【文档说明】专题04 平方差的公式与完全平方公式-七年级数学下册暑假精炼（北师大版）（解析版）.docx，共(13)页，282.100 KB，由管理员店铺上传

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平方差公式与完全平方公式一、单选题(共30分)1．(本题3分)下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（）A．(43)(34)xyyx−−−B．()()abccba+−−−+C．()()xyxy−+−D．()()222222xyxy−+【答案】C【分析】根据平方差公式的形

式：（a+b）（a-b）=a2-b2，结合各选项进行判断即可．【详解】解：A、(43)(34)xyyx−−−，能用平方差公式计算，故本选项不符合；B、()()abccba+−−−+，能用平方差公式计算，故本

选项不符合；C、()()xyxy−+−，不能用平方差公式计算，故本选项符合；D、()()222222xyxy−+，能用平方差公式计算，故本选项不符合；故选C．【点睛】本题考查了平方差公式，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于

这两个数的平方差．2．(本题3分)如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分剪拼成一个长方形（如图2），这一过程可以验证（）A．a2－b2＝（a＋b）（a－b）B．a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2C．2a2－3ab＋b2＝（2a－b）（a＋

b）D．a2＋b2－2ab＝（a－b）2【答案】A【分析】分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案．【详解】解：图1中阴影部分的面积为：a2-b2，图2中阴影部分的面积为（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），故选：A．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示

各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．3．(本题3分)若22(1)9xkx−−+是完全平方式，则k的值为（）A．4B．3C．1−或3D．4或2−【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【详解】解：∵x2-2（k-1）x+9是完全平方式，∴k-1=±3，解得：k=

4或-2，故选：D．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．(本题3分)下列计算正确的是（）A．54(0)aaaa=B．2(2)(2)2aaa+−=−C．2(1)(2)2aaaa+−=+

−D．2233aa−=【答案】A【分析】根据同底数幂的除法、平方差公式、多项式的乘法和合并同类项法则逐项计算即可．【详解】5514(0)−==aaaaa，故A正确；222(2)(2)2=4+−=−−aaaa，

故B错误；22(1)(2)22=2+−=−+−−−aaaaaaa，故C错误；22232aaa−=，故D错误；答案故选A．【点睛】本题考查了整式的运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．(本题3分)已知ab，满足225314abab+==，，则ab+的值是（）A．9B．9C

．5D．5【答案】B【分析】根据完全平方公式可得答案．【详解】解：∵2253ab+=，14ab=，∴()22225321481ababab+=++=+=，∴a+b=±9，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．6．(本题3分)若2m﹣n＝2，4m2﹣

n2＝12，则63−−nm的值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣9【答案】A【分析】先根据平方差公式求出2m+n，再代入计算即可．【详解】解：∵4m2﹣n2＝12，∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，∵2m﹣n

＝2，∴2（2m+n）＝12，∴2m+n＝6，∴原式=11(2)6166mn−+=−=−，故选：A．【点睛】本题考查了平方差公式的运用．能够利用平方差公式变形是解题的关键．7．(本题3分)若222105210

55991k−+=+−，则k的值是（）A．100B．105C．200D．205【答案】C【分析】根据完全平方公式以及平方差公式求解即可．【详解】解：∵222210521055(1055)100−+=−=，∴k=1002-992+1=（100+99）×（100-99

）+1=199+1=200．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式，熟记相关公式是解答本题的关键．8．(本题3分)若2()3ab−=，2()7ab+=，则223abab+−的值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用（a＋b）2＝7，（a−b）2＝3，

求得（a2＋b2）和ab的值，然后代入求值．【详解】解：∵（a＋b）2＝7，（a−b）2＝3，∴a2＋2ab＋b2＝7，①a2−2ab＋b2＝3，②由①＋②得到：a2＋b2＝5，由①−②得到：ab＝1，∴a2＋b2−3ab＝5−3＝2．故选：B．【点睛

