【文档说明】北京市第一零一中学2024届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(24)页，1.259 MB，由小赞的店铺上传

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北京—零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考二一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2,1,0,1,2M=−−，260Nxxx=−−，则MN=（）A.2,1,0,1−−B.0,

1,2C.2−D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为()260,23,Nxxx=−−=−−+，而

2,1,0,1,2M=−−，所以MN=2−．故选：C．方法二：因为2,1,0,1,2M=−−，将2,1,0,1,2−−代入不等式260xx−−，只有2−使不等式成立，所以MN=2−．故选：C．2.下列函数中既是偶

函数，又在(0,)+上单调递增的是（）A.3yx=B.1yx=C.29yx=−D.yx=【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案.【详解】3yx=、1yx=是奇函数，不符合题意.29yx=−在(0,)+上单调递减，不符

合题意.yx=是偶函数，且,0,0xxyxxx==−，所以yx=在(0,)+上单调递增.故选：D3.已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscoscosabcABC==，则ABC是（）A.钝角三角形B.等边三角形C.

等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得tantantanABC==，进而得到ABC==，即可求解.【详解】由正弦定理得sinsinsincoscoscos

ABCABC==，则tantantanABC==，又,,ABC为三角形内角，则ABC==，则ABC是等边三角形.故选：B.4.复数cosisinz=+，且2z为纯虚数，则可能的取值为（）A.0B.π4C.π3D.π2【答案】B【解析】【分析】根

据复数代数形式的乘法运算、二倍角公式化简2z，再复数的概念得到cos20=，结合余弦函数的性质求出，即可得解.【详解】因为cosisinz=+，所以()2222cosisincossin2sincosicos2sin2iz=

+=−+=+，因为2z为纯虚数，所以cos20sin20=，所以π2π2k=+，Zk，所以ππ42k=+，Zk.故选：B5.已知0abc，则下列不等式正确的是（）A.baabB.22a

cC.()()loglogccab−−D.1122ac【答案】D【解析】【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令1,2ac=−=即可判断正误；C令01c，利用对数函数的性质判断即可；D根

据指数函数的单调性判断大小关系.【详解】A：22babaabab−−=，又0ab，则220ba−，0ab，故0baab−，即baab，错误；B：当1,2ac=−=时，22ac不成立，错误；C：由0ab，即0ab−−，当01c时有

()()loglogccab−−，错误；D：由0ac，则11122ac，正确.故选：D.6.如图，在ABC中，14ANNC=，P是直线BN上的一点，若25APmABAC=+，则实数m的值为（）A.－4B.－1C.1D.4【答

案】B【解析】【分析】根据向量共线定理的推论的推论，根据题意化简2APmABAN=+，再由21+=m即可得解.【详解】由14ANNC=，所以15ANAC=，225255APmABACmABANmABAN=+=+=+，

由21+=m，可得1m=−，故选：B7.已知正项等比数列na的公比为q，前n项和为nS，则“1q”是“1012112+SSS”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分

也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题1012112+SSS，变形得1211aa即可选出选项【详解】由题：1012112+SSS，12111110SSSS−−，即1211aa，由于题目给定na各项为正，所以等价于公比为1q.故选：C【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分

性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112+SSS.8.如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A做直线往复运动，设连杆AB长为40cm，曲柄CB长10cm，则曲柄CB从初始位置0CB按顺时针方向旋转60°时，活塞A移动距离0AA约为（）（617.81，708.37）A

.8.15cmB.6.95cmC.5.95cmD.3.15cm【答案】C【解析】【分析】作图，在三角形中，根据三角函数求出相关线段的长度，结合图形，即可得出答案.【详解】如图，过点B作1BBAC⊥于点1B，由已知

可得，40AB=，0040AB=，10BC=，60ACB=，所以，13603sin1052BBBC===，15601cos102CBBC===，所以，10015BBCBCB=−=.在1RtABB△中，由勾股定理可得，22

1156139.05ABABBB=−=，的所以，011039.05534.05ABABBB=−−=，所以，00004034.055.95AAABAB=−−=.故选：C.9.已知()1,0Ax，()2,0Bx两点是函数()2sin()1(0,(0,))fx

x=++与x轴的两个交点，且满足12min3xx−=,现将函数()fx的图像向左平移6个单位，得到的新函数图像关于y轴对称，则的可能取值为（）A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析

】【分析】根据12min3xx−=，即可求得，再根据平移后函数为偶函数，即可求得.【详解】令()2sin10x++=，解得()1sin2x+=−，因为12min3xx−=，故令21xx，并取12711,66xx+=+=，则()2123

xx−=，即可求得2=.此时()()2sin21fxx=++，向左平移6个单位得到2sin213yx=+++，若其为偶函数，则2,32kkZ+=+，解得26k=+.当0k=时，6=.

