【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第27讲 解三角形应用举例（讲） Word版含解析.docx，共(15)页，1.185 MB，由小赞的店铺上传

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第27讲解三角形应用举例（讲）思维导图知识梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水

平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所

成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．题型归纳题型1解三角形的实际应用【例1-1】（2020春•鼓楼区校级期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，

被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD=，135ADB=，15BDCDCA==，120ACB=，则A，B两点的距离为()A．803B．80C．

160D．805【分析】根据题意画出图形，BCD中利用正弦定理求出BD的值，ACD中利用等角对等边求出AD的值，再在ABD中由余弦定理求出AB的值．【解答】解：如图所示：BCD中，80CD=，15BDC=，12015135BCDACBDCA=+=+=，30CBD

=，由正弦定理，得80sin135sin30BD=，解得802BD=，ACD中，80CD=，15DCA=，13515150ADCADBBDC=+=+=，15CAD=，80ADCD==，ABD中，由余弦定理，得2222

cosABADBDADBDADB=+−22280(802)280802cos135805=+−=，805AB=，即A，B两点间的距离为805，故选：D．【例1-2】（2020春•威宁县期末）小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①

12BCm=，②B处的仰角60，③C处的仰角45，④36cos8BAC=，⑤30BOC=中选取合适的，计算出旗杆的高度为()A．103mB．12mC．122mD．123m【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出OB和OC的长，进一步利用余弦定理的应用求出OA的长【解答】

解：选①②③⑤，如图所示：则60ABO=，45ACO=，设OAx=，则OAOCx==，3xOB=．在BOC中，利用余弦定理：2222312()2233xxBCxx==+−，整理得：123x=，即123OAm=故选：D．【例1-3】（2019秋•黄山期末）新安江某段南北两岸平行

，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为18/vkmh=，水流的速度的大小为24/vkmh=，设1v和2v的夹角为(0180)，北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，cos(=)A．32B．32−C．12D．12−【分析】依题

意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得23=，从而可得答案．【解答】解：依题意，作图如下，设由A到B航行的时间为t，则||4ACt=，||||8ADBCt==，在直角三角形ABC中，41sin82tABCt==，所以6ABC=，所

以2263=+=，所以1cos2=−，故选：D．【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期末）为了测量河对岸两地A、B之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD，测得CDa=米，再测得90ACD=

，30BCD=，45ADC=，105CDB=，据此计算A、B两地之间的距离是()A．6aB．62aC．(31)a+D．3a【分析】先在直角三角ACD中，求出AD，然后在三角形BCD中，利用正弦定理求出BD，最后利用三角形ABD中，利用余弦定理求出AB的值．【解答】

解：由已知，在三角形ACD中，CDa=米，90ACD=，45ADC=，2ADa=．又在三角形BCD中，CDa=米，30BCD=，105CDB=，45B=，由正弦定理得sinsinCDBDBBCD=，即sin

45sin30aBD=，22BDa=．所以在ADB中，1054560ADB=−=，22222212132cos602222222ABADBDADBDaaaaa=+−=+−=，62ABa=．故选：B．【跟踪训练1-2】（2020春•德州期末）如图所示，为了测量山高MN

，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角60MAN=，C点的仰角45CAB=，75MAC=，从C点测得60MCA=．已知山高500BCm=，则山高MN（单位：)m为()A．750B．

7503C．850D．8503【分析】利用直角三角形求出AC，由正弦定理求出AM，再利用直角三角形求出MN的值．【解答】解：在RtABC中，45CAB=，500BCm=，所以5002ACm=；在AM

C中，75MAC=，60MCA=，从而45AMC=，由正弦定理得，sin45sin60ACAM=，因此325002500322AMm==；在RtMNA中，5003AMm=，60MAN=，由sin60MNAM=，得350037502MN

m==．故选：A．【跟踪训练1-3】（2020春•萍乡期末）俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔

始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60，在塔底C处测得A处的俯角为45．已知山岭高CD为36米，则塔高BC为()A．(36236)−米B．(36336

)−米C．(36636)−米D．(72336)−米【分析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC的值．【解答】解：如图所示，在RtACD中，45CAD=，36CD=，所以36AD=；在RtABD中，60BAD=，

