【文档说明】山西省大同市2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题含解析.docx，共(18)页，902.229 KB，由小赞的店铺上传

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大同市2021-2022学年（上）高二年级期末考试理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已

知向量()0,1,1a=−与()20,,2bkk=−共线，则实数k＝（）A.0B.1C.－1或2D.－2或1【答案】D【解析】【分析】利用空间向量共线的性质直接求解．【详解】向量()0,1,1a=−与()

20,,2bkk=−共线，2211kk−=−，解得2k=−或1．故选：D．2.若直线2x－（m＋1）y－2＝0与直线（m＋1）x－2my－3＝0垂直，则m＝（）A.1B.－1C.1或－1D.2【答案】B【解析】【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【详解】∵直线2x

－（m＋1）y－2＝0与直线（m＋1）x－2my－3＝0垂直，2(1)2(1)0mmm+++=，2210mm++=解得1m=−．故选：B．3.已知正项等比数列na中，193718aaaa+=，则35loga

=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的下标性质可得53a=，结合对数性质得到结果.【详解】利用等比数列的下标性质可知，219375218aaaaa+==，又等比数列各项为正，∴53a=，∴35log1a=.故选：C4.与椭圆22134xy+=焦点相同，

离心率互为倒数的双曲线方程是（）A.224413xy−=B.224413xy−=C.224413yx−=D.224413yx−=【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求得c，离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解．【详解】由椭圆22134xy+=，得1c=，12e=，焦点在y轴上．由

题意得双曲线1c=，焦点在y轴上，2e=，所以cea=，12cae==，所以22234bca=−=．所以双曲线方程为224413yx−=．故选：D5.已知()fx为偶函数，且当x＞0时，()1xfxex−=+，则曲线()yfx=在()()1,1f−−处的切线斜率是（）A.－2B.－1C.－e

D.e【答案】A【解析】【分析】利用偶函数求0x的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求()()1,1f−−处的切线斜率.【详解】设0x，则0x−，1()exfxx−−−=−，又()fx为偶函数，∴1()exfx

x−−=−，则对应导函数为1()e1xfx−−=−−，∴()12f−=−，即所求的切线斜率为2−故选：A6.在四面体OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在线段OA上，且AM＝2MO，N为线段BC的中点，则MN=（）A.1122

23abc+−B.121232abc−+C.111322abc−++D.121332abc+−【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的线性运算，1()213MNONOMOBOCOA=−=+−，即得解【详解

】OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，且2AMMO=，为的中点，1133OMOAa==111()222ONOBOCbc=+=+111322MNONOMabc=−=−++.故选：C.7.若直线y＝kx＋4经过第三象限，且被圆()()22244xy−+−=截得的弦长为2，则该直线的

倾斜角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】B【解析】【分析】求出弦长，由题意可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角．【详解】由题意可得圆的半径为2，由弦长可得圆心到直线的距离2222()32d=−=，而圆心到直

线的距离2|2|31kdk==+，解得：3k=，所以直线的倾斜角为：3或23，又直线y＝kx＋4经过第三象限，∴倾斜角为锐角，即直线的倾斜角为3.故选：B8.在正方体1111ABCDABCD−中，M为棱11CD中点，则直线AM与平面11BBDD所成角的正弦值为

（）A.24B.22C.223D.33【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算平面11BBDD的法向量，利用线面角的向量公式即得解．【详解】解：不妨设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，连接AC，以

D为坐标原点如图建立空间直角坐标系Dxyz−，的则(2A，0，0)，(0C，2，0)，(0M，1，2)，(2,2,0)=−AC，(2,1,2)AM=−，由于1DD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，故1ACDD⊥，又正方形ABCD，故ACBD⊥，1DDBDD=，1DD，BD平面11BBDD，故

AC⊥平面11BBDD，所以AC为平面11BBDD的一个法向量，62cos,262ACAMACAMACAM===，故直线AM与平面11BBDD所成角的正弦值为22．故选：B．9.设等差数列na的公差为d，前n项和为nS，