故选：A.【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.10.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02.接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.求满足如下

条件的最小整数N，50N.且该数列的前N项和为2的整数幂.那么N是（）A.83B.87C.91D.95【答案】D【解析】【分析】根据题意进行分组，然后分组求和即可.【详解】根据题意将数列分组，第一组为第一项是02，第二组为为

第二项和第三项是02，12，依次类推，第n组为02，12，22，…12n−，第n组含有n项，所以第n组的和为：122112nn−=−−，前n组内一共含有的项数为：()12nn+，所以前n组内的项数和为：123121212121=22nnnSn+=−+−+−++−−−，若该数列的前N项和为2的整

数幂.，只需将2n−−消去即可；若()122=0n++−−，则=1n，()12=32nnN+=+，不满足50N；若()1242=0n+++−−，则5n=，()13=182nnN+=+，不满足50N；若()1248

2=0n++++−−，则=13n，()14=952nnN+=+，满足50N；故满足如条件的最小整数N为95.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()πtan3fxx=−的定义域为________.【答案】5ππ,Z6xxkk+【

解析】【分析】根据正切函数的定义域求解即可.【详解】由πππ32xk−+，Zk，即5ππ6xk+，Zk，所以函数()πtan3fxx=−的定义域为5ππ,Z6xxkk+.故答案为：5ππ,Z6xxkk+.12.已知等差数列{}n

a的前n项和为nS．若19a=，公差2d=−，则nS的最大值为_______.【答案】25【解析】【分析】由已知求出等差数列{}na的通项公式，求出满足0na的最大n值，代入可得nS的最大值．【详解】1

9a=，2d=−，()()912112nann\=+-?=-令0na，解得112n，又*nN，则15nnS的最大值为()554592252S´=??=故答案为：2513.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若cos

cossinaBbAcC+=，2221()4Sbca=+−，则B=__________．【答案】4【解析】【详解】试题分析：∵222cos2bcaAbc+−=，∴22211sin()24SbcAbca==+−，∴11sin2cos24bcAbcA

=，∴tan1A=，4A=．∵coscossinaBbAcC+=，∴2sin()sinABC+=，∴sin1C=，∴2C=，∴4B=．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可

得tan1A=，可得4A=，再用正弦定理把coscossinaBbAcC+=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得90C=，最后根据三角形内角和，进而求得B．14.已知ABC为等边三角形，且边长为2，则,ABBC=________；若1B

D=，CEEA=，则ADEB的最大值为__________.【答案】①.23②.33+【解析】【分析】根据向量夹角的定义即可求出,ABBC，根据向量的运算可以得到3ADEBBDBE=−，由，设,BDBE=，由向量夹角的取值范围即可求解.【详解】因为ABC为等边三角形，所以π3ABC

=，所以2π,3ABBC=；因为CEEA=，所以E为AC中点，所以()1122ADEBABBDBABC=+−−()1111112π1422cos22222232BAABBCABBABDBCBDBDBABC=−−−−=−−+3B

DBE=−，设,BDBE=，则cos1,1−，所以13cos3cos3,3BDBE==−，又3ADEBBDBE=−，所以当3BDBE=−时ADEB有最大值33+.故答案为：23；33+.15.已知函数()πππ,,22πcos,π2e4,πxax

xfxxxax−++=+给出下列四个结论：①若()fx有最小值，则a的取值范围是1,0π−；②当0a时，若()fxt=无实根，则t的取值范围是)π,441,aaa++；③当12a−时，不等式()()224fxfx++的解集为(

)2,2−；④当1a时，若存在12xx，满足()()1210fxfx−=，则120xx+.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③④【解析】【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单

调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当πx时，()()πe44,41xfaaax−++=+，当ππ2x时，()cos1,0xfx−=，若0a，则当π2x时，()π()π2fafx=，则此时函数无最小

值；若0a=，则当π2x时，()0fx=，πx时，()πe4(0,1)xfax−+=+，则函数有最小值为1−满足题意；若a<0，则当π2x时，()π()π2fafx=，πx时，()()πe44,41xfaaax−++=+