所以tan363BDADBAD==，所以36336BCBDCD=−=−，即塔高BC为(36336)−米．故选：B．【跟踪训练1-4】（2020•全国Ⅱ卷模拟）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东

行走，在点A处测得楼顶的仰角为45，行走80米到点B处，测得仰角为30，再行走80米到点C处，测得仰角为．则tan=．【分析】画出示意图，知道边长和角度，然后利用222222cos22AEABBEAEACECEABECAEABAEAC+−+−==，即可求出结论．【解答】解：如图

；DE⊥面ACE，45EAD=，30EBD=；由题可得：60AEDE==；80ABBC==；603tan30DEEB==；222222cos22AEABBEAEACECEABAEABAEAC+−+−=

=2222226080(603)60160207726080260160ECEC+−+−==；60377tan772077==；故答案为：37777．【名师指导】1.测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已

知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2.高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关

知识求出该高度．3.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．题型2正

、余弦定理在平面几何中的应用【例2-1】（2020春•垫江县校级期末）如图，在平面四边形ABCD中，ACD的面积为3，2AB=，31BC=−，120ABC=，135BCD=，则ACD=，AD=．【分析】直

接利用余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用求出结果．【解答】解：连接AC，如图所示：在ABC中，由于2AB=，31BC=−，120ABC=，利用余弦定理：2222cosACABBCABBCABC=+−，解得6AC=，所以2222cos2

2ACBCABBCAACBC+−==，所以45BCA=．由于135BCD=，所以90ACD=．已知ACD的面积为3，所以132ACCD=，解得2CD=．进一步利用勾股定理的应用：222ADACCD=+，解得22AD=．故答案为：90

，22【例2-2】（2020春•天河区期末）如图，在四边形ABCD中，2DB=，且2AD=，6CD=，3cos3B=．（1）求ACD的面积；（2）若62BC=，求AB的长．【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC的值

利用余弦定理求解AB的长．【解答】解：（1）3cos3B=，0B，可求：6sin3B=．22sinsin22sincos3DBBB===．1sin422ACDSADCDD==．（2）2AD=，6CD=，21cos2cos13DB=−=−，在ACD中，由余弦定理知，222212co

s26226()433ACADCDADCDD=+−=+−−==，在ABC中，62BC=，可得：222272483cos23262ABBCACABBABBCAB+−+−===，整理可得246240ABAB−+=，解得：26AB=．【跟踪训练2-1】（2019秋•珠海期末）如图，在AB

C中，45B=，8AC=，D是BC边上一点，5DC=，7DA=，则AB的长为()A．42B．43C．8D．46【分析】先根据余弦定理求出C度数，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在ADC中，7AD=，8AC=，5DC=，由余弦定理得2222228571cos22852ACDCA

DCACDC+−+−===，因为是三角形内角，60C=，在ABC中，8AC=，45B=，60C=，由正弦定理sinsinACABBC=得：sin46sinACCABB==．故选：D．【跟踪训练2-2】（2020•漳州模拟）如图，在ABC中，D是边AC上的点，

且ABAD=，23ABBD=，2BCBD=，则sinC的值为()A．33B．36C．63D．66【分析】设BDa=，则由题意可得：2BCa=，32ABADa==，利用余弦定理表示出cosA，把三边长代入求出cosA的值，进而确定出sinA的值，由AB，BC，以及sinA的值，利用正弦

定理求出sinC的值即可．【解答】解：设BDa=，则由题意可得：2BCa=，32ABADa==，在ABD中，由余弦定理得：2222223214cos2332()2aaABADBDAABADa−+−===

，222sin13AcosA=−=，在ABC中，由正弦定理得，sinsinABBCCA=，即322sin223aaC=，解得：6sin6C=，故选：D．【跟踪训练2-3】（2020春•泰州期末）如图，在ABC中，

角C的平分线交AB于D，且CDAD=．若3AC=，2BC=，则AB=．【分析】不妨令A=，易知ACDBCD==，3B=−，然后在ABC中，利用正弦定理，求出sin，cos的值，最后在ABC中，利用正弦定理，可求出

AB的值．【解答】解：在ABC中，角C的平分线交AB于D，且CDAD=．设A=，则ACDBCD==，3B=−，sinsinACBCBA=，即32sin(3)sin=−，整理得2sin33sin=，所以：2(sincos2cossin2)3sin

