【文档说明】北京市第一零一中学2024届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(24)页，1.297 MB，由小赞的店铺上传

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北京—零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考二一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2,1,0,1,2M=−−，260Nxxx=−−，则MN=（）A.2,1,0,1−−B.

0,1,2C.2−D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为(

)260,23,Nxxx=−−=−−+，而2,1,0,1,2M=−−，所以MN=2−．故选：C．方法二：因为2,1,0,1,2M=−−，将2,1,0,1,2−−代入不等式260xx−−，只有2−使不等式成立，所以MN=2−．故选：C．2.下列函数中既

是偶函数，又在(0,)+上单调递增的是（）A.3yx=B.1yx=C.29yx=−D.yx=【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案.【详解】3yx=、1yx=是奇函数，不符合题意.29yx=−在(0,)+上单调递减，不符合题意.yx=是偶函数

，且,0,0xxyxxx==−，所以yx=在(0,)+上单调递增.故选：D3.已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscoscosabcABC==，则ABC是（）A.钝角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不

是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得tantantanABC==，进而得到ABC==，即可求解.【详解】由正弦定理得sinsinsincoscoscosABCABC==，则tantan

tanABC==，又,,ABC为三角形内角，则ABC==，则ABC是等边三角形.故选：B.4.复数cosisinz=+，且2z为纯虚数，则可能的取值为（）A.0B.π4C.π3D.π2【答案】B

【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算、二倍角公式化简2z，再复数的概念得到cos20=，结合余弦函数的性质求出，即可得解.【详解】因为cosisinz=+，所以()2222cosisincossin2sincosic

os2sin2iz=+=−+=+，因为2z为纯虚数，所以cos20sin20=，所以π2π2k=+，Zk，所以ππ42k=+，Zk.故选：B5.已知0abc，则下列不等式正确的是（）A.baabB.22acC.()()log

logccab−−D.1122ac【答案】D【解析】【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令1,2ac=−=即可判断正误；C令01c，利用对数函数的性质判断即可；D根据指数函数的单调性判断大小关系.【详解】A：22babaa

bab−−=，又0ab，则220ba−，0ab，故0baab−，即baab，错误；B：当1,2ac=−=时，22ac不成立，错误；C：由0ab，即0ab−−，当01c时有()()loglogccab−−，错误；D

：由0ac，则11122ac，正确.故选：D.6.如图，在ABC中，14ANNC=，P是直线BN上的一点，若25APmABAC=+，则实数m的值为（）A.－4B.－1C.1D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理的推论的推论，根据题意化简2AP

mABAN=+，再由21+=m即可得解.【详解】由14ANNC=，所以15ANAC=，225255APmABACmABANmABAN=+=+=+，由21+=m，可得1m=−，故选：B7.已知正项等比数列na的公比为q，前n

项和为nS，则“1q”是“1012112+SSS”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题1012112+SSS，变形得1211a

a即可选出选项【详解】由题：1012112+SSS，12111110SSSS−−，即1211aa，由于题目给定na各项为正，所以等价于公比为1q.故选：C【点睛】此题考查与等比数列有关的两个条件充分性与必要性，关键在于题目给定各项均为正的前提下如何利用1012112

+SSS.8.如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A做直线往复运动，设连杆AB长为40cm，曲柄CB长10cm，则曲柄CB从初始位置0CB按顺时针方向旋转60°时，活塞A移动距离0AA约为（）（617.81，708.3

7）A.8.15cmB.6.95cmC.5.95cmD.3.15cm【答案】C【解析】【分析】作图，在三角形中，根据三角函数求出相关线段的长度，结合图形，即可得出答案.【详解】如图，过点B作1BBAC⊥于点1B，由已知可得，40AB=，0040AB=，10BC=，60ACB=，

所以，13603sin1052BBBC===，15601cos102CBBC===，所以，10015BBCBCB=−=.在1RtABB△中，由勾股定理可得，221156139.05ABABBB=−=，的所以，011039.05534.05ABA