，要使函数有最小值，则π141aa−−，解得104a−；综上，a的取值范围是1,04−，①错误；当0a时，函数()fx在π,2−单调递增，π,π2单调递减，()π,+单调递减，作图如下，因为()fxt=无实根，所以π4

ata或41ta+，②正确；当12a−时，因为411a+−，所以函数()fx在π,2+单调递减，又因为222,44,xx++所以由()()224fxfx++可得，224xx++，即220xx−−，解得0

2x，所以()2,2x−，所以不等式()()224fxfx++的解集为()2,2−，③正确；函数()fx在点π,02处的切线斜率为π()sin12fx=−=−，所以切线方程为π2yx=−+，则由图象可知，π,π2x时，πcos2xx−+，

设()()()121,0fxfxm==−，记直线ym=与函数π(),,2fxx−，π2yx=−+，π(),,π2fxx交点的横坐标为102,,xxx，的因为()2ππ,2fxaxx=+

经过点π(,0)2−，所以由对称性可知，当1a时，100xx+，又因为20xx，所以120xx+，④正确；故答案为:②③④.【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些

特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知等差数列na满足1210aa+=，432aa−=.（1）求na的通项公式；（2）设等比数列nb满足23ba=，37ba=，问：6b与数列na的第

几项相等?（3）在（2）的条件下，设5nnncab=−，数列nc的前n项和为nS.求：当n为何值时，nS的值最大?【答案】（1）22nan=+（2）第63项（3）当4n=时，nS的值最大【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即

可得解；（2）先求得2b，3b，再利用等比数列的定义与通项公式求得6b，再令6nab=，从而得解；（3）利用分组求和法即可求出nS，再利用导数求得nS的单调性，从而得解.【小问1详解】依题意，设等差数列na的公差为d，则432daa

=−=，又1210aa+=，得11210aa++=，解得14a=，所以42(1)22nann=+−=+；【小问2详解】设等比数列nb的公比为q，则238ba==，3716ba==，所以321628bqb===，214bbq==，所以576422128b===

，令22128nan=+=，解得63n=.故6b是数列na的第63项；【小问3详解】由（2）可知11422nnnb−+==，则155(22)2nnnncabn+=−=+−，所以()()()4224(12)546225421122nnnnnSn++−=+

+++−=−−−2225154nnn+=−+++，令()222515)4(Nxfxxxx++=−+++，则()2ln221015xfxx+=−++，由于Nx+，当14x时，()0fx¢>，函数()fx单调递增；当5x≥时，()0fx，函数()fx单调递减，

且()128125754756f=−+++=，()4648060480f=−+++=，所以当4n=时，nS有最大值且最大值为480S=.17.如图所示，已知ABC中，D为AC上一点，π,4,10,4AABBDADAB

===．（1）求sinADB；（2）若sin2sinBDCC=，求DC的长．【答案】（1）255（2）32【解析】【分析】（1）在ABD△中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得cosADB．法1：由正弦定理、sin2sinBDCC=可得BC，再由余弦定理可得DC．法2：

求出sinC及cosC，再由两角差的正弦展开式求出sinDBC，在BDC中由正弦定理可得答案．【小问1详解】在ABD△中，由正弦定理可得sinsinABBDADBA=，所以sinsinABADBABD=，又因为π,4,104AABBD===，

所以4225sin2510ADB==；【小问2详解】因为ADAB，所以ABDADB，所以90ADBo，由（1）结论，计算可得25cos1sin5=−=ADBADB，法1：由正弦定理可知sinsinBCBDBDCC=，又sin2sinBDCC

=，所以2210BCBD==，由余弦定理可得2222cosBCBDDCBDDCBDC=+−，化简整理得222300DCDC+−=，解得32DC=．法2：因为25sinsin5BDCADB==且sin2sinBDCC=，所以sin5sin25BDCC==，由题意可得CADB

，所以25cos5C=，所以()sinsinDBCADBC=−sincoscossinADBCADBC=−252555355555=−=，在BDC中，由正弦定理可得sinsinDCBDDB

CC=，所以3sin51032sin55DBCDCBDC===．18.已知函数()()()221ln02fxaxxaxx−=−+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1a=时，令()()()()lngxf

xfxxx=−−−，1,2x，求证：()12gx.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()()()2312xafxxx−−=，然后分0a=，02a，2a=三种情况，根据导函数即可得出函数的单调性；（2）代入1

a=，化简得出()233121gxxxx=+−−，求导根据导函数得出()gx在1,2上的单调性，进而得出最小值，即可证明.【小问1详解】由已知可得，()221lnxaxaxxfx=−+−，定义域为()0,+，所以()()()22331222xaxaaxxfxxx−−=−−

