【文档说明】【精准解析】四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（文）试题.pdf，共(21)页，387.366 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2020年春四川省棠湖中学高二第二学月考试文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，复平面上的点1234,,,ZZZZ到原点的距离都相等，若复数z所对

应的点为1Z，则复数•zi（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A.1ZB.2ZC.3ZD.4Z【答案】B【解析】试题分析：zi为将复数z所对应的点逆时针旋转90得2Z，选B.考点：复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首

先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)abicdiacbdadbciabcdR.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR的实

部为a、虚部为b、模为22ab、共轭为.abi2.设()cosfxxx，则'()2f（）-2-A.2B.2C.1D.1【答案】B【解析】【分析】对函数求导得到函数的导函数，代入求值即可.【详解】因为cossinfxxxx，所以22

f.故答案为:B.【点睛】考查了常见函数的导函数的求法，较为基础.3.函数32()31fxxx的单调减区间为A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)【答案】D【解析】【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区

间.【详解】32'2()31()363(2)002fxxxfxxxxxx，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.4.设fx是定义在R上的偶函数，则“00f”

是“fx有且只有一个零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由(0)0f，举反例说明fx有且只有一个零点不成立；再由fx有且只有

一个零点，利用反证法及偶函数的性质证明(0)0f成立.利用充分条件与必要条件的定义得出判断.-3-【详解】若(0)0f，取22()(1)fxxx，有三个零点，不能得到fx有且只有一个零点；若fx有且只有一个零点，()0fa，0a，

由()fx是偶函数，所以()()0fafa，所以()fx有两个零点a,-a，与fx有且只有一个零点矛盾，所以a=0，(0)0f成立.由充分条件与必要条件的定义,故选B.【点睛】本题考查充分条件

与必要条件的判断，命题成立可以证明，命题不成立只要举出反例.5.下列各式中，最小值等于2的是（）A.xyyxB.2254xxC.1tantanD.22xx【答案】D【解析】解：选项A，中当x,y同号时，满足题意，选项B，取不到

等号，选项C，正切值符号不定，因此只能选择D，一正二定三相等．这是均值不等式使用的注意点．6.若角终边上的点(3,)Aa在抛物线214yx的准线上，则cos2（）A.32B.12C.12D.32【答案】C【解析】【分析】求出抛物线

214yx的准线方程，然后可以求出点A的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角，利用诱导公式、特殊角的三角函数值求出cos2的值.【详解】抛物线214yx的准线方程为：1y，因为点(3,)Aa在抛物线214yx的准线上，所以

1a，所以点A在第二象限内，135tan()363kkZ，所以5551cos2cos[2()]cos(2)coscos(2)cos633332kk，故本题选C.-4-【点睛】本题考查了三角函数定义

、诱导公式、特殊角的三角函数值，求出抛物线的准线方程是解题的关键.7.若,,Rxya，且xyaxy恒成立，则a的最小值为（）A.2B.1C.22D.12【答案】A【解析】xyaxy恒成立，∴a＞0，且x+

y+2xy≤a2（x+y）恒成立，∴a2-1≥2xyxy恒成立，222111222xyxyxyaaaxy故选A8.直线:20lykx与曲线2:cosC有公共点，则k满足的条件是（）A.34kB.34kC.kRD.kR且0k【答

案】A【解析】【分析】求出曲线C的直角坐标方程，根据圆心到直线距离小于等于半径求解不等式即可得解.【详解】曲线2:cosC，22cos，222xyx，即2211xy，直线:20lykx与曲线2:cosC有公共点，即直线:20lykx与曲线22:1

1Cxy有公共点，圆心到直线距离小于等于半径，2211kk，221kk，平方处理得：43k，解得：34k.故选：A-5-【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，根据直线与曲线有公共点求参数的取值范围

，关键在于熟练掌握圆的几何性质.9.已知0,0ab，若不等式212nabab恒成立，则n的最大值为（）A.9B.12C.16D.20【答案】A【解析】【分析】因为0,0ab，所以利用不等式的性质，把不等式212nabab中的变量n分

离出来，变为221())(naabb，利用基本不等式求出2)(21()abab的最小值，确定n的取值范围，最后求出n的最大值.【详解】因为0,0ab，所以20ab，22121((2))abnnababab，222122()5522)(9bbabbaa

ababa（当且仅当ab时，取等号），要想不等式212nabab恒成立，只需9n，即n的最大值为9，故本题选A.【点睛】本题考查了不等式的性质、基本不等式、不等式恒成立问题，把变量n分离出来

