【文档说明】四川省成都市玉林中学2024-2025学年高三上学期10月诊断性评价数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.001 MB，由小赞的店铺上传

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成都市玉林中学高2022级10月诊断性评价试题考试时间：120分钟；总分：150分；命题人：原坤史军军审核：高三备课组注意事项：1.答题前在答题卡上填写好自已的姓名､班级考号等信息；2.请将答案正确填写作答题卡

上.一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|28}xAx=，2{|280}Bxxx=−−，则()RAB=ð（）A.2,3−B

.(2,3−C.4,3−D.)4,3−【答案】A【解析】【分析】解不等式化简集合,AB，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】集合3{|22}(3,)xAx==+，则R(,3]A=−ð，又{|(2)(4)0}[2,4]Bxxx=+−=−，所以()R2,3AB=

−ð.故选：A2.抛物线24xy=在点()2,1处的切线的斜率为（）A.1−B.12−C.12D.1【答案】D【解析】【分析】求出导函数，令2x=求出()2f即为切线的斜率.【详解】令()214fxx=，得()21142fxxx==，得()2

1f=故选：D3.设𝑥∈𝑅，则“45x”是“21x−”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】因为21x−，所以21x−−或21x−，所以1x

或3x，所以“45x”是“21x−”的充分不必要条件.故选：B.4.已知函数223,4()213,4xxxfxxx−−−=+−，则函数()fx的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】分两种情况，解方程即可得解.【详解】当4x−时，由()0fx=可得2

230xx−−=，所以()()310xx−+=，所以3x=，故3x=，当4x−时，由()0fx=可得2130x+=，故132x=−，则()fx的零点有132−，3−，3，共计3个.故选：C．5.已知函数()fx是定义在[0,)+上的增函数，则满足1(21)3fx

f−的x的取值范围是（）A.12,33B.12,33C.12,23D.12,23【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可.【详解】由题意可知21

01213xx−−，解不等式得12,23x.故选：D6.世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱

着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方．．．的图象对应的函数解析式可能为（）A.24yxx=−B.24yxx=−C2

2yxx=−+D.22yxx=−+【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可求得242yxx=−，知A错误；由()2,0x−时，240yxx=−可知B错误；根据221yxx=−+、图象中的特殊点及函数的奇偶性

、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.【详解】对于A，()22222244422xxyxxxx+−=−=−=（当且仅当224xx=−，即2x=时取等号），24yxx=−在()2,2−上的最大值为2，与图象不符，

A错误；对于B，当()2,0x−时，240yxx=−，与图象不符，B错误；对于C，()22211yxxx=−+=−−+，当1x=时，max1y=；又22yxx=−+过点()()()2,0,2,0,0,0−；.由220xx−+得：()20xx−

，解得：22x−，即函数定义域为22−,；又()2222xxxx−−+−=−+，22yxx=−+为定义在22−,上的偶函数，图象关于y轴对称；当0,2x时，()22211yxxx=−+=−−+，则函数在()0,

1上单调递增，在()1,2上单调递减；综上所述：22yxx=−+与图象相符，C正确；对于D，由220xx−+得：02x，22yxx=−+不存在()2,0x−部分的图象，D错误.故选：C.7.已知函数()212ln22=−−fxxaxx在

1,42x上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（）A.1,2−−B.1,2−−C.(),4−D.(,4−【答案】C【解析】【分析】将问题转化为导函数在区间1,42上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可.

