【文档说明】湖南省名校联考联合体2023-2024学年高二上学期第三次联考数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.185 MB，由管理员店铺上传

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名校联考联合体2023年秋季高二年级第三次联考数学（A卷）时量：120分钟满分：150分（考试范围：必修第一册､必修第二册､选择性必修一，选择性必修二至第五章5.2）得分：__________.一､选择题；本题共8小题，每小题

5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数()()34i12iz=+−，则z=（）A.5B.55C.10D.105【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果【详解】因为()()

234i12i36i4i8i112iz=+−=−+−=−，所以2211255z=+=.故选：B.2.已知集合48Axx=，17321Bxx=−−−，则()AB=Rð（）A.(),210,−+B.)4,8

C.())248,10，D.R【答案】A【解析】【分析】计算出集合B后，运用并集及补集的性质运算即可得.【详解】因为17321210Bxxxx=−−−=，又48Axx=，所以210ABxx=，()(),210,AB

=−+Rð.故选：A.3.已知函数()fx为奇函数，且当0x时，()341logfxxx=+−，则()3f−=（）A.10−B.10C.12−D.12【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合()()33ff−=−

，代入即可求解.【详解】由函数()fx为奇函数，且当0x时，()341logfxxx=+−，则()()()333431log312ff−=−=−+−=−.故选：C.4.已知函数()()230e1xfxfxx=++−（()fx是()fx的导函数），则()()00ff

+=（）A.32B.32−C.12D.12−【答案】D【解析】【分析】对于原函数和导函数，分别取0x=，代入运算求解即可.【详解】因为()()230e1xfxfxx=++−，则()00e10f=−=，又因为()()302e=++xfxfx，当0x=时，()

()003020eff++=，解得()102f=−，所以()()1002ff+=−.故选：D.5.敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为sin(0)yAt=.图2是该函数在一个周期内的图象，

根据图中数据可确定,A的值分别为（）A.1,4001000B.1,400π1000C.1,800500D.1,800π500【答案】B【解析】【分析】由图象的最大值得A，利用周期求.【详解】由函数sin(0)yAt=在一个周期内的图象，可知11000A=，

设sin(0)yAt=的最小正周期为T，则334800T=，解得1200T=，则2π1200=，解得400π=.故选：B.6.如图，将一个圆柱()2nnN等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何

体就越接近一个“长方体”，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，若新几何体的高为5，则圆柱的体积为（）A.5πB.10πC.20πD.30π【答案】C【解析】【分析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，借助该部分面

积计算即可得.【详解】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为r，高为h，则220rh=，则10rh=，因为新几何体的高为5，所以圆柱的高为5，即5h=，解得2r=，所以圆柱的体积为2

π20πVrh==.故选：C.7.已知直线3yx=与曲线()ln32yxa=−+相切，则a的值为（）A.14B.15ln33+C.2D.1【答案】D【解析】【分析】设切点坐标为()00,3xx，求导33yxa=−，从而有斜率0333kxa==

−，再由点()00,3xx在曲线上求解.【详解】解：设切点坐标为()00,3xx，因为()ln32yxa=−+，所以33yxa=−，所以切线的斜率0333kxa==−，又()003ln32xxa=−+，即03ln12x=+，解得0

23x=，所以由031xa−=，得031ln1211ax=−=+−=.故选：D.8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十

面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为1,P为棱AE的中点，13DQDA=，设直线FP与CQ的夹角为，则tan=（）A.263B.32626C.216D.156【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，结合正八面体的

几何性质，通过计算数量积以及模长，即可求解向量夹角的余弦值，进而可求解正切.【详解】由题意，12,23FPFEEPACAECQAQACADAC=+=−−=−=−，又由正八面体ABCDEF的棱长都是1，且各个面都是等边三角形，在ACE△中，由1

,2ACAECE===，可得222ACAECE+=，所以ACAE⊥，所以2122233FPCQACAEADACACADAC=−−−=−+−211211111111103232322AEADAEAC+=−+−+=，22222111101244FPACAE

ACACAEAE=−−=++=++5;2=2222224444171111;3939323CQADACADADACAC=−=−+=−+=所以13352coscos,355723FPCQFPC

QFPCQ====，所以26sin35=，则26sin35tancos33535===263.故选:A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得.5分，部分

选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数0abc，则下列不等式正确的是（）A.acbcB.abbc−−C.22acbcD.11acbc【答案】CD【解析】分析】根据不等式性质逐项分析判断.【详解】对于A项，因0,0abc