，利用基本不等式是解题的关键.10.若2x是函数2()(1)xfxxaxe的极值点，则()fx的极小值为()A.1B.32eC.eD.1【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，利

用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.【详解】函数2()(1)xfxxaxe，可得2()(2)(1)xxfxxaexaxe，因为2x是函数2()(1)xfxxaxe的极值点，可得22(2

)(4)(431)04(32)0faeaeaa，解得1a，可得22()(22)(1)(2)xxxfxxexxexxe，-6-令02,1fxxx，当2x或1x时，0fx，此时函数fx为单调增函

数，当21x时，0fx，此时函数fx为单调减函数，所以当1x时函数取得极小值，此时极小值为21(1)(211)fee，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及

不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用

导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.11.已知F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，点M在C的右支上，坐标原点为O，若||2FMOF，且120OFM，则C的离心

率为（）A.32B.512C.2D.312【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为1,F运用余弦定理可得1||23MFc，再由双曲线的定义可得1||||2MFMFa，即为2322cca，运用离心率公式计算即可得

到所求值．【详解】设双曲线的左焦点为1,F由题意可得1||||2MFFFc，1120MFF，即有2221111||||||2||||cosMFMFMFFFFFFFM222214424()122cccc，即有1||23MFc，由双

曲线的定义可得1||||2MFMFa，即为2322cca，-7-即有312ca，可得312cea．故选D．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.当[2,1]x时，不等式32

430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[5,3]B.9[6,]8C.[6,2]D.[4,3]【答案】C【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当(0,1]x时，原式等价于2max343()xxax恒

成立；当[2,0)x时，原式等价于2min343()xxax恒成立；令2343(),[2,0)(0,1]xxfxxx，232343143()xxfxxxxx，令1tx，即3234

yttt，2'981ytt，可知1(1,)9为y的增区间，1(,1),(,)9为y的减区间，所以当(0,1]x时，即[1,)t时，t=1时max6y，即max()66fxa；当[2,0)x时，即1(,)2t时，y在(,1)

上递减，在1(1,]2上递增，所以t=-1时min2y，即min()22fxa；综上，可知a的取值范围是[6,2]，故选C.考点：不等式恒成立问题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x，y取值如表：x01356y1m

3m5.67.4-8-画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx，则m__________．【答案】32【解析】分析：计算,xy，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．详解：计算x=15×（0+1+3+5+

6）=3，y=15×（1+m+3m+5.6+7.4）=1445m，∴这组数据的样本中心点是（3，1445m），又y与x的线性回归方程y=x+1过样本中心点，∴1445m=1×3+1，解得m=32.故填32.点

睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14.一个家庭中有两个小孩.假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是_______．【答案】23【解析】【分析】利用条件概率计算公式求解即可.【详解】基本事件全体Ω＝{男男，男女，女男，

女女}，记事件A为“有一个女孩”，则P(A)＝34记事件B为“另一个是男孩”，则AB就是事件“一个男孩一个女孩”，P(AB)＝12故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率()PBA1()223()34PABPA.-9-故答案为：23【点睛】本题主要考

查了利用条件概率的概率公式计算概率，属于中档题.15.如图，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线ACEG、剪开，拼成如图所示的平行四边形KLMN，且中间的四边形ORQP为正方形.在平行四边形KLMN内随机

取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________【答案】12【解析】【分析】设正方形EFGH的边长为a，正方形ORQP的边长为x，分别求出阴影部分的面积和平行四边形KLMN的面积，最后利用几何概型公式求

出概率.【详解】设正方形EFGH的边长为a，正方形ORQP的边长为x，在长方形ABCD中，,BCNQaxABMQax，故平行四边形KLMN的面积为222()()2Saxaxxaa，阴影部分的面积为2a，所以在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影

部分的概率是22122aPa.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，求出平行四边形KLMN的面积是解题的关键.16.已知F为抛物线C：22(0)xpyp的焦点，曲线1C是以F为圆心，4p为半径的圆，直线23630xyp与曲线C，1C从左至右依次相交于,,,PQRS，则RSPQ__

_．【答案】215【解析】-10-【分析】由直线23630xyp过焦点F，得|RS|＝|SF|﹣4p＝Sy+2p﹣4p＝Sy+4p，|PQ|＝|PF|﹣4p＝Py+2p﹣4p＝Py+4p，求出S，P的纵坐标代入即可.【详解】222212203023630xpyypypxyp

