【文档说明】河南省沁阳市第一中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学（理）试题含答案.doc，共(8)页，387.761 KB，由小赞的店铺上传

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-1-高二理科数学一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝()A.12B.13C．2D．32．曲线y＝x2＋1在P12，54处的

切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．90°3.设复数满足，则的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．函数f(x)＝x2－ln2x的单调递减区间是()A.0，22B.22，＋∞C.

－∞，－22，0，22D.－22，0，0，225．用反证法证明命题“已知*,xyN，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是（）．A．x，y都

不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除6．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为()A.13B.12C.23D．1-2

-7.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有，设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表

示截面面积，那么你类比得到的结论是（）A.B.C.D.8.设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为()A．21B．－21C．27D．－279．三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”

，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的10.设函数在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是()11.如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，由曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，

向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC-3-内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A.1πB.2πC.3πD.π412．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒

成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)13.已知为虚数单位，复数，且，则实数__________.14.∫3－3(x2－2si

nx)dx＝________．15．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．16.古代埃及数学中发现有一个独特现象：

除用一个单独的符号表示外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式，例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.形如（n=2,3,4…）的分解：，，，按此规律，则___

________(n=2,3,4…）三．解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)-4-17．(本小题满分10分)设存在复数z同时满足下列两个条件，求a的取值范围．(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(

2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．18.(本小题满分10分)在数列中，，（1）求的值，由此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想。19．(本小题满分10分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万

元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．20．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝aln(

x＋1)＋12x2－ax＋1(a>1)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．-5-答案1.答案：D解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a

·2＝12，得a＝3.2.答案：B解析：∵y′＝2x，∴y′|x＝12＝1.∴切线的倾斜角为45°.3、D4.答案：A解析：由题意知，函数f(x)定义域为x>0，因为f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，由f′(x)≤0得x>0，2x2－1≤0

.解得0<x≤22.5、A6答案：A解析：∵y′＝e－2x·(－2)，∴k＝y′|x＝0＝－2，切线方程为y－2＝－2x，即y＝－2x＋2，由y＝x，y＝－2x＋2得x＝23，y＝23，S＝12×1×23＝13.7.B

8.答案：A解析：由题意知，－2，4是函数f′(x)＝0的两个根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以－2＋4＝－2a3，－2×4＝b3，⇒a＝－3，b＝－24.所以a－b＝－3＋24＝21.故选

A.9.答案：A10答案：A解析：f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)＞0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变-6-化规律是负→正

→负，故选项A正确．11.A12.答案：B解析：2xlnx≥－x2＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2lnx＋x＋3x(x>0)恒成立，设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x>0)，则h′(x)＝x2＋2x－3x2.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x

∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．13.14答案：18解析：∫3－3(x2－2sinx)dx＝13x3＋2cosx|3－3＝

13×27＋2cos3－13×（－27）＋2cos（－3）＝18.15答案：y＝－2x－1解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，

－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.16.17.解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，由题意知x<0，y>0.又z·z＋2iz＝8＋ai，∴(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋y

i)＝8＋ai，即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，∴x2＋y2－2y＝8，2x＝a，即4(y－1)2＝36－a2≥0，－6≤a≤6.又a＝2x<0，∴－6≤a<0.∴a的取值范围为[－6,0

)．-7-18.(1)………………3分猜想………………5分（2）数学归纳法证明：①当n=1时，，猜想成立，………………6分②假设当n=k（k≥1，）时猜想成立，即则当n=k+1时，所以当n=k+1时，猜想也成立由①②知，对，都成立………………10分19解：(1)由投资

额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6

ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(

2)＝6ln3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益-8-的最大值约为12.6万元．20.解：(1)f(0)＝1，f′(x)＝ax＋1＋x－a＝x（x－a＋1）x＋1，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的

切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即x（x－a＋1）x＋1＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的情况如下：x(－1，0)0(0，a－

1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，增区间是(－1，0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝alna－12a2＋32.