【文档说明】安徽省定远县育才学校2021届高三下学期第一次模拟考试理科数学试题 含答案.docx，共(11)页，122.132 KB，由小赞的店铺上传

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理科数学第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.已知实数集为R，集合𝑀={𝑥|𝑥<3}，𝑁={𝑥|𝑥<1}，则𝑀∩𝐶𝑅𝑁=()A.𝜑B.{𝑥|1<𝑥<3}C.{𝑥|1≤𝑥<3}D.{𝑥|1≤𝑥≤3}2.已知复数

z满足𝑧(1+2𝑖)=|3+4𝑖|(𝑖是虚数单位)，则z的共轭复数𝑧−=()A.1+2𝑖B.1−2𝑖C.−1+2𝑖D.−1−2𝑖3.设𝑎∈𝑅，则“𝑎=1”是“直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦−1=0与直线𝑙2

:𝑥+(𝑎+1)𝑦−𝑎2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知A为抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)上一点，点A到C的焦点

的距离为12，到y轴的距离为9，则𝑝=()A.2B.3C.6D.95.已知向量𝑎⃗⃗=(1,2)，𝑏⃗=(−2,3)，𝑐⃗=(4,5)，若，则实数𝜆=()A.−12B.12C.−2D.26.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A.2B.32C.53D.857.

正项等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎22+2𝑎3𝑎7+𝑎6𝑎10=16，则𝑎2+𝑎8=()A.−4B.4C.±4D.88.已知定义在R上的奇函数𝑓(𝑥)满足𝑓(1−𝑥)=𝑓(7−𝑥)，且当0≤𝑥<3时，𝑓(𝑥)={𝑎+log√2(

𝑥+1),0≤𝑥≤12(𝑥−2)2,1<𝑥<3，其中a为常数，则𝑓(2019)+𝑓(2020)+𝑓(2021)的值为()A.2B.−2C.12D.−129.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1

𝐵1𝐶1𝐷1中，给出下列四个推断：①𝐴1𝐶1⊥𝐴𝐷1②𝐴1𝐶1⊥𝐵𝐷③平面𝐴1𝐶1𝐵//平面𝐴𝐶𝐷1④平面𝐴1𝐶1𝐵⊥平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷其中正确的推断有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,�

�>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点M，N分别在双曲线C的左、右两支上，点A在x轴上，且M，N，𝐹1三点共线，若𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∠𝐹1𝑁𝐹2=∠𝐴𝑁𝐹2，则双曲线C的离心率为()A.√5B.

√7C.3D.√1111.2019年俄罗斯在全国统一考试(相当于中国高考)中首次把汉语作为选考科目5。俄罗斯政府公布了汉语考试的样卷，分为听力和笔试，同时给出了评分标准。俄罗斯某高中共有5000名在校学生，针

对这项政策该校随机调查了200位学生，其中选考汉语或英语的学生共有150位，选考英语的学生共有80位，选考汉语且选考英语的学生共有60位，则该校选考汉语的学生人数的估计值为()A.2800B.3000C.3100D.325012.将函数𝑦=sin(𝑥−𝜋3

)的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移𝜋3个单位长度，得到函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象．在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若𝑓(2𝐴)=−√22，且𝑎=4，𝑏=4√2，则△𝐴𝐵𝐶的面积为A.4B.6C.8D.10第II卷（非选择题90分）二、

填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.设x，y满足约束条件{𝑥+3𝑦≤3𝑥−𝑦≥1𝑦≥0，则𝑧=𝑥+𝑦的最大值为_________．14.如果两个函数存在零点，分别为𝛼，𝛽，若满足|𝛼−𝛽|<𝑛，则称两个函数互为“n度零点函数”.若𝑓(𝑥)=

ln(𝑥−2)与𝑔(𝑥)=𝑎𝑥2−ln𝑥互为“2度零点函数”，则实数a的取值范围为_______．15.若二项式(𝑥+1√𝑥)𝑛展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________．16.湖北省2021年

的新高考按照“3+1+2”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目.则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为_

_____．三、解答题(共6小题,共70分。需给出必要的演算步骤。)17.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三年级学生的视力情况进行调查，从高三年级的全体1000名学生的体检表中随机抽取了100名学生的体检表，将这1