BBB=−−=，所以，00004034.055.95AAABAB=−−=.故选：C.9.已知()1,0Ax，()2,0Bx两点是函数()2sin()1(0,(0,))fxx=++与x轴的两个交点，

且满足12min3xx−=,现将函数()fx的图像向左平移6个单位，得到的新函数图像关于y轴对称，则的可能取值为（）A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】【分析】根据12min3xx−=，即可求得，再根据平移后函数为偶函数，即可求得.【详解】

令()2sin10x++=，解得()1sin2x+=−，因为12min3xx−=，故令21xx，并取12711,66xx+=+=，则()2123xx−=，即可求得2=.此时()()2sin21fxx=++，向左平移6个单位得到2sin213

yx=+++，若其为偶函数，则2,32kkZ+=+，解得26k=+.当0k=时，6=.故选：A.【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.10.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，

8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02.接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N，50N.且该数列的前N项和为2的整数幂.那么N是（）A.83B.87C.91D.95【

答案】D【解析】【分析】根据题意进行分组，然后分组求和即可.【详解】根据题意将数列分组，第一组为第一项是02，第二组为为第二项和第三项是02，12，依次类推，第n组为02，12，22，…12n−，第n组含有n项，所以第n组的和为：122112nn−=−−，前n组内一

共含有的项数为：()12nn+，所以前n组内的项数和为：123121212121=22nnnSn+=−+−+−++−−−，若该数列的前N项和为2的整数幂.，只需将2n−−消去即可；若()122=0n++−−，则=1n，()12=32nnN+=+，不满足50N；若()1242=0n++

+−−，则5n=，()13=182nnN+=+，不满足50N；若()12482=0n++++−−，则=13n，()14=952nnN+=+，满足50N；故满足如条件的最小整数N为95.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()πtan3fxx=−

的定义域为________.【答案】5ππ,Z6xxkk+【解析】【分析】根据正切函数的定义域求解即可.【详解】由πππ32xk−+，Zk，即5ππ6xk+，Zk，所以函数()πtan3fxx=−的定义域为5ππ,Z6xxkk+

.故答案为：5ππ,Z6xxkk+.12.已知等差数列{}na的前n项和为nS．若19a=，公差2d=−，则nS的最大值为_______.【答案】25【解析】【分析】由已知求出等差数列{}na的通项公式，求出满足0na的最大n值，代入可得

nS的最大值．【详解】19a=，2d=−，()()912112nann\=+-?=-令0na，解得112n，又*nN，则15nnS的最大值为()554592252S´=??=故答案为：2513.在△

ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若coscossinaBbAcC+=，2221()4Sbca=+−，则B=__________．【答案】4【解析】【详解】试题分析：∵222cos2bcaAbc+−=

，∴22211sin()24SbcAbca==+−，∴11sin2cos24bcAbcA=，∴tan1A=，4A=．∵coscossinaBbAcC+=，∴2sin()sinABC+=，∴sin1C=，∴2C=，∴4B=．考点：解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积

公式可得tan1A=，可得4A=，再用正弦定理把coscossinaBbAcC+=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得90C=，最后根据三角形内角和，进而求得B．14.已知ABC为等边三角

形，且边长为2，则,ABBC=________；若1BD=，CEEA=，则ADEB的最大值为__________.【答案】①.23②.33+【解析】【分析】根据向量夹角的定义即可求出,ABBC，根据向量的运算可以得到3ADEBBDBE=−，由，

设,BDBE=，由向量夹角的取值范围即可求解.【详解】因为ABC为等边三角形，所以π3ABC=，所以2π,3ABBC=；因为CEEA=，所以E为AC中点，所以()1122ADEBABBDBABC=+−−()1111112π1422cos22222232BAABBCABBAB