+=，结合sin0得222(2cos12cos)3−+=，即258cos=，显然是锐角，所以106cos,sin44==，15sin22sincos4==．再由ABC得：2sinsin2AB=，261544A

B=，解得10AB=．故答案为：10．【跟踪训练2-4】（2020•青岛模拟）如图，在平面四边形ABCD中，ABAD⊥，1AB=，3,2ADBC==．（1）若13CD=+，求四边形ABCD的面积；（2）若32sin,(0,)52BCDADC=，求s

inADC．【分析】（1）由已知结合勾股定理可求BD，然后结合余弦定理可求C，再由三角形的面积公式可求；（2）由已知结合正弦定理可求sinBDC，然后结合同角平方关系可求cosBDC，结合特殊角的三角函数值及两角和的正弦公式可求．【解答】解：（1）连接B

D，在RtABD中，由勾股定理可得，2224BDABAD=+=，故2BD=，BCD中，由余弦定理可得，22222(13)22cos2222(13)BCCDBDCBCCD+−++−===+，因为C为三角形的内角，故4C=，所以11313222A

BDSABAD===，11213sin2(13)2222BCDSBCCDC+==+=，故求四边形ABCD的面积132S=+，（2）在BCD中，由正弦定理可得sinsinBCBDBDCBCD=，所以sin3si

n5BCBCDBDCBD==，因为1(0,)2ADC，所以1(0,)2BDC，4cos5BDC=，RtABD中，3tan3ABADBAD==，故6ADB=，所以3341433sinsin()6525

210ADCBDC+=+=+=．【名师指导】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解

题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．题型3解三角形与三角函数的综合问题【例3-1】（2

020春•温州期中）设函数()sincosfxxx=+，xR．（Ⅰ）已知[−，]，函数()fx+是偶函数，求的值；（Ⅱ）设ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若2a=，6()4

22Af+=，求ABC的面积的最大值．【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化简．（Ⅰ）由函数()fx+是偶函数，得()()fxfx−+=+，进一步得到244xxk+−+++=+，

kZ恒成立，得到()4kkZ=+，再由的范围求得值；（Ⅱ）由6()422Af+=求解角A，由已知结合余弦定理及基本不等式求得bc的最大值，则ABC的面积的最大值可求．【解答】解：()sincos2sin()4fxxxx=+=+．（Ⅰ）由函数()fx+是偶函

数，得()()fxfx−+=+，即2sin()2sin()44xx+−=++，244xxk+−=+++，kZ（舍)或244xxk+−+++=+，kZ恒成立．即()4kkZ

=+，[−，]，34=−或4；（Ⅱ）由6()422Af+=，得62sin()2cos42422AA++==，即3cos22A=，0A，022A，得26A=，即3A=．由余弦定理可得：2222242cos3abcbcbcbc==+−=+

−，2242bcbcbcbcbc=+−−=…（当且仅当bc=时取等号），即4bc„．ABC的面积1sin323Sbc=„．即ABC的面积的最大值为3．【跟踪训练3-1】（2020•遂宁模拟）已知向量(sin,36sin)axx=+，向量(2c

os,2sin1)bxx=−，01，函数()fxab=，直线56x=是函数()fx图象的一条对称轴．（1）求函数()fx的解析式及单调递增区间；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3c=，sin2sinBA=，锐角C满足()24fC

+=，求22ba−的值．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合函数的对称性周期性，求解函数的解析式．利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可．（2）利用函数的解析式结合正弦定理余弦定理转化求解即可．【解答】解：（1）()sin2

3cos22sin(2)3fxabxxx==−=−，直线56x=是函数()fx图象的一条对称轴，52632k−=+，kZ，3152k=+，kZ，(0,1)，10,2k==，()2sin()3fxx=−．由22232kx

k−−+剟，得52266kxk−+剟，kZ．单调递增区间为5[2,2]66kk−+，kZ．（2）由()24fC+=，得2sin()243C+−=，即2sin()122C−=，因为C为锐角，所以5121212C−−

，所以124C−=，即3C=，又sin2sinBA=，所以由正弦定理得2ba=．①由余弦定理，得2222cos3cabab=+−，即223abab+−=．②由①②解得223ba−=．【名师指导

】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