00名学生的视力数据分成六组：[4.0,4.2)，[4.2,4.4)，[4.4,4.6)，[4.6,4.8)，[4.8,5.0)，[5.0,5.2]，且得到如图所示的不完全频率分布直方图．(1)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生中近视的比较多．为了研究学

生的视力与学生的学习成绩的关系，学习小组对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行调查得到数据如表所示，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下有95％的把握认为学生的视力与学生的学习成绩有关？(2)在(1)被调查的100名学生中，按照年级名次1～50，

951～1000分组用分层抽样方法在不近视的学生中抽取了9人，为进一步调查他们良好的护眼习惯，在这9人中任取4人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列及数学期望．附：𝑃(𝐾2≥𝑘)0.1000.0500.0250.0100.005k2.7063.84

15.6246.6357.879𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)(𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)．18.（本小题满分12分）在锐角▵𝐴𝐵�

�中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足√5(𝑏2+𝑐2−𝑎2)tan𝐴=4𝑏𝑐．(1)求cos𝐴的值；(2)若cos𝐵=√1010，𝑐=√2，求a的值．19.（本小题满分12分）在四棱锥𝑃−𝐴�

�𝐶𝐷中，底面ABCD为矩形，𝑃𝐴⊥𝐴𝐷，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，𝐴𝐵=2，𝑃𝐴=𝐴𝐷=3.点E在线段PC上(端点除外)，平面ABE交PD于点F．(1)求证：四边形ABEF为直角梯形；(2

)若𝐴𝐹=3√22，求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）如图，已知点F为抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45º时，|𝑀𝑁|=16．

(1)求抛物线C的方程．(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+(𝑎+2)𝑥+𝑏，𝑔(𝑥)=−�

�2+𝑥2+𝑎𝑙𝑛𝑥．(1)当𝑎=1时，若𝑓(𝑥)在𝑥∈[−3,2)上的最大值为10，求实数b的值；(2)若对任意𝑥∈[1,𝑒]，都有𝑔(𝑥)+𝑏≥𝑓(𝑥)恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系中，直线l的极坐标方程为𝜌cos𝜃=4，以极点为原点，极轴所在直线为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为{𝑥=2cos2𝜑,

𝑦=2+4sin𝜑cos𝜑,(𝜑为参数)．(1)求直线l的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程；(2)过原点且倾斜角为𝛼(𝛼∈[0,𝜋))的直线𝑙′与直线l交于点M，与曲线C交于O，N两点，若|𝑂𝑁|=𝜆|𝑂𝑀|，求实数𝜆的最大值．23.

（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−4|+|1−𝑥|，𝑥∈𝑅．(1)解不等式：𝑓(𝑥)≤5；(2)记𝑓(𝑥)的最小值为M，若实数a，b满足𝑎2+𝑏2=𝑀，试证明：1𝑎2+2+1𝑏2+1≥23．答案1.C2.

A3.D4.C5.C6.C7.B8.B9.C10.B11.D12.C13.314.(0,12𝑒]15.1516.2517.解：(1)由题意，𝐾2=100×(41×18−32×9)250×50×73×27=30073≈4.110，因为4.110>3.841，所以在犯错的概率不

超过0.05的前提下有95％的把握认为学生的视力与学生的学习成绩有关；(2)据题意知，9人中年级名次在1∼50名和951∼1000名的人数分别为3人和6人，所以X的所有可能取值为0，1，2，3，𝑃(𝑋=

0)=𝐶30𝐶64𝐶94=542，𝑃(𝑋=1)=𝐶31𝐶63𝐶94=1021，𝑃(𝑋=2)=𝐶32𝐶62𝐶94=514，𝑃(𝑋=2)=𝐶33𝐶61𝐶94=121；所以X的分布列为X0123P5421021514121所以𝐸(𝑋)=0×542+1×10

21+2×514+3×121=43．18.解：(1)由余弦定理及已知，得√5⋅2𝑏𝑐cos𝐴tan𝐴=4𝑏𝑐，解得sin𝐴=2√55，由A为锐角，得cos𝐴=√1−sin2𝐴=√1−(2√55)2=√55，(2)由cos𝐵