【详解】由题意知()22fxaxx−=−，问题等价于𝑓′(𝑥)>0在区间1,42上有解，即2222111222axxx−=−−有解，而111,4,224xx，

由二次函数的性质知211112,4222x−−−，即4a.故选：C.8.若ln1,2,3ln3baec=−==，则,,abc的大小关系为（）A.acbB.bcaC.cbaD.abc【答案】A【解

析】【分析】由题设lneae=，ln2ln424b==，ln33c=，构造ln()xfxx=(0)x，利用导数研究其单调性，进而判断,,abc的大小.【详解】由题设知：lneae=，ln2ln424b==，ln33c=，令ln()xfxx=(0)x，则21ln()x

fxx−=，易知(0,)e上()fx单调递增，(,)e+上()fx单调递减，即()(3)(4)(2)fefff=，∴acb.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造ln()xfxx=(0)x，利用导数研究其单调性，进而比较函数值的大小.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）．A.命题“3x，2100x−”的否定是“03x，02100x−”B.1

xx+的最小值是2C.若0ab，则22abD.πsin(2)3yx=+的最小正周期是π【答案】ACD【解析】【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断选项A；由基本不等式使用的条件可判断选项B；(

)2fxx=在()0,+单调递增，即可判断选项C；由正弦型函数的最小正周期公式计算即可判断选项D.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“3x，2100x−”的否定是“03x，02100x−”，故A正确；当0x时，1122xxxx+=

，1xx+的最小值是2，当0x时，11122xxxxxx+=−−−−−=−−，1xx+的最大值是2−，故B错误；()2fxx=在()0,+单调递增，若0ab，则22ab，故C正确；sin(2)3yx=+的最

小正周期为：2ππ2T==，故D正确.故选：ACD10.已知函数()312xfxx+=−，则下列结论正确的是（）A.()fx的值域是2yyB.()fx图象的对称中心为()2,3C.()()202620226ff+−=D.()2xf−的值域是14,2−−【答案】BCD【解析】【分析

】分离常数法，利用反比例函数图象的平移变换可得AB项，由对称性可得C项，由换元法可求复合函数值域得D项.【详解】()313(2)773222xxfxxxx+−+===+−−−，函数()fx的图象可看作函数7yx=向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，由函数7yx=对称中心为

(0,0)，且值域为0yy，故函数()fx的值域为3yy，对称中心为(2,3)，所以A项错误；B项正确；C项，由()fx的图象关于(2,3)中心对称，则()(4)6fxfx+−=，故()()202620226ff+−=，故C正确D项，令2xt−=，由0x−

，则01t，由7()3,012fttt=+−，则1(0),(1)42ff=−=−.因为()ft在(0,1单调递减，故()ft的值域为14,2−−.所以()2xf−的值域是14,2−−，故D正确.故选：BC

D.11.已知函数()yfx=是R上的奇函数，对任意xR，都有()()()22fxfxf−=+成立，当12,0,1xx，且12xx时，都有()()12120fxfxxx−−，则下列结论正确的有（）A.()()()()1232

0200ffff++++=B.直线5x=−是函数()yfx=图象的一条对称轴C.函数()yfx=在7,7−上有5个零点D.函数()yfx=在7,5−−上为减函数【答案】ABD【解析】【分析】依题

意利用奇函数性质可得()()2fxfx−=，即()fx的图象关于直线1x=对称，可推出()fx是周期为4的周期函数，即可判断AB正确；易知函数𝑦=𝑓(𝑥)在7,7−上有7个零点，即C错误；由函数单调性及其

对称性可判断D正确.【详解】根据题意，函数𝑦=𝑓(𝑥)是𝑅上的奇函数，所以()00f=；又对任意𝑥∈𝑅，都有()()()22fxfxf−=+成立，令2x=，可得()()()022fff=+，即()20f=，所以()()2fxfx−=，即可知函数()fx的图象关于直线1x=对

称；又函数𝑦=𝑓(𝑥)是𝑅上的奇函数，所以𝑓(2−𝑥)=−𝑓(−𝑥)，则𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)；则有𝑓(𝑥+4)=−𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)，故函数()fx是周期为4周期函数；的当12,0,1xx，且12xx时，都有()()

12120fxfxxx−−，所以()fx在区间[0,1]上单调递增；再由奇函数性质可知()fx在区间[−1,0]上单调递增；对于A，由𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥)可得()()()()()()()()123412120ffffffff+++=+−−=，所以()()

()()()()()()123202050512340ffffffff++++=+++=，即A正确；对于B，由直线1x=是函数()fx的一条对称轴，且()fx是周期为4的周期函数；则5x=也是函数()fx的一条对称轴，又(