若67SS，789SSS=，则下列结论错误的是（）A.80a=B.d＜0C.117SSD.7S与8S为nS的最大值【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，77689980,00aSSaaSS=−==−，，再根据等差数列的性质逐项判断即可得到结果.【详解】因为78SS

=，所以8870aSS=−=，故A正确；因为67SS，789SSS=，则77689980,00aSSaaSS=−==−，，所以9890daaa=−=，故B正确；因为1178910119101110933

0SSaaaaaaaaa−=+++=++=，所以117SS，故C错误；因为7890,0,0aaa=，所以在等差数列na中，当7n且*nN时，0na；当8n=时，80a=；当9n且*nN时，0na；所以7S与8S为nS的最大值，故D

正确．故选：C．10.已知函数()3222fxxmx=−+（m＞0）的单调递减区间为(),ab，若2ba−，则m的最大值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】D【解析】【分析】求出函数的单调区间，即可得到23mba−=，从

而得到m的最大值.【详解】由()3222fxxmx=−+，可得()262fxxmx=−，（m＞0）令()2620fxxmx=−，解得03mx，即函数()3222fxxmx=−+（m＞0）的单调递减区间为0,3m，∴23mba−=，∴6m，即m的最大值为6.故选：D11.已

知点P在圆M：()()22424xy−+−=上，点()2,0A，()0,2B，则PBA最小和最大时分别为（）A.0°和60°B.15°和75°C.30°和90°D.45°和135°【答案】B【解析】【分析】作出图像，由图可得当PB与圆相切时

对应PBA的最大和最小，再根据相切求角度即可.【详解】如图所示，当PB与圆相切时对应PBA的最大和最小，设最小时切于1P，最大时切于2P，由1112,4,MPBMMPBP==⊥，可得11sin2MBP=，所以130MBP=，同理得230MBP=由点()2,0A，()0,2B，可

知45ABO=，所以190453015ABP=−−=，215303075ABP=++=.故选：B.12.已知抛物线212yx=，点A，B在抛物线上且位于x轴两侧，若5OAOB=（O为坐标原点），则AOB面积的最小值为（）A.554B.5C.354D.52【答案】A

【解析】【分析】设直线AB方程为xmyb=+，代入抛物线212yx=，设()()1122,,,AxyBxy，由12554OAOByy==−，结合韦达定理与弦长公式求得面积的表达式，即可判断最小值．【详解】设直线AB方程为xmyb=+，代

入抛物线212yx=得220ymyb−−=设()()1122,,,AxyBxy由2212121212125454OAOBxxyyyyyyyy=+=+==−，又1212,,22bmyyyy−=+=得52

b=所以()2222121214154mABmyyyym=++−=++点O直线AB的距离为225121bdmm==++所以AOB面积为2155552444mSdAB==+当0m=时，取min55

4S=故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知平面α的一个法向量为()1,1,2m=，点()0,1,2A，(),0,1Bx是平面α内的两点，则x＝______．【答案】3【解析】【分析】求出空间向量⊥mAB，利

用垂直关系得到结果.【详解】由题意可得(),1,1ABx=−−，又⊥mAB，∴120x−−=，∴3x=.故答案为：314.设1F，2F分别是双曲线E：2221xyab−=（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在E上，若线段2PF的中点在y

轴上，2160PFF=，则E的离心率为______．【答案】32+##23+【解析】【分析】根据条件可得1PFx⊥轴，再由2160PFF=得2112tan6032PFbFFac===，进而可得解.【详

解】因为线段2PF的中点在y轴上，所以1//PFy轴，则1PFx⊥轴，所以21bPFa=，因为2160PFF=，所以2112tan6032PFbFFac===，即22230caca−−=，所以22310ee−−=，因为1e解得：32e=+.故答案为：32+.15.已知数列

na满足11a=，且113nnnaa+=+−，则2022a=______．【答案】202231143−【解析】【分析】根据题意得113nnnaa+−=−，利用累加求通项即可.【详解】由113nnnaa+=+