=√1010，得sin𝐵=√1−cos2𝐵=3√1010．cos𝐶=−cos(𝐴+𝐵)=−(cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐵)=2√55×3√1010−√55×√1010=√22．又0<𝐶<𝜋，，所以𝐶=𝜋4．由正弦定理，得𝑎sin𝐴=𝑐sin

𝐶，即𝑎=𝑐sin𝐴sin𝐶=√2√22×2√5⬚5=4√55．19.(1)证明：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵⊂平面ABEF，𝐶𝐷⊄平面ABEF．∴𝐶𝐷//平面ABEF又𝐶𝐷⊂平面PCD，平面𝐴𝐵𝐸𝐹∩平面�

�𝐶𝐷=𝐸𝐹∴𝐶𝐷//𝐸𝐹又𝐸𝐹<𝐶𝐷=𝐴𝐵∴四边形ABEF为梯形∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝐴𝐵⊂平面ABCD

∴𝐴𝐵⊥平面PAD又𝐴𝐹⊂平面PAD∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐹∴四边形ABEF为直角梯形；(2)在直角三角形PAD中，𝑃𝐷=3√2，𝐴𝐹=3√22则𝑃𝐷=2𝐴𝐹∴𝐹为PD中点，又𝐶𝐷//

𝐸𝐹，∴𝐸为PC的中点因为𝑃𝐴⊥𝐴𝐷，又由(1)知𝐴𝐵⊥平面PAD，∴𝐴𝐵、AD、AP两两垂直以A为原点，分别以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗为x轴，y轴，z轴的正方向没建立空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧，则𝐴(0,0，0)，𝐵(2,0，

0)，𝐶(2,3，0)，𝑃(0,0，3)，从而𝐸(1,32,32)∴𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,32,32)，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0，0)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3，−3)设平面ABEF的法向量为𝑚⃗⃗⃗=(𝑎,b，𝑐)则{𝑚⃗⃗⃗·�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑚⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0即{2𝑎=0−𝑎+32𝑏+32𝑐=0取𝑏=1，则𝑚⃗⃗⃗=(0,1，−1)设直线PC与平面ABEF所成的角为𝜃，则sin𝜃=|cos⟨𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

,𝑚⃗⃗⃗⟩|=|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝑚⃗⃗⃗||𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝑚⃗⃗⃗|=6√22×√2=3√1111，故直线PC与平面ABEF所成的角正弦值为3√1111．20.解：(1)当l的斜率为1时，∵𝐹(�

�2,0)，∴𝑙的方程为𝑦=𝑥−𝑝2．由{𝑦=𝑥−𝑝2,𝑦2=2𝑝𝑥,得𝑥2−3𝑝𝑥+𝑝24=0．设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，则𝑥1+𝑥2=3𝑝，∴|𝑀𝑁|

=𝑥1+𝑥2+𝑝=4𝑝=16，𝑝=4，∴抛物线C的方程为𝑦2=8𝑥．(2)假设满足条件的点P存在，设𝑃(𝑎,0)，由(1)知𝐹(2,0)，①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为𝑦=𝑘(𝑥−2)(𝑘≠0)，由{�

�=𝑘(𝑥−2),𝑦2=8𝑥,得𝑘2𝑥2−(4𝑘2+8)𝑥+4𝑘2=0，△=(4𝑘2+8)2−4⋅𝑘2⋅4𝑘2=64𝑘2+64>0，𝑥1+𝑥2=4𝑘2+8𝑘2，𝑥1𝑥2=4．

∵直线PM，PN关于x轴对称，∴𝑘𝑃𝑀+𝑘𝑃𝑁=0，𝑘𝑃𝑀=𝑘(𝑥1−2)𝑥1−𝑎，𝑘𝑃𝑁=𝑘(𝑥2−2)𝑥2−𝑎．∴𝑘(𝑥1−2)(𝑥2−𝑎)+𝑘(𝑥2−2)(𝑥1−𝑎)=𝑘[2𝑥1𝑥2−(𝑎+2)(𝑥1

+𝑥2)+4𝑎]=−8(𝑎+2)𝑘=0，∴𝑎=−2时，此时𝑃(−2,0)．②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可．综上，存在唯一的点𝑃(−2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称．21.解：(1)当𝑎=1时，由

