【文档说明】河南省郑州市2021届高三上学期第一次质量预测（1月）理科数学试题参考.pdf，共(4)页，248.482 KB，由小赞的店铺上传

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第1页（共4页）2020-2021学年高三数学一测理科评分参考一、选择题（共60分）题号123456789101112答案CCBDADDBACDB二、填空题(共20分)13.4；14.(−∞,2)；15.3；16.���.2020/11/1

721:51:37；用户：；三、解答题（共70分）17.解：（1）在ABC△中，因为b=�,⸹=2,��=Ꮝ��，由余弦定理b2=�2�⸹2−2�⸹⸹ܿ��，………………2分得2252222aa，化简得

2230aa……………4分所以3,a或1.a（舍）………………6分（2）在ABC△中，由正弦定理��ଐᏍ�=⸹�ଐᏍ�，得�sinᏍ��=2�ଐᏍ�,所以sinC=��………………8分在ADC△中，因为cos�ADC=−Ꮝ�,所以��ଐ�为钝角，而��ଐ��������ଐ=�ൌ��

,所以��为锐角.故cosC=�−sin2�=2��，…………………10分因为cos�ADC=−Ꮝ�，所以sin�ADC=��.…………………11分从而sin�DAC=sin(�ADC��C)=2�2�………………12分18.(Ⅰ

)证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．…………………1分△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是

直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=�2��．∴DO2���2=��2=�ଐ2．∴OB⊥OD.………………3分又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD……………4分又OB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.………………6分(Ⅱ)由题知，点E是BD的三等分点．建

立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（−�，0，0），D（0，0，1），B（0，�，0），E（�，��,��）．第2页（共4页）AD�����=(−�,�,�)，AE����=−

�,��,2�，AC����=(−2,�,�)．……………8分设平面ADE的法向量为����=(��,��,��)，则������ଐ�����=�������������=�，即−�����=�−��������2���=�，取����=(�,�,�)．同理可得：平面ACE的法向量为n��=(�

,�,−�2)．………………10分�⸹ܿ������,Ꮝ���=�����Ꮝ�������Ꮝ���=−��．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为��．………………12分19.(Ⅰ)解：由题意可知⸹�=22，Ꮝ�2���2=�，�2=�2�⸹2，解得�2=�，�2=�，所以椭圆方程为�2���2�=�．…

………………4分(Ⅱ)证明：设点�(��,��)，�(�2,�2)，因为��⊥��，所以��−���−2��2−��2−2=−�，所以y�y2−(y��y2)��=−x�x2�2(x��x2)−Ꮝ，①当k存在的情况下，设MN:

y=kx�m，联立y=kx�m,x2�2y2=�得(��2k2)x2�Ꮝkmx�2m2−�=�，由Δ��，得�k2−m2����，由根与系数的关系得x��x2=−Ꮝkm��2k2，x�x2=2m2−���2k2，………………8分所以y��y2=k(x��x2)�2m=2m��2k2，y�y2=k

2x�x2�km(x��x2)�m2=m2−�k2��2k2，代入①式化简可得Ꮝk2�ൌkm�(m−�)(�m��)=�，即(2k�m−�)(2k��m��)=�，所以m=�−2k或m=−2k���，所以直线

方程为y=kx��−2k或y=kx−2k���，所以直线过定点(2,�)或(2�,−��)，又因为(2,�)和A点重合，故舍去，所以直线过定点�(2�,−��).………………12分20.解：(Ⅰ)��=���−��Ꮝ�−��

,���，则���=�����−�����=���(��−��)．当�=e时，令�����,得�����香令�����,得���香综上，当���,�时，��单调递减；当���,�∞时，��单调递增�…………4分(Ⅱ)①当���时，��单调递增，

��的值域为R，不符合题意；第3页（共4页）当�=�时，则f�2=�2��2��，也不符合题意．当���时，由（1）可知，�(�)�ଐᏍ=�−��Ꮝ�，故只需�−��Ꮝ�≥�．…………8分令�=��，上式即转化为lnt≥t

−�，设��=�Ꮝ�−���，则���=�−��，因此��在�,�上单调递增，在�,�∞上单调递减，从而�(�)���=��=�，所以lnt≤t−�．因此，lnt=t−�⇒t=�，从而有��=�=�⇒�=�．

故满足条件的实数为�=�．………………12分21.(Ⅰ)5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为2�，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率P为P=���2�(��)2=�Ꮝ�2�………………4分(Ⅱ)第二次抽取到的没有支教经验的教师人

数最有可能是�人.设ω表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，ω可能的取值有�,�,2，则有：��=�=�22��2=���；��=�=�2������2=���；��=2=��2��2=���.设ξ表示第二次抽取到

的无支教经验的教师人数，ξ可能的取值有�,�,2，则有：�ξ=�=�22��2��22��2��2������2���2��2���2��2��Ꮝ2��2=�����；�ξ=�=�22��2��2������2��2������2��2������2���2��2��Ꮝ������2=

�Ꮝ���；�ξ=2=�22��2���2��2��2������2��22��2���2��2��=����.因为�ξ=���ξ=���ξ=2，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是�人.………

……8分(III)按照先A后B的顺序所需人数期望最小.①设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则X12���(�−��)EX=���2�−��=2−��①设�表示先B后A完成任务所需人员数目，则�12第4页（共

4页）��2(�−�2)E�=�2�2�−�2=2−�2，E�−EX=��−�2���故按照先A后B的顺序所需人数期望最小.………………12分22.解：(Ⅰ)由cos,1sin,xy可得�2�(�−�)2=⸹ܿ�2���ଐᏍ2�=�，所以曲线C的普通方程为�2�(�−�)2

=�，由��ଐᏍ����=�，可得��2�ଐᏍ���2⸹ܿ��=�，所以�2��ଐᏍ���2�⸹ܿ��−�=�，所以直线l的直角坐标方程为����−2�=�.………………5分(Ⅱ)曲线C的方程可化为�2��2−2�=�，所以曲线C的极坐标方程为2sin

，由题意设A��,��,B�2,��，将θ=��代入2sin，可得11将θ=��代入ρsinθ���=�，可得�2=2,所以AB=��−�2=�……………10分23.(Ⅰ)依题意，得,4)(xxf则��Ꮝ�2

,解得��−2或��−��故不等式���2的解集为{�|��−2或��−�}………………5分(Ⅱ)依题意，4)(14)(22axbabxaxxf因为)(1)(1)(1222babaaxbabxax

babx24)(1,)(2ababbabbaba故故44)(1222aababa，当且仅当�=2,�=22时，等号成立………10分