【文档说明】黑龙江省大庆中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.175 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年黑龙江省大庆中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分）.1．某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24B．30C．32D．352．甲乙两名同学6次考试的成

绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙3．如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1，AB⊥BC，E为

BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（）A．B．C．D．4．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，，则＝（）A．B．C．D．5．若cos（30°﹣α）﹣sinα＝，则sin（30°﹣2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．若向量，满足

＝（1，0），＝（1，），则在上的投影向量为（）A．﹣B．C．﹣D．7．学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（）A．B．C．D．8．在△ABC中，角A，B，C的

对边分别为a，b，c，2acosA＝bcosC+ccosB，当△ABC的外接圆半径R＝2时，△ABC面积的最大值为（）A．B．2C．3D．49．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A．﹣2B．C．﹣3D．﹣610．在

△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB、AC上，DE∥BC．AD＝BD，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A﹣BCED体积最大时，二面角A﹣BC﹣D的大小为（）A．B．C．D．二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）11．下列命题为真命题的是（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝iC．复数的共轭复数为﹣2﹣iD．

复数为﹣2﹣i的虚部为﹣112．已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β三、填空题（共4小题

，每小题5分，共20分．）13．烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中桃花与牡丹花的概率为．14．已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第2

5百分位数是．15．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN＝m．16．已知A、B、C、D为同一球面上的四个点．

在△ABC中，，AB＝AC＝；AD＝6，AD⊥平面ABC，则该球的体积为．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，

70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（

Ⅱ）若f（x）+m≤0对恒成立，求实数m的取值范围．19．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求三棱锥D﹣A1C1B的体积．20．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身

动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（

1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人

人数．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．（1）求A的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求a以及△ABC外接圆的面积．22．如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面A

BC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC，（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线EC与平面ABE所成线面角的正切值．参考答案一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分每小题只有一个选项正确．）1．某校高中三个年级人数饼图如图所示，

按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24B．30C．32D．35解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x人，则，解得：x＝32故选：C．2．甲乙两

名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙解：甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，由折线图得：＞，σ甲＜σ乙，故选：C．3

．如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1，AB⊥BC，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：连接BF，由BE＝C1F，且BE∥C1F，可得四边形BEC

1F为平行四边形，即有C1E∥BF，则∠AFB为异面直线AF与C1E所成角．设AB＝BC＝CC1＝2，由B1B⊥平面ABC，可得B1B⊥BA，由AB⊥BC，可得BA⊥平面CBB1C1，即有BC⊥AB，AB⊥BF，所以t

an∠AFB＝＝＝．故选：A．4．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，，则＝（）A．B．C．D．解：在平行四边形中，由已知可得：＝﹣＝＝＝，故选：D．5．若cos（30°﹣α）﹣sinα＝，则sin（30°﹣2α）＝（）A．B

．﹣C．D．﹣解：由cos（30°﹣α）﹣sinα＝，可得，即，所以sin（30°﹣2α）＝cos（60°+2α）＝＝．故选：D．6．若向量，满足＝（1，0），＝（1，），则在上的投影向量为（）A．﹣B．C．﹣D．解：由题意可得，在上的投影向量为||cosθ，∵＝（1，），||＝2，为单位向量，

＝（1，0），且与夹角为θ＝，∴||cosθ＝2×＝．故选：D．7．学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（）A．B．C．D．解：学校体育节的乒乓球决赛比赛

正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是：p＝（）2++（）2（）2＝．故选：C．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为

a，b，c，2acosA＝bcosC+ccosB，当△ABC的外接圆半径R＝2时，△ABC面积的最大值为（）A．B．2C．3D．4解：∵2acosA＝bcosC+ccosB，∴由正弦定理可得2sinAcosA＝sinBcosC+sin

CcosB，即2sinAcosA＝sin（B+C）＝sinA，∵A∈（0，π），∴cosA＝，即A＝，由余弦定理，≥2bc﹣bc，则bc≤12，（当且仅当b＝c时等号成立），∴△ABC的面积S＝，当且仅当

b＝c时，等号成立，故选：C．9．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A．﹣2B．C．﹣3D．﹣6解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，2），B

（﹣2，0），C（2，0），设P（x，y），则＝（﹣x，2﹣y），＝（﹣2﹣x，﹣y），＝（2﹣x，﹣y），所以•（+）＝﹣x•（﹣2x）+（2﹣y）•（﹣2y）＝2x2﹣4y+2y2＝2[x2+（y﹣）2﹣3]；所以当x＝0，y＝时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）＝﹣6．故选：D．10．在

△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB、AC上，DE∥BC．AD＝BD，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A﹣BCED体积最大时，二面角A﹣BC﹣D的大小为（）A．B．C．D．解：如图，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，过A作