，所以acbc，故A错误；对于B项，例如3,1,6abc===−满足0abc，此时27abbc−=−=，故B错误；对于C项，因为0c，所以20c，且0ab，所以22acbc，故C正确；对于D项，由A可知0acbc，所以11acbc，故D

正确.故选：CD.10.为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（）A.APP使用人数最多的是微信B.微信APP使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍C.微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和D.抖音APP的使用人数大于快手AP

P的使用人数的125%【答案】AD【解析】【分析】根据给定的APP的使用情况，数据整理的柱状图，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，根据数据的柱状图，可得APP使用人数最多的是微信，所以A正确；对于B中，微信APP的使

用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，所以微信APP的使用人数小于今日头条APP的使用人数的2倍，所以B错误；对于C中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，快手AP

P的使用人数占4格，所以微信APP的使用人数小于今日头条APP与快手APP的使用人数之和，所以C错误；【为的对于D中，抖音APP的使用人数占5格多，快手APP的使用人数占4格，则快手APP的使用人数的125%等于5格，所以抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%，所以D正确.故选：A

D.11.对于数列na，若()*22222,4nnaaann+=+=N，则下列说法正确的是（）A.66a=B.数列na是等差数列C.数列42na−是等差数列D.4162nan=−【答案】AC【

解析】【分析】逐步代入即可求解A，根据相减可得2424nnaa+−=，进而结合等差数列的定义即可判定BC，根据等差数列的通项求解即可判定D.【详解】由()*22224,2nnaanna++==N，得426442,86aaaa=−=

=−=，故A正确；又()22222244,41nnnnaanaan++++=+=+，两式相减得2424nnaa+−=，令*1121,nnn=−N，可得1142424nnaa+−−=，所以42na−是等差数列，C正确

；通过()*22222,4nnaaann+=+=N只能得到偶数项的值，对于奇数项，无法确定，所以无法确定na是不是等差数列，故B错误，同理，令*112,nnn=N，则114444nnaa+−=，所以4na是以42a=为首项，公差为4的等差数列，所以()421

442nann=+−=−，故D错误.故选:AC.12.已知双曲线22:11122xyC−=与椭圆22Γ:1xyk+=有公共的焦点12,FF，N是双曲线C的一条渐近线上的一点，O是椭圆Γ的对称中心，点P，Q分别为,ΓC上的动点，,NP位于y轴的同侧，且Q不在x轴上，则（）A.2k=B.π

0,2PONC.当P为C与Γ的交点时，121cos3FPF=D.12π0,2FQF【答案】ABC【解析】【分析】对A，结合双曲线与椭圆有公共焦点即可得；对B，借助渐近线倾斜角与斜率的关系即可得；对C，结合双曲线与椭圆定义，运用余弦定理计算即可得；对D，设出1QF

、2QF，结合椭圆定义与余弦定理，将12FQF的余弦值表示出来，运用配方法得出范围后即可得.【详解】双曲线22:11122xyC−=的焦点为()()121,0,1,0FF−，则211k−=，解得2k=，故A正确；双曲线22:11122xyC−=的渐近线方程为yx=，如图，

设M（与N点位于y轴的同侧）是双曲线C的另一条渐近线上的一点，则()0,PONMON，因为π2MON=，所以π0,2PON，故B正确；当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，121222,2PF

PFPFPF+=−=，解得12322,22PFPF==，又122FF=，在12FPF△中，由余弦定理得222121212121cos23PFPFFFFPFPFPF+−==，故C正确；设12,QFmQFn==，则22mn+=，则由余弦定理得：22222212122cos22m

nFFmnFQFmnmn+−+−===22()24(22)244221222mnmnmnmnmnmnmnmn+−−−−−===−()22211(2)222mmm=−=−−−+−，由()21,21m−+，得()21,1m−

−，得)2(2)0,1m−，得(2(2)1,0m−−−，得(2(2)21,2m−−+，得)221,2(2)2m−−+，得)2210,1(2)2m−−−+，即12cosFQF)0,1，所以12π0,

2FQF，故D错误.故选：ABC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,3,2,4atb=+=−，且()3ab−//a，则a=r__________.【答案】5【解析】【分析】根据向量坐标

运算得到3ab−，再根据向量平行坐标要求列方程求出t的值，再利用模长定义求出a.【详解】()()()331,32,45,35abtt−=+−−=+，因为()3ab−//a，所以()()135530tt+−+=，解

