【文档说明】黑龙江省大庆中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(9)页，863.765 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年度下学期期末考试高一（数学）试题一、单选题（共10小题，每小题5分，共50分每小题只有一个选项正确．）1．某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（）A．24B．30C．32D．352．甲、乙两名同学6

次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，标准差分别为甲，乙，则（）A．xx甲乙，甲乙B．xx甲乙，甲乙C．xx甲乙，甲乙D．xx甲乙，甲乙3．如图，在直棱柱111ABCABC−中，1ABBCCC==，ABBC⊥，E为BC的中点，

F为11BC的中点，则异面直线AF与CE所成角的正切值为（）A．255B．23C．52D．534．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，3AEAF=，则DF=（）A．1233ABAD−+B．1536ABAD−C．1233ABAD−D．1334ABAD−5．若()1cos3

0sin3−−=，则()sin302−=（）A．13B．13−C．79D．79−6．若向量a，b满足：()1,0a=，()1,3b=，则b在a上的投影向量为（）A．aB．14aC．a−D．14a−7．学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进

行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是12，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（）A．14B．38C．716D．15328．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2coscoscos

aAbCcB=+，当ABC△的外接圆半径2R=时，ABC△面积的最大值为（）A．43B．33C．23D．39．已知ABC△是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是（）A．-2B．32

−C．-3D．-610．在ABC△中，ABAC=，D、E分别在AB、AC上，//DEBC，3ADBD=，将ADE△沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥ABCED−体积最大时，二面角ABCD−−的大小为（）A．6B．4C．3D．2二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分．在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）11．下列命题为真命题的是（）A．若1z，2z互为共轭复数，则12zz为实数B．若i为虚数单位，n为正整数，则43nii+=

C．复数52i−的共轭复数为2i−−D．复数为2i−−的虚部为-112．已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥，n⊥，则//mnB．若⊥，m，n

，则mn⊥C．若l=，//m，//m，则//mlD．若l=，m，ml⊥，则m⊥三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．烟花三月、草长莺飞，樱花、桃花、梨花、苹果花、牡丹花陆陆续续地都开放了，周老师准备从这5种花中任选出3种去旅游观赏，则恰巧选中桃花

与牡丹花的概率为______．14．已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是______．15．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角60MAN=，C点的仰角45CAB=以及7

5MAC=；从C点测得60MCA=．已知山高500BCm=，则山高MN=______m．16．已知A、B、C、D为同一球面上的四个点在ABC△中，23BAC=，23ABAC==；6AD=，AD⊥平面ABC，则该球

的体积为______．四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成)40,50，)50,60，)60,70，)70

,80，)80,90，90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；18．已知函数3()2sincos

32fxxx=++．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若()0fxm+对0,2x恒成立，求实数m的取值范围．19．如图，正三棱柱111ABCABC−的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．（1）求证：//BC平面1ABD；（2）求三棱

锥11DABC−的体积．20．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：)10,20，)2030，，)30,40，)40,50，)50,60，)60,70，

70,80后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数的估计值；（2）（i）若从样本中年龄在)50,70的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ii）已知该小区年龄在10,80内的

总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．21．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()()3bcabcabc+++−=．（1）求A的大小；（2

）若1coscos8BC=−，且ABC△的面积为23，求a的值．22．如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，ACBC⊥，且ACBC=．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线EC与平面ABE所成角正切值．参考答案1

．C2．B3．A4．B5．D6．A7．C8．B9．D10．C11．AD12．AC13．31014．4.715．75016．282117．（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）1733．（1）设分数在)70,80内的频率为x，根据频率分布

直方图，则有()0.010.01520.0250.005101x++++=，可得0.30x=，所以频率分布直方图为：（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把

最高的小长方形三等分，所以中位数是1170107333+=，所以估计本次考试成绩的中位数为1733．18．（1）；（2）(,1−−解：（1）因为3()2sincos32fxxx=++32sincoscossinsin332xxx=−+1332

sincossin222xxx=−+23sincos3sin2xxx=−+13sin2cos222xx=+sin23x=+所以()fx的最小正周期为22T==．（2）“

()0fxm+对0,2x恒成立”等价于“max()0fxm+”因为0,2x，所以42,333x+．当232x+=，即12x=时，()fx的最大值为112f=，所以10m+，所以实数m的取值范围为

(],1−−．19．（1）证明见解析；（2）（1）设1AB与1AB相交于点P，则P为1AB中点，连接PD，∵D为AC中点，∴1//PDBC，又∵PD平面1ABD，∴1//BC平面1ABD；（2）连接1DB，则1111DABCBADCVV−−=，在正三

棱柱111ABCABC−中，1//BB平面11AACC，则1B与B到平面1DAC的距离相等，∵D为AC的中点，∴BDAC⊥，又平面ABC⊥平面11AACC，且平面ABC平面11AACCAC=，∴BD⊥平面11

AACC，在等边三角形ABC中，由2AB=，得3BD=，又正三棱柱的侧棱长为3，∴1131322DACS==△，∴1111313322DABCBADCVV−−===．20．（1）37；（2）（i）35；（ii）1760．解

：（1）平均数150.15250.2350.3450.15550.1(6575)0.0537x=++++++=．（2）（i）样本中，年龄在)50,70的人共有400.156=人，其中年龄在)50,60的有4人，设为a，b，c，d，年龄在)60,70的有2人，设

为x，y．则从中任选2人共有如下15个基本事件：(),ab，(),ac，(),ad，(),ax，(),ay，(),bc，(),bd，(),bx，(),by，(),cd，(),cx，(),cy，(),dx，()

,dy，(),xy．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：(),ax，(),ay，(),bx，(),by，(),cx，(),cy，(),dx，(),dy，(),xy．记“这2人中至少有1人年龄

不低于60岁”为事件A，故所求概率93()155PA==．（ii）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为()118100.0150.88−−=，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为：20000.881760=．21．（1）3；（2）4．解：（1）由()()3bcab

cabc+++−=，得222bcabc+−=，即222122bcabc+−=，由余弦定理得1cos2A=；又,()0A，所以3A=．（2）由（1）可得23BC+=，所以1cos()coscossinsin2BCBCBC+=−=−；又因为1coscos8BC=−，所以3sinsin8BC

=；所以ABC△的面积为11sinsin23223ABCSbcAbc===△，解得8bc=；由正弦定理2sinsinsinabcRABC===（R为ABC△外接圆的半径），所以2234sinsin488bcRBCR===，解得43R=；所以

432sin2423aRA===．22．（1）证明见解析；（2）33．（1）∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABCAC=，BCAC⊥，BC平面ABC，∴平面ACDE，∵AM平面ACDE，∴AMBC⊥，因为

四边形ACDE为正方形，则ADCE⊥，即AMCE⊥，∵BCCEC=，所以，AM⊥平面EBC；（2）取AB的中点F，连接CF、EF，∵ACBC=，F为AB的中点，则CFAB⊥，∵四边形ACDE为正方形，

则AEAC⊥，∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABCAC=，AE平面ACDE，∴AE⊥平面ABC，CF平面ABC，CFAE⊥，∵AEABA=，∴CF⊥平面ABE，所以，直线EC与平面ABE所成角为CEF，∵AE⊥平面ABC，AB平面ABC，∴AEAB⊥，∴22

6EFAEAF=+=，∵2211222CFABACBC==+=，在RtCEF△中，90CFE=，故23tan36CFCEFEF===，因此，直线EC与平面ABE所成角正切值为33．