)fx为奇函数，所以直线5x=−是函数𝑦=𝑓(𝑥)图象的一条对称轴，即B正确；对于C，函数𝑦=𝑓(𝑥)在7,7−上有7个零点，分别为6,4,2,0,2,4,6−−−，即C错误；对于D，易知函数𝑦=𝑓(𝑥)在1,1−上单调递增

，且周期为4，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在5,3−−上为增函数，由直线5x=−是函数()fx的一条对称轴，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在7,5−−上为减函数，即D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：本题主要考

察函数奇偶性、对称性、单调性和周期性的应用，要根据其他性质综合运用推出函数值求和、对称轴、对称中心、零点个数等的求解.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.2log812lg0.1lne++=______.【答案】6【解析】【分析】根据对数的概念及对数

运算性质可直接求值.【详解】因为2log812lg0.1ln8116e++=−−=.故答案为：613.已知函数()fx的定义域是R，3322fxfx+=−，()()60fxfx+−=，当302x时，()242=−fxxx，则()2024f=________．【答案】2【

解析】【分析】根据已知关系式可推导求得()()6fxfx+=，利用周期性和对称性可得()()20241ff=，结合已知函数解析式可求得结果.【详解】由3322fxfx+=−得：()()33322fxfxfx=−−=−，又()()60fxf

x+−=，()()360fxfx−+−=，()()()633fxfxfx=−−−=−+，()()()63fxfxfx+=−+=，()()()()20246337221422ffff=+===−=.故答案为：2

.14.函数2e12()e21xxxhx−=++，不等式()22(2)2haxhax−+对Rx恒成立，则实数a的取值范围是_____【答案】2,0−【解析】【分析】由解析式得出()()2hxhx+−=，令()()1

fxhx=−，得()fx为奇函数，再利用导数得出()fx的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可．【详解】因为2e122()eee2121xxxxxxhx−−=+=−+++，所以22222()()eeee221212121xxxxxxxxxhxhx−−−+−=+−++−=+=++

++，令()()1fxhx=−，则()()0fxfx+−=，可得()fx为奇函数，又因为()()222ln41ln4()eeeee121e21222xxxxxxxxxxxfx−−=+−=+−=+−

++++，1e2exx+，当且仅当1eexx=，即0x=时等号成立；ln4ln4ln2142222xx=++，当且仅当122xx=，即0x=时等号成立；所以()0fx，可得()fx在R上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)haxhaxfa

xfaxfaxfax−+−+−−，所以2220axax+−在R上恒成立，当0a=时，显然成立；当0a，需满足20Δ480aaa=+，解得20a−，综上，2,0a−，故答案为：2,0−．【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出()()2hxhx+−=

，构造()()1fxhx=−是解题关键．四､解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面1,90,2,2,ABCABCBAAAD===是棱AC的中点，E在

棱1BB上，且1AEAC⊥.（1）证明：//BD平面1AEC；（2）若四棱锥111CAEBA−的体积等于1，求二面角11CAEA−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定与性质定理证得1AEAB⊥，再利用平行线分线段成比例的推论

证得//BDFG，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用四棱锥111CAEBA−的体积求出11BC，建系并写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】的如图，连接1AB交AE于F，连接1AD交1AC

于G，连接FG，1AA⊥平面ABC，BC平面ABC，1AABC⊥，又因11,,,BCABABAAAABAA⊥=平面ABE,故⊥BC平面ABE,又AE平面ABE,则BCAE⊥，又111,,,AEACACBCCACBC⊥=

平面1,ABC则AE⊥平面1,ABC又1AB平面1ABC，1AEAB⊥，在1RtAAB△中，由12,2ABAA==知16AB=，211142636AAAFAB===，即12AFBF=，又因1111//,2ADA

CACAD=，可得12AGGD=，即在1ABD中，112AGAFGDFB==，,BDFG∥FG平面1AEC，BD平面1AEC//BD平面1AEC；【小问2详解】设11BCx=，四棱锥111CAEBA−体积为()11212132x+=，解