得5t=−，所以()221,2,1(2)5aa=−=+−=.故答案为：5.14.等比数列na的n前项和为nS，若510133SS=，则1098aaa=+__________.【答案】43【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，根据等比数

列的求和公式，列出方程，求得2q=，再结合等比数列的通项公式，准确计算，即可求解.【详解】设等比数列na的公比为q，首项为1a，且0q，若1q=，则510511033SS=，与题设矛盾，所以1q，则()()515510101111113311aqSqSqaqq−−===+−−，解得2q=

，所以()22221088988882411213aaqaqqaaaqaaqq=====+++++故答案为：43.15.已知直线1:40lxy+=，直线2l过点134,2−且与直线1l相互垂直，圆22:6430Cxyxy++−−=，若直线2l与圆

C交于,MN两点，则MN=__________.【答案】47【解析】【分析】根据题意求得直线2l的方程为82450xy−+=，以及圆C的圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解..【详解】由直线1:40lxy+=，可得斜率114k=−，因为12ll⊥且直线2

l过点134,2−，所以直线2l的斜率为24k=，所以2l的方程为()13442yx−=+，化简得82450xy−+=，又由圆22:643Cxyxy++−−=0，即22:(3)(2)16Cx

y++−=，可得圆C的圆心坐标为()3,2C−，半径为4r=，则圆心C到直线2l的距离为()()228322451728(2)d−+−+==+−，所以弦长222217224472MNrd=−=−=.故答案为：47.16

.如图，在棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中，M在线段BC上，且1,3CMBCN=是侧面11CDDC上一点，且MN平面1ABD，则线段MN的最大值为__________.【答案】14【解析】【分析】在线段CD上取一点E，使得13C

ECD=，在线段1DD上取一点F，使得1113DFDD=，连接1,,MEEFCD，易证平面MEF平面1ABD，得到N的轨迹为线段EF求解.【详解】解：如图，在线段CD上取一点E，使得13CECD=，在线段1DD上取一点F，使得1113DFDD=，连接1,,

MEEFCD，因为1113DFCMCEBCCDDD===，所以ME,BDEF1CD，又1AB1CD，所以EF1AB，因为ME平面1,ABDBD平面1ABD，所以ME平面1ABD，同理，因为EF平面

11,ABDAB平面1ABD，所以EF平面1ABD，又MEEFE=，所以平面MEF平面1ABD，因此，N在线段EF上.因为22222112,13214MEMF=+==++=，所以线段MN的最大值为

14.故答案为：14四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文宇说明､证明过程或演算步骤.17.已知na是各项均为正数的等比数列，14a=，且123,18,aaa+成等差数列.（1）求na的通项公式；（2）设4411loglognnnbaa+=，求数列nb的前n项

和.【答案】（1）4nna=（2）1nn+【解析】【分析】（1）设na的公比为q，根据题意，列出方程求得公比4q=，即可求得等比数列的通项公式；（2）由（1）得111nbnn=−+，结合裂项相消法，即可求解.【小问1详解】解：设na的公比为

q，由na的各项均为正数，可得0q，因为123,18,aaa+成等差数列，所以()132218aaa+=+，又因为14a=，可得()2442418qq+=+，化简得()()240qq+−=，解得4q=或2q=−（舍去），故na的通项公式为1444nnn

a−==.【小问2详解】解：由（1）知()14414411111logloglog4log411nnnnnbaannnn++====−++，设nb的前n项和为nS，则11111111112231111nnSnnnnnn=−+−++−+−=−=−+

++.18.已知数列na的前n项和为()*21,2nnnnSaaan+++=N，且2466,21aaS+==.（1）求数列na的通项公式；（2）若1,2,nnnaanbn−=为奇数为偶数，求数列

nb的前2n项和2nT.【答案】（1）nan=（2）212223nn+−+.【解析】【分析】（1）根据题意，得到数列na为等差数列，由2466,21aaS+==，列出方程组，求得1,ad的值，即可求解；（2）根据题意，得到()()21321242nnnTbbbbbb

−=+++++++，利用等差、等比数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】由212nnnaaa+++=，可得211nnnnaaaa+++−=−，所以数列na为等差数列，设数列na的公差为d，因为2466,21aaS+==，可得11246656212adad+=+=

，解得11,1ad==，所以()111nann=+−=，即数列na的通项公式为nan=.【小问2详解】由题意知，当n为奇数时，nnban==；当n为偶数时，1122nannb−−==，所以()()21321242nnnTbbbbbb−=+++++++()()()()21321221