DBCBDBDBABC=−−−−=−−+3BDBE=−，设,BDBE=，则cos1,1−，所以13cos3cos3,3BDBE==−，又3ADEBBDB

E=−，所以当3BDBE=−时ADEB有最大值33+.故答案为：23；33+.15.已知函数()πππ,,22πcos,π2e4,πxaxxfxxxax−++=+给出下列四个结论：

①若()fx有最小值，则a的取值范围是1,0π−；②当0a时，若()fxt=无实根，则t的取值范围是)π,441,aaa++；③当12a−时，不等式()()224fxfx++的解集为()2,2−；④当1a时，若存在12xx，满足()()1210fxf

x−=，则120xx+.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③④【解析】【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函

数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当πx时，()()πe44,41xfaaax−++=+，当ππ2x时，()cos1,0xfx−=，若0a，则当π2x时，()π()π2fafx=，则此时函数无最小值；若0a=，则当π2x时，()0fx=，πx

时，()πe4(0,1)xfax−+=+，则函数有最小值为1−满足题意；若a<0，则当π2x时，()π()π2fafx=，πx时，()()πe44,41xfaaax−++=+，要使函数有最小值，

则π141aa−−，解得104a−；综上，a的取值范围是1,04−，①错误；当0a时，函数()fx在π,2−单调递增，π,π2单调递减，()π,+

单调递减，作图如下，因为()fxt=无实根，所以π4ata或41ta+，②正确；当12a−时，因为411a+−，所以函数()fx在π,2+单调递减，又因为222,44,xx++

所以由()()224fxfx++可得，224xx++，即220xx−−，解得02x，所以()2,2x−，所以不等式()()224fxfx++的解集为()2,2−，③正确；函数()fx在点π,02处的切线斜率为

π()sin12fx=−=−，所以切线方程为π2yx=−+，则由图象可知，π,π2x时，πcos2xx−+，设()()()121,0fxfxm==−，记直线ym=与函数π(),,2fxx−，π2yx=−+，π(),,π2fxx交点的横坐标为

102,,xxx，的因为()2ππ,2fxaxx=+经过点π(,0)2−，所以由对称性可知，当1a时，100xx+，又因为20xx，所以120xx+，④正确；故答案为:②③④.【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结

合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知等差数列na满足1210aa+=，43

2aa−=.（1）求na的通项公式；（2）设等比数列nb满足23ba=，37ba=，问：6b与数列na的第几项相等?（3）在（2）的条件下，设5nnncab=−，数列nc的前n项和为nS.求：当n为何值时，nS的值最大?【答

案】（1）22nan=+（2）第63项（3）当4n=时，nS的值最大【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解；（2）先求得2b，3b，再利用等比数列的定义与通项公式求得6b，再令6nab=，从而得解；（3）利用分组求和法即可求出nS，再利用导

数求得nS的单调性，从而得解.【小问1详解】依题意，设等差数列na的公差为d，则432daa=−=，又1210aa+=，得11210aa++=，解得14a=，所以42(1)22nann=+−=+；【小问2详解】设等比数列nb的公

比为q，则238ba==，3716ba==，所以321628bqb===，214bbq==，所以576422128b===，令22128nan=+=，解得63n=.故6b是数列na的第63项；【小问3详解】由（2）可知11

422nnnb−+==，则155(22)2nnnncabn+=−=+−，所以()()()4224(12)546225421122nnnnnSn++−=++++−=−−−2225154nnn+=−+++，令()222515)4(Nxfxxxx++=−+++，则()

2ln221015xfxx+=−++，由于Nx+，当14x时，()0fx¢>，函数()fx单调递增；当5x≥时，()0fx，函数()fx单调递减，且()128125754756f=−+++=，()4648060480f=−+++=，所以当4n=时，nS

有最大值且最大值为480S=.17.如图所示，已知ABC中，D为AC上一点，π,4,10,4AABBDADAB===．（1）求sinADB；（2）若sin2sinBDCC=，求DC的长．【答案】（1）255（2）32【解析