】考查了完全平方公式．完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．9．(本题3分)计算24864(21)(21)(21)(21

)...(21)+++++，结果的个位数字是（）A．6B．5C．8D．7【答案】B【分析】用2-1与代数式相乘后，依次运用平方差公式求解后，根据2的乘方的个位数字的规律即可得出结果的各位数字．【详解】解：原式=24864(21)(21)(21)(21)(21

)...(21)−+++++=224864(21)(21)(21)(21)...(21)−++++=44864(21)(21)(21)...(21)−+++…..=6464(21)(21)−+=128(21)−∵21=2，22=4，23=

8，24=16，25=32……个位数字依次为2、4、8、6，并依次循环出现，∵128÷4=32，∴2128的个位数字为6，因此2128-1的个位数字为5，故选：B．【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握公式特征是正确应用的前提，找出

个位数字规律性的出现是解决问题的关键．10．(本题3分)如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的面积为49，阴影部分的小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长()xy，现给出以下关系式：①7xy+=；②2xy−=；③4449xy+=；④2225

.5xy+=．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③④D．①②③【答案】D【分析】正方形图案的边长7，同时还可用()xy+来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是2()xy+，还可以是(44)xy+，接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．【详解】解：因为正方形图案的边长7，同

时还可用()xy+来表示，故①7xy+=正确；因为正方形图案面积从整体看是49，从组合来看，可以是2()xy+，还可以是(44)xy+，所以有2()49xy+=，4449xy+=即454xy=，所以22()()449454xyxyxy−=+−=−=，

即2xy−=，故②正确；由②可知4449xy+=，故③正确；2224553()249226.542xyxyxy+=+−=−==，故2225.5xy+=是错误的；故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式，解答需结合图形，利用等式的变形来解决问题．二、填空题

(共15分)11．(本题3分)代数式246xx−+的最小值为____________．【答案】2【分析】根据完全平方公式将原式变形为()222x−+，然后利用完全平方式的非负性分析其最值．【详解】解：()2246=22

xxx−+−+∵()220x−∴()2222x−+∴代数式246xx−+的最小值为2故答案为：2．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键．12．(本题3分)若233mn+=，且22496mn

−=，则46mn−+=________．【答案】-4【分析】根据平方差公式求出232mn−=，再将46mn−+变形，代入计算即可．【详解】解：∵()()224962323nmnmmn=−−=+，233mn+=，

∴232mn−=，∴()46223224mnmn−+=−−=−=−，故答案为：-4．【点睛】本题考查了代数式求值，平方差公式，解题的关键是掌握整体思想的运用．13．(本题3分)当m=_________时，关于x的二次三项式2

2(31)(1)xmxm−++−是完全平方式．【答案】15或-3【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【详解】解：由题意可得：()(31)21mm−+=−，解得：15m=，3m=−，故答案为：15或-3．【点睛】此题考查

了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．14．(本题3分)把9991分解成两个自然数的积，这两个自然数是_________．【答案】103，97【分析】将9991写成10000-9，然后逆用平方差公式计算．【详解】解：9991=10

000-9=1002-32=（100+3）（100-3）=103×97，故答案为：103，97．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练逆用平方差公式是解题的关键．15．(本题3分)设某个长方形的长和宽分别为a和b，周长为14，面积为10，则()2ab+=__________，22ab+=___

_______．【答案】4929【分析】根据题意可求出ab+和ab的值，即可求出2()ab+，再利用完全平方公式即可求出22ab+的值．【详解】根据题意可知1472ab+==，10ab=．∴22()749ab+==．∵222(

)2abaabb+=++，∴22492492029abab+=−=−=．故答案为49，29．【点睛】本题考查完全平方公式以及代数式求值．熟记完全平方公式是解答本题的关键．三、解答题(共55分)16．(本题10分)计算题：（1）用简便方法计算：2019×2021-20202