BC的垂线AH，垂足为H，交DE于G，∴当△ADE⊥平面BCED时，四棱锥A﹣BCED体积最大．由DE⊥AG，DE⊥GH，AG∩GH＝G，可得DE⊥平面AGH，又BC∥DE，则BC⊥平面AGH，∴∠A

HG为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AGH中，由，∴tan，则二面角A﹣BC﹣D的大小为．故选：C．二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的

得0分．）11．下列命题为真命题的是（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝iC．复数的共轭复数为﹣2﹣iD．复数为﹣2﹣i的虚部为﹣1解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi，则z

1z2＝a2+b2是实数，所以A正确；若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝i3＝﹣i，所以b不正确；复数＝＝﹣2﹣i，所以复数的共轭复数为﹣2+i，所以C不正确；复数为﹣2﹣i的虚部为﹣1，满足复数的定义，所以D正确；故选：AD．12．已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的

直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β解：α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，对于

A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则由线面平行的性质得m∥l，故C正确；对

于D，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则直线m与β相交不一定垂直，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准

备从这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中桃花与牡丹花的概率为．解：设樱花、梨花、苹果花为1，2，3，桃花与牡丹花为M和N，从中选3种花去旅游观赏的基本事件为：123，12M，12N，13M，13N，1MN，23M，23N，2MN，3MN，共10种，其中含有桃花与牡丹花的事件有：1

MN，2MN，3MN，共3个，∴恰巧选中桃花与牡丹花的概率为P＝．故答案为：．14．已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是4.7．解：数据从小到大排列为4.2，4.7，5.0，5.3，5.5，6.1，共6个，∵6×

25%＝1.5，∴第25百分位数是4.7．故答案为：4.7．15．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500

m，则山高MN＝750m．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝500m，所以AC＝500m；在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，＝，因此AM＝500×＝500m；在Rt△MNA中，AM＝500m，∠MAN＝60°，由＝sin60°，得M

N＝500×＝750m．故答案为：750．16．已知A、B、C、D为同一球面上的四个点．在△ABC中，，AB＝AC＝；AD＝6，AD⊥平面ABC，则该球的体积为．解：由题意，设△ABC外接圆的圆心为G，球心为O，把A、B、C、D扩展为三棱柱，AD＝6，AB＝AC＝2，OG＝3

，△ABC中，BC＝＝6，∴AG＝×＝2，得球半径AO＝＝．所求球的体积为V＝，故答案为：．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名

同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数[7

0，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，则有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x＝1

，可得x＝0.30，所以频率分布直方图为：（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）+m≤0对恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）函数．＝，＝＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅱ）f（x）+m≤0对恒成立，所以f（x）max+m≤0，由于，所以．当时，即时，m+1≤0时，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]

．19．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求三棱锥D﹣A1C1B的体积．【解答】证明：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点∵D为AC中点，∴PD∥B1C，又∵PD⊂平面A1B

D，∴B1C∥平面A1BD；解：（2）连接DC1，BC1，则＝，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，∴BD⊥平面AA1

C1C，在等边三角形ABC中，由AB＝2，得BD＝，又正三棱柱的侧棱长为，∴，∴＝＝．20．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区

居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2

）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过8

0岁的成年人人数．解：（1）平均数，前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设为x，则（x﹣30）×0.03+0.15+0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35（2）（i）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其

中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y则从中选取2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c）（a，d），（a，x），（a，y），（b，c）（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x

，y）．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为

事件A，故所求概率为．（ii）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1﹣（18﹣10）×0.015＝0.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b+

c+a）（b+c﹣a）＝3bc．（1）求A的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求a以及△ABC外接圆的面积．解：（1）由（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc，得b2+c2﹣a2＝bc，即，由余弦定理得；又A∈（0，π），所以A＝．（2

）由（1）可得B+C＝，所以；又因为，所以；所以△ABC的面积为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝，解得bc＝8；由正弦定理＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径），所以bc＝4R2sinBsinC＝4R2×＝8，解得R＝；所以a＝2RsinA＝2××＝4；所以△A

BC外接圆的面积为S＝πR2＝．综上知：a＝4，△ABC外接圆面积为．22．如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC，（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线EC与平面ABE所成线面角的正切值．【解答】（1）证明：∵ACDE是正方形，

∴AM⊥EC，∵正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACDE，∵AM⊂平面ACDE，∴AM⊥BC，∵EC∩BC＝C，∴AM⊥平面EBC．（2）解：由题意，以CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空

间直角坐标系，∵边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC，∴A（2，0，0），B（0，2，0），E（2，0，2），C（0，0，0），＝（﹣2，2，0），＝（0，0，2），设平面ABE的法向量＝

（x，y，z），，取x＝1，得＝（1，1，0），＝（2，0，2），设直线EC与平面ABE所成线面角为θ，sinθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴θ＝30°，∴tanθ＝．∴直线EC与平面ABE所成线面角的正切值为．