41212213212222123nnnnnnn+−−+−−=+++−++++=+=+−.19.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且()()sinsincossincos3aACBAbCc+=−.（1）求B；（2）

若D是AC边上一点，且13BDCDb==，设边AC上的高为h，求hc.【答案】（1）5π6（2）2114.【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得2sincos3sinCBC=−，求得3cos2B=−

，即可求解；（2）在BCD△和ABD△中，分别利用余弦定理，结合coscosBDCBDA=−，化简得到2222bca−=，再在ABC中，利用余弦定理求得2226bcc−=，得到7=bc，结合三角形的面积列出

方程，求得2114hc=，即可求解.【小问1详解】解：因为()()sinsincossincos3aACBAbCc+=−，由正弦定理得2sinsinsincossinsincos3sinsinAACBABCAC+=−，又因为()0,πA，所以sin0A，所以sinsincos

sincos3sinACBBCC+=−，所以()sinsincossincos3sinBCCBBCC++=−，所以sincossincossincossincos3sinBCCBCBBCC++=−，所以2sincos3sinCBC=−，因为()

0,πC，所以sin0C，所以3cos2B=−，又因为()0,πB，所以5π6B=.【小问2详解】解：在BCD△中，由余弦定理得22222229cos22BDCDBCbaBDCBDCDb+−−==，在ABD△中，由

余弦定理得22222259cos24BDADABbcBDAADBDb+−−==，因为180BDCBDA+=，所以coscosBDCBDA=−，即222222295924babcbb−−=−，整理得2222bca−=，在ABC中，由余弦定理得2223cos22acbB

ac+−==−，可得23222aaacc−=−=−，所以3ac=，所以2226bcc−=，即7=bc，所以11sin22ABCSacBbh==，即11137222ccch=，解得2114hc=，则2114hc=.20.如图，四

边形ABCD是正方形，PA⊥平面,ABCDFB//,22,PAPAABFBE==为PA的中点，O为BDE的外心.（1）求证：AO⊥平面PCF；（2）求平面PCF与平面BCF夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3

3.【解析】【分析】（1）根据线线平行可证明面面平行，进而根据线面垂直的性质结合勾股定理可得长度相等，进而可证三棱锥ABDE−是正三棱锥，即可利用正棱锥的性质求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解即可.【

小问1详解】因为2,PAFBE=为PA的中点，所以PEFB=，又FB//PE，所以四边形PEBF是平行四边形，所以PF//EB，又PF平面,BDEEB平面BDE，所以PF//平面BDE.连接EF，如图所示，同理，可证四边形ABFE是平行四边形，所

以//,EFABEFAB=，又//,=CDABCDAB，所以//,EFCDEFCD=，所以四边形EFCD是平行四边形，所以CF//DE，又CF平面,BDEDE平面BDE，所以CF//平面BDE.又PFCFF=，

,PFCF平面PCF，所以平面PCF//平面BDE.因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面,2,ABCDPAABE=为PA的中点，所以,,ABADAE两两互相垂直，且ABADAE==，所以由勾股定理可知BDBEDE==，则三棱锥ABDE−是正三棱锥，那么BDE的外心O就是BDE的中心，也是A在

底面BDE上的垂心，所以AO⊥平面BDE，所以AO⊥平面PCF.【小问2详解】以A为原点，,,ADABAP分别为,,xyz轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设222PAABFB===，则1ABADFB===

，则点()()()()0,0,2,1,1,0,0,1,1,0,1,0PCFB，则()()1,1,2,0,1,1PCPF=−=−.设平面PCF的法向量为(),,nxyz=r，则由()()()(),,1,1,220,,,0,1,10,nPCxyzxyznPFxyzyz=−=+−=

=−=−=得,,xzyz==令1z=，得平面PCF的一个法向量为()1,1,1n=；又易知平面BCF的一个法向量为()0,1,0m=；设平面PCF与平面BCF夹角大小为，则(0,1,0)(1,1,1)3cos||||313mnmn

===，所以平面PCF与平面BCF夹角的余弦值为33.21.已知函数()()()33,,fxxaxgxbxxab=+=−R.（1）若曲线()yfx=在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线()ygx=在1x=处的切线与坐标轴围成的三角形

的面积，试判断a与b之间的关系；（2）若6ba−=，是否存在直线l与曲线()yfx=和()ygx=都相切？若存在，求出直线l的方程（若直线l的方程含参数，则用a表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（

1）ab=−或6ba−=（2）存在，()32yax=+−或()32yax=++.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线的斜率，进而得到两切线方程，求出直线与坐标轴的两交点，分别表达两切线与坐标轴围成三角形的面积，由面积相