得2x=，由（1）知11190,90AABABAEABABA+=+=，所以1AABEAB=，又112tan,tan22ABBEBEAABEABAAAB====，则1BE=，所以E为棱1BB的中点.的以1,,BCBAB

B分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()110,2,0,0,0,1,2,0,2,0,2,2AECA，则1(0,2,1),(2,0,1)AEEC=−=，设平面1AEC的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，由1nAEnEC⊥⊥，得2020yzxz−+=

+=，令2z=，得()1,1,2n=−，因⊥BC平面11ABBA，故可取平面1AEA的法向量()1,0,0m=，1cos,||||2nmnmnm==−，因为二面角11CAEA−−为锐二面角，所以二面角11CAEA−−的余弦值为12.16.2022年暑假，某社

区8名大学生（其中男生5人，女生3人），任选3人参加志愿服务.（1）设“女生甲被选中”为事件A，“男生乙被选中”为事件B，求()PBA∣；（2）设所选3人中男生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）27（2）分布列见解析，()

158EX=【解析】【分析】（1）分别求()PA，()PAB，利用条件概率计算公式，求()PBA∣.（2）写出X的可能取值，求出对应的概率，可得X的分布列，再求数学期望.【小问1详解】依题意()2738C

3C8PA==，()1638C3C28PAB==.的所以()()()27PABPBAPA==∣.【小问2详解】依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，所以()()031253533388CCCC1150,1C56C56PXPX======，()()213053533

388CCCC30151052,3C5628C5628PXPX========，所以X的分布列为X0123P15615561528528所以()115155150123565628288EX=+++=.17.椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点23,22

−且()0bcc=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设C的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作直线l与椭圆C交于,AB两点，1112AFBF=，求1ABF的面积.【答案】（1）2212xy

+=（2）103.【解析】【分析】（1）代入点23,22−坐标并于bc=联立计算可得222,1ab==，求出椭圆C的标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可

得出2m=，再由弦长公式计算可得结果.【小问1详解】将23,22−代入椭圆方程可得2213241ab+=，即2213124ab+=，又因为bc=，所以222ab=，代入上式可得222,1ab==，故椭圆C的标准方程为2212xy+=

；【小问2详解】由(1)可得()()12121,0,1,0,2FFFF−=，设直线l的方程为()()11221,,,,xmyAxyBxy=+，如下图所示：联立22112xmyxy=++=，得()222210mymy++−=，所

以12122221,22myyyymm+=−=−++，则()()1111221,,1,AFxyBFxy=−−−=−−−，所以()()1111221212121,1,1AFBFxyxyxxxxyy=−−−−−−=++++()()()2

221212122222221211142222mmmmyymymyyymmmm=+++++++=−−−−++++227122mm−==+，解得24m=，即2m=，所以121221,36yyyy+==−，则1ABF的面积()2121212

12110423SFFyyyyyy=−=+−=.18.设函数()ln,0fxxaxa=−.（1）若()fx在()()e,ef处的切线方程为e1eyx−=，求实数a的取值；（2）试讨论()fx的单调性；（3）对任意的()0,x+，恒有()0fx成立，求实

数a的取值范围.【答案】（1）1（2）单调递减区间是()0,a，单调递增区间是(),a+；（3）(0,e【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义直接列出方程即可求解；（2）根据导数的正负讨论单调性即可；（3）分1,01,1xxx=，三类讨论，分离出参数a

，右边设()lnxhxx=，分别求出其在：01x和1x时的最值，最后得到a的范围.【小问1详解】由()lnfxxax=−，则()1afxx=−，因为()fx在()()e,ef处的切线方程为e1eyx−=，所以()eele1eeeaaf−−=−==，即1a=.【小问2

详解】由（1）知，()1axafxxx−=−=，0x，因为0a，所以0xa时，𝑓′(𝑥)<0，当xa时，𝑓′(𝑥)>0，所以()fx单调递减区间是()0,a，单调递增区间是(),a+.【小问3详解】若任意