，因为直线23630xyp与曲线C，1C从左至右依次相交于,,,PQRS，所以6spy，32pyp.由直线23630xyp过抛物线C：22(0)xpyp的焦点F，所以|RS|＝|SF|﹣4p＝Sy+2p﹣4p＝Sy+4p，|PQ|＝|PF|﹣4p＝

Py+2p﹣4p＝Py+4p，44pSFRSpPQPF=3721244556412pppp.故答案为215【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题．三、解答

题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样

的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4

个小时的概率.-11-（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：22()()()()()nadbcKabcda

cbd20()PKk0.100.050.0100.0050k2.7063.8416.6357.879【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解析】试题分析：（1）由分层抽样性质，得

到45003009015000；（2）由频率分布直方图得120.10.0250.75；（3）利用2×2列联表求2K.试题解析：（1）由45003009015000，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率发布直方图得120.10.0

250.75，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.-12-（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关

于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得223004560

301654.7623.8417522521090K有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之

和．18.已知函数32()fxxaxbxc，曲线()yfx在点(0,(0))Pf处的切线方程为31yx=+．（1）若函数()yfx在2x时有极值，求()fx表达式；（2）若函数()yfx在区间[2,1]上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】(1)32153

14fxxxx;(2)33a.【解析】分析：（1）求出导函数，令导函数在0处的值为3，在﹣2处的值为0，函数在1处的值为4，-13-列出方程组求出a，b，c的值；（2）令导函数f′（x）0在[﹣2

，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出a的范围．详解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b∵曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为

y=3x+1．∴解得a=，b=3，c=1∴.(2)上恒成立①当时，解得②当时，解得，所以无解③当时，解得，所以无解综上.点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在,ab内0(0)fx，则fx在,ab上单调递增

（减）．（2）fx在,ab上单调递增（减）'0fx（0）在,ab上恒成立，且在,ab的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）（3）若函数fx在区间,ab内存在单调递增（减）区间，则0(0)fx在

,ab上有解．（不要加上等号．）19.如图，PO垂直圆O所在的平面，AB是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦BC的中点，2AB＝，3PO＝．-14-（1）证明：平面POD平面PBC；（2）当四面体PABC的体积最大时，求B到平面PAC的距离．【答案】（1

）证明见解析（2）61919【解析】【分析】（1）由题意可知POBC，根据圆的几何性质可知BCAC；由中位线定理可得//ODAC，ODBC^即可证明（2）根据题意可知当OCAB时，四面体PABC的体积最大，取线段AC的中点E，连接OE，PE，可由勾股定理求得PE，

进而求得△PACS，再根据等体积法即可求得B到平面PAC的距离．【详解】（1）证明：因为PO垂直圆O所在平面，所以POBC.AB是圆O的一条直径，则90ACB,即BCAC因为D为弦BC的中点，O为圆O的圆心，则//ODAC所以ODBC^

.因为POODO，所以BCPOD平面，又BCPBC平面，所以PODPBC平面平面.-15-（2）当OCAB时，四面体PABC的体积最大，此时2ACBC.取线段AC的中点E，连接OE，PE，则PE

AC，1222OEBC，22382PEOEPO，从而138192222PACS△.设B到平面PAC的距离为h，由BPACPABCVV，得119113213232h，解得61919h，即B到平面PAC的距离为61919

.【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定，等体积法求点到平面的距离，属于基础题.20.在圆224xy上任取一点P，过点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，当点P在圆上运动时，线段PQ的中点M的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)过点D(

0，－2)作直线l与C交于,AB两点，(O为原点)，求三角形OAB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．【答案】（1）2214xy（2）最大面积为1，l方程为722yx【解析】【分析】(1)利用代入法求曲线C的

方程.(2)先求出三角形OAB面积的解析式和k的范围，再求其最-16-大值和此时直线的方程.【详解】（1）设M(x，y)是曲线C上任一点，因为PQ⊥x轴，M是PQ的中点，所以点P的坐标为(x，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2

＋(2y)2＝4.所以曲线C的方程是24x＋y2＝1.(2当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－2，与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由22214ykxxy得(1＋4k2)x2－16

kx＋12＝0，由Δ＝162k2－48(1＋4k2)>0，得k2>34.所以x1＋x2＝21614kk，x1x2＝21214k.因为S△OAB＝12|OD||x1－x2|＝|x1－x2|＝21212-4xxxx（