】【分析】（1）在ABD△中，由正弦定理可得答案；（2）由（1）得cosADB．法1：由正弦定理、sin2sinBDCC=可得BC，再由余弦定理可得DC．法2：求出sinC及cosC，再由两角差的正弦展开式求出

sinDBC，在BDC中由正弦定理可得答案．【小问1详解】在ABD△中，由正弦定理可得sinsinABBDADBA=，所以sinsinABADBABD=，又因为π,4,104AABBD===，所以4225sin2510ADB==；【

小问2详解】因为ADAB，所以ABDADB，所以90ADBo，由（1）结论，计算可得25cos1sin5=−=ADBADB，法1：由正弦定理可知sinsinBCBDBDCC=，又sin2sinBDCC=，所

以2210BCBD==，由余弦定理可得2222cosBCBDDCBDDCBDC=+−，化简整理得222300DCDC+−=，解得32DC=．法2：因为25sinsin5BDCADB==且sin2sinBDCC=，所以sin5sin25BDCC==，由题意可得CADB，

所以25cos5C=，所以()sinsinDBCADBC=−sincoscossinADBCADBC=−252555355555=−=，在BDC中，由正弦定理可得sinsinDCBDDBCC=，所以3sin51032sin55DBCDC

BDC===．18.已知函数()()()221ln02fxaxxaxx−=−+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1a=时，令()()()()lngxfxfxxx=−−−，1,2x，求证：()12gx.【答案】（1）答案见解析（2）证

明见解析【解析】【分析】（1）求出()()()2312xafxxx−−=，然后分0a=，02a，2a=三种情况，根据导函数即可得出函数的单调性；（2）代入1a=，化简得出()233121gxxxx=+−−，求导根据导函数得出()gx在

1,2上的单调性，进而得出最小值，即可证明.【小问1详解】由已知可得，()221lnxaxaxxfx=−+−，定义域为()0,+，所以()()()22331222xaxaaxxfxxx−−=−−+=.（ⅰ）当0a=时，()()321xfxx−−=.当01

x时，有()()3210xfxx−−=，()fx在()0,1上单调递增；当1x时，有()()3210xfxx−−=，()fx在()1,+上单调递减.（ⅱ）当02a时，解()()()

23120xaxfxx−−==，可得1x=，或2xa=（舍去负值），且21a.解()0fx¢>可得，01x或2xa，所以()fx在()0,1上单调递增，在2,a+上单调递增；解()0fx可得，21xa，所以()fx在21,a

上单调递减.（ⅲ）当2a=时，()()()232110xxfxx−+=在()0,+上恒成立，所以，()fx在()0,+上单调递增.综上所述，当0a=时，()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减；当02a时，()fx在()0,1上单调递增，在2

1,a上单调递减，在2,a+上单调递增；当2a=时，()fx在()0,+上单调递增.【小问2详解】由（1）知，当1a=时，()221lnxxxxfx=−+−，()231221xfxxx=−−++，所以，

()()()()lngxfxfxxx=−−−()22321122ln1lnxxxxxxxxx=−+−−−−++−−233121xxx=+−−.所以，()234326gxxxx=−−+()241326xxx=−+−.解()0gx=，可得1193x

−=（舍去负值），且4195，所以11941233−+.当12x时，解()0gx可得，11913x−+，所以()gx在1191,3−+上单调递增；当12x时，解()0gx可得，11923x−+，所以()gx在119,23−+上单调

递减.又()131211g=+−−=，()()31212112482gg=+−−=，所以，当12x时，()gx在2x=处取得最小值()122g=，所以有()12gx.19.已知函数()()2sinsincos0,fxxxx

bb=++R.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个，使得函数()fx的解析式唯一确定（1）求()fx的解析式及最小值；（2）若函数()fx在区间()(),0ttt−上有且仅有2个零点，求t的取值范围.条件①：函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；条件②：函数