𝑓(𝑥)=−𝑥3+(𝑎+2)𝑥+𝑏，所以𝑓′(𝑥)=−3𝑥2+3=−3(𝑥+1)(𝑥−1)，令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥=−1或𝑥=1，当x变化时，𝑓′(𝑥)，𝑓(𝑥)在𝑥∈[−3,2)的变化情况如下表：x−3(−3,−1)−1(−1,1)1(1,2

)𝑓′(𝑥)−0+0−𝑓(𝑥)18+𝑏单调递减极小值单调递增极大值2+𝑏单调递减所以𝑓(𝑥)在𝑥∈[−3,2)上的最大值为𝑓(−3)=18+𝑏=10，解得𝑏=−8．(2)由𝑔(𝑥)+𝑏≥𝑓(𝑥)对𝑥∈[1,𝑒]恒成立，得(𝑥−𝑙𝑛𝑥)𝑎≤𝑥2

−2𝑥对𝑥∈[1,𝑒]恒成立，因为𝑥∈[1,𝑒]，𝑙𝑛𝑥≤1≤𝑥且等号不能同时取得，所以𝑙𝑛𝑥<𝑥，即𝑥−𝑙𝑛𝑥>0，所以𝑎≤𝑥2−2𝑥𝑥−𝑙𝑛𝑥对𝑥∈[1,𝑒]恒成立，即𝑎≤(𝑥2−2𝑥𝑥−𝑙𝑛𝑥)𝑚𝑖�

�，令ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑥𝑥−𝑙𝑛𝑥，𝑥∈[1,𝑒]，则ℎ′(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥+2−2𝑙𝑛𝑥)(𝑥−𝑙𝑛𝑥)2，当𝑥∈[1,𝑒]时，𝑙𝑛𝑥≤1，𝑥+2−2𝑙�

�𝑥>0，从而ℎ′(𝑥)≥0，所以ℎ(𝑥)在[1,𝑒]上为增函数，所以ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=ℎ(1)=−1，所以实数a的取值范围为𝑎≤−1．22.解：(1)依题意，直线l的直角坐标方程为𝑥=4；因为曲线C：{𝑥=2cos2𝜑,𝑦=2+

2sin2𝜑,故𝑥2+(𝑦−2)2=4，故曲线C的普通方程为𝑥2+𝑦2−4𝑦=0，则曲线C的极坐标方程为𝜌=4sin𝜃；(2)依题意，直线𝑙′的极坐标方程为𝜃=𝛼(𝜌∈𝐑)，联立{𝜃=𝛼,𝜌cos𝜃=4,故|𝑂𝑀|=|𝜌𝑀|=4|cos𝛼|，由{𝜃=

𝛼,𝜌=4sin𝜃,故|𝑂𝑁|=|𝜌𝑁|=4|sin𝛼|，故𝜆=|𝑂𝑁||𝑂𝑀|=4|sin𝛼|⋅|cos𝛼|4=12|sin2𝛼|，所以当𝛼=𝜋4或3𝜋4时，𝜆有最大值12．23.

解：(1)𝑓(𝑥)=|𝑥−4|+|1−𝑥|={2𝑥−5,𝑥>43,1≤𝑥≤4−2𝑥+5,𝑥<1．∵𝑓(𝑥)≤5，∴{2𝑥−5≤5𝑥>4或1≤𝑥≤4或{−2𝑥+5≤5𝑥<1，∴4<𝑥≤5或1≤𝑥≤4或0≤𝑥<1，∴0≤𝑥≤5，∴不等式的解集

为{𝑥|0≤𝑥≤5}．(2)由(1)知，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑀=3，∴𝑎2+𝑏2=𝑀=3，∴1𝑎2+2+1𝑏2+1=(1𝑎2+2+1𝑏2+1)[(𝑎2+2)+(𝑏2+1)]×1

6=(2+𝑏2+1𝑎2+2+𝑎2+2𝑏2+1)×16≥(2+2√𝑏2+1𝑎2+2⋅𝑎2+2𝑏2+1)×16=23，当且仅当𝑎2=1，𝑏2=2时等号成立，∴1𝑎2+2+1𝑏2+1≥23．