，过点T的直线交轨迹E于点PQ、，且65OPOQ=，求PQ．【答案】（1）()2220,0xyyx+−=（2）455【解析】【分析】（1）由分类讨论思想

，根据直线垂直的条件列式可得轨迹方程；（2）根据直线与圆相交，设出直线方程，联立直线与圆的方程，结合韦达定理和数量积的坐标运算求出直线方程，再求直线与圆相交的弦长.【小问1详解】依题意可知，直线NM即为直线BC,显然当直线OM与直线BC的斜率不存在时不合题意，故直线OM与直线BC的斜率都存在，(

)0,2N,设()(),,0Mxyx，OMBC⊥,即1OMBCkk=−，所以21yyxx−=−，即()2220,0xyyx+−=，所以点M的轨迹E的方程为()2220,0xyyx+−=.【小问2详解】依题意，过点T的直线l的斜率存在，设直线l方程为()3yk

x=+，联立()22203xyyykx+−==+，整理得()()2222162960kxkkxkk++−+−=，①()()()22226241960kkkkk=−−+−，即2430kk−，所以304k，由直线不经过点A，所以304k且23k设()(

)1122,,,PxyQxy，则12,xx为①式两根，所以21222122261961kkxxkkkxxk−+=+−=+，又()()1212121233OPOQxxyyxxkxkx=+=+++()()2221212139kxxkxxk=++++2

222222618661863115kkkkkkkkk−−=−+==++，即214510kk−−=，所以12k=或17k=−（舍去），故所求直线l为230xy−+=，此时直线l一定与轨迹E交于不同两点P,Q又圆心()0,1E到直线l的距离0

213155d−+==,所以245215PQd=−=.【点睛】求曲线方程的常用方法：求曲线方程是解析几何核心问题之一，求曲线方程的方法比较多，但总的说来有三种：（1）直接法：先找出动点满足的几何条件，由条件直接转化得到轨迹方程；（2）待定系数法：此种类型需知道曲线类型，先设出曲线方程，把条件代入

求出其中的系数即可；（3）参数法：借助中间变量，间接得到轨迹方程的方法；参数法关键是参数的选择，找出参数与x,y之间的关系，消去参数即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com