()fx的图象经过点π,12；条件③：函数()fx的最大值与最小值的和为1.【答案】（1）2π1sin224()2fxx=−+；min21()22fx=−+（2）π3π,44【解析】【分析】（1）先将()fx解析式化简，再选择相

应条件，结合三角函数的性质逐一分析，从而得解；（2）先求得()fx在0x=附近的五个零点，从而得到关于t的不等式组，由此得解.【小问1详解】选条件①②：由题意可知，21cos21()sinsincossin222xfxxxxbxb−=++=++2π1

sin2242xb=−++，函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则π2π222T==，所以1=，因为函数()fx的图象经过点π,12，所以π2ππ1sin2122242fb=−++=，所以0b=，所以

2π1sin224()2fxx=−+，所以min21()22fx=−+.选择条件①③：函数()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则π2π222T==，所以1=，minmax21

(),()22fxbfx=−++=2122b++，函数()fx的最大值与最小值的和为1，所以212112222bb−+++++=，则0b=，所以2π1sin224()2fxx=−+，所以min21()22fx=−+.选条件②③：minmax2121(),()2222fxbfxb

=−++=++，函数()fx的最大值与最小值的和为1，所以212112222bb−+++++=，则0b=，因为函数()fx的图象经过点π,12，所以π2ππ1sin2122242f=−+=，所以π2sinπ42−=

，所以πππ2π,44kk−=+Z或π3ππ2π,44kk−=+Z，显然此时的值有多个，()fx的解析式唯一确定，所以此种情形不符合题意，舍去.【小问2详解】由（1）知2π1sin224()2fxx=−+

，令2π1sin2022()4fxx=−+=，得π2sin242x−=−，所以ππ22π,44xkk−=−+Z或π3π22π,44xkk−=−+Z，即π,xkk=Z或ππ,4xkk=−+Z，所以()fx在0x=附近的五个零点为πx=−，π4x=−，0

x=，3π4x=，πx=，因为()fx在区间()(),0ttt−上有且仅有2个零点，所以π4x=−，0x=为()fx在区间()(),0ttt−上的两个零点，故ππ43π04tt−−−，解得π3π44t，所以t的取值范围是π3π,44.20.对

于函数()fx，()gx，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数()fx和()gx在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数()()20fxaxbxa=−，()lngxx=.（1）当1a=−，0b=时，判断函数()fx

和()gx是否相切?并说明理由；（2）已知ab=，0a，且函数()fx和()gx相切，求切点P的坐标；（3）设0a，点P的坐标为1,1e−，问是否存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切?若点P的坐标为(

)e,1呢?（结论不要求证明）【答案】（1）不相切，理由见解析（2）切点P的坐标为(1,0).（3）P的坐标为1,1e−时，存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切，P的坐标为()e,1时，不存在.【解析】【分析】（1）根据两函数相切可得()()fxgx

=，即可说明求解；（2）根据题意可知函数()fx和()gx在切点(,)Pst处满足2ln12asassasas−=−=，即可求解；（3）根据两个函数存在切点，则有2ln12axbxxaxbx−=−=，即22ln21axbxxaxbx−=−=，将所给的两个点

坐标分别代入即可求解.【小问1详解】当1a=−，0b=时，()2fxx=−，()lngxx=，()2fxx=−，()1gxx=，令()()fxgx=，即12xx−=无解，所以函数()fx和()gx

不相切.【小问2详解】因为ab=，0a，所以()()20fxaxaxa=−，()2fxaxa=−，()1gxx=，设切点为(,),(0)Psts,则2ln12asassasas−=−=，消去a得1ln21sss−=−，（*）注意到10(21)ass=−，所以12s

，设函数11()ln,,212xFxxxx−=−+−，2(41)(1)()(21)xxFxxx−−−=−，令()0Fx=，解得1x=或14x=（舍），令()0Fx，解得112x；令()0Fx

，解得1x；所以函数11()ln,,212xFxxxx−=−+−在1,12单调递增，()1,+单调递减，所以max()(1)0FxF==,所以（*）方程有且仅有一个解为1s=，于ln0ts==，所以切点P的坐标为(1,0).