−，可得：113nnnaa+−=−所以2113aa−=−，23213aa−=−，34313aa−=−，……1113nnnaa−−−=−，累加可得：12311111()

()()3333nnaa−−=−+−+−++−，所以1231111113131()()()[1]13333431()3nnnna−−−=+−+−+−++−==−−−−，所以2022a=202220223131[1]

[1]4343−−=−故答案为：202231143−.16.已知m＜0，函数()ln12xxmxfxxe+=−−，若函数()()yffx=与()yfx=有相同的最大值，则m的

取值范围为______．【答案】(,2e−−【解析】【分析】利用导数法求得()fx的极大值及极大值点，再由极大值不小于极大值点求解.【详解】因为()ln12xxmxfxxe+=−−，所以()()21lnxmxxfxxe−−−=，因为m＜0，所以当0

1x时，()0fx¢>，当1x时，()0fx，所以当1x=时，()fx取得最大值1me−−，因为()()yffx=与()yfx=有相同的最大值，所以11me−−，解得2me−，所以m的取值范围为(,2e−−，.故答案为：

(,2e−−三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量()2,1,1axx=+，()22,,bxtx=−−，若函数()fxab=在区间()0,1上单调递增，求实

数t的取值范围．【答案】)1,+【解析】【分析】先用数量积的运算计算出()fx，在对()fx的导数判断函数的单调性转化为()0fx在区间()0,1上恒成立，利用分离参数的思想即232txx−在区间()0,1上是恒成求出232xx−的最大值即可.【详解】依题意()(

)()223221fxabxxtxxxxtxt==−++−=−+++，则()232fxxxt=−++．∵()fx在区间()0,1上单调递增，∴()0fx即232txx−在区间()0,1上恒成立．∵函数()232gxxx=−的图象是对称轴为13x=，开口向上的抛物线，∴

只需()1tg，即1t．经检验，当1t时，()fx在()0,1上单调递增，符合题意，因此实数t的取值范围是)1,+．18.已知圆C经过点()4,0A，且与直线x－y＋2＝0相切于点()2,0B−．（1）求圆C的方程；（2）设直线l：y＝x＋1与圆C相交于点M，N，求MN

．【答案】（1）()()221318xy−++=（2）22MN=【解析】【分析】（1）求出过点B与切线垂直的直线方程，再求出AB的中垂线方程，联立两直线方程可得圆心坐标，进一步求出半径，则圆C的方程可求；（2）求出圆心到直线1yx=+的距离，再由垂径定理求弦长．【小问1详解】过切点

()2,0B−且与直线x－y＋2＝0垂直的直线为y＝－（x＋2），即x＋y＋2＝0，其经过圆心．又线段AB的中垂线x＝1过圆心，联立20,1,xyx++==解得1,3.xy==−∴圆心为()1,3−，半径()()22123032r=++−−=．所求圆C的方程为()()22131

8xy−++=；【小问2详解】直线l的方程为x－y＋1＝0，∴圆心()1,3−到直线l的距离131522d++==，∴22252218222MNrd=−=−=．19.已知数列na是单调递减的等比数列，114a=且44a，2a，32a成等差数列．（1）求

na；（2）设12lognnba=，11nnncbb+=，求数列nc的前n项和nT．【答案】（1）112nna+=（2）24nnTn=+【解析】【分析】（1）利用等差等比的通项公式即可得到结果；（2）

利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】设数列na公比为q（0＜q＜1）．∵44a，2a，32a成等差数列，∴243242aaa=+，即32111242aqaqaq=+，的又114a=，0＜q＜1，得2210qq+−=，∴12q=或q＝－1（舍去），∴11111422n

nna−+==；【小问2详解】∵111221loglog12nnnban+===+，∴()()111111212nnncbbnnnn+===−++++，111111112334122224nnTnnnn=−+−++−=−=

++++．20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，E为棱PD的中点．（1）求证：⊥AE平面PCD；（2）求平面AEC与