的𝑥∈(0,+∞)，恒有()0fx成立，即()ln0fxxax=−，在𝑥∈(0,+∞)上恒成立，即lnaxx，其中0a，当1x=时，01成立，当01x时，ln0x，则lnxax恒成立，令()()2ln1,ln

lnxxhxhxxx−==，令ℎ′(𝑥)<0，即ln10x−，解得0ex，故ℎ(𝑥)在(0,1)上单调递减，其图象如图所示故ℎ(𝑥)<0，所以此时0a，又因为0a，故0a，当1x时，ln0x，则lnxax恒成立，令ℎ′(𝑥)>0，即ln1

0x−，解得0x，而ℎ′(𝑥)<0时，0ex，故1ex时，𝑓′(𝑥)<0，此时()fx单调递减，ex时，𝑓′(𝑥)>0，此时()fx单调递增，故()fx在ex=时取得最小值，()mine()eelnefxf===，即ea，又因为0a，故0ea，综上所述，实数a的

取值范围为(0,e.19.利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设()fx定义在,ab上的函数，若对于,ab中任意两点()1212,xxxx，都有()()()12120fxfxkxxk

−−，则称()fx是“k-利普希兹条件函数”.（1）判断函数1yx=+，2yx=在R上是否为“1-利普希兹条件函数”；（2）若函数()212yxxx=+是“k-利普希兹条件函数”，求k的最小值；（3）设()sinfxx=，

若存在Rt，使()()1gxtxnt=+是“2024-利普希兹条件函数”，且关于x的方程()()()π22fxgfxgfx=++在ππ,44x−上有两个不相等实根，求

n的取值范围.【答案】（1）函数1yx=+在R上是，函数2yx=在R上不是（2）1（3）3122n−−【解析】【分析】（1）根据定义，令k=1，作差()()1212fxfxxx−−−，与0比较大小即可.（2）根据定义，转化为1212121212122()(1)()()21xxfxfxxxk

xxxxxx−−−==−−−恒成立即可.（3）先求出t的范围，再根据二次函数的性质可求n的取值范围.【小问1详解】由题知，函数1yx=+，定义域为R，所以()()121212120fxfxxxxxxx−−−=−−−=

，所以函数1yx=+在R上是“1-利普希兹条件函数”.函数2yx=，所以()()22121212121212(1)fxfxxxxxxxxxxx−−−=−−−=−+−，当121xx−时，则()()12120fxfxxx−−−，函数2yx=在R上不是

“1-利普希兹条件函数”.【小问2详解】若函数()212yxxx=+是“k−利普希兹条件函数”则对于定义域[1,2]上任意两个1212,()xxxx，均有()()1212fxfxkxx−−成立，则1212121212122()(1)()()21xxf

xfxxxkxxxxxx−−−==−−−恒成立因为112x，212x，所以1214xx，得12211xx−，所以k的最小值为1.【小问3详解】解：因为函数(),(1)gxtxnt=+是“2024-利普希兹条件函数”，所以12

12()()2024gxgxxx−−在R上恒成立，即12122024txxxx−−在R上恒成立，由120xx−，得12024t原方程()()π22fxgfxgfx=++在ππ,44x−

上有两个不相等实根等价于()sin2sincos2xtxxn=++①,在ππ,44x−上有两个不相等实根令πsincos2sin4mxxx=+=+，ππ,44x−，(0,2m则①式等价于关于m的方程2210mtmn−−−=在(0,2m

上有两个不相等实根，即221mtmn−=+，令()2hmmtm=−,所以问题等价于直线21yn=+与函数()2hmmtm=−的图象在(0,2m上有两个不同的交点，如图.则()()021221022212hnhn

tthn+++，所以2212241222tntnt−+−−又12024t，所以()1,22t使得以上不等式成立，所以3122n−−.【点睛】本题考查了函数新定义问题，函数与方程的综合应用，零点存在性定理的

应用和不等式问题，考查了转化思想和数形结合能力，属于难题.