+=.（ⅰ）当0a=时，()()321xfxx−−=.当01x时，有()()3210xfxx−−=，()fx在()0,1上单调递增；当1x时，有()()3210xfxx−−=，()fx在()1,+上单调

递减.（ⅱ）当02a时，解()()()23120xaxfxx−−==，可得1x=，或2xa=（舍去负值），且21a.解()0fx¢>可得，01x或2xa，所以()fx在()0,1上单调递增，在2,a+上

单调递增；解()0fx可得，21xa，所以()fx在21,a上单调递减.（ⅲ）当2a=时，()()()232110xxfxx−+=在()0,+上恒成立，所以，()fx在()0,+上单调递增.综上所述，当0a=时，()fx在()0,1上单调递增

，在()1,+上单调递减；当02a时，()fx在()0,1上单调递增，在21,a上单调递减，在2,a+上单调递增；当2a=时，()fx在()0,+上单调递增.【小问2详解】由（1）知，当1a=时，()221lnxxxxfx=−+

−，()231221xfxxx=−−++，所以，()()()()lngxfxfxxx=−−−()22321122ln1lnxxxxxxxxx=−+−−−−++−−233121xxx=+

−−.所以，()234326gxxxx=−−+()241326xxx=−+−.解()0gx=，可得1193x−=（舍去负值），且4195，所以11941233−+.当12x时，解()0gx可得，11913x−+，所以()gx在1191,3−+上单调递增；

当12x时，解()0gx可得，11923x−+，所以()gx在119,23−+上单调递减.又()131211g=+−−=，()()31212112482gg=+−−=，所以，当12x时，()gx在2x=处取得最小值()1

22g=，所以有()12gx.19.已知函数()()2sinsincos0,fxxxxbb=++R.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数()fx的解析式唯一确定（1）求()fx的解析式及最小值；（2

）若函数()fx在区间()(),0ttt−上有且仅有2个零点，求t的取值范围.条件①：函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；条件②：函数()fx的图象经过点π,12；条件③：函数()fx的最大值与最小值的和为1.【答案】（1）2π1sin224()2fxx=−+

；min21()22fx=−+（2）π3π,44【解析】【分析】（1）先将()fx解析式化简，再选择相应条件，结合三角函数的性质逐一分析，从而得解；（2）先求得()fx在0x=附近的五个零点

，从而得到关于t的不等式组，由此得解.【小问1详解】选条件①②：由题意可知，21cos21()sinsincossin222xfxxxxbxb−=++=++2π1sin2242xb=−++，函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则π2π222T==，所以1=

，因为函数()fx的图象经过点π,12，所以π2ππ1sin2122242fb=−++=，所以0b=，所以2π1sin224()2fxx=−+，所以min21()22fx=−+.选择条件①③：函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距

离为π2，则π2π222T==，所以1=，minmax21(),()22fxbfx=−++=2122b++，函数()fx的最大值与最小值的和为1，所以212112222bb−+++++=，则0b=，所以2π1sin224()2fxx=−+，所以min21()22fx=−+.

选条件②③：minmax2121(),()2222fxbfxb=−++=++，函数()fx的最大值与最小值的和为1，所以212112222bb−+++++=，则0b=，因为函数()fx的图象经过点π,12

，所以π2ππ1sin2122242f=−+=，所以π2sinπ42−=，所以πππ2π,44kk−=+Z或π3ππ2π,44kk−=+Z，显然此时的值有多个，()fx的

解析式唯一确定，所以此种情形不符合题意，舍去.【小问2详解】由（1）知2π1sin224()2fxx=−+，令2π1sin2022()4fxx=−+=，得π2sin242x−=−，所以ππ22π,44xkk−

=−+Z或π3π22π,44xkk−=−+Z，即π,xkk=Z或ππ,4xkk=−+Z，所以()fx在0x=附近的五个零点为πx=−，π4x=−，0x=，3π4x=，πx=，因为()fx在区间()(),0ttt−上有且仅有2个零点，

所以π4x=−，0x=为()fx在区间()(),0ttt−上的两个零点，故ππ43π04tt−−−，解得π3π44t，所以t的取值范围是π3π,44.20.对于函数()fx，()gx，如果它们的

图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数()fx和()gx在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数()()20fxaxbxa=−，()lngxx=.（1）当1a=−，0b=时，判断函数()fx和()gx是否相切?并说明理由；（2）已知ab=