+1（2）计算：（a-2b+3）（a+2b-3）【答案】（1）0；（2）224129abb−+−【分析】(1)把算式变成平方差公式，然后进行简便运算即可；(2)运用平方差公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：(1)2019×2021-20202+1＝（202

0－1）（2020+1）-20202+1＝20202-1-20202+1＝0(2)（a-2b+3）（a+2b-3）=(23)(23)abab−−+−22(23)ab=−−22(4129)abb=−−+224129abb=−+−【点睛】本题考查了平方差公式

、完全平方公式，解题关键是熟练运用乘法公式进行准确．17．(本题10分)若220xyy−++=，求()()()22xyxyxyx−++−的值.【答案】1【解析】分析：由220xyy−++=易得x=-1，y=-2，然后将()()()22xyxyx

yx−++−先化简，再代值计算即可.详解：∵220xyy−++=，∴2020yxy+=−=，解得：12xy=−=−，∴()()()22xyxyxyx−++−=2222[2()]2xxyyxyx−++−=2(22)2xx

yx−=xy−=1(2)−−−=1.点睛：本题的解题要点有：（1）一个代数式的绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0；（2）熟记“乘法的完全平方公式和平方差公式及多项式除以单项式的法则”.18．(本题1

2分)（1）已知m+n＝4，mn＝2，求m2+n2的值；（2）已知am＝3，an＝5，求a3m﹣2n的值．【答案】（1）12；（2）2725【分析】（1）先根据完全平方公式得出m2+n2＝（m+n）2﹣

2mn，再求出答案即可；（2）先根据同底数幂的除法进行变形，再根据幂的乘方进行变形，最后求出答案即可．【详解】解：（1）∵m+n＝4，mn＝2，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝42﹣2×2＝12；（2）∵am＝3，an＝5，∴a

3m﹣2n＝a3m÷a2n＝（am）3÷（an）2＝33÷52＝2725．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，注意：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．19．(本题11分)如图，在线段A

B上的取一点P，分别以,APBP为边，作正方形APCD和正方形PBEF，M为线段AB上一点，且满足AMPB=，连接DM和ME，设APa=，PBb=．（1）用含有a，b的式子表示图中阴影部分的面积．（2）当5ab+=，2ab=时，求图中阴影部分的面

积．【答案】（1）22abab+−；（2）19【分析】（1）根据题意得到AM和BM的长，再利用两个正方形的面积减去空白部分三角形的面积即可；（2）将（1）中结果利用完全平方公式变形，再将已知式子代入计算即可．【详解】解：（1）∵AM=BP=b，AP=a，∴MP=a-b，MB=M

P+BP=a-b+b=a，∴阴影部分面积=221122ababab+−−=22abab+−；（2）∵5ab+=，2ab=，∴22abab+−=()23abab+−=2532−=19．【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，完全平方公式，解题的关键是根据题意列出代数式．20．(本题1

2分)观察下列各式的计算结果：1﹣212＝114−＝34＝1322；1213−＝1﹣19＝89＝2433；1﹣214＝1116−＝1516＝3544；1﹣215＝1125−＝2425＝4655…（1）用你发现的规律填写下列式子的结

果：1﹣216＝×；1﹣2110＝×．（2）用你发现的规律计算：（1﹣212）×（1﹣213）×（1﹣214）×…×（1﹣212019）×（1﹣212020）．【答案】（1）56，76；910，1110；（2）20214040【分析】（1）利用平方差公式得到2111111

666−=+−，2111111101010−=+−，这样把原式转化为两个分数的乘积的形式；（2）利用（1）的方法得到原式＝132435201820202019202122334

42019201920202020，然后约分即可．【详解】解：（1）21115711166666−=+−=；21119111111010101010−=+−=

；故答案为：56，76；910，1110；（2）原式＝13243520182020201920212233442019201920202020，＝2021201202，＝20214040．【点睛】本题主要考查式子的规律和有理数的运算，平方差

公式应用，找出规律是解题的关键．