等得,ab的关系；（2）假设存在，设出直线l与曲线()yfx=和()ygx=相切的切点坐标，根据切点利用导数几何意义求出切线方程，由公切线知两切线为同一直线，可建立坐标满足的方程组，求解可得切点坐标，进而可得切线方程.【小问1详解】()()223,3

fxxagxbx=−=+，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线斜率为()13fa=+，曲线()ygx=在点()()1,1g处的切线斜率为()13gb=−，又()()11,11fagb=+=−，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()()()131yaax−+=+−，

即()32;yax=+−令0x=，得=2y−；令0y=，得23xa=+，则切线()32yax=+−与坐标轴的交点分别为()20,2,,03a−+，切线()32yax=+−与坐标轴围成的三角形的面积为11222

233Saa=−=++；曲线()ygx=在点()()1,1g处的切线方程为()()()131ybbx−−=−−，即()32ybx=−+，令0x=，得2y=；令0y=，得23xb=−，则切线()32ybx

=−+与坐标轴的交点分别为()20,2,,03b−，切线()32ybx=−+与坐标轴围成的三角形的面积为21222233Sbb==−−；由题意，2233ab=+−，所以ab=−或6ba−=.【小问2详

解】设直线l与曲线()yfx=相切于点()11,Axy，与曲线()ygx=相切于点()22,Bxy，()()223,3fxxagxbx=−=+，曲线()yfx=在点A处的切线为()()()3211113y

xaxxaxx−+=+−，即()231132yxaxx=+−，曲线()ygx=在点B处的切线为()()()3222223ybxxbxxx−−=−−，即()232232ybxxx=−+，则2212331233,22,xabxxx+=−−=则2212123

36,,xxbaxx+=−==−所以2166x=，解得121,1,xx==−或121,1,xx=−=当121,1xx==−时，直线():32;lyax=+−当121,1xx=−=时，直线():32;

lyax=++故存在直线l与曲线()yfx=和()ygx=都相切，直线l的方程为()32yax=+−或()32yax=++.22.已知斜率为12的直线与抛物线2:2(0)Cxpyp=相交所得的弦中点的横坐标为1.（1）求抛物线C的方程；（2）点,ST是曲线C上位于直线1y=的上方的点

，过点,ST作曲线C的切线交于点Q，若F为抛物线C的焦点，以ST为直径的圆经过点F，证明：45SQT=.【答案】（1）24xy=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据点差法，结合斜率公式以及中点坐标公式即可求解，（2）根据以ST为直径的圆经过点F可得垂直关系，即可

根据向量垂直的坐标运算得()222212121216416xxxxxx+=+−，进而求导得切线斜率，联立直线方程可得交点坐标，即可根据向量夹角公式求解.【小问1详解】设弦的两端点分别为()(),,,AABBA

xyBxy，则12,2ABABAByyxxxx−+==−，则222,2,AABBxpyxpy==得()222ABABxxpyy−=−，得()()()2ABABABxxxxpyy−+=−，得2ABABAByyxxpxx−+=−，即1222p=，解得

2p=，故抛物线C的方程是24xy=.【小问2详解】设221212,,,44xxSxTx，又()0,1F，则221212,1,,144xxFSxFTx=−=−，因为以ST为直径的圆经过点F

，所以FSFT⊥，则22121211044xxFSFTxx=+−−=，即22221212121164xxxxxx++=−，则()222212121216416xxxxxx+=+−.由24xy=，有2xy=，过点2

11,4xSx的切线的斜率为112xk=，则切线SQ的方程为()211142xxyxx−=−，同理，切线TQ的方程为()222242xxyxx−=−，联立方程组解得1212,24xxxxQ+，由点,ST

是曲线C上位于直线1y=上方点，可知124xx−，则221211221212,,,2424xxxxxxxxxxQSQT−−−−==，由于π0,2SQT，则cos|cos,|||QSQTSQTQSQTQSQT==

∣()()()221212122222221122211221216216216xxxxxxxxxxxxxxxx−−+=−−−−−++()()()()12222121212122222222222

1212121212144168416,441644411416416xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+++++=−=−==+++++++++代入()222212121216416xxxxxx+=+−，得()()()()()222212121212122222221212121212841

6482cos24416816xxxxxxxxxxSQTxxxxxxxxxx++−+−===+++−+−，所以45SQT=.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或者等量的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现

几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求通过化简或者结合性质求解.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com