，0a，且函数()fx和()gx相切，求切点P的坐标；（3）设0a，点P的坐标为1,1e−，问是否存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切?若点P的坐标为()e,1呢?（结论不要求证明）【答案】（1）不相切，理由见解析（2）切点

P的坐标为(1,0).（3）P的坐标为1,1e−时，存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切，P的坐标为()e,1时，不存在.【解析】【分析】（1）根据两函数相切可得()()fxgx=，即可说明求解；（

2）根据题意可知函数()fx和()gx在切点(,)Pst处满足2ln12asassasas−=−=，即可求解；（3）根据两个函数存在切点，则有2ln12axbxxaxbx−=−=，即22ln21axbxx

axbx−=−=，将所给的两个点坐标分别代入即可求解.【小问1详解】当1a=−，0b=时，()2fxx=−，()lngxx=，()2fxx=−，()1gxx=，令()()fxgx=，即12xx

−=无解，所以函数()fx和()gx不相切.【小问2详解】因为ab=，0a，所以()()20fxaxaxa=−，()2fxaxa=−，()1gxx=，设切点为(,),(0)Psts,则2ln12asassasa

s−=−=，消去a得1ln21sss−=−，（*）注意到10(21)ass=−，所以12s，设函数11()ln,,212xFxxxx−=−+−，2(41)(1)()(21)xxFxxx−−−=−，令()0Fx=，解得1x=或14

x=（舍），令()0Fx，解得112x；令()0Fx，解得1x；所以函数11()ln,,212xFxxxx−=−+−在1,12单调递增，()1,+单调递减，所以max()(1)0FxF==,所以（*）方程有且

仅有一个解为1s=，于ln0ts==，所以切点P的坐标为(1,0).【小问3详解】()2fxaxb=−，()1gxx=，若两个函数存在切点，则有2ln12axbxxaxbx−=−=，即22ln21axbxxa

xbx−=−=，假设存在P的坐标为1,1e−，则221ee21eeabab−=−−=，即221ee21eeabab−=−−=，解得22e3eab==，满足题意，所以P

的坐标为1,1e−，存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切，此时()222e3efxxx=−，()lngxx=.假设存在P的坐标为()e,1，则22ee12ee1abab−=−=，解得01eab==−，不满足题意，所以P的坐标为()e,1，

不存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切.21.对于数列na定义1iiiaaa+=−△为na的差数列，21+=−iiiaaa△△△为na的累次差数列.如果na的差数列满足ijaa△△，()*,,ijijN，则称

na是“绝对差异数列”；如果na的累次差数列满足22jiaa=△△，()*,ijN，则称na是“累差不变数列”.（1）设数列1A：2，4，8，10，14，16；2A：6，1，5，2，4，3，判断数列1A和数列2A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出

你的结论；（2）若无穷数列na既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且na的前两项10a=，2aa=，2iad=△（d为大于0的常数），求数列na的通项公式；是（3）已知数列B：12212,,,,nnbbbb−是

“绝对差异数列”，且122,,,1,2,,2nbbbn=.证明：12nbbn−=的充要条件是242,,,1,2,,nbbbn=.【答案】21.答案见解析22.答案见解析23.证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义分析判断即可；（

2）根据题意分析可知2ia△为定值，利用累加法结合等差数列运算求解；（3）根据“绝对差异数列”结合充分、必要条件分析证明.【小问1详解】对于数列1A：2，4，8，10，14，16；可得：差数列为：2，4，2，4，2，不满足i

jaa△△，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：2，2−，2，2−，满足22jiaa=△△，所以是“累差不变数列”，对于数列2A：6，1，5，2，4，3；可得：差数列为：5−，4，3−，2，1−，不满足ijaa△△，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：

9，7−，5，3−，不满足22jiaa=△△，所以不是“累差不变数列”.【小问2详解】因为2iad=△，则2=iad△，反证：假设2ia△不是定值，即存在*kN，使得2210++=kkaa△△，可得()()1210+++−−+=kkkkaaaa△△△△，即2+=kkaa△△

，这与na既是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以2ia△为定值，①若2=iad△，即1+−=iiaad△△，可知数列na△是以首项为211=−=aaaa△，公差为d的等差数列，当2n时，则()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+()()

()12111212−−−−=+++=+−+nnnnaaaanad△△△，当1n=时，10a=符合上式，综上所述：()()()1212−−=−+nnnanad；②若2=−iad△，同理可得()()()1212−−=−