【小问3详解】()2fxaxb=−，()1gxx=，若两个函数存在切点，则有2ln12axbxxaxbx−=−=，即22ln21axbxxaxbx−=−=，假设存在P的坐标为1,1e−，则221ee21eeabab−=−−=

，即221ee21eeabab−=−−=，解得22e3eab==，满足题意，所以P的坐标为1,1e−，存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切，此时()222e3e

fxxx=−，()lngxx=.假设存在P的坐标为()e,1，则22ee12ee1abab−=−=，解得01eab==−，不满足题意，所以P的坐标为()e,1，不存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处

相切.21.对于数列na定义1iiiaaa+=−△为na的差数列，21+=−iiiaaa△△△为na的累次差数列.如果na的差数列满足ijaa△△，()*,,ijijN，则称na是“绝对差异数列”；如果na的累次差数列满足22jiaa=△△，(

)*,ijN，则称na是“累差不变数列”.（1）设数列1A：2，4，8，10，14，16；2A：6，1，5，2，4，3，判断数列1A和数列2A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；（2）若无穷数列na既

是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且na的前两项10a=，2aa=，2iad=△（d为大于0的常数），求数列na的通项公式；是（3）已知数列B：12212,,,,nnbbbb−是“绝对差异数列”，且122,,,1,2,,2nbbbn

=.证明：12nbbn−=的充要条件是242,,,1,2,,nbbbn=.【答案】21.答案见解析22.答案见解析23.证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义分析判断即可；（2）根据题意分析可知2ia△为定值，利用累加法结合等差数列运算求解；（3）根据“

绝对差异数列”结合充分、必要条件分析证明.【小问1详解】对于数列1A：2，4，8，10，14，16；可得：差数列为：2，4，2，4，2，不满足ijaa△△，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：2，2−，2，2−

，满足22jiaa=△△，所以是“累差不变数列”，对于数列2A：6，1，5，2，4，3；可得：差数列为：5−，4，3−，2，1−，不满足ijaa△△，所以不是“绝对差异数列”；累次差数列为：9，7−，5，3−，不满足22jiaa=△△，所以不是“累差不变数

列”.【小问2详解】因为2iad=△，则2=iad△，反证：假设2ia△不是定值，即存在*kN，使得2210++=kkaa△△，可得()()1210+++−−+=kkkkaaaa△△△△，即2+=kkaa△△，这与na既

是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以2ia△为定值，①若2=iad△，即1+−=iiaad△△，可知数列na△是以首项为211=−=aaaa△，公差为d的等差数列，当2n时，则()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+()()()12

111212−−−−=+++=+−+nnnnaaaanad△△△，当1n=时，10a=符合上式，综上所述：()()()1212−−=−+nnnanad；②若2=−iad△，同理可得()()()1212−−=−−nnnanad；综上所述：若2=iad△，()()()1212−−=−+nn

nanad；若2=−iad△，()()()1212−−=−−nnnanad.【小问3详解】因为122,,,1,2,,2nbbbn=，根据集合的互异性可知ijbb，()*,,ijij

N，则1,2,,21,1,2,,21=−=−inibn△，又因为数列B是“绝对差异数列”，则ijbb△△，()*,,ijijN，充分性：若21−=−nbbn，可得()()()12212122212−−−−=−+−=++−−nnnnnb

bbbbbbbn，即21221−−+++=−nnbbbn△△△，所以*12,,22imbmnmm−=−N，若差数列为12n−，符合的排序只能为2,1n；若差数列为22n−，符合的排序只能为2,2,1n或2,1,21−nn，若差