）＝4222431+4)kk（.令4k2－3＝t，则4k2＝t＋3(由上可知t>0)，S▱OANB＝42(4)tt＝4114116168tt,当且仅当t＝4，即k2＝74时取等号；所以当k＝±72时三角形OAB面积的最大值为1

，此时直线l的方程为y＝±72x－2.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的计算和最值的求法，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.已知函数1ln,

0afxxaxax其中实数．（1）若2a，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程．-17-（2）求函数fx的单调区间．（3）设函数agxx，若对于任意1,ex，都有fxgx成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)切线方程为1y;(2)1

e0.a.【解析】分析：（1）2a时，求出导数'()fx，求出切线斜率'(1)f，从而得切线方程(1)'(1)(1)yffx，整理成一般式即可；（2）求出导函数2(1)()'()xxafxx，由'()0fx

得1x或xa，按a与1的大小分类讨论可得()fx的单调区间；（3）fxgx恒成立可转化为1ln0xax，即1lnxax，从而只要求得lnxx的最大值即可，利用导数即可得出.详解：（1）∵23ln(0)fxxxxx，11f，2231(0

)fxxxx，10f，∴yfx在1,1处切线方程为1y.（2）∵22221111xaxaxxaaafxxxxx，令0fx，即210xax

a，解得1x或xa．①当01a时（即10a时），由0fx得0xa或1x，由0fx得1ax，∴fx的增区间为0,a，1,，减区间为,1a，②当1a（即1a时），由0fx得01x或xa，由0

fx得1xa，∴fx增区间为0,1，,a，减区间为1,a．-18-③当1a，即1a时，22221210xxxfxxx在0,上恒成立，∴

fx的增区间为0,,无减区间．综上，10a时，fx增区间为0,a，1,，减区间为,1a，1a时，fx增区间为0,1，,a，减区间为1,a，1a

时，fx增区间为0,，无减区间．（8分）（3）∵1,ex，有fxgx恒成立，则1ln0xax，即1lnxax，令lnxFxx，当1,xe时，max1aFx，21lnlnxFxx，∵当1,ex时，0Fx

，所以Fx在1,e上单调递增，∴maxFxFee．∴1ea，∴1e0a．点睛：（1）函数()fx的图象在00(,())xfx处的切线方程为000()'()()yfxfxxx；（2）

对可导函数()fx，'()0fx的解区间是()fx的增区间，'()0fx的解区间是()fx的减区间；（3）利用导数处理不等式恒成立问题，一般转化为求函数的最值问题，其中分离参数法是重要的思想方法．（二）选考题：

共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22(232xttyt为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标

系中，曲线C的极坐标方程为4sin2cos．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A、B，求PA+PB的值．-19-【答案】（1）30xy,

22125xy；（2）25.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程的公式得到答案.（2）将直线的参数方程代入曲线C，利用直线参数方程的几何意义算得PA+PB.【详解】解：（1）由直线l的参数方程2=22=3+2xtyt，得普通方程为30xy

；由曲线C的极坐标方程为=4sin-2cos，得2=4sin-2cos，将222=cos,=sin,+=xyxy代入上式可得：22125xy.所以曲线C的直角坐标方程为22125xy；（2）将2=22=3+2xtyt

代入22125xy，得2222+1+3+-2=522tt，即22230tt.设A、B对应的参数分别为1t、2t，则1222tt，1230tt.所以212121212PA+PB=+=-=+-4=25

tttttttt.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，利用直线参数方程的几何意义是解题的关键.23.已知函数()|1||2|fxxx.（1）求不等式()13fx的解集；（2）若()fx的最小值为k，且211kmn(0)mn，证

明：16mn.【答案】（1）(7,6)；（2）见解析.【解析】-20-【分析】(1)分类讨论1212xxx、、三种情况下的解集(2)先求出fx的最小值为3，代入后运用基本不等式证明不等式成立【详解】（1）由13fx，得1213xx

，则12113xx或21313x或22113xx，解得：76x，故不等式13fx的解集为7,6.（2）证明：因为12fxxx1

23xx，所以3k，因为21191(0)kmnmnmn，所以0,0mn，19910102916nmmnmnmnmn当且仅当9nmmn

，即4,12mn时取等号，故16mn.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式“1”的用法，需要掌握此类题目的解法-21-