−nnnanad；综上所述：若2=iad△，()()()1212−−=−+nnnanad；若2=−iad△，()()()1212−−=−−nnnanad.【小问3详解】因为122,,,1,2,,2nbbbn

=，根据集合的互异性可知ijbb，()*,,ijijN，则1,2,,21,1,2,,21=−=−inibn△，又因为数列B是“绝对差异数列”，则ijbb△△，()*,,ijijN，充分性：若21−=−nbbn，可得()()()1221212221

2−−−−=−+−=++−−nnnnnbbbbbbbbn，即21221−−+++=−nnbbbn△△△，所以*12,,22imbmnmm−=−N，若差数列为12n−，符合的排序只能为2,1n；若差数列为

22n−，符合的排序只能为2,2,1n或2,1,21−nn，若差数列为32n−，符合的排序只能为21,2,2,1−nn或2,1,21,2−nn，若差数列为24n−，符合的排序只能为3,21,2,2,1−nn或21,2,2,1,23−−nnn或2,1,21,2,22−

−nnn或4,2,1,21,2−nn，若排序21,2,2,1,23−−nnn，则当差数列为52n−时，无法排序，不合题意；若排序为4,2,1,21,2−nn，则当差数列为52n−时，无法排序，不合题意；所以符合的排序只能为3,2

1,2,2,1−nn或2,1,21,2,22−−nnn，利用数学归纳法证明：当差数列为122−−+ni，符合的排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn，为显然1i=，符合题意；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为1

22−−+ni，符合排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn；则当差数列为22−ni时，符合的排序为1,21,,,21,2,2,1+−+−iniinn或21,,,21,2,2,1,221−+−−+niinnni，当差数列为()1221221−−++=−++

nini时，对于1,21,,,21,2,2,1+−+−iniinn可得符合的排序为()211,1,21,,,21,2,2,1−+−+−+−niiniinn；对于21,,,21,2,2,1,221−+−−+ni

innni，无法排序；所以符合的排序为()211,1,21,,,21,2,2,1−+−+−+−niiniinn，即当差数列为122−−+ni，符合的排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn；所以当差数列为122−−+ni，符合的排序为21,,,

21,2,2,1−+−niinn，成立；同理可证：当差数列为122−−+ni，符合的另一种排序为2,1,21,2,,21,−−+nnnii；依次类推，可得其排列为1,,2,1,3,2,,2,2,1++−+−nnnnnnn或2,1,21,

2,23,3,,1,−−+nnnnn，所以242,,,1,2,,nbbbn=，故充分性成立；若242,,,1,2,,nbbbn=，则2131,,,1,2,,2−=++nbbbnnn，若差数列为()21−n，则符合的排序为

2,1n或1,2n，若差数列为()22−n，则符合的排序为2,2,1n或2,1,21−nn或1,2,2n或21,1,2−nn，若差数列为()23−n，则符合的排序为21,2,2,1−nn或2,1,21,2−nn，因为1,2,2n的排序为1,2,2,21−nn，不合题意，21

,1,2−nn的排序为2,21,1,2−nn，不合题意，所以若差数列为()21−n，则符合的排序为2,1n，若差数列为()22−n，则符合的排序为2,2,1n或2,1,21−nn，的若差数列为()23−n，则符合的排序为21,2

,2,1−nn或2,1,21,2−nn，利用数学归纳法证明：当差数列为()212+−ni时，符合的的排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn，当1i=时，成立；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为()212+−ni，符合的排序为21,

,,21,2,2,1−+−niinn；当差数列为()22−ni，符合的排序为1,21,,,21,2,2,1+−+−iniinn或21,,,21,2,2,1,22−+−−niinnni，当差数列为()()2121+−+ni，对于1,2

1,,,21,2,2,1+−+−iniinn可得排序为()211,1,21,,,21,2,2,1−+++−+−niiniinn，对于21,,,21,2,2,1,22−+−−niinnni则无法排序，所以当差数列为()212+−ni，

符合的排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn；同理可证：当差数列为()212+−ni，符合的排序为2,1,21,2,,21,−−+nnnii；此时满足数列B是“绝对差异数列”的排序只有两种：1,,2,1,3,2,,2,2,1++−+−nnnnnn

n或2,1,21,2,23,3,,1,−−+nnnnn，则()()()112232221−−=−+−++−nnnbbbbbbbb()1221−=−+++=−nnbbb△△△，必要性成立；所以12nbbn−=的充要条件是24

2,,,1,2,,nbbbn=.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.