数列为32n−，符合的排序只能为21,2,2,1−nn或2,1,21,2−nn，若差数列为24n−，符合的排序只能为3,21,2,2,1−nn或21,2,2,1,23−−nnn或2,1,21,2,22−−nnn或4,2,1,21,2−nn，若排序21,2,2,1,23−−nnn，则当

差数列为52n−时，无法排序，不合题意；若排序为4,2,1,21,2−nn，则当差数列为52n−时，无法排序，不合题意；所以符合的排序只能为3,21,2,2,1−nn或2,1,21,2,22−−nnn，利用数学归纳法证明：当差

数列为122−−+ni，符合的排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn，为显然1i=，符合题意；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为122−−+ni，符合排序为21,,,21,2,2,1−+

−niinn；则当差数列为22−ni时，符合的排序为1,21,,,21,2,2,1+−+−iniinn或21,,,21,2,2,1,221−+−−+niinnni，当差数列为()1221221−−++=−++nini时，对

于1,21,,,21,2,2,1+−+−iniinn可得符合的排序为()211,1,21,,,21,2,2,1−+−+−+−niiniinn；对于21,,,21,2,2,1,221−+−−+nii

nnni，无法排序；所以符合的排序为()211,1,21,,,21,2,2,1−+−+−+−niiniinn，即当差数列为122−−+ni，符合的排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn；所以当差数列为122−−+ni，符合的排序为

21,,,21,2,2,1−+−niinn，成立；同理可证：当差数列为122−−+ni，符合的另一种排序为2,1,21,2,,21,−−+nnnii；依次类推，可得其排列为1,,2,1,3,2,,2,2,1++−+−n

nnnnnn或2,1,21,2,23,3,,1,−−+nnnnn，所以242,,,1,2,,nbbbn=，故充分性成立；若242,,,1,2,,nbbbn=，则2131,,,1,2,,2−=++nbbb

nnn，若差数列为()21−n，则符合的排序为2,1n或1,2n，若差数列为()22−n，则符合的排序为2,2,1n或2,1,21−nn或1,2,2n或21,1,2−nn，若差数列为()23−n，则符合的排序为21,2,2,1−nn或

2,1,21,2−nn，因为1,2,2n的排序为1,2,2,21−nn，不合题意，21,1,2−nn的排序为2,21,1,2−nn，不合题意，所以若差数列为()21−n，则符合的排序为2,1n，若差数列为()22−n，则符合的排序为2,2,1n或2,1,21−nn，

的若差数列为()23−n，则符合的排序为21,2,2,1−nn或2,1,21,2−nn，利用数学归纳法证明：当差数列为()212+−ni时，符合的的排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn，当1i=时，成立；假设在差数列有意义的前提下：当差数列为()212+−ni，符合的排序为

21,,,21,2,2,1−+−niinn；当差数列为()22−ni，符合的排序为1,21,,,21,2,2,1+−+−iniinn或21,,,21,2,2,1,22−+−−niinnni，当

差数列为()()2121+−+ni，对于1,21,,,21,2,2,1+−+−iniinn可得排序为()211,1,21,,,21,2,2,1−+++−+−niiniinn，对于21,,,21,2,2,1,22−+

−−niinnni则无法排序，所以当差数列为()212+−ni，符合的排序为21,,,21,2,2,1−+−niinn；同理可证：当差数列为()212+−ni，符合的排序为2,1,21,2,,21,−−+nnn

ii；此时满足数列B是“绝对差异数列”的排序只有两种：1,,2,1,3,2,,2,2,1++−+−nnnnnnn或2,1,21,2,23,3,,1,−−+nnnnn，则()()()112232221−−=−+−++−nnnbbbbbbbb()1221−=−+++=−n

nbbb△△△，必要性成立；所以12nbbn−=的充要条件是242,,,1,2,,nbbbn=.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义

，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.