平面PAC的夹角余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）306【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，⊥AE平面PCD；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AEC法向量

、平面PAC的法向量，由向量的夹角公式可得答案．【小问1详解】的∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PACD⊥，又∵CDAD⊥，PAADA=，CD⊥平面PAD，又AE平面PAD，∴CDAE⊥，∵2PAAD==，且E为PD的中点

，∴AEPD⊥，又CDPDD=，∴⊥AE平面PCD．【小问2详解】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()002P,,，()0,1

,1E，()1,2,0C．设平面AEC的法向量为(),,nxyz=，∵()0,1,1=AE，()1,1,1EC=−，∴00==nAEnEC即0,0,yzxyz+=+−=，可取()2,1,1n=−．设平面PAC的法向量为(),,=mxyz，∵()0,0,2AP

=，()1,2,0AC=，∴00==mAPmAC即20,20,zxy=+=可取()2,1,0=−m．∴530cos665===mnmnmn，即平面AEC与平面PAC的夹角余弦值为306．

21.已知椭圆E：22221xyab+=（a＞b＞0）过点31,2，且离心率32e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设过原点O的直线l交椭圆E于M，N两点，点11,2B−，求BMN面积的最大值．

【答案】（1）2214xy+=（2）2【解析】【分析】（1）由题意布列方程组，从而可得椭圆E的方程；（2）讨论直线l的斜率情况，联立方程表示三角形的面积，借助均值不等式求最值.小问1详解】由题知22222131,

43,2abcaabc+===+得224,1,ab==∴椭圆E的方程为2214xy+=；【小问2详解】当l的斜率不存在时，12112BMNSb==△．当l的斜率为0时，112122BM

NSa==△．当l的斜率存在且不为0时，设方程为y＝kx（k≠0），由22,1,4ykxxy=+=消去y得()221440kx+−=，∴2214xk=+，∴222244111414kMNkkk+=+=++．又点11,2B−到直

线l的距离为2121kdk+=+，所以22114112144BMNkSMNdkkk+===+++△，【当k＞0时，441121244BMNSkk=++=+△（当且仅当12k=时取等号），当k＜0时，1BMNS△．综上可知BMN面积的最大值为2．22.已知函数()lnexfxxxa=+．（1

）若曲线()yfx=）在点()1,ea处的切线方程为y＝2x＋b，求实数a，b的值；（2）若函数()()2exgxfxa=−有两个极值点，求实数a的取值范围．【答案】（1）1ea=，b＝－1（2）10,ae【解析】【分析】

（1）根据导数得切线斜率，进而由点斜式可得切线方程，由条件列方程求解即可；（2）令()0gx=，得ln1exxa+=，设()ln1exxhx+=，求导得函数单调性，由直线y＝a和ln1exxy+=的图象在()0,+内

有2个交点可得解.【小问1详解】∵()ln1xfxaex=++，∴()11fae=+，∴曲线()yfx=在点()1,ae处的切线方程为()()11yaeaex−=+−，即()11yaex=+−，又切

线方程为y＝2x＋b，∴121aeb+==−即1ea=，b＝－1．【小问2详解】∵()lnexgxxxa=−，∴()ln1exgxxa=+−，令()0gx=，得ln1exxa+=，函数()gx有两个极值点，等价于直线y＝a和ln1e

xxy+=的图象在()0,+内有2个交点．设()ln1exxhx+=，则()1ln1exxxhx−−=．再令()1ln1pxxx=−−，则()211pxxx=−−，当x＞0时，()0px，∴()1ln1pxxx=−−在()0,+上单调

递减，又()10p=，∴当()0,1x时，()0px，即()0hx，()hx单调递增；当()1,x+时，()0px，即()0hx，()hx单调递减．∴()()max11hxhe==．而当x→0时，()hx→−，当x→＋∞时，()0hx→，故要使直线y＝a和()hx的图象在()0

,+内有2个交点，需10